運用數(shù)學思維解決影視作品中的數(shù)學問題
——以運用遞推數(shù)列研究《輪到你了》中的概率問題為例

黃煜可 閔祥偉 胡細寶 李曉花

（北京郵電大學理學院 北京 100876）

1 求解數(shù)學問題的四個步驟

如何使用數(shù)學思維解決生活中的問題呢？G.波利亞[1]給出了求解數(shù)學問題的四個步驟：理解題目、擬訂方案、執(zhí)行方案、回顧。這與數(shù)學建模思想基本一致（圖1）。

圖1：數(shù)學建模的全過程

其中：（1）表述是將現(xiàn)實問題“翻譯”成抽象的數(shù)學問題，屬于歸納法。（2）數(shù)學模型的求解則屬于演繹法。（3）解釋是把數(shù)學模型的解答“翻譯”回到現(xiàn)實對象，給出分析、預報、決策或者控制的結果。（4）最后，這些結果需要用實際的信息加以驗證[2]。

下面我們利用這個過程求解影視作品《輪到你了》中的一個數(shù)學問題。

2 交換殺人事件與裝錯信封問題

《輪到你了》是日本電視臺2019年播出的高收視率懸疑推理劇。講述了東京某座公寓中發(fā)生的“交換殺人事件”。故事的開端，13名公寓住戶抱著有趣的心態(tài)玩了一個桌面游戲。每個人都在紙條上寫下自己最希望殺死的人，之后進行抽簽。如果某位住戶寫下的人被害，他就必須殺死自己抽到的人。沒想到紙條上的人真的一個接一個地死去。

這里有一個數(shù)學問題：13個住戶全都被卷入這場“交換殺人事件”的概率是多少呢？劇中數(shù)學專業(yè)學生黑島沙和對這個問題進行分析（圖2）。

圖2：黑島沙和及她給出的計算過程和結果

她認為“順利實現(xiàn)交換”的概率等于“每個人都沒有抽到自己寫的紙條”的概率。從這個角度出發(fā)，我們嘗試按照數(shù)學建模的四個步驟還原黑島的分析。

第2步：數(shù)學模型求解。常見解法有：容斥原理法[3]、遞推數(shù)列法[4]和概率公式法。

第4步：用實際信息加以驗證。如上，我們還原了黑島的分析。那么她的分析真的正確嗎？看一個反例：第1、2號住戶抽中了對方的紙條；第i號住戶抽中了第號住戶的紙條，；第號住戶抽中了第3號住戶的紙條。這樣的抽簽方式符合黑島提出的“每個人都沒有抽到自己寫的紙條”的要求，但并不能從“一個人死亡”開始將全部個住戶都卷入?？梢?，黑島的分析是錯誤的。

取13的概率約為7.69%。它遠小于黑島給出的結論36.7%。

小結：這個例子很好地展示了運用數(shù)學思維解決問題時，不斷修正優(yōu)化的理念。在用數(shù)學語言表示現(xiàn)實對象的過程中，如果出現(xiàn)偏差，即使在后續(xù)分析中使用了十分精彩、高級的數(shù)學工具，也會造成嚴重的錯誤。只有經(jīng)受住現(xiàn)實檢驗的結果才是好結果。另一方面，上面的概率問題隨著《輪到你了》的熱播，產(chǎn)生了很高的討論度。不少網(wǎng)友運用數(shù)學思維進行了分析，但都沒有指出黑島分析中的錯誤。可見，眾口鑠金并不一定是真相，要敢于質(zhì)疑“權威”，才能夠撥開迷霧。

3 影視作品中的數(shù)學問題及其在教學中的應用

本文中我們以日劇《輪到你了》為例，展示了如何運用數(shù)學思想解決影視作品中的數(shù)學問題。將影視作品應用于數(shù)學教學，是一個非常值得研究的課題[5,6]。經(jīng)過影視作品包裝后的數(shù)學元素散發(fā)出誘人的魅力，有助于培養(yǎng)學生對數(shù)學的興趣。王庚[5]將數(shù)學影視作品分為三大類：（1）數(shù)學觀念篇：演繹數(shù)學觀念、普及數(shù)學知識的影片，如電影《蝴蝶效應》等；（2）數(shù)學應用篇：反映數(shù)學應用的影片，如連續(xù)劇《數(shù)字追兇》等；（3）數(shù)學人文篇：反映數(shù)學文化的影片，如電影《美麗心靈》等。在課堂教學中，影視作品是為教學目標服務的，需要控制時長。因此我們認為：如本文中展示的這類涉及數(shù)學應用的影視片段更加適合在課堂教學中使用；其他類型的數(shù)學影視作品，則更適用于學生課后觀看。

4 總結

本文以日劇《輪到你了》中的一個片段為例，展示了運用數(shù)學思維解決數(shù)學問題的一般方法。良好的數(shù)學思維習慣讓我們一生受益。