基于改進平方根變換的計數(shù)值FIMSE 控制圖

陳培樂 王美涵 楊志清＊

（閩南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，福建 漳州 363000）

1 概述

在實際生產(chǎn)中，許多質(zhì)量特性無法方便地用數(shù)值方法測量，通常用有缺陷或無缺陷，合格或不合格的術(shù)語來區(qū)分質(zhì)量特性，這種劃分方法通常導(dǎo)致屬性控制圖不像變量控制圖那樣信息豐富。為了使正態(tài)分布達到更好的近似，同時提高屬性控制圖的監(jiān)控性能，Tsai 等人[1]使用改進的平方根變換方法構(gòu)造屬性數(shù)據(jù)控制圖。

在傳統(tǒng)的統(tǒng)計過程控制（SPC）中，質(zhì)量特征是用單一值的形式來描述的，隨著測量技術(shù)的發(fā)展，越來越多的質(zhì)量特征用區(qū)間值的形式來描述。例如，每天收集各種產(chǎn)品的不合格品數(shù)，最小不合格品數(shù)和最大不合格品數(shù)就構(gòu)成了一個區(qū)間范圍。然而，這些信息不能應(yīng)用于傳統(tǒng)的質(zhì)量控制方法，因為利用區(qū)間值數(shù)據(jù)構(gòu)造控制圖比較困難，所以一般采用處理后的單一值數(shù)據(jù)來構(gòu)造控制圖。在對這些原始的區(qū)間值數(shù)據(jù)進行處理后，會丟失一些重要的信息，所構(gòu)造的控制圖可能會提供錯誤的信號。Cheng 和Yang[2]提出了一種基于模糊區(qū)間數(shù)據(jù)的標(biāo)準化區(qū)間值控制圖，該圖的性能比傳統(tǒng)的休哈特均值控制圖要好。Yang[3]提出了基于相依區(qū)間值數(shù)據(jù)的模糊相對加權(quán)移動平均（FRWMA）控制圖來監(jiān)測過程的質(zhì)量特征，比傳統(tǒng)的移動平均控制圖可以更快地檢測到過程失控的變化。

2 計數(shù)值FIMSE 控制圖的設(shè)計

Spring 和Cheng[4]提出了同時監(jiān)測過程均值和方差的均方誤差（MSE）控制圖，可以快速地檢測到過程參數(shù)的變異。為了解決計數(shù)值模糊區(qū)間數(shù)據(jù)難以構(gòu)建控制圖的問題，挖掘更多原始數(shù)據(jù)所蘊含的信息，本文考慮采用改進的平方根變換（ISRT）方法構(gòu)造計數(shù)值模糊區(qū)間均方誤差（FIMSE）控制圖，ISRT 方法把離散型區(qū)間數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換成連續(xù)型區(qū)間數(shù)據(jù)，使正態(tài)分布達到更好的近似，用轉(zhuǎn)換的連續(xù)型區(qū)間數(shù)據(jù)構(gòu)建模糊區(qū)間均方誤差控制圖，可以同時監(jiān)測過程均值和方差的偏移，提高屬性數(shù)據(jù)控制圖的監(jiān)控性能。

假設(shè)有一組來自二項分布的隨機變量X=（x1，x2，…xn），試驗次數(shù)為k 且每次試驗的成功率為p，即X～B（k，p）。根據(jù)二項分布轉(zhuǎn)換成正態(tài)分布的反正弦變換方法[1]，轉(zhuǎn)換的式子表示為的計數(shù)值隨機變量X={（x11，x21），（x12，x22），…，（x1n，x2n）}，用改進平方根變換的方法將計數(shù)值的模糊區(qū)間隨機變量轉(zhuǎn)換為計量值的模糊區(qū)間隨機變量，然后對數(shù)據(jù)按照值的大小進行排序，排序后的新隨機變量表示為Y= {（y11，y21），（y12，y22），…，（y1n，y2n）}，即

根據(jù)Wu 和Chang[5]提出的模糊區(qū)間變量假設(shè)檢驗的定義，對于計數(shù)值FIMSE 的假設(shè)檢驗，設(shè)原假設(shè)H0為FIMSE 落在1-α 置信區(qū)間之內(nèi)，備擇假設(shè)H1則為FIMSE 落在1-α 置信區(qū)間之外，假設(shè)檢驗定義為：

由于均方誤差值越大代表偏離目標(biāo)值的程度越大，值越小或趨于零時代表偏離目標(biāo)值的程度越小，故令控制下限LCL1=0，則在顯著水平α 的假設(shè)條件下，模糊區(qū)間均方誤差變量FIMSE1失控現(xiàn)象的概率函數(shù)表示為：

FIMSE=[0.007，0.013]，說明該樣本與目標(biāo)值的差異程度在0.007 至0.013 之間波動。

3 模擬分析

步驟2：利用新的連續(xù)型隨機變量分別計算統(tǒng)計量FIMSE，樣本平均值Y。

步驟3：重復(fù)步驟1 和步驟2，計算落在控制界限之外的平均樣本子組數(shù)量，即ARL0近似370 時的L 值和控制界限。

步驟4：計算失控狀態(tài)下的監(jiān)測統(tǒng)計量落在控制界限之外的ARL1。

表1 列出了n=5，p 取不同值時計數(shù)值FIMSE 圖、樣本均值Y 圖和不良率P 圖的ARL0近似370 時所對應(yīng)的控制界限系數(shù)L 值。表2 列出了n=5，p 取0.10，δ1，δ2取不同值時計數(shù)值FIMSE 圖、樣本均值Y 圖和不良率P 圖的ARL1。可以看出，當(dāng)

表1 計數(shù)值FIMSE 圖、樣本均值Y 圖和不良率P 圖的ARL0

表2 計數(shù)值FIMSE 圖、樣本均值Y 圖和不良率P 圖的ARL1

過程失控時，計數(shù)值FIMSE 圖的ARL1都小于樣本均值Y 圖和不良率P 圖的ARL1。例如：p 取0.10，δ1取0.1，δ2取1.5 時，F(xiàn)IMSE 圖測得失控的ARL1為4.931，而Y 圖測得失控的ARL1為21.17，P 圖測得失控的ARL1為24.22。這意味著當(dāng)過程均值和方差發(fā)生變化時，計數(shù)值FIMSE 圖可以較快地測得失控現(xiàn)象，比樣本均值Y 圖和不良率P 圖具有更好的監(jiān)控效果。

4 實證分析

本節(jié)采用Montgomery[6]中濃縮果汁罐頭包裝每50 次檢測（k=50）的不合格品數(shù)據(jù)進行分析，以每2 組構(gòu)成一組模糊區(qū)間數(shù)據(jù)的最小不合格品率和最大不合格品率，并設(shè)樣本容量n=5。設(shè)變量X 為缺陷罐數(shù)，Y 為X 的變換值，T 為缺陷罐數(shù)的目標(biāo)值。首先，根據(jù)給定的初始參數(shù)，通過模擬計算出計數(shù)值FIMSE圖、樣本均值Y 圖ARL0近似等于370 時所對應(yīng)的控制界限系數(shù)L 值。然后把變量X 轉(zhuǎn)換成變換Y，計算Y 的樣本均值和標(biāo)準偏差，計算出對應(yīng)的控制界限。最后根據(jù)觀測數(shù)據(jù)，分別計算計數(shù)值FIMSE 統(tǒng)計量和樣本均值Y 統(tǒng)計量，根據(jù)計算的統(tǒng)計量和對應(yīng)的控制界限分別繪制控制圖。

不良率P 圖中沒有發(fā)現(xiàn)樣本點出界，計數(shù)值Y 圖中第3 組樣本最先被監(jiān)測到出界，而在計數(shù)值FIMSE 圖中第2 組樣本最先被監(jiān)測到出界。結(jié)果表明，當(dāng)數(shù)據(jù)是計數(shù)值區(qū)間數(shù)據(jù)時，使用計數(shù)值FIMSE 圖比計數(shù)值Y 圖和不良率P 圖更快的監(jiān)測到過程參數(shù)的變化。此外，計數(shù)值FIMSE 圖可以提供更多有效信息，例如：計數(shù)值FIMSE 圖中第1，第2，第3 和第9 組樣本的區(qū)間長度比其他組樣本的區(qū)間長度要大，表明這些樣本與目標(biāo)值的差異程度變化的幅度較大，對于變化幅度較大的樣本組也要適當(dāng)引起注意，避免產(chǎn)品不良率的攀升。

圖1 計數(shù)值FIMSE 圖

圖2 計數(shù)值Y 圖

圖3 不良率P 圖

5 結(jié)論

隨著信息技術(shù)和測量技術(shù)的不斷發(fā)展，越來越多的質(zhì)量特征以區(qū)間值數(shù)據(jù)的形態(tài)來描述。在質(zhì)量管理領(lǐng)域，模糊數(shù)據(jù)控制圖也逐漸被廣泛應(yīng)用于監(jiān)測過程的質(zhì)量特征。本文提出了一種基于改進平方根變換的計數(shù)值模糊區(qū)間均方誤差控制圖，研究結(jié)果表明，計數(shù)值模糊區(qū)間均方誤差控制圖的監(jiān)控效果優(yōu)于傳統(tǒng)的樣本平均值控制圖和不良率控制圖，利用模糊區(qū)間統(tǒng)計方法來構(gòu)建控制圖，可以更好地指導(dǎo)生產(chǎn)，提供更具有價值的參考信息。