3-PRC并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)性能與仿真*

沙鑫美， 呂小祥

(1. 三江學(xué)院 機(jī)械與電氣工程學(xué)院， 南京 210012； 2. 江蘇南京熱電工程設(shè)計(jì)院 設(shè)計(jì)部， 南京 210000)

并聯(lián)機(jī)構(gòu)是不少于兩條的獨(dú)立支鏈連接靜平臺(tái)與動(dòng)平臺(tái)的閉環(huán)系統(tǒng)，具有高穩(wěn)定性、高精度、高強(qiáng)度和低誤差等特點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于精密加工與材料科學(xué)等領(lǐng)域.并聯(lián)機(jī)構(gòu)又可分為六自由度、三自由度和二自由度等多種類型.

目前，三自由度的并聯(lián)機(jī)構(gòu)廣泛應(yīng)用于實(shí)際工作場合，且自由度較少，主要由球面、平移和混合等3類并聯(lián)機(jī)構(gòu)組成.由于三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有結(jié)構(gòu)簡易、承載性較強(qiáng)和誤差較小等優(yōu)點(diǎn)，該并聯(lián)機(jī)構(gòu)也成為學(xué)者研究的重點(diǎn)對(duì)象.其中，Yue等[1]參考Delta并聯(lián)設(shè)備的結(jié)構(gòu)，提出了具有三維移動(dòng)能力的并聯(lián)微操作機(jī)構(gòu)；高繼良等[2]設(shè)計(jì)與分析了具有對(duì)稱結(jié)構(gòu)的3-TRT并聯(lián)機(jī)構(gòu)；Zeng等[3]提出具有三平移輸出的Tri-pyramid型并聯(lián)機(jī)器人；吳騰等[4]研究了3-UPU并聯(lián)機(jī)構(gòu)，同時(shí)設(shè)計(jì)分析了3-UPU的變胞機(jī)構(gòu).上述研究均是對(duì)稱型的三平移并聯(lián)機(jī)構(gòu)，分別具有結(jié)構(gòu)簡易、工作空間大、造價(jià)低等特點(diǎn).

為增強(qiáng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)性能，本文在以往研究[5-8]的基礎(chǔ)上，提出3-PRC三平移的并聯(lián)機(jī)構(gòu).其中，“3”表示其末端輸出自由度，“P”表示prismatic joint，即支鏈的聯(lián)接副為移動(dòng)副；“R”表示rotation joint，即聯(lián)接副為轉(zhuǎn)動(dòng)副；“C”表示cylinder joint，即聯(lián)接副為圓柱副.與以往研究相比，本文3-PRC并聯(lián)結(jié)構(gòu)主要具備3個(gè)優(yōu)點(diǎn)：1)該機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺(tái)輸出無轉(zhuǎn)動(dòng)，且具有3個(gè)平移自由度；2)所有支鏈對(duì)稱，且各向同性；3)該機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)副均是低副，所以其加工精度和承載能力較高.

1 3-PRC并聯(lián)機(jī)構(gòu)的構(gòu)型描述

本文設(shè)計(jì)的3-PRC并聯(lián)機(jī)構(gòu)的構(gòu)型如圖1所示.在該構(gòu)型中，利用轉(zhuǎn)動(dòng)副R、圓柱副C和移動(dòng)副P組成3條支鏈，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的靜平臺(tái)與動(dòng)平臺(tái)相連.其中，圓柱副由一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)副和同軸移動(dòng)副組成，而轉(zhuǎn)動(dòng)副與圓柱副的回轉(zhuǎn)軸線平行.

圖1 3-PRC并聯(lián)機(jī)構(gòu)構(gòu)型圖Fig.1 Configuration of 3-PRC parallel mechanism

2 運(yùn)動(dòng)學(xué)研究

運(yùn)動(dòng)學(xué)研究是對(duì)并聯(lián)機(jī)構(gòu)性能進(jìn)行分析的基礎(chǔ)，其研究對(duì)象是動(dòng)平臺(tái)末端輸出、機(jī)構(gòu)構(gòu)成和驅(qū)動(dòng)之間的運(yùn)動(dòng)關(guān)系，即分析末端輸出與機(jī)構(gòu)組成的位移、速度和加速度.為分析并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)位置，本文首先計(jì)算3-PRC并聯(lián)機(jī)構(gòu)的自由度數(shù)量，再建立相應(yīng)的坐標(biāo)系；然后求出并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置正解和反解，從而利用機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)影響系數(shù)，分析并聯(lián)機(jī)構(gòu)的速度、加速度和奇異性.

2.1 自由度計(jì)算

在分析動(dòng)平臺(tái)輸出自由度過程中，本文使用螺旋理論進(jìn)行具體的研究.由圖1可知，本文提出的3-PRC并聯(lián)機(jī)構(gòu)的所有PRC支鏈均由圓柱副C、轉(zhuǎn)動(dòng)副R和移動(dòng)副P組成，而移動(dòng)副P與轉(zhuǎn)動(dòng)副R均可使用螺旋系表示.其中，移動(dòng)副P的節(jié)距為無窮大，而轉(zhuǎn)動(dòng)副R為0，即PRC支鏈的螺旋系Si(1≤i≤4)表達(dá)式為

(1)

式中，e2、f2、e4和f4為PRC支鏈上運(yùn)動(dòng)副的空間位置數(shù)據(jù).根據(jù)螺旋系的相關(guān)理論可知，支鏈的運(yùn)動(dòng)螺旋與約束螺旋之間具有互易關(guān)系；另外，兩者的互易積是0，則可得到其支鏈的約束螺旋S′i(1≤i≤2)，其表達(dá)式為

(2)

由式(2)可知，該支鏈具有兩個(gè)約束Y軸和Z軸的旋轉(zhuǎn)自由度.同理，其他支鏈的約束螺旋也具有兩個(gè)旋轉(zhuǎn)自由度[9-10].由于3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度均被固定，但動(dòng)平臺(tái)的移動(dòng)自由度未被約束，則動(dòng)平臺(tái)末端不能自由轉(zhuǎn)動(dòng)，即該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的輸出是三維的平動(dòng).

根據(jù)計(jì)算結(jié)果可知，3-PRC并聯(lián)機(jī)構(gòu)的末端自由度為3.

2.2 坐標(biāo)系建立

根據(jù)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)，可設(shè)其靜平臺(tái)與動(dòng)平臺(tái)分別是邊長為a、中心為O和邊長為b、中心為P的正三角形.利用這兩個(gè)中心，分別建立坐標(biāo)系O-XYZ和P-xyz，如圖2所示.圖2中，動(dòng)平臺(tái)中心P在O-XYZ中的坐標(biāo)為(xP，yP，zP).

圖2 3-PRC并聯(lián)機(jī)構(gòu)坐標(biāo)系Fig.2 Coordinate system of 3-PRC parallel mechanism

2.3 位置正反解

在建立如圖2所示的坐標(biāo)系后，由于支鏈與靜平臺(tái)之間用驅(qū)動(dòng)桿連接，可設(shè)支鏈與靜平臺(tái)平面的夾角為α，其長度為d，滑動(dòng)距離為li，圓柱副的連接桿長度為hi，與靜平臺(tái)平面的夾角為θi，滑動(dòng)距離為si.

驅(qū)動(dòng)桿的滑動(dòng)距離是并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置反解.為求解該數(shù)值，已知?jiǎng)悠脚_(tái)中心P的坐標(biāo)為(xP，yP，zP)，本文列舉第一個(gè)支鏈的方程組為

(3)

根據(jù)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的結(jié)構(gòu)，相對(duì)于z軸，3個(gè)支鏈以120°分布.將第一個(gè)支鏈旋轉(zhuǎn)120°和240°，可得到如下兩個(gè)方程組，即

(4)

(5)

聯(lián)立式(3)～(5)得

(6)

將式(6)整理，求解可得

(7)

式中：W1=W2=W3=1；且

此時(shí)，利用動(dòng)平臺(tái)中心P的坐標(biāo)(xP，yP，zP)，即可求解得到3-PRC并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置反解.而對(duì)于該并聯(lián)機(jī)構(gòu)的位置正解，若已知驅(qū)動(dòng)桿的滑動(dòng)距離li(i=1，2，3)，利用式(6)可以求得動(dòng)平臺(tái)中心P的坐標(biāo)(xP，yP，zP)，即可求解得到3-PRC并聯(lián)機(jī)構(gòu)的正反解.

2.4 速度和加速度

為獲取3-PRC并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，本文使用運(yùn)動(dòng)影響系數(shù)法分析其速度和加速度.式(6)是3-PRC并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)方程式，利用廣義坐標(biāo)可表示為

U=f(I，Φ0)=0

(8)

式中：Φ0為動(dòng)平臺(tái)中心P的坐標(biāo)(xP，yP，zP)；I為驅(qū)動(dòng)桿的滑動(dòng)距離(l1，l2，l3).分別對(duì)時(shí)間t進(jìn)行求導(dǎo)，可得

(9)

展開式(9)可得

(10)

式中，驅(qū)動(dòng)中間變量K和L的公式分別為

(11)

展開可得

(12)

式中，雅克正矩陣和逆矩陣的分量mi和eij的表達(dá)式為

(13)

利用式(13)可求解具有3個(gè)維度的二階影響系數(shù)矩陣，即

(14)

3 仿真分析

利用ADAMS軟件對(duì)3-PRC并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行三維建模.通過仿真驗(yàn)證分析結(jié)果，為并聯(lián)機(jī)構(gòu)的具體控制提供相應(yīng)的理論依據(jù).

3.1 逆運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真

使用動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)固定的運(yùn)動(dòng)軌跡，通過ADAMS軟件即可計(jì)算出并聯(lián)機(jī)構(gòu)驅(qū)動(dòng)模塊的位移、速度和加速度.令t表示時(shí)間，設(shè)定End time為10 s，Steps為1 000.則本文動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)P的曲線軌跡方程為

(15)

當(dāng)該動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)按照以上方程進(jìn)行運(yùn)動(dòng)時(shí)，本文測試驅(qū)動(dòng)模塊的位移、速度和加速度，得到的曲線如圖3～5所示.

3.2 正運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真

當(dāng)3-PRC并聯(lián)機(jī)構(gòu)的驅(qū)動(dòng)桿輸入確定時(shí)，本文仍可以對(duì)該機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)輸出進(jìn)行仿真.在仿真中，設(shè)定End time為10 s，Steps為1 000.同時(shí)向ADAMS軟件中導(dǎo)入3個(gè)Splines函數(shù)曲線，作為驅(qū)動(dòng)桿的輸入，即

圖3 驅(qū)動(dòng)模塊的位移曲線Fig.3 Displacement curves of driving module

圖4 驅(qū)動(dòng)模塊的速度曲線Fig.4 Speed curves of driving module

圖5 驅(qū)動(dòng)模塊的加速度曲線Fig.5 Acceleration curves of driving module

利用以上參數(shù)運(yùn)行ADAMS軟件，可以統(tǒng)計(jì)得到動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)的位移、速度和加速度曲線，分別如圖6～8所示.

由圖3～8可知，在3-PRC并聯(lián)機(jī)構(gòu)的正逆運(yùn)動(dòng)學(xué)仿真中，其驅(qū)動(dòng)模塊與動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)的軌跡位移均一致，3個(gè)驅(qū)動(dòng)桿之間沒有互相干涉的情況，同時(shí)其速度和加速度均無突變.仿真結(jié)果表明，3-PRC并聯(lián)機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)合理，且其正反解與模型的理論分析結(jié)果均正確無誤.

3.3 有限元分析

為了進(jìn)一步分析3-PRC并聯(lián)機(jī)構(gòu)的性能，本文對(duì)該機(jī)構(gòu)進(jìn)行了有限元分析，選取了一種特殊位姿，即將并聯(lián)機(jī)構(gòu)置于工作空間的邊界附近.在這個(gè)狀態(tài)下，動(dòng)平臺(tái)和其他部件的變形均很嚴(yán)重，整個(gè)機(jī)構(gòu)處于嚴(yán)重的受力不均勻狀態(tài)，從而檢測并聯(lián)機(jī)構(gòu)的危險(xiǎn)部位.

圖6 動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)的位移曲線Fig.6 Displacement curves of center point of motion platform

圖7 動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)的速度曲線Fig.7 Speed curves of center point of motion platform

圖8 動(dòng)平臺(tái)中心點(diǎn)的加速度曲線Fig.8 Acceleration curves of center point of motion platform

有限元分析主要有預(yù)處理、分析計(jì)算和處理三個(gè)步驟.在預(yù)處理過程中，本文分析了并聯(lián)機(jī)構(gòu)的材料屬性、裝配方式和關(guān)系，使用ANSYS軟件添加移動(dòng)副、轉(zhuǎn)動(dòng)副和圓柱副等約束和接觸，得到的模型如圖9所示.當(dāng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)的動(dòng)平臺(tái)承受垂直向下且大小為100 N的力時(shí)，并聯(lián)機(jī)構(gòu)發(fā)生了較大的變形，結(jié)構(gòu)圖如圖10所示.

圖9 3-PRC并聯(lián)機(jī)構(gòu)的軟件模型Fig.9 Software model for 3-PRC parallel mechanism

圖10 3-PRC并聯(lián)機(jī)構(gòu)變形結(jié)構(gòu)圖Fig.10 Deformation structure diagram of 3-PRC parallel mechanism

經(jīng)過ANSYS軟件分析可知，在受力條件下，并聯(lián)機(jī)構(gòu)的最大變形量為7.843 2×10-2mm，最大應(yīng)力值為40.658 MPa，最小安全系數(shù)為6.121.一般來說，抗不穩(wěn)定系數(shù)的取值范圍為[3，5]，最小安全系數(shù)距離這個(gè)范圍越遠(yuǎn)越好.因?yàn)樽钚“踩禂?shù)為6.121，所以本文的并聯(lián)機(jī)構(gòu)尺寸是合理的，結(jié)構(gòu)基本達(dá)到安全標(biāo)準(zhǔn).

4 結(jié) 論

本文對(duì)3-PRC并聯(lián)機(jī)構(gòu)進(jìn)行了設(shè)計(jì)與建模，通過理論推導(dǎo)與軟件仿真的方式詳細(xì)分析了其運(yùn)動(dòng)學(xué)性能，仿真結(jié)果驗(yàn)證了理論推導(dǎo)的正確性和安全性.通過ANSYS軟件仿真可知，本文所設(shè)計(jì)的并聯(lián)機(jī)構(gòu)的安全性有待提高，即最小安全系數(shù)與抗不穩(wěn)定系數(shù)的取值范圍距離仍然較小，存在一定的優(yōu)化空間，未來將繼續(xù)優(yōu)化并聯(lián)機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)，提高其最小安全系數(shù)指標(biāo).