課堂教學中對一題多解的點滴感悟

劉培聚 孫海燕 郭丹

摘 要：本文主要是對相似三角形的一題多解的點滴感悟，一題多解是指從不同角度，運用不同的思維方式來解答同一道題的思考方法.在課堂教學中，教師應(yīng)不僅僅滿足于問題得到解決，而應(yīng)鼓勵和啟發(fā)學生從不同角度尋找解題思路，挖掘?qū)W生的潛能，提升學生的思維技能，并且在時間上不吝嗇，激勵學生，使得學生能夠多動腦探究，做到一題多解.在此過程中老師的預(yù)案和學生的不同思路，使得原本平淡無奇的數(shù)學課堂甚是絢爛.

關(guān)鍵詞：一題多解;相似三角形;課堂教學

中圖分類號：G632 ? ? ?文獻標識碼：A ? ? ?文章編號：1008-0333（2021）32-0028-02

收稿日期：2021-08-15

作者簡介：劉培聚（1969.4-），高級教師，從事初中數(shù)學教學研究.

孫海燕（1976.11-），中學一級教師，從事初中數(shù)學教學研究.

郭丹（1994.9-），中學二級教師，從事初中數(shù)學教學研究.

近期，在講授相似三角形的判定與性質(zhì)的習題課中有如下的精彩片段：

片段一：如圖1，在△ABC中，AB=AC，以AC為直徑的⊙O交AB于點D，交BC于點E.

（1）求證：BE=CE;

（2）若BD=2，BE=3，求AC的長.

問題（1）比較簡單，連接AE，利用直徑所對的圓周角是直角，結(jié)合等腰三角形的三線合一解決問題，或者連接OE，利用三角形中等邊對等角證明OE∥AB，從而使問題得到解決.

問題（2），我預(yù)設(shè)的是利用相似三角形的判定與性質(zhì)解決問題.但康同學的解法是：如圖2，連接CD，利用勾股定理求出CD2=32，再在Rt△ADC中設(shè)AB=AC=x，則AD=x-2，由勾股定理列方程得x2=（x-2）2+32，解方程求出AC的長.

康同學能在兩個直角三角形中各用一次勾股定理解決求邊長的問題，說明他已經(jīng)能夠靈活運用勾股定理來解題了.對于康同學的解法，我給予了肯定與贊同.同時，我又啟發(fā)學生思考還有沒有其它解法？通過給予學生足夠的交流探究的時間，學生們找到了利用相似三角形的知識解決問題的方法，思路如下：

如圖3，連接DE， 利用圓的內(nèi)接四邊形內(nèi)對角互補，可證得∠BDE=∠C，又由∠B為公共角可證得△BDE∽△BCA，根據(jù)對應(yīng)邊成比例，求出線段AB 的長，即得到AC的長.

由此可見，在課堂教學過程中，不斷給予學生鼓勵和贊許，使得他們能夠有信心多思考，有勇氣表達自己的想法.這樣，教師才能根據(jù)課堂反饋的信息，針對學生的掌握情況，制定有效的教學計劃，從而達到事半功倍的效果.

片段二：已知：如圖4，在△ABC中，∠BAD=∠C，∠DAE=∠EAC.

求證：BDAB=DEEC.

由于正在學習相似三角形，因此我的預(yù)設(shè)是學生可以利用相似和平行線分線段成比例定理解決問題.但阮同學經(jīng)過思考后認為三角形的形狀固定，面積唯一，可以利用面積法解題.證法如下：

如圖5，過點A作AT⊥BC，過點E作EU⊥AD，EV⊥AC，垂足分別為T，U，V，則S△ADE=12DE·AT，S△ACE=12CE·AT，∴S△ADE∶S△ACE=DE∶CE.又∵AE平分∠DAC，EU⊥AD，EV⊥AC，∴EU=EV.∵S△ADE=12AD·EU，S△ACE=12AC·EV，∴S△ADE∶S△ACE=AD∶AC;可以證得DEEC=ADAC.

阮同學的方法是利用不同的底和高來表示面積，此方法簡捷，達到了出奇制勝的效果.這時，我又啟發(fā)學生思考運用相似三角形的知識來解題的方法，學生們在分析問題的條件和結(jié)論后，能夠通過證明△BAD∽△BCA，得到BDAB=ADAC，接下來能否把ADAC作為中間比證明DEEC=ADAC呢？若能，該怎樣添加輔助線呢？這實際上是三角形內(nèi)角平分線的性質(zhì)定理的應(yīng)用，但初中學生沒學過，因此需要證明.

經(jīng)過思考后，郝同學認為，利用平行線構(gòu)造相似三角形，同時可以得到等腰三角形，轉(zhuǎn)移線段，從而解決問題.思路如下：

如圖6，過點C作CF∥AE交DA的延長線于F，由CF∥AE和∠1=∠2可以得到AC=AF和DECE=ADAF，進而DECE=ADAC.

在上述過程中，學生經(jīng)過啟發(fā)，能夠在已有知識的基礎(chǔ)上嘗試利用一題多解的思路去解決問題，這與平時注重訓練學生先獨立審題， 再小組合作，深入探究是分不開的.訓練時老師一定要沉住氣，不能急于一時，你若代替學生說，他們以后就不會努力認真思考，更不會另辟蹊徑，長此以往，學生自主解決問題的能力也隨之下降.所以對學生的思維訓練不能急于求成，課堂點撥之后，要給足學生思考的時間，要堅持培養(yǎng)學生獨立解題能力.

片段三：如圖7，矩形EFGO的兩邊在坐標軸上，點O為平面直角坐標系的原點，以y軸上的某一點為位似中心，作位似圖形ABCD，且點B，F(xiàn)的坐標分別為（-4，4），（2，1）則位似中心的坐標為

在課堂教學中給學生時間探究，鼓勵學生多方位的思考問題，尋找不同的解題思路，并且總結(jié)所用的方法，找出其聯(lián)系和區(qū)別，看似多用了一些時間，但是對學生的思維訓練是水滴石穿的磨礪，且貴在堅持，讓學生從“學會”到“會學”.

我所展示的幾個片段在我們的日常教學中，一定都常見，那就讓我們把它們好好留存，并對其進行編輯整合，去其糟粕，留其精華，使它如鉆石般璀璨.通過一題多解，開闊學生的視野，挖掘?qū)W生數(shù)學思維的深度，把培養(yǎng)學生的學習技能和方法指導實施在有效的課堂中，學生的創(chuàng)新探究精神會因為教師的放手去做，達到新的高度.

總之，通過不斷的積累，使得學法和教法都能夠有所提升，雖然這是一個很漫長的培養(yǎng)過程，但是一定要堅持去做.多給學生時間，也是給自己的教法更大的空間.點滴感悟與反思，旨在更好的成長，我知道教法之路漫漫其修遠兮，吾將上下而求索.

參考文獻：

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[責任編輯：李 璟]