2022年新高考Ⅰ卷第21題的多角度探究

欒 功

(南寧市第三中學，廣西 南寧 530021)

1 真題呈現(xiàn)

1)求l的斜率；

(2022年全國數(shù)學新高考Ⅰ卷第21題)

分析試題第1)小題以雙曲線標準方程為起點，設計了以圓錐曲線共軛弦性質(zhì)為背景的定值問題，考查考生運用坐標法解決解析幾何問題的能力，突出對數(shù)學運算素養(yǎng)的考查.試題第2)小題的命制基于第1)小題的解答，在確定條件下求解三角形面積.下面主要探究第1)小題的解法與內(nèi)在規(guī)律.

2 背景溯源

以圓錐曲線共軛弦性質(zhì)為背景命題，考查考生直觀想象、邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)，在近幾年各類數(shù)學競賽卷和高考卷中多次呈現(xiàn).

1)求橢圓的標準方程；

2)若k1+k2=0，求實數(shù)k的值.

(2016年浙江省高中數(shù)學競賽預賽試題第17題)

(2004年北京市數(shù)學高考理科試題第17題)

3 例1第1)小題的解法分析

解法1將點A(2,1)代入雙曲線C的方程，得

解得a2=2，故雙曲線C的方程為

kAP+kAQ=0,

從而

即

(y1-1)(x2-2)+(y2-1)(x1-2)=0，

代入y1=kx1+m，y2=kx2+m，整理得

2kx1x2+(m-1-2k)(x1+x2)-4m+4=0.

(1)

(1-2k2)x2-4kmx-2m2-2=0，

其中

1-2k2≠0，Δ=m2+1-2k2>0，

從而

代入式(1),得

整理得

2k2+km+k+m-1=0，

即

(k+1)(2k+m-1)=0.

因為直線l不過點A，所以

2k+m-1≠0，

從而

k+1=0，

即

k=-1.

評注該解法從直線入手構(gòu)圖設參，通過對“直線AP，AQ的斜率之和為0”這一給定關(guān)系的坐標表達，自然聯(lián)系到運用韋達定理解題，這是解答這類問題的通法.解法1的難點在于消參過程的數(shù)學運算，對考生的運算素養(yǎng)要求較高.

解法2將點A(2,1)代入雙曲線C的方程，得

解得a2=2，故雙曲線C的方程為

設直線AP的斜率為k，則直線AQ的斜率為-k，直線AP的方程為

y-1=k(x-2).

(x-2)[(1-2k2)x+4k2-4k+2]=0.

由于xA=2，得

同理可得

從而

評注該解法從過點A的兩條直線AP,AQ入手，構(gòu)圖設參，借助點A的坐標表達點P,Q的坐標，從而求出直線l的斜率，屬于典型的知一求一.運算過程結(jié)合直線AP,AQ的同構(gòu)性，很大程度上優(yōu)化了運算，降低了運算難度.

解法3將點A(2,1)代入雙曲線C的方程，得

解得a2=2，故雙曲線C的方程為

設直線AP,AQ的傾斜角分別為α,β，由題意知

α+β=π， sinβ=sinα， cosβ=-cosα，

(3cos2α-2)t2+4(cosα-sinα)t=0,

則

由直線AP與AQ邏輯結(jié)構(gòu)的對稱性，同理可得

評注該解法從直線AP,AQ的傾斜角入手，應用直線的參數(shù)方程解題.幾何關(guān)系代數(shù)化的過程緊緊抓住直線AP,AQ邏輯結(jié)構(gòu)的對稱性，利用同構(gòu)思想和三角恒等變換進行坐標運算，結(jié)構(gòu)整齊，過程簡潔明了.該解法不僅體現(xiàn)了參數(shù)法在解答解析幾何問題中的重要作用，同時還開闊了學生的解題視野.

解法4將點A(2,1)代入雙曲線C的方程，得

解得a2=2，故雙曲線C的方程為

整理得

x′2-2y′2+4x′-4y′=0.

(2)

設直線l′的方程為

px′+qy′=1，

代入式(2)，得

x′2-2y′2+4(x′-y′)(px′+qy′)=0，

即

(1+4p)x′2-(2+4q)y′2+4(q-p)x′y′=0，

兩邊同時除以x′2，得

(3)

由于平移變換后點A的坐標變?yōu)锳′(0,0)，故kA′P′，kA′Q′是方程(3)的兩個根，從而

即

解法5設P(x1,y1)，Q(x2,y2)，則雙曲線C的方程可化為

即

從而

由kAP+kAQ=0，得

分別整理，得

2y1y2+2y1-2y2+x1x2+2x1-2x2-6=0,

2y1y2-2y1+2y2+x1x2-2x1+2x2-6=0,

兩式相減，得

4(y1-y2)+4(x1-x2)=0，

即

評注該解法源于對教材習題的理解，把雙曲線的標準方程改寫為第三定義的形式.在求解這類問題時收獲意想不到的效果，整齊的式子、對稱的結(jié)構(gòu)、整體運算的奇效無不彰顯坐標法的神秘與魅力.

上述5種解法從不同側(cè)面闡釋了直線l在運動過程中保持的規(guī)律性，即當直線AP與AQ斜率之和為定值0時，直線PQ的斜率為定值-1；同時，也給了我們繼續(xù)深入探究試題本質(zhì)的啟發(fā)與思考.

4 推廣探究

思考1當直線AP，AQ的斜率之和為0時，直線PQ的斜率為定值-1，這個定值與點A有關(guān)嗎？

圖1

由解法1知，直線PQ的斜率為定值-1，在直線PQ運動過程中的臨界位置與雙曲線C相切(如圖1).當k=-1時，由Δ=0，得m=±1，此時直線PQ的方程為y=-x+1,y=-x-1，分別與雙曲線C在點A(2,1)處的切線y=x-1關(guān)于x軸、y軸對稱，發(fā)現(xiàn)直線PQ的斜率與雙曲線在點A(2,1)處的切線的斜率互為相反數(shù).也就是說當雙曲線給定時點A的位置唯一確定了PQ的斜率，反過來PQ的斜率也唯一確定點A的坐標.

思考2試題中的雙曲線改變?yōu)闄E圓或拋物線，是否還有相同規(guī)律？

(4)

設直線l′的方程為px′+qy′=1,代入式(4)得

兩邊同時除以x′2,得

(5)

由于平移變換后點A的坐標變?yōu)锳′(0,0)，故kA′P′，kA′Q′是方程(5)的兩個根，從而

即

于是

變式2已知拋物線C:y2=4x上一點A(4,4)，不經(jīng)過點A的直線l與C交于點P,Q，若直線AP,AQ的斜率之和為0，證明：直線l的斜率為定值.

y2-4my-4n=0，

從而

Δ=16m2+16n>0，y1+y2=4m.

因為直線AP,AQ的斜率之和為0，所以

即

y1+y2+8=0，

解得

y1+y2=-8，

于是

m=-2，

通過變式1和變式2的探究，我們發(fā)現(xiàn)推廣1體現(xiàn)的規(guī)律在橢圓和拋物線中仍然成立，于是例1所揭示的本質(zhì)規(guī)律可進一步推廣到更一般性的情形.

推廣2設點A(x0,y0)是對稱軸平行于坐標軸的定圓錐曲線(包括圓、橢圓、雙曲線和拋物線)C上一定點，P,Q是C上兩個動點，若直線AP,AQ的斜率互為相反數(shù)，則當直線PQ的斜率存在時為定值，等于曲線C在點A處切線的斜率的相反數(shù)(當曲線C為雙曲線時，點P,Q在同支上).

1)當曲線C是有心圓錐曲線時，設方程的統(tǒng)一形式為

λx2+μy2=1(其中λμ≠1)，

則

2)當曲線C是拋物線時，可設C:y2=2px或x2=2py(其中p≠0)，則

5 結(jié)束語

通過上述解法分析與變式探究，例1揭示的內(nèi)在規(guī)律逐步清晰，同時，也不難看出例1第1)小題的問題設置在以往考試中都是第2)小題的難度.新高考壓軸題明顯減少了送分問題的設置，旨在考查考生解決問題的關(guān)鍵能力和具備的學科素養(yǎng)，力求更精準地服務高校人才選拔，這也給我們的教學提出了更高的要求.