追蹤高考導數(shù)涉及的證明問題

寇桂宴● 陳國林●

贛南師范大學科技學院(341000) 安徽省利辛高級中學(236700)

追蹤高考導數(shù)涉及的證明問題

寇桂宴● 陳國林●

贛南師范大學科技學院(341000) 安徽省利辛高級中學(236700)

縱觀高考命題，近幾年全國卷關(guān)于對導數(shù)的考查要求較高，導數(shù)問題是中學數(shù)學與高等數(shù)學相互連接的重要部分，一直充當著高考壓軸題的角色.

通過對全國卷導數(shù)試題部分進行分析，近幾年，導數(shù)部分結(jié)合證明問題考查可謂層出不窮，已經(jīng)成為高考的一個“大餐”，成為了拉開分數(shù)的一個重要部分.如何解決高考導數(shù)中的證明問題呢？下面用例題說明.

一、一次求導的基礎(chǔ)證法

例題1 (2015年全國卷2第21題)設函數(shù)f(x)=emx+x2-mx.

證明：f(x)在(-∞，0)單調(diào)遞減，在(0，+∞)上單調(diào)遞增.

解析f′(x)=m(emx-1)+2x.若m≥0，則當x∈(-∞，0)時，emx-1≤0,f′(x)<0；當x∈(0，+∞)時，emx-1≥0，f′(x)>0.若m<0，則當x∈(-∞，0)時，emx-1>0，f′(x)<0；當x∈(0，+∞)時，emx-1<0，f′(x)>0.所以，f(x)在(-∞，0)單調(diào)遞減，在(0，+∞)上單調(diào)遞增.

評注 一階導數(shù)證明問題，屬于導數(shù)中的基礎(chǔ)問題，主要根據(jù)導函數(shù)與0之間的關(guān)系來證明函數(shù)的單調(diào)性的.

二、二次求導的樸實證法

解析 (1)因為f′(x)=-sinx+ax，a∈R,令g(x)=-sinx+ax則g′(x)=-cosx+a，所以當a≥1時，g′(x)≥0，即g(x)在R上單調(diào)遞增.又g(0)=0，所以當x∈[0,+∞)上為增函數(shù)，在(-∞,0)上為減函數(shù)，又f(0)=0，所以當x∈[0,+∞)時，f(x)≥0，當x∈(-∞,0)時，f(x)>0，故f(x)≥0對x∈R恒成立，即當a≥1時，f(x)≥0，當且僅當x=0時，f(x)=0，故當a≥1時，f(x)有唯一零點.

綜上，若f(x)≥0時，a的取值范圍為[1,+∞).

評注 二次求導的原因主要是在一次求導后無法判斷極值點或者極值點的判斷相對比較復雜，另外在題目的設置中一般二次求導后對于一階導數(shù)都具有單調(diào)性.

三、不可忽視的數(shù)學歸納證法

(1)討論函數(shù)G(x)=f(x)-g(x)的單調(diào)性；

評注 數(shù)學歸納法在證明題中一直扮演著不可或缺的地位，在導數(shù)中通常情況下如果遇到與數(shù)列結(jié)合的時候，數(shù)學歸納法證明會顯得相對明了.因此在遇到證明題的時候不可忘卻數(shù)學歸納法，因為在閱卷中是根據(jù)解題步驟得分，相比之下其可以讓你多獲分.

四、構(gòu)造函數(shù)的巧妙證法

(2)在(1)中當a=0時，函數(shù)y=f(x)的圖象上任意不同的兩點A(x1,y1),B(x2,y2)，線段AB的中點為C(x0,y0)，記直線AB的斜率為k，試證明：k>f′(x0)．

(2)證明：當a=0時，f(x)=lnx.

∴h(x)在[1,+∞)上為增函數(shù).

評注 構(gòu)造函數(shù)的方法也是導數(shù)壓軸題常考的內(nèi)容之一.在利用構(gòu)造函數(shù)時一般使用于變形構(gòu)造函數(shù)證明不等式和替換構(gòu)造不等式證明不等式.

五、放縮法的機智證法

例題5 (2016年安慶二模)已知函數(shù)f(x)=lnx+ax，a∈R.

(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；

(1)a≥0時,f′(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上單調(diào)增；

(2) ∵lnx1+ax1=0,lnx2+ax2=0,∴l(xiāng)nx2-lnx1=a(x1-x2).

評注 利用放縮法在求解導數(shù)問題時一直扮演著較難的角色.在導數(shù)中的放縮可根據(jù)最值點進行放縮，這時題目一般會將函數(shù)設置為在某區(qū)間的單調(diào)函數(shù).

六、數(shù)學思想的綜合證法

例題6 (2016年福建省寧德質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)=(x-k-1)ex．

(1)當x>0時，求f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(2)若x1≠x2，且f(x1)=f(x2)，證明：x1+x2<2k．

解析 (1)f′(x)=(x-k)ex,x>0.(ⅰ)當k≤0時，f′(x)>0恒成立,∴f(x)的遞增區(qū)間是(0，+∞)，無遞減區(qū)間,無極值. (ⅱ)當k>0時，由f′(x)>0,得x>k,由f′(x)<0得0

(2)由已知f(x1)=f(x2)(x1≠x2)，結(jié)合(Ⅰ)可知k>0,f(x)在(-∞,k)上單調(diào)遞減，在(k,+∞)上單調(diào)遞增.又f(k+1)=0，xk，2k-x1>k，故要證x1+x2<2k，只要證2k-x1>x2，只要證f(2k-x1)>f(x2).因f(x1)=f(x2)，即證f(2k-x1)>f(x1).

評注 本題主要考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程的思想、分類整合思想、數(shù)形結(jié)合思想．綜合了函數(shù)、導數(shù)、不等式等基本知識；考查運算求解能力、推理論證能力.因此在解決這類綜合性導數(shù)問題，如果能夠利用數(shù)學思想對問題分析求解將會大大降低求解難度.

在求解導數(shù)壓軸題時，需要在平時的基礎(chǔ)上善于總結(jié)發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律，才能以不變應萬變來求解導數(shù)證明問題.善于利用數(shù)學思想去解決數(shù)學問題將會提高數(shù)學的解題能力和速度，因此在學習過程中要善于運用數(shù)學思想去求解各類問題.

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1008-0333(2016)34-0014-02