某些分段李納系統(tǒng)的Hopf分支環(huán)性數(shù)

徐偉驕

(天津商業(yè)大學 理學院，天津 300134)

著名數(shù)學家希爾伯特[1]在1900年第二屆國際數(shù)學家大會上提出了23個數(shù)學問題，其中第16問題的第二部分是研究平面微分系統(tǒng)的極限環(huán)個數(shù)和他們的位置關(guān)系的，此問題至今仍未徹底解決。對于這一問題，平面光滑微分系統(tǒng)研究比較早，也有很多好的結(jié)果，例如：平面二次微分系統(tǒng)的極限環(huán)存在性、個數(shù)和位置關(guān)系的問題[2-3]；三次多項式系統(tǒng)和三次近哈密頓系統(tǒng)的極限環(huán)分支問題[4-5]；以及具有復雜結(jié)構(gòu)的高次微分系統(tǒng)的極限環(huán)分支問題[6-8]等。隨著平面光滑系統(tǒng)的極限環(huán)問題的研究日趨體系，近年來平面非光滑系統(tǒng)的極限環(huán)問題越來越受到學者們的重視。

考慮分段光滑系統(tǒng)

(1)

其中定義在x>0的部分為右子系統(tǒng)，x<0的部分為左子系統(tǒng)。

對于系統(tǒng)(1)，韓茂安等[9]得到分段線性系統(tǒng)在原點附近Hopf分支產(chǎn)生兩個極限環(huán)。Miranda等[10]考慮了不連續(xù)經(jīng)典李納方程的極限環(huán)個數(shù)。楊俊敏等[11]研究了分段平面哈密頓系統(tǒng)的Hopf分支中出現(xiàn)的極限環(huán)的個數(shù)，得到了一些特殊系統(tǒng)的Hopf環(huán)性數(shù)。盛麗鵑[12]得到了兩個多參數(shù)李納型分段多項式系統(tǒng)的最大極限環(huán)數(shù)。Buzzi等[13]得到對于n次多項式系統(tǒng)擾動項為N次時最多有Nn-1個極限環(huán)。然而，到目前為止，關(guān)于系統(tǒng)(1)的結(jié)果還很少，特別是f±(x,y)和g±(x,y)為多項式函數(shù)的情況。

1 主要結(jié)論

考慮分段光滑多項式系統(tǒng)

(2)

其中

m,n,k,l是非負整數(shù)并且(a,b)∈Rn1,n1∈Z。

徐偉驕等[14]定義了系統(tǒng)(2)在原點附近Hopf分支產(chǎn)生的極限環(huán)個數(shù)，即環(huán)性數(shù)N(m,n,k,l)，并給出了當k=l=1時的極限環(huán)個數(shù)。在本文中，固定k=1,l=2，研究m,n∈{1,2,3}時系統(tǒng)(2)的環(huán)性數(shù)。主要結(jié)果如下：

定理1：假設Fm,n和gk,l是多項式函數(shù)且當k=1,l=2時，有

(3)

則當m,n∈{1,2,3}時，得到系統(tǒng)(2)的環(huán)性數(shù)為N(m,n,1,2)=m-1。

2 定理證明

此部分，研究滿足條件(3)的系統(tǒng)(2)的環(huán)性數(shù)。為了方便起見，選取多項式函數(shù)Fm,n的次數(shù)m,n∈{1,2,3}。以m=n=3為例，其他情況的證明類似。

證明：當m=n=3時，系統(tǒng)(2)有

(4)

其中

(5)

其中

由式(4)，有

(6)

為了得到系統(tǒng)(4)的環(huán)性數(shù)，通過MAPLE程序計算系數(shù)Bj(j≥1)，其中前6個系數(shù)如下

(7)

根據(jù)熊艷琴等[15]的定理1.6，為了計算式(6)的零點個數(shù)，需要滿足

(8)

當B2=B4=0時，有

(9)

以及

根據(jù)熊艷琴等[15]的定理1.6，得到N(m,n,k,l)=N(3,3,1,2)=2。

類似地，可以得到表1。

綜上所述，得到N(m,n,1,2)的一般結(jié)果為

N(m,n,1,2)=m-1,m,n∈{1,2,3}。

表1 環(huán)性數(shù)N(m,n,1,2), m,n∈{1,2,3}

3 結(jié)論

本文研究了分段光滑多項式系統(tǒng)

在原點附近的極限環(huán)分支問題，通過對固定k=1,l=2以及對m,n在{1,2,3}中的不同取值，即滿足

N(m,n,1,2)=m-1,m,n∈{1,2,3}。

此問題的研究豐富了希爾伯特第16問題的理論和結(jié)果，有助于推動希爾伯特第16問題的徹底解決。