采用非對(duì)稱遲滯算子的工業(yè)機(jī)器人柔性關(guān)節(jié)遲滯特性建模

黨選舉，賀思穎

（桂林電子科技大學(xué) 電子工程與自動(dòng)化學(xué)院，廣西 桂林541004）

1 引 言

工業(yè)機(jī)器人越來(lái)越廣泛地應(yīng)用于工業(yè)生產(chǎn)領(lǐng)域，在智能制造過(guò)程中，產(chǎn)品質(zhì)量以及生產(chǎn)效率對(duì)工業(yè)機(jī)器人精確控制的要求愈來(lái)愈高。開展對(duì)機(jī)器人關(guān)節(jié)所表現(xiàn)出的強(qiáng)非線性特性建模，實(shí)現(xiàn)補(bǔ)償控制，成為提高工業(yè)機(jī)器人控制精度的重要技術(shù)途徑。

含有諧波減速器的柔性關(guān)節(jié)，表現(xiàn)出的強(qiáng)非線性的復(fù)雜遲滯特性，是由諧波減速器本身特殊結(jié)構(gòu)決定的。具有復(fù)雜特殊結(jié)構(gòu)的諧波減速器由固定的內(nèi)齒剛輪、柔輪和使柔輪發(fā)生徑向形變的波發(fā)生器組成，在諧波減速器運(yùn)行的過(guò)程中，各個(gè)部件間的相互作用使得諧波減速器表現(xiàn)出復(fù)雜遲滯特性［1］。工業(yè)機(jī)器人柔性關(guān)節(jié)由于具有復(fù)雜結(jié)構(gòu)的諧波減速器的存在表現(xiàn)出一種復(fù)雜的遲滯特性，這種非對(duì)稱、強(qiáng)非線性的復(fù)雜特性嚴(yán)重影響了對(duì)于柔性關(guān)節(jié)的控制精度，因此需要對(duì)柔性關(guān)節(jié)的遲滯特性進(jìn)行建模，進(jìn)而采用適合的基于模型的補(bǔ)償控制方法，提高其控制精度［2］。

遲滯特性為一種特殊的非線性特性，具有非光滑、多值對(duì)應(yīng)的特點(diǎn)［3］。不同的對(duì)象，表現(xiàn)出不同類型的遲滯特性，針對(duì)不同類型的遲滯特性，已提出了多種遲滯模型，如基于現(xiàn)象的建模方法，從純數(shù)學(xué)角度描述遲滯輸入輸出關(guān)系的Pre?siach模型，PI模型，KP模型等［4］，其中PI模型結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，易于求逆，且能夠用較少的參數(shù)表達(dá)遲滯特性，被廣泛應(yīng)用于遲滯特性建模。然而，工業(yè)機(jī)器人柔性關(guān)節(jié)表現(xiàn)出的復(fù)雜非線性的特殊性在于其不對(duì)稱且非光滑，PI模型的結(jié)構(gòu)決定了其只適用于對(duì)稱遲滯曲線的描述，當(dāng)其用于復(fù)雜遲滯特性建模時(shí)，建模精度較低。近年來(lái)，提出了改進(jìn)PI模型用于對(duì)象遲滯特性建模的方法，如采用變間隔閾值［5］、采用三段PI建模［6］等方法，但這些改進(jìn)只是在傳統(tǒng)PI模型上拓寬，不能從根本上解決工業(yè)機(jī)器人柔性關(guān)節(jié)表現(xiàn)出的非對(duì)稱、非光滑且無(wú)絕對(duì)凹凸性的強(qiáng)非線性遲滯特性［7］。除此之外，將神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)引入遲滯特性建模也被更多人采用［8］，如引入BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)最為常見，但此類方法是將非光滑遲滯特性作為一般非線性特性的建模方法，本質(zhì)是對(duì)遲滯特性的一種近似描述。為了描述工業(yè)機(jī)器人柔性關(guān)節(jié)所表現(xiàn)出的非對(duì)稱、強(qiáng)非線性的特殊復(fù)雜遲滯特性，且保留PI模型優(yōu)點(diǎn)，對(duì)PI模型結(jié)構(gòu)進(jìn)行改進(jìn)，針對(duì)工業(yè)機(jī)器人柔性關(guān)節(jié)表現(xiàn)出的非對(duì)稱、強(qiáng)非線性的復(fù)雜遲滯特性，提出一種非對(duì)稱遲滯算子，借鑒RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，構(gòu)建神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)遲滯模型，用于描述機(jī)器人柔性關(guān)節(jié)的特殊復(fù)雜遲滯特性。

2 基于PI模型結(jié)構(gòu)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)遲滯模型

2.1 PI模型

傳統(tǒng)PI模型是由多個(gè)Play算子加權(quán)疊加，描述遲滯非線性。對(duì)稱性Play算子如圖1所示。

圖1 對(duì)稱性Play算子Fig.1 Symmetric PI operator

單個(gè)Play算子可以表示為：

其中：r為算子閾值，x(t)為t時(shí)刻的輸入信號(hào)，y(t)為t時(shí)刻的輸出信號(hào)，y(t-1)為t-1時(shí)刻算子的輸出值。初始值y(0)可以表示為：

PI遲滯模型由多個(gè)Play算子加權(quán)疊加構(gòu)成，模型為：

其中：w=[w0，w1，…，wn-1]為n個(gè)Play算子權(quán)重系數(shù)構(gòu)成的權(quán)值向量，H=[H0[x](t)，H1[x](t)，…，H n-1[x](t)]T為n個(gè)Play算子輸出構(gòu)成的向量［9］。

PI模型的本質(zhì)為Play算子的加權(quán)疊加，通過(guò)線性分段化的形式描述一般遲滯特性，其算子的數(shù)量決定了非線性化的程度，算子的數(shù)量越多，對(duì)遲滯特性的描述就越精確，針對(duì)非對(duì)稱、強(qiáng)非線性復(fù)雜遲滯特性表現(xiàn)出的非光滑特性，要使用PI模型進(jìn)行精確地表達(dá)，所需要的Play算子數(shù)量會(huì)更大，模型結(jié)構(gòu)更復(fù)雜［10］。

Play算子實(shí)質(zhì)為具有對(duì)稱性的分段線性算子，通過(guò)加權(quán)疊加從而非線性化［11］，工業(yè)機(jī)器人柔性關(guān)節(jié)表現(xiàn)出的非對(duì)稱、強(qiáng)非線性的復(fù)雜非線性不同于一般的非線性，若將線性算子改進(jìn)為非線性算子，通過(guò)加權(quán)疊加后非線性化程度能更高，能更精確地描述工業(yè)機(jī)器人柔性關(guān)節(jié)表現(xiàn)出的復(fù)雜遲滯特性。

2.2 基于PI模型結(jié)構(gòu)的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)遲滯建模

工業(yè)機(jī)器人柔性關(guān)節(jié)由于諧波減速器的存在具有復(fù)雜遲滯特性，不同于簡(jiǎn)單的遲滯特性，表現(xiàn)出不對(duì)稱，并且正程與逆程的變化過(guò)程類似于Sigmoid函數(shù)的變化趨勢(shì)。直接采用適合于對(duì)稱遲滯曲線的PI模型，難以描述諧波減速器表現(xiàn)出的非對(duì)稱、非光滑、強(qiáng)非線性復(fù)雜遲滯特性。

PI模型的特性取決于線性遲滯算子Play算子，因此，對(duì)Play算子進(jìn)行改進(jìn)，將Play算子非線性化，用兩個(gè)變化后的非線性Sigmoid函數(shù)組合，替代原Play算子中的線性部分，構(gòu)成一個(gè)新算子。改進(jìn)的新算子如圖2所示。

圖2 改進(jìn)的新算子Fig.2 Improved new operator

改進(jìn)的新算子可以表示為：

其中：x(t)為t時(shí)刻的輸入信號(hào)，y(t-1)為t-1時(shí)刻的輸出信號(hào)，r1k，r2k為一個(gè)算子中的正逆程兩個(gè)大小不同的閾值。新算子滿足：

新遲滯模型為：

其中，y(t)為每一個(gè)新算子的輸出，借鑒RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，構(gòu)建基于新算子的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)遲滯模型結(jié)構(gòu)。其中虛線部分構(gòu)成如圖2所示的新算子。

圖3 新模型結(jié)構(gòu)Fig.3 Structure of new model

2.3 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)遲滯模型的參數(shù)學(xué)習(xí)

多個(gè)權(quán)值不同、閾值不同構(gòu)成的非對(duì)稱遲滯算子可表示為：

新模型的構(gòu)建在突破了PI模型原有結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，保留了PI模型可直接求逆的特點(diǎn)，模型參數(shù)學(xué)習(xí)更新快；其所構(gòu)造模型結(jié)構(gòu)中采用不同的非線性函數(shù)激勵(lì)函數(shù)，可實(shí)現(xiàn)不同特殊需求的復(fù)雜遲滯特性高精度建模。

2.4 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)遲滯建模

2.4.1 建模過(guò)程

以安川工業(yè)機(jī)器人GP7為實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，設(shè)定關(guān)節(jié)在兩個(gè)固定點(diǎn)間做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，分別設(shè)置前進(jìn)與回復(fù)的最大速度，即一個(gè)周期內(nèi)存在兩個(gè)最大運(yùn)行速度。采集含有諧波減速器的關(guān)節(jié)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的輸入與輸出信息，即此關(guān)節(jié)中轉(zhuǎn)矩與角度的信息。工業(yè)機(jī)器人柔性關(guān)節(jié)表現(xiàn)出的復(fù)雜非線性特性包括了其動(dòng)態(tài)特性［13］，即在不同的輸入信號(hào)下，表現(xiàn)出不同的特性，為了將不同狀態(tài)下的遲滯特性體現(xiàn)出來(lái)，采集不同速度下的關(guān)節(jié)信息。

在采集數(shù)據(jù)的過(guò)程中，分別采集了正程運(yùn)動(dòng)中 最 大 速 度 為0.825，1.1，1.375，1.65，1.925 rad·s-1，對(duì)應(yīng)的逆程運(yùn)動(dòng)中最大速度為1.925，1.65，1.375，1.1，0.825 rad·s-1的五組數(shù)據(jù)信息，即分別設(shè)置前進(jìn)與回復(fù)運(yùn)動(dòng)中的最大速度值，采集的數(shù)據(jù)用于建模與驗(yàn)證。

2.4.2 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)遲滯模型驗(yàn)證

由于環(huán)境干擾會(huì)對(duì)建模產(chǎn)生影響，為了檢驗(yàn)所建立的模型的抗干擾能力，進(jìn)行模型驗(yàn)證時(shí)，模擬環(huán)境情況，在實(shí)際采集的數(shù)據(jù)中疊加了隨機(jī)干擾信號(hào)，幅值取采樣值最大值的1%。

正程采用速度信號(hào)為0.825 rad·s-1、逆程信號(hào)為1.925 rad·s-1時(shí)的第一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，其速度信號(hào)變化如圖4所示，分別對(duì)PI模型和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)遲滯模型進(jìn)行驗(yàn)證，其預(yù)測(cè)結(jié)果如圖5所示，其中實(shí)線表示實(shí)際輸出，虛線表示神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)遲滯模型輸出，點(diǎn)劃線表示PI模型輸出。圖6為模型驗(yàn)證誤差對(duì)比圖，其中虛線表示PI模型誤差，實(shí)線表示神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)遲滯模型誤差，PI模型的最大誤差為3.475°，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)遲滯模型最大誤差為0.629°；PI模型的均方根誤差為1.269，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)遲滯模型的均方根誤差為0.210。

圖4 正程最大速度0.825 rad·s-1；逆程最大速度1.925 rad·s-1Fig.4 Maximum forward velocity 0.825 rad·s-1；Maxi?mum reverse velocity 1.925 rad·s-1

圖5 第一組數(shù)據(jù)模型預(yù)測(cè)結(jié)果Fig.5 Prediction results for the first data set

圖6 第一組數(shù)據(jù)模型預(yù)測(cè)誤差Fig.6 Prediction errors for the first data set

采用正程速度信號(hào)為1.1 rad·s-1、逆程信號(hào)為1.65 rad·s-1時(shí)的第二組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，其速度信號(hào)變化如圖7所示，分別對(duì)PI模型和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)遲滯模型進(jìn)行驗(yàn)證，其預(yù)測(cè)結(jié)果如圖8所示，其中實(shí)線表示實(shí)際輸出，虛線表示神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)遲滯模型輸出，點(diǎn)劃線表示PI模型輸出。圖9為模型驗(yàn)證誤差對(duì)比圖，其中虛線表示PI模型誤差，實(shí)線表示神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)遲滯模型誤差，PI模型的最大誤差為3.877°，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)遲滯模型最大誤差為0.401°；PI模型的均方根誤差為2.046，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)遲滯模型的均方根誤差為0.173。

圖7 正程最大速度1.1 rad·s-1；逆程最大速度1.65 rad·s-1Fig.7 Maximum forward velocity 1.1 rad·s-1；Maximum reverse velocity 1.65 rad·s-1

圖8 第二組數(shù)據(jù)模型預(yù)測(cè)結(jié)果Fig.8 Prediction results for the second data set

圖9 第二組數(shù)據(jù)模型預(yù)測(cè)誤差Fig.9 Prediction errors for the second data set

采用正程速度信號(hào)為1.65 rad·s-1、逆程信號(hào)為1.1 rad·s-1時(shí)的第三組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，其速度信號(hào)變化如圖10所示，分別對(duì)PI模型和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)遲滯模型進(jìn)行驗(yàn)證，其預(yù)測(cè)結(jié)果如圖11所示，其中實(shí)線表示實(shí)際輸出，虛線表示神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)遲滯模型輸出，點(diǎn)劃線表示PI模型輸出。圖12為模型驗(yàn)證誤差對(duì)比圖，其中虛線表示PI模型誤差，實(shí)線表示神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)遲滯模型誤差，PI模型的最大誤差為2.415°，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)遲滯模型最大誤差為0.374°；PI模型的均方根誤差為1.301，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)遲滯模型的均方根誤差為0.187。

圖10 正程最大速度1.65 rad·s-1；逆程最大速度1.1 rad·s-1Fig.10 Maximum forward velocity 1.65 rad·s-1；Maxi?mum reverse velocity 1.1 rad·s-1

圖11 第三組數(shù)據(jù)模型預(yù)測(cè)結(jié)果Fig.11 Prediction results for the third data set

圖12 第三組數(shù)據(jù)模型預(yù)測(cè)誤差Fig.12 Prediction errors for the third data set

采用正程速度信號(hào)為1.925 rad·s-1、逆程信號(hào)為0.825 rad·s-1時(shí)的第四組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，其速度信號(hào)變化如圖13所示，分別對(duì)PI模型和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)遲滯模型進(jìn)行驗(yàn)證，其預(yù)測(cè)結(jié)果如圖14所示，其中實(shí)線表示實(shí)際輸出，虛線表示神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)遲滯模型輸出，點(diǎn)劃線表示PI模型輸出。圖15為模型驗(yàn)證誤差對(duì)比圖，其中虛線表示PI模型誤差，實(shí)線表示神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)遲滯模型誤差，PI模型的最大誤差為2.622°，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)遲滯模型最大誤差為0.509°；PI模型的均方根誤差為1.337，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)遲滯模型的均方根誤差為0.225。

圖13 正程最大速度1.925 rad·s-1；逆程最大速度0.825 rad·s-1Fig.13 Maximum forward velocity 1.925 rad·s-1；Maxi?mum reverse velocity 0.825 rad·s-1

圖14 第四組數(shù)據(jù)模型預(yù)測(cè)結(jié)果Fig.14 Prediction results for the fourth data set

圖15 第四組數(shù)據(jù)模型預(yù)測(cè)誤差Fig.15 Prediction errors for the fourth data set

以最大絕對(duì)誤差（emax）和均方根誤差（RMSE）兩個(gè)指標(biāo)作為檢驗(yàn)?zāi)Ｐ途鹊臉?biāo)準(zhǔn)［14］。在柔性關(guān)節(jié)不同的輸入信號(hào)下，對(duì)PI模型與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)遲滯模型進(jìn)行驗(yàn)證，其預(yù)測(cè)誤差結(jié)果對(duì)比如表1所示：

表1 不同數(shù)據(jù)組下的模型驗(yàn)證結(jié)果對(duì)比圖Tab.1 Comparison of verification results in different data sets

由表1可知，在不同的輸入信號(hào)下，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)遲滯模型的最大絕對(duì)誤差與均方根誤差這兩項(xiàng)指標(biāo)均優(yōu)于PI模型，具體表現(xiàn)為最大絕對(duì)誤差減小為其五分之一，均方根誤差減小為其五分之一。因此神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)遲滯模型的建模精度更高，并相較于PI模型有更好的泛化能力。

2.4.3 模型的抗干擾能力分析

由于工業(yè)機(jī)器人在實(shí)際工作中，在環(huán)境作用下會(huì)存在一定的干擾，因此，在對(duì)模型進(jìn)行驗(yàn)證時(shí)，為模擬環(huán)境情況，人為對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)疊加了幅值為采樣值最大值1%的隨機(jī)干擾，隨機(jī)干擾的取值范圍在-0.277°～0.104°之間。在模擬干擾的情況下對(duì)模型進(jìn)行驗(yàn)證，在第一組、第二組、第三組、第四組數(shù)據(jù)下，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)遲滯模型的最大誤差分別為0.629°，0.401°，0.374°，0.509°，PI模型 的 最 大 誤 差 分 別 為3.475°，3.877°，2.415°，2.622°，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)遲滯模型相較于PI模型能將最大誤差減小5倍。實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明，在數(shù)據(jù)存在隨機(jī)干擾的情況下，盡管在局部區(qū)域神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)遲滯模型的預(yù)測(cè)精度相較于整體有待提高，但與PI模型對(duì)比，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)遲滯模型表現(xiàn)出了更好的預(yù)測(cè)效果，且有更強(qiáng)的適應(yīng)能力和一定的抗干擾能力。模擬環(huán)境影響，在人為增加干擾的情況下，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)遲滯模型依然具有較好的預(yù)測(cè)能力，說(shuō)明所構(gòu)建遲滯模型具有較強(qiáng)的魯棒性。

3 結(jié) 論

基于所設(shè)計(jì)的非對(duì)稱非線性遲滯算子，在PI遲滯模型的結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)上，構(gòu)建一種神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)遲滯模型，用于柔性關(guān)節(jié)所表現(xiàn)出的非對(duì)稱、強(qiáng)非線性的特殊復(fù)雜遲滯特性。在柔性關(guān)節(jié)不同的輸入條件下，對(duì)遲滯模型進(jìn)行驗(yàn)證，實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)遲滯模型能將最大誤差控制在1°以內(nèi)，將均方根誤差降低到0.3以內(nèi)，相較于PI模型，最大誤差減小為其五分之一，均方根誤差減小為其五分之一。該建模方法，可推廣到具有遲滯特性的RV減速器構(gòu)成的工業(yè)機(jī)器人關(guān)節(jié)的建模中。