對偶薛定諤方程族與導數(shù)薛定諤方程族的對應關系

郭明月 康 婷 王云波

(1. 西北大學數(shù)學學院，西安 710127; 2. 西北大學非線性科學研究中心，西安 710069)

1 引言

非線性薛定諤方程

其中γ和ρ為實參數(shù)，u(x,t)為復值函數(shù)，是光脈沖在光纖中非線性傳播的基本模型，可以描述光孤子在單模光纖中的傳輸、超導電子在電場中的運動和等離子體中的Langnui 波等非線性波動現(xiàn)象.引入函數(shù)u的共軛函數(shù)v=ρˉu，非線性薛定諤方程(1)可以表示為雙哈密頓形式[1]

是相應的哈密頓守恒律.

早期，文獻[2-4]中提出并系統(tǒng)完善了三哈密頓對偶方法.利用該方法可以由已知的雙哈密頓系統(tǒng)構造出具有非線性色散結構，擁有非光滑孤子解的新的雙哈密頓系統(tǒng)，稱之為原孤子系統(tǒng)的對偶可積系統(tǒng).將該方法應用到非線性薛定諤方程(1)的雙哈密頓表達式上，引入一對相容的哈密頓算子

即可得到相應的對偶薛定諤系統(tǒng)，其雙哈密頓形式為[1,2]

對偶薛定諤系統(tǒng)的具體形式為

如果n= ˉm，方程組(5)約化為標量形式的對偶薛定諤方程[1,5]

非線性薛定諤方程(1)可以描述非線性脈沖在光纖中的傳播，在考慮非常短的脈沖輸入時，就會增加一些額外的項來解釋高階作用.此時會出現(xiàn)一些特殊的可積方程，包括導數(shù)薛定諤方程[5,6]

其中～u(x,t)為復值函數(shù).如果引入函數(shù)關系

則可將方程(7)寫成兩分量系統(tǒng)形式

對于一個雙哈密頓系統(tǒng)，由其遞推算子作用在種子對稱上可以生成相應可積方程族.本文主要研究對偶薛定諤方程族與導數(shù)薛定諤方程族的對應關系，通過聯(lián)系兩個方程族的規(guī)范變換，建立兩個方程族遞推算子恒等式.在此基礎上，建立兩個方程族中每一個可積方程以及哈密頓守恒律之間的一一對應關系.

2 對偶薛定諤方程族與導數(shù)薛定諤方程族之間的對應關系

本節(jié)考慮對偶薛定諤方程族與導數(shù)薛定諤方程族之間的對應關系.根據(jù)Magri 理論[7,8]，對于一個具有相容哈密頓算子K和J的可積雙哈密頓系統(tǒng)，R=KJ-1為其允許的遞推算子.將遞推算子迭代作用在種子對稱上即可生成該雙哈密頓系統(tǒng)對應的擁有無窮多個可積方程的可積方程族，其中每一個方程都是以K和J為相容哈密頓算子的雙哈密頓系統(tǒng).具體地，對于對偶薛定諤方程，將遞推算子ˉR= ˉKˉJ-1迭代作用到種子對稱，即可得相應可積方程族.其正族第l個方程的雙哈密頓形式為

其中對偶薛定諤方程即為該可積方程族正族的第二個方程.在負方向，負族第l個方程的雙哈密頓形式為

接下來，對于非負整數(shù)l，用(dNLS)l和(dNLS)-l表示對偶薛定諤方程族正族和負族的第l個方程，用(DNLS)l和(DNLS)-l表示導數(shù)薛定諤方程族中正族和負族的第l個方程.

引理1[5]設～u(x,t)滿足方程導數(shù)薛定諤方程(7)，則函數(shù)

本文在無線傳感器網絡與未知目標之間有相對移動的情況下研究了聯(lián)合TDOA/FDOA定位方法,在文獻[12]提出的半正定松弛方法的基礎上提出了一種增強型的半正定松弛方法,利用增強型的優(yōu)化方法有效改善了定位的精度。本文通過深度挖掘優(yōu)化變量之間的內在聯(lián)系,并將這些聯(lián)系構造成合理的約束條件,進而將這些非凸約束松弛成凸約束對半正定規(guī)劃問題進行收緊,求得了全局最優(yōu)解。文章理論證明了這些約束條件是有效的,起到了收緊半正定松弛規(guī)劃問題的作用。增強半正定規(guī)劃問題是一個凸優(yōu)化問題,它能找到近似WLS問題的全局最優(yōu)解,進而避免了收斂于局部極小點的情況。

是對偶薛定諤方程(6)的解.

由此可得，對于兩分量系統(tǒng)(DNLS)3和(dNLS)2，變換(15)可以將兩分量系統(tǒng)(dNLS)2映射為(DNLS)3.

引理2 設ˉK和ˉJ是對偶薛定諤方程族的兩個相容的哈密頓算子(2)，～K和～J是導數(shù)薛定諤方程族的兩個相容的哈密頓算子(10).對于每一個非負整數(shù)l，在變換(15)下，兩個方程族遞推算子有如下關系

(16)成立.假設當l=k結論成立.當l=k+1 時，有

定理1 對每一個整數(shù)l，變換(15)將方程(dNLS)l映射為方程(DNLS)l+1.

證明 (i) 對每一個正整數(shù)l，變換(15)將方程(dNLS)l映射為方程(DNLS)l+1.

當l=1 時，假設(m,n)是(dNLS)1的解，即

則(q,r)是方程(DNLS)2的解，定理成立.

當l ≥2 時，假設(m,n)是(dNLS)l的解，即

則(q,r)是方程(DNLS)l+1的解，定理成立.

(ii) 對每一個非負整數(shù)l，變換(15)將方程(dNLS)-l映射為方程(DNLS)-l+1.

當l=0 時，假設(m,n)為方程(dNLS)0的解，即

在變換(15)下

則(q,r)是方程(DNLS)1的解，定理成立.

當l ≥1 時，假設(m,n)為方程(dNLS)-l的解，即

即若(m,n)是方程(dNLS)-l的解，則變換后(q,r)是方程(DNLS)-l+1的解.

3 對偶薛定諤方程族與導數(shù)薛定諤方程族哈密頓守恒律之間的關系

根據(jù)Magri 理論，對于一個雙哈密頓系統(tǒng)，由其允許的一對相容哈密頓算子，可以遞推地構造雙哈密頓系統(tǒng)允許的無窮多個守恒律.特別地，對于對偶薛定諤方程族，哈密頓守恒律{ˉHl}滿足遞推公式

其中

證明 引理證明分為兩部分.

(i) 對每一個正整數(shù)l，哈密頓泛函相應的變分導數(shù)滿足左乘ˉJ-1，利用遞推關系可知(19)成立.引理3 得證.

定理2 在變換(15)下，方程族(12)、(13)和(14)允許的哈密頓守恒律{ˉHl}和{～Hl}滿足對應關系