改進(jìn)人工蜂群算法在諧振子參數(shù)優(yōu)化中的應(yīng)用

黃 帥，柳 凱，黨建軍，張培新

（中國(guó)航天科技集團(tuán) 第十六研究所，西安710100）

半球諧振陀螺（hemispherical resonator gyro，HRG）是一種基于哥式效應(yīng)工作的諧振式慣性敏感器件，其工作原理是利用諧振子徑向振動(dòng)產(chǎn)生的駐波沿周向的進(jìn)動(dòng)來敏感載體旋轉(zhuǎn)[1-2]。相較于傳統(tǒng)機(jī)械陀螺，HRG 用諧振子來替代機(jī)械陀螺轉(zhuǎn)動(dòng)部件，大大提高了其可靠性及工作壽命。在國(guó)外，HRG 已經(jīng)作為產(chǎn)品廣泛應(yīng)用于航海、航天、航空、戰(zhàn)術(shù)武器、地面車輛等領(lǐng)域，被稱為高價(jià)值空間任務(wù)優(yōu)選傳感器[3-6]。石英諧振子作為HRG 的核心部件，國(guó)外對(duì)其進(jìn)行嚴(yán)格的技術(shù)封鎖，僅諧振子直徑參數(shù)有相關(guān)報(bào)道，而錨桿直徑、錨桿長(zhǎng)度、球殼厚度等都沒有相關(guān)資料，因此對(duì)諧振子結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)成為半球諧振陀螺技術(shù)研究的重點(diǎn)之一[7-12]。

改進(jìn)人工蜂群算法（improved artificial bee colony，IABC）是一種新型群智能算法，與人工蜂群算法[13-14]相比，通過將趨勢(shì)外推計(jì)算原理與微調(diào)算子引入人工蜂群算法，對(duì)其搜索的隨機(jī)性進(jìn)行引導(dǎo)，有效地解決了原算法在后期容易陷入局部最優(yōu)解及后期搜索速度慢的缺陷[15]。本文首先對(duì)諧振子進(jìn)行了參數(shù)化建模，并構(gòu)建出優(yōu)化模型，將IABC 算法應(yīng)用于該優(yōu)化問題，求得目標(biāo)函數(shù)的極值，并對(duì)最終優(yōu)化方案進(jìn)行仿真。

1 模型優(yōu)化與模型建立

半球諧振陀螺技術(shù)發(fā)展歷程中，使用過很多不同形狀和材料的半球諧振子，目前公認(rèn)Ψ 形的石英半球諧振子是結(jié)構(gòu)最佳形式，具體結(jié)構(gòu)如圖1 和圖2 所示。

圖1 諧振子結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Structure diagram of resonator

圖2 諧振子參數(shù)化示意圖Fig.2 Parametric diagram of resonator

1）設(shè)計(jì)變量：半球殼半徑R、錨桿直徑D、錨桿長(zhǎng)度L、錨桿距唇沿距離l、外圓角值r1、內(nèi)圓角值r2、球殼厚度H。

根據(jù)美國(guó)和俄羅斯相關(guān)資料，經(jīng)典諧振子直徑為30 mm，其余參數(shù)結(jié)合諧振子加工特性，設(shè)置取值范圍如表1 所示。

表1 諧振子設(shè)計(jì)變量取值范圍Tab.1 Range of resonator design variables

2）約束條件：工作狀態(tài)下，諧振子處于高頻振動(dòng)中，因此要求諧振子滿足一定的力學(xué)性能。半球諧振陀螺激勵(lì)包括參數(shù)激勵(lì)與單點(diǎn)激勵(lì)，其中單點(diǎn)激勵(lì)是為了實(shí)現(xiàn)陀螺起振；參數(shù)激勵(lì)是用于維持諧振子振幅穩(wěn)定，其伴隨陀螺整個(gè)工作過程。為了簡(jiǎn)化模型暫不考慮單點(diǎn)激勵(lì)，只進(jìn)行參數(shù)激勵(lì)下諧振子力學(xué)性能分析。參數(shù)激勵(lì)是借助環(huán)繞諧振子邊緣的環(huán)形電極實(shí)現(xiàn)的，其與諧振子外表面形成電容的兩個(gè)極板，利用靜電力進(jìn)行激勵(lì)。根據(jù)典型參數(shù)，電壓V=200 V，工作間隙d=0.1 mm，作用面積S=2 mm2，介電常數(shù)ε0＝8.85×10-12F/m，可計(jì)算作用在諧振子上的壓強(qiáng)約為1.2 MPa。加載上述力學(xué)條件進(jìn)行靜力學(xué)分析，定義最大拉伸應(yīng)力S1及最大壓縮應(yīng)力S2作為約束條件；其中最大拉伸應(yīng)力S1在0～2 MPa 之間；最大壓縮應(yīng)力S2在0～2 MPa 之間。

其次隨著設(shè)計(jì)參數(shù)的變化，諧振子低階的幾個(gè)振型頻率會(huì)有交叉耦合，這對(duì)諧振子來說是有害振動(dòng)；為了減小諧振子的模態(tài)耦合，應(yīng)保證諧振子二階工作頻率f2遠(yuǎn)高于一階頻率f1。

3）目標(biāo)函數(shù)：以重量最輕為優(yōu)化目標(biāo)，所以將諧振子總質(zhì)量M 設(shè)為目標(biāo)函數(shù)。對(duì)上述模型公式化后，得到30 mm 諧振子設(shè)計(jì)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型：

2 改進(jìn)人工蜂群算法

人工蜂群算法（ABC）是模擬蜂群群體采蜜過程的一種新型群智能算法。蜜蜂是一種群居生物，能夠在極其復(fù)雜的環(huán)境下以較高的效率采集花蜜。研究表明，蜂群采蜜過程中，蜜蜂按任務(wù)角色分為3種類型，偵察蜂、引領(lǐng)蜂、跟隨蜂，它們通過搖擺舞、氣味等多種方式進(jìn)行信息交流，協(xié)同配合完成采蜜。

對(duì)于n 維多變量求最小值優(yōu)化問題：

在人工蜂群算法中，首先生成含有NP 個(gè)解（食物源）的初始種群，每個(gè)解Xi（i=1，2，…，NP）是一個(gè)D 維的向量，引領(lǐng)蜂和跟隨蜂按照下式進(jìn)行食物源位置更新：

式中：i，l∈NP；j∈D；l≠i；rij∈［-1，1］是一個(gè)隨機(jī)數(shù)。

將趨勢(shì)外推原理應(yīng)用到人工蜂群算法，利用食物源在不同位置適應(yīng)度值的大小差異來引導(dǎo)外推方向，可以起到搜索引導(dǎo)作用，能夠克服算法本身的隨機(jī)性。由人工蜂群算法中的食物源位置更新公式（1），再隨機(jī)產(chǎn)生另外一個(gè)虛擬的食物源：

根據(jù)外推原理，結(jié)合式（1）和式（2）可得：

化簡(jiǎn)式（3）：

式（4）本身具有一定的自適應(yīng)特性，一般而言，在算法的開始階段，蜜源比較分散，距最優(yōu)解較遠(yuǎn)，蜜源之間的差異較大，用式（4）產(chǎn)生的調(diào)節(jié)幅度也大；而在算法收斂后期，種群中的優(yōu)質(zhì)食物源逐步靠近，參變量差異較小，調(diào)節(jié)幅度也小，有利于得到精度更高的參量。

但是，在采用式（4）進(jìn)行食物源位置更新時(shí)，很有可能由于參加位置更新的兩個(gè)解向量的某些參數(shù)相近或者相等，使即解的位置無法更新，搜索不能繼續(xù)進(jìn)行。為此在式（4）中引入一個(gè)微調(diào)算子略大于0），即：

由于微調(diào)算子很小，只有xij和xlj非常接近時(shí)才會(huì)對(duì)產(chǎn)生作用，這是一種簡(jiǎn)單的調(diào)節(jié)，但微調(diào)算子可提高算法后期搜索速度和效率。

IABC 算法中，引領(lǐng)蜂和跟隨蜂按照式（5）進(jìn)行食物源位置更新，跟隨概率Pi按照下式確定：

式中：fiti是第i 個(gè)解的適應(yīng)度值；NP 是解的個(gè)數(shù)。

IABC 算法流程如圖3 所示。

圖3 IABC 算法流程Fig.3 IABC algorithm flow chart

3 IABC 算法求解諧振子優(yōu)化設(shè)計(jì)問題

IABC 算法可以用來直接求解復(fù)雜的無約束非線性優(yōu)化問題，而諧振子優(yōu)化問題是帶有復(fù)雜約束條件的，所以必須采用約束處理方法將有約束的優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無約束的優(yōu)化問題，一般的做法是采用懲罰函數(shù)法，即通過給目標(biāo)函數(shù)增加懲罰項(xiàng)。

3.1 優(yōu)化流程及初始參數(shù)設(shè)置

IABC 算法求解諧振子優(yōu)化問題的基本流程如下：

1）確定設(shè)計(jì)參數(shù)個(gè)數(shù)n 及取值范圍；

2）在整個(gè)設(shè)計(jì)空間內(nèi)進(jìn)行優(yōu)化拉丁超立方采樣，采樣個(gè)數(shù)為10n 個(gè)；

3）通過簡(jiǎn)單UG 軟件及ANSYS 軟件二次開發(fā)進(jìn)行各樣本點(diǎn)目標(biāo)函數(shù)仿真計(jì)算，并將結(jié)果輸出；

4）通過Matlab 編程實(shí)現(xiàn)目標(biāo)函數(shù)結(jié)果的讀取，并完成IABC 算法尋優(yōu)；

5）輸出滿足要求的優(yōu)化值，結(jié)束。

根據(jù)前面諧振子幾何建模確定的設(shè)計(jì)變量的范圍，利用Isight 軟件的DOE 模塊采用優(yōu)化拉丁超立方（OLHD）方法確定NP 個(gè)初始解（NP=60），設(shè)置IABC 算法中最大搜索次數(shù)limit=500，迭代次數(shù)Maxcycle=1000。

3.2 諧振子優(yōu)化結(jié)果

經(jīng)過IABC 算法優(yōu)化設(shè)計(jì)后，滿足約束條件的諧振子最優(yōu)設(shè)計(jì)參數(shù)如表2 所示，優(yōu)化結(jié)果對(duì)比如表3 所示。目前工程應(yīng)用方案諧振子重量為6.36 g，經(jīng)過IABC 算法優(yōu)化后的諧振子重量約為6.03 g，質(zhì)量減小了4.9%左右。諧振子最大拉伸應(yīng)力及最大壓縮應(yīng)力均有所下降，分別為16.0%和8.6%。

表2 諧振子優(yōu)化參數(shù)對(duì)比Tab.2 Comparison of resonator optimization results

表3 諧振子優(yōu)化結(jié)果對(duì)比Tab.3 Parameter comparison of resonator optimization

3.3 優(yōu)化結(jié)果仿真校驗(yàn)

對(duì)表2 中IABC 算法優(yōu)化方案進(jìn)行仿真，應(yīng)力仿真結(jié)果如圖4 和圖5 所示。

圖4 IABC 優(yōu)化方案拉應(yīng)力仿真Fig.4 Tensile stress of IABC optimization scheme

圖5 IABC 優(yōu)化方案壓應(yīng)力仿真Fig.5 Compressive stress of IABC optimization scheme

從結(jié)果可以看出，經(jīng)過IABC 算法優(yōu)化后的諧振子最大拉伸應(yīng)力及最大壓縮應(yīng)力分別1.565 Mpa和1.806 MPa。優(yōu)化后方案各階模態(tài)仿真結(jié)果如圖6～圖9 所示，振動(dòng)頻率如表4 所示。

圖6 IABC 約束條件下二階諧振模態(tài)Fig.6 Second modal simulation results of IABC optimization scheme

圖7 IABC 約束條件下一階彎曲模態(tài)Fig.7 First modal simulation results of IABC optimization scheme

圖8 IABC 約束條件下軸撓性模態(tài)Fig.8 Flexible shaft modal simulation results of IABC optimization scheme

圖9 IABC 約束條件下三階彎曲模態(tài)Fig.9 Third modal simulation results of IABC optimization scheme

表4 結(jié)果表明，優(yōu)化后諧振子滿足相關(guān)約束條件，且二階工作模態(tài)頻率比一階模態(tài)頻率高出2106.5 Hz，可有效降低諧振子工作狀態(tài)下的頻率耦合影響，提高諧振子性能。

表4 兩種諧振子方案各階模態(tài)振動(dòng)頻率對(duì)比Tab.4 Comparison of vibration frequencies of different modes

4 結(jié)語

本文針對(duì)半球諧振陀螺諧振子多參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題，通過建立諧振子帶約束優(yōu)化問題數(shù)學(xué)模型及采用懲罰函數(shù)方法，將諧振子優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化為無約束最小化問題，并將改進(jìn)人工蜂群智能算法應(yīng)用于該多參數(shù)優(yōu)化問題。最后將優(yōu)化結(jié)果與現(xiàn)有工程應(yīng)用方案進(jìn)行仿真比較，對(duì)比結(jié)果表明，優(yōu)化后諧振子在滿足加工性要求和相關(guān)約束條件，優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)減小了4.9%，同時(shí)有效降低干擾振動(dòng)模態(tài)對(duì)于工作模態(tài)的影響。