索-梁結(jié)構(gòu)的模態(tài)正交性和非線性振動(dòng)研究

姚徹，康厚軍,2

（1.湖南大學(xué)土木工程學(xué)院，湖南長沙，410082；2.廣西大學(xué)工程力學(xué)研究中心，廣西南寧，530004）

索-梁體系常見于斜拉橋和桅桿等復(fù)雜結(jié)構(gòu)。由于索具有柔度大、整體剛度低以及阻尼低等特點(diǎn)，在風(fēng)雨、車輛和地震等荷載作用下，其動(dòng)力學(xué)行為較復(fù)雜。當(dāng)索-梁體系局部模態(tài)和全局模態(tài)頻率存在倍頻關(guān)系時(shí)，系統(tǒng)的某階模態(tài)因內(nèi)共振極易發(fā)生大幅度振動(dòng)。

國內(nèi)外學(xué)者采用不同方法對索-梁體系的內(nèi)共振等非線性行為進(jìn)行了研究。呂建根等[1-2]采用索-梁分離法研究了索與梁的模態(tài)頻率接近1∶1時(shí)的內(nèi)共振。魏明海等[3]采用拖拽法，同時(shí)考慮拉索垂度和模態(tài)耦合，研究了內(nèi)外聯(lián)合共振作用下索梁非線性振動(dòng)問題。王旭[4]采用拖拽法研究了拉索的參數(shù)振動(dòng)以及強(qiáng)迫激勵(lì)下多索-梁的能量傳遞機(jī)制。WEI等[5]采用拖拽法研究了次諧波共振和主參數(shù)共振時(shí)斜拉橋的非線性動(dòng)力學(xué)問題。ZHANG 等[6]采用拖拽法研究了索-梁耦合振動(dòng)的主參數(shù)共振問題。XIA等[7]采用拖拽法對隨機(jī)激勵(lì)下索系結(jié)構(gòu)的自參數(shù)振動(dòng)進(jìn)行了數(shù)值研究。KANG等[8]采用拖拽法研究了外主共振和次諧波共振作用下淺拱與雙索各自一階模態(tài)頻率接近時(shí)在平面內(nèi)的1∶1∶1 內(nèi)共振。BRUNO等[9]采用索-梁整體法對斜拉橋的固有頻率進(jìn)行了分析。GATTULLI 等[10]采用索-梁整體法研究了索梁2次和3次非線性問題，證明了全局和局部模態(tài)之間存在2∶1和1∶2內(nèi)共振。諸駿等[11]采用索-梁整體法和同倫分析法得到了外荷載作用下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)周期解的級數(shù)形式。LENCI等[12]采用索-梁整體法研究了恒載（靜風(fēng)和行人）以及活載（地震和脈動(dòng)風(fēng)）作用下體系的動(dòng)力學(xué)行為。模態(tài)分析是結(jié)構(gòu)振動(dòng)的重要內(nèi)容，模態(tài)的正交性是連續(xù)系統(tǒng)離散的基礎(chǔ)。然而，在研究對索-梁組合結(jié)構(gòu)非線性振動(dòng)時(shí)，研究者往往先假定模態(tài)具有正交性，從而對無窮維系統(tǒng)進(jìn)行降階，在算例分析時(shí)才給出相應(yīng)的模態(tài)函數(shù)或試函數(shù)，這可能導(dǎo)致嚴(yán)重錯(cuò)誤，給定的模態(tài)函數(shù)可能不具有正交性。為此，本文給出正交性問題的判別式，通過數(shù)學(xué)方法對不同模態(tài)選取方式進(jìn)行論證，并通過數(shù)值分析得出不同選取方式下模態(tài)是否具有正交性，進(jìn)而研究不同模態(tài)選取方式對系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)行為的影響。

1 3種不同模態(tài)處理方式

在索-梁非線性動(dòng)力學(xué)研究中，不同的模態(tài)選取方式對其計(jì)算精度、可靠度、簡潔性、物理含義、普適性等存在一定差異。下面對索-梁分離法、拖拽法、索-梁整體法這3 種模態(tài)選取方式進(jìn)行對比研究。

1.1 索-梁分離法

索-梁分離法的一般表達(dá)式（多元向量值函數(shù)形式，以下簡稱向量形式）為

式中：vc和vb分別為索和梁的橫向位移分量；xc和xb分別為索與梁的縱向空間坐標(biāo)；φci（xc）和φbj（xb）分別為索與梁的第i階模態(tài)函數(shù)；qci（t）和qbi（t）分別為索與梁的各階模態(tài)對應(yīng)的振動(dòng)函數(shù)。式（1）中的n和m為整數(shù)，可以是∞。一般選取三角函數(shù)或者索梁不耦合時(shí)各自的振型函數(shù)作為模態(tài)函數(shù)，也有的選用索-梁體系推導(dǎo)得到模態(tài)中抽取索與梁的模態(tài)。

文獻(xiàn)[1]和文獻(xiàn)[2]均采用上述模態(tài)選取方式。前者采用無窮維進(jìn)行離散，即n=m=∞，后者僅研究了最低階模態(tài)，即n=m=1。無論是索還是梁，文獻(xiàn)[1]均選取標(biāo)準(zhǔn)的正弦函數(shù)作為模態(tài)函數(shù)，即φci（xc）=sin（iπxc）和φbj（xb）=sin（jπxb）。文 獻(xiàn)[2]中，索與梁的模態(tài)函數(shù)采用2種形式，其中，索用標(biāo)準(zhǔn)的正弦函數(shù)φc（xc）=sin（πxc）進(jìn)行模擬，而梁則用集中力作用下的靜撓曲線方程φb（xb）=-Fxb2（3Lb-xb）/（6EI）進(jìn)行模擬（其中，F(xiàn)為索在鉸支端所受拉力，EI為梁的抗彎剛度）。

這種模態(tài)選取方式的優(yōu)點(diǎn)在于便于調(diào)整頻率，容易找到與求解索-梁系統(tǒng)中索與梁相應(yīng)模態(tài)的頻率比為正整數(shù)及其倒數(shù)附近時(shí)的多種內(nèi)共振形式，同時(shí)滿足模態(tài)正交性。不足之處在于，當(dāng)索-梁非耦合時(shí)，各邊界條件下的模態(tài)與索-梁耦合時(shí)索與梁的模態(tài)有一定區(qū)別（尤其在索梁連接處），所得出的結(jié)構(gòu)振動(dòng)特性與實(shí)際情況有一定偏差。即使是從索-梁體系中提取模態(tài)，也因?yàn)闀r(shí)間調(diào)制分離不能同步運(yùn)動(dòng)，其性質(zhì)與模態(tài)本身的性質(zhì)有一定差別。另外，由于索-梁模態(tài)分離，此方式也無法研究索-梁混合模態(tài)的參數(shù)影響和動(dòng)力特性。

1.2 拖拽法

拖拽法是一種介于分離法和整體法之間的模態(tài)選取方式，其表達(dá)式一般為

拖拽法模態(tài)選取方法與索-梁分離法的類似，不同之處在于fi（xc）是與梁的模態(tài)和結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)的拖拽函數(shù)。文獻(xiàn)[3]中，拖拽函數(shù)f1（xc）=φ1（x）sin2θ（其中，θ為索與鉛垂線的夾角，φ1（x）為索模態(tài)）。文獻(xiàn)[4]中，拖拽函數(shù)f1（xc）=（1-xc/Lc）sinθ。

拖拽法與索-梁分離法類似，便于找到系統(tǒng)的內(nèi)共振形式。由于索-梁連接處控制條件簡單，也便于研究多索梁模型。特別是賦予索的拖動(dòng)效應(yīng)更切合實(shí)際情況，與多體動(dòng)力學(xué)的分析方法類似。不足之處是，由于模態(tài)中插入了拖動(dòng)函數(shù)，可能引起模態(tài)不完全滿足正交性。

1.3 索-梁整體法

系統(tǒng)離散時(shí)，通常將位移表達(dá)為

文獻(xiàn)[10]取i=2，模態(tài)函數(shù)選自梁和索在索-梁體系中的模態(tài)。文獻(xiàn)[11]中，梁與索的模態(tài)分別采用梁和索線性的自由振動(dòng)特征模態(tài)。這種方法的優(yōu)點(diǎn)在于能研究索-梁結(jié)構(gòu)中的混合模態(tài)動(dòng)力學(xué)特性，同時(shí)，也能較好滿足正交性，研究結(jié)果與實(shí)際工程結(jié)果更接近。其缺點(diǎn)在于在模態(tài)截?cái)嚯A數(shù)不便于研究系統(tǒng)的高階模態(tài)，并且由于共用時(shí)間調(diào)制導(dǎo)致振動(dòng)頻率和相位均相同，索與梁被強(qiáng)制共振，相當(dāng)于增加了約束，得到的結(jié)果可能偏安全，另外，不便于研究索與梁之間、索與索之間的動(dòng)力相互作用。

2 3種不同模態(tài)處理方式的正交性

正交性是模態(tài)的固有特性[13]，在連續(xù)體降階、解耦振動(dòng)方程、引入阻尼矩陣等方面都有著重要作用。然而，在組合結(jié)構(gòu)中，模態(tài)的正交性經(jīng)常不能滿足要求，直接利用模態(tài)的正交性會導(dǎo)致研究結(jié)果出現(xiàn)誤差。這里針對幾種最常見的模態(tài)選取方式對索-梁體系模態(tài)的正交性問題進(jìn)行分析。

2.1 索-梁分離法中模態(tài)正交性

索梁分離法中選取的模態(tài)多是三角函數(shù)形式的模態(tài)向量，其滿足正交性，現(xiàn)就文獻(xiàn)[1]中示例進(jìn)行證明。

文獻(xiàn)[1]采用部分三角函數(shù)系形式的模態(tài)函數(shù)，以此為基進(jìn)行展開：

其中：Φk和Φj分別為系統(tǒng)的兩階模態(tài)。通常索與梁的模態(tài)取三角數(shù)或?yàn)橥ㄟ^整體法推導(dǎo)得到的模態(tài)函數(shù)，顯然有ΦTkΦj=0，即索-梁系統(tǒng)的模態(tài)是正交的。因此，在索-梁分離法中，在φck和φbj自身滿足正交性的前提下，結(jié)構(gòu)模態(tài)具有正交性。

2.2 拖拽法中模態(tài)正交性

因模型忽略索剛度，故這里只討論質(zhì)量分布的情況。在拖拽法中，拖拽函數(shù)的存在導(dǎo)致其在大多情況下并不符合正交關(guān)系。

文獻(xiàn)[3]中模態(tài)向量為

式中：為模態(tài)φbj對某位置的值；φck與φbj分別為從索-梁體系中提取的k和j階量綱一模態(tài)，分別對應(yīng)于索和梁的模態(tài)，前者稱為局部模態(tài)，后者稱為全局模態(tài)；fk（x）為拖拽函數(shù)。

模態(tài)的正交性可表示為

此時(shí)，系統(tǒng)的正交性由拖拽函數(shù)決定，文獻(xiàn)[5]中，fk（x）=φbj（x）。通過整體法求解系統(tǒng)的模態(tài)，可以滿足正交性條件和索-梁的連接條件，否則，模態(tài)的正交性一般不能得到滿足。

2.3 索-梁整體法中模態(tài)正交性

索-梁整體法中系統(tǒng)的模態(tài)向量為：

其中：ρm表示量綱化一過程中產(chǎn)生的與質(zhì)量或剛度相關(guān)的量綱一的量。

采用文獻(xiàn)[14]中的量綱一模態(tài)，并取相應(yīng)的量綱一的量：μ=486，ρ=0.01，χ=0.07，υ=1/45，θ=π/3（參數(shù)定義見文獻(xiàn)[14]）。根據(jù)斜拉索的垂度是否為0 計(jì)算模態(tài)函數(shù)，從而進(jìn)行正交性驗(yàn)證。通過mathematica軟件可得到以下模態(tài)函數(shù)：

當(dāng)ν=0，上述模態(tài)函數(shù)表示為：

比較上述對應(yīng)的各階模態(tài)，可以看出垂度對模態(tài)有一定的影響。通過式（8）計(jì)算分析發(fā)現(xiàn)，當(dāng)ν=0時(shí)系統(tǒng)模態(tài)具有正交性；當(dāng)ν≠0時(shí)，式（8）不等于0，此時(shí)，系統(tǒng)模態(tài)正交性較差。

3 模態(tài)不正交對動(dòng)力學(xué)行為的影響

在常規(guī)的作法中，模態(tài)之間都符合正交性，從而，在對索-梁整體法的雙模態(tài)離散進(jìn)行Galerkin積分時(shí)，會忽視一些耦合項(xiàng)，直接將它們置為0[10,15-16]。然而，在模態(tài)本身不正交的情況下，這種做法可能會導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)不可忽視的偏差?，F(xiàn)就索-梁模型的模態(tài)和參數(shù)（選用第2.3 節(jié)中相關(guān)參數(shù)）對考慮模態(tài)不正交性產(chǎn)生的耦合項(xiàng)和忽略這些項(xiàng)2種情況進(jìn)行動(dòng)力學(xué)數(shù)值分析。

拉索懸臂梁模型如圖1所示，其中，uc為索沿軸向的動(dòng)態(tài)位移。索的靜態(tài)構(gòu)型為

圖1 拉索懸臂梁模型Fig.1 Model of cable-beam

其中：Pc和Pb分別為索與梁的橫向荷載；cc和cb分別為索與梁的阻尼系數(shù)；mb和mc分別為梁與索的線密度。

使用如下形式進(jìn)行量綱一化處理：

為表達(dá)方便，后文中去掉變量的上劃線。相關(guān)參數(shù)為：mc=20.8 kg/m；ξi=0.01；Pb=10 000 N/m；Pc=0；Ω=43；H=2×106N；pei為外激勵(lì)幅值，這里給定為1。從而得到量綱一頻率ωn=40.246 8，ωm=10.823 5。

通過哈密頓原理得到量綱一運(yùn)動(dòng)方程和邊界條件：

考慮系統(tǒng)的任意兩階模態(tài)，即對系統(tǒng)進(jìn)行m和n階雙模態(tài)離散。系統(tǒng)的位移向量表示為

其中：

Φ為模態(tài)矩陣；? i為特征函數(shù)向量；q為模態(tài)振幅向量；τ為量綱一時(shí)間。根據(jù)Galerkin 積分方法對系統(tǒng)進(jìn)行離散，可得以下微分方程：

式中系數(shù)表達(dá)式見文獻(xiàn)[17]?，F(xiàn)用mathematica進(jìn)行求解，得到其中含有ext 的項(xiàng)的系數(shù)為：aext0=1.825 450 000，aext1=0.001 320 200，aext2=0.132 020 000，bext0=0.000 309 866，bext1=0.000 042 846，bext2=0.004 284 550，這印證了模態(tài)的不正交會導(dǎo)致這些附加的耦合項(xiàng)存在。若忽略不正交帶來的影響，則上面所有項(xiàng)的系數(shù)為0。

圖2 外荷載與m和n階模態(tài)4∶1∶4共振下的穩(wěn)態(tài)解時(shí)程曲線Fig.2 Time-history curves of steady-state solution of external load and m and n order modals at 4∶1∶4 resonance

由圖2可以看出：選取同一模型模態(tài)時(shí)，忽略模態(tài)不正交所產(chǎn)生的耦合項(xiàng)時(shí)得出的時(shí)程曲線與不忽略時(shí)得出的時(shí)程曲線有較大差異，后者的最大幅值要比前者大很多，qm大1 倍，qn大43 倍，后者的頻率也較前者大。另外，忽略模態(tài)不正交時(shí)的qm向負(fù)值飄移情況更加顯著。由于系統(tǒng)的頻率關(guān)系為Ω∶ωm∶ωn=4∶1∶4，以及內(nèi)共振原因，通過FFT 分析可知圖2（b），（c）和（d）中的波形均含有不止1種頻率成分。

外荷載與m和n階模態(tài)產(chǎn)生4∶1∶4 共振下時(shí)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)解的相圖如圖3所示。從圖3可以看出：考慮模態(tài)不正交的影響時(shí)，廣義速度和的最大值比忽略不正交時(shí)分別大5 倍和50 倍；存在不同頻率成分和周期解（圖3（b），（c）和（d））；在qm負(fù)向時(shí)有多分支響應(yīng)（圖3（c）），這與考慮不正交時(shí)模態(tài)耦合程度關(guān)系很大；存在與橫軸平行的部分（圖3（a）和3（c）），說明位移增大時(shí)廣義速度不變，即總能量有輸入，不同模態(tài)之間存在能量交換。

圖3 外荷載與m和n階模態(tài)4∶1∶4共振下穩(wěn)態(tài)解的相圖Fig.3 Phase diagrams of steady-state solution of external load and m and n order modals at 4∶1∶4 resonance

外荷載與m和n階模態(tài)4∶1∶4 共振下的穩(wěn)態(tài)解qn和qm的關(guān)系曲線以及標(biāo)準(zhǔn)李薩如圖形如圖4所示（圖中xl和yl表達(dá)式分別如式（17）和（18）所示）。圖4（a）和圖4（c）中分別存在與標(biāo)準(zhǔn)李薩如圖相同的1∶4（相位差φ=5π/4）和2∶3（φ=π/4）的內(nèi)共振現(xiàn)象。當(dāng)忽略模態(tài)不正交所產(chǎn)生的耦合項(xiàng)時(shí)，索-梁系統(tǒng)中m與n階模態(tài)為1∶4的內(nèi)共振，而考慮模態(tài)不正交所產(chǎn)生的耦合項(xiàng)時(shí)，結(jié)構(gòu)表現(xiàn)為m與n階模態(tài)為2∶3的內(nèi)共振，說明是否考慮模態(tài)不正交甚至能改變系統(tǒng)的內(nèi)共振形式?？紤]模態(tài)不正交將導(dǎo)致系統(tǒng)出現(xiàn)更多的耦合項(xiàng)，這是模態(tài)間出現(xiàn)2∶3這種共振形式的原因，相位差的存在說明不同模態(tài)之間存在耦合與拖動(dòng)機(jī)制。

圖4 外荷載與m和n階模態(tài)4∶1∶4共振下穩(wěn)態(tài)解qn和qm的關(guān)系曲線和標(biāo)準(zhǔn)李薩如圖形Fig.4 Relation curves of qm and qn of steady-state solution of external load and m and n order modals at 4∶1∶4 resonance and standard Lissajous figure

通過以上分析可見：考慮和忽略模態(tài)不正交項(xiàng)導(dǎo)致的計(jì)算結(jié)果不同，這2 種情況下時(shí)間歷程、相圖和內(nèi)外共振形式均有很大差異；若不考慮模態(tài)不正交項(xiàng)，則可能在實(shí)際工程中導(dǎo)致結(jié)果偏不安全，同時(shí)也間接證明了非線性動(dòng)力計(jì)算中不同模態(tài)之間存在耦合效應(yīng)、能量交換以及復(fù)雜多頻共振形式。

4 結(jié)論

1）對于索-梁系統(tǒng)，根據(jù)不同模態(tài)的處理方式將其歸為索-梁整體法，拖拽法和索-梁分離法共3類。

2）推導(dǎo)得到了量綱一化下模態(tài)關(guān)于質(zhì)量分布的正交性檢驗(yàn)等式和模態(tài)等效剛度正交性表達(dá)式。

3）在索-梁分離法中，各個(gè)模態(tài)之間均滿足關(guān)于質(zhì)量和剛度分布的正交關(guān)系。拖拽法中的模態(tài)在大多數(shù)情況下不滿足正交性，僅在一些特殊情況下，部分模態(tài)之間滿足正交關(guān)系。索-梁整體法中的模態(tài)在考慮拉索垂度時(shí)不滿足正交性，忽略垂度影響時(shí)滿足正交性。

4）不同模態(tài)設(shè)置方式在可靠度、簡潔性、輸入輸出特性等方面存在明顯差異。

5）應(yīng)用正交性作為計(jì)算依據(jù)會導(dǎo)致結(jié)果出現(xiàn)較大偏差，在時(shí)程曲線、相圖和內(nèi)共振形式等方面均有很大差異，因此，在計(jì)算分析中需謹(jǐn)慎選取模態(tài)。