徑向包容式超聲懸浮軸承結(jié)構(gòu)優(yōu)化

李東明，王萬(wàn)雷*，賈 穎，呂 帥

（1.大連民族大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，遼寧 大連116650；2.大連交通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 大連116028）

1 引 言

隨著精密加工制造技術(shù)的迅速發(fā)展，傳統(tǒng)的接觸式軸承因摩擦與磨損大、壽命低及轉(zhuǎn)速低等缺點(diǎn)，已無(wú)法滿(mǎn)足半導(dǎo)體、醫(yī)療器械等行業(yè)對(duì)加工精度的要求。超聲懸浮軸承利用振動(dòng)獲得承載能力，其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、體積小，不需要額外的壓力源，在轉(zhuǎn)子啟停階段也能保持承載能力，具有良好的發(fā)展前景。

超聲懸浮軸承主要由壓電控制電源、換能器和懸浮軸組成，根據(jù)功率大小可劃分為兩類(lèi)。第一類(lèi)是采用壓電疊堆式換能器的超聲懸浮軸承，使用超聲變幅桿將壓電疊堆產(chǎn)生的機(jī)械振動(dòng)位移放大［1］。此類(lèi)軸承換能器中的壓電振子沿厚度方向伸縮振動(dòng)并采用多層堆疊的方式結(jié)合在一起，其特點(diǎn)是功率大、輸出振幅大、懸浮質(zhì)量大，但體積大，發(fā)熱量也較大。第二類(lèi)超聲懸浮軸承使用片狀壓電材料來(lái)制作換能器，壓電振子粘貼在基體結(jié)構(gòu)上并沿長(zhǎng)度方向伸縮振動(dòng)，通過(guò)耦合基體放大機(jī)構(gòu)來(lái)提高作動(dòng)性能，同時(shí)還可利用壓電材料的頻率性能來(lái)提高應(yīng)變輸出，使得結(jié)構(gòu)在某一方向發(fā)生快速振動(dòng)。其特點(diǎn)是結(jié)構(gòu)緊湊、能耗低，易于控制，適合小型微型應(yīng)用場(chǎng)景。

目前，對(duì)超聲懸浮軸承中壓電疊堆式換能器變幅桿的設(shè)計(jì)、優(yōu)化和仿真分析的研究已較為成熟［2-3］。對(duì)于第二類(lèi)超聲懸浮軸承，由于功率較小，需要通過(guò)合適的基體機(jī)構(gòu)來(lái)放大壓電片的伸縮振動(dòng)，因此換能器的基體結(jié)構(gòu)多種多樣，其中應(yīng)用最多的為徑向包容式結(jié)構(gòu)和鉸鏈結(jié)構(gòu)。1991年，東京理工大學(xué)的Yoshimoto等［4］提出了一種將壓電片嵌入軸承表面的系統(tǒng)。該軸承由滑塊、壓電驅(qū)動(dòng)器和配重組成。當(dāng)交變電壓作用于壓電驅(qū)動(dòng)器時(shí)，滑塊軸承在配重的作用下開(kāi)始振動(dòng)，并在軸承和導(dǎo)軌表面之間產(chǎn)生擠壓膜。1997年，Yoshimoto等人［5-6］又提出了一種使用彈性鉸鏈減小軸承尺寸的擠壓膜空氣軸承，并將這種軸承應(yīng)用于方形線(xiàn)性導(dǎo)軌。但軸承運(yùn)行在幾千赫的振動(dòng)頻率時(shí)會(huì)產(chǎn)生噪音。2010年，Stolar?ski等人設(shè)計(jì)了3種結(jié)構(gòu)的壓電換能器［7］，它們均使用壓電片作為驅(qū)動(dòng)源，并通過(guò)有限元軟件來(lái)仿真計(jì)算軸承幾何形狀的共振頻率，實(shí)驗(yàn)表明軸承殼固定在殼體上的方式和軸承殼材料的機(jī)械性能有關(guān)。2016年，Stolarski又提出了一種利用壓電片將滑動(dòng)圓軸承間隙變形為三葉軸承間隙的彈性鉸鏈軸承［8］。實(shí)驗(yàn)和數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明，該軸承能夠產(chǎn)生擠壓膜壓力效應(yīng)。2018年，湖南大學(xué)Feng等［9］提出并設(shè)計(jì)一種新型的超聲波氣體軸承，該軸承使用貼片式壓電陶瓷驅(qū)動(dòng)可傾瓦軸承高頻振動(dòng)從而產(chǎn)生懸浮效果。2019年，東北大學(xué)姚紅良等設(shè)計(jì)了一種超聲擠壓軸承［10］，并將它應(yīng)用在小型或微型轉(zhuǎn)子系統(tǒng)上，對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行動(dòng)力學(xué)特性分析并通過(guò)試驗(yàn)研究證明了理論分析的正確性。

以上對(duì)國(guó)內(nèi)外研究現(xiàn)狀的分析表明，目前第二類(lèi)超聲懸浮軸承的基體結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)多依靠經(jīng)驗(yàn)和仿真試驗(yàn)來(lái)確定形狀和結(jié)構(gòu)尺寸，缺乏理論支撐和通用性強(qiáng)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。本文設(shè)計(jì)了一種徑向包容式超聲懸浮軸承，并以軸承結(jié)構(gòu)為對(duì)象，提出了基于多目標(biāo)遺傳算法的殼體結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法，最后通過(guò)試驗(yàn)測(cè)試對(duì)比分析驗(yàn)證了該方法的正確性。

2 超聲懸浮軸承結(jié)構(gòu)與工作原理

如圖1所示，軸承主要由矩形壓電陶瓷片和包容式金屬圓柱筒組成，圓筒外側(cè)間隔120°均布有軸向肋板。壓電片通過(guò)丙烯酸結(jié)構(gòu)膠粘貼在圓柱上。

圖1 軸承結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of gas squeeze film bearing

當(dāng)對(duì)壓電片通入高頻激振信號(hào)時(shí)，壓電片帶動(dòng)金屬圓筒產(chǎn)生周期性彈性變形。當(dāng)壓電片的驅(qū)動(dòng)頻率等于金屬圓筒的固有頻率時(shí)，圓柱筒內(nèi)壁結(jié)構(gòu)產(chǎn)生諧振變形，徑向位移達(dá)到最大值，此時(shí)氣膜的擠壓角頻率就等于固有頻率。

在金屬圓筒高頻擠壓作用下，軸與套筒微小間隙中的空氣會(huì)形成具有穩(wěn)定厚度和一定承載力的擠壓氣膜，忽略擠壓氣膜在軸承邊緣存在的微小能量泄漏。在黏性流體動(dòng)力學(xué)中，由N-S方程和連續(xù)方程可推導(dǎo)出直角坐標(biāo)系下氣體擠壓膜壓力分布的三維Reynolds方程：

對(duì)方程進(jìn)行無(wú)量綱化得無(wú)量綱形式Reyn?olds方程：

式中：無(wú)量綱參量為Z=z/L，P=p/p0，T=wt，p0為周?chē)h(huán)境壓力；r為軸承金屬圓柱筒內(nèi)半徑；L為軸承長(zhǎng)；ω為擠壓角頻率；μ為氣體的動(dòng)力黏度；H=h/h0，h0為軸承的初始間隙；h為氣膜的膜

使用有限差分方法求解式（2）得到擠壓氣膜壓力分布函數(shù)P（θ，z），將它在求解域上進(jìn)行積分即可得到瞬時(shí)擠壓氣膜承載力：

由氣膜承載力的推導(dǎo)過(guò)程進(jìn)一步分析可知：在其他參數(shù)不變的情況下，一定范圍內(nèi)增大振幅和擠壓角頻率均可增大超聲懸浮軸承瞬時(shí)擠壓氣膜承載力F。

2.1 軸承結(jié)構(gòu)優(yōu)化目標(biāo)的數(shù)學(xué)模型

超聲懸浮軸承的承載能力是一項(xiàng)重要的性能指標(biāo)，其大小決定了軸承的實(shí)際使用場(chǎng)合和應(yīng)用價(jià)值。為此，超聲懸浮軸承的主要設(shè)計(jì)目標(biāo)是獲取最大的承載能力。影響軸承承載能力的參數(shù)主要是激勵(lì)振幅和激振頻率。

獲取更大承載能力可以從兩個(gè)方面著手，一方面是增大激勵(lì)振幅，壓電材料的形變程度只與驅(qū)動(dòng)電壓有關(guān)。因此，只有通過(guò)改變軸承殼體結(jié)構(gòu)的局部剛度情況以獲取更大的變形能力，即軸承與軸配合表面的位移變化值（即撓度）可設(shè)定為目標(biāo)函數(shù)。另一方面，當(dāng)激振頻率等于軸承殼體的固有頻率時(shí)產(chǎn)生共振，此時(shí)振幅較大，因此激振頻率的選擇應(yīng)當(dāng)使頻率正好工作在結(jié)構(gòu)的固有頻率處。由雷諾方程的擠壓數(shù)表達(dá)式可知激振頻率與擠壓數(shù)成正比，頻率越大擠壓效果越明顯，軸承的承載能力越強(qiáng)。除此之外，為了防止軸承在氣體擠壓膜邊緣處發(fā)生壓力泄漏現(xiàn)象［11］，應(yīng)盡量選取較大的激振頻率。所以，軸承殼體的固有頻率可設(shè)定為承載力優(yōu)化的第二個(gè)目標(biāo)函數(shù)。綜上，本文選擇軸承圓筒殼體的固有頻率和撓度作為優(yōu)化目標(biāo)并建立其數(shù)學(xué)模型。

2.1.1 固有頻率函數(shù)

在研究軸承結(jié)構(gòu)的固有頻率時(shí)可將軸承圓筒簡(jiǎn)化為圓柱殼體。建立的柱坐標(biāo)系如圖2所示，以u(píng)，v，w分別表示3個(gè)坐標(biāo)方向的位移分量，圖中L為圓柱殼體的長(zhǎng)度，a為圓柱殼體的平均半徑，h為圓柱殼體的厚度。

圖2 殼體模型Fig.2 Shell model

根據(jù)扁殼理論或唐奈運(yùn)動(dòng)微分方程可得：

式中：E為殼體材料的彈性模量；u為殼體材料的泊松比；ρ為殼體材料的密度；g為重力加速度；t為時(shí)間。

在超聲懸浮軸承的殼體結(jié)構(gòu)中主要關(guān)心w方向的振動(dòng)，因此可以忽略殼體中面切線(xiàn)方向（u，v）的慣性，根據(jù)無(wú)力矩理論，略去式（4）中的力矩項(xiàng)。對(duì)式（4）進(jìn)行微分運(yùn)算，相互代換后得：

根據(jù)純力矩理論，不考慮薄膜抗力作用，將式（4）中內(nèi)力矩項(xiàng)和慣性力項(xiàng)組成振動(dòng)方程：

經(jīng)過(guò)以上簡(jiǎn)化，在唐納爾形式的運(yùn)動(dòng)微分方程基礎(chǔ)上將一般振動(dòng)情況分別按無(wú)力矩理論（薄膜理論）和純力矩理論（薄板彎曲理論）分別計(jì)算，最后綜合兩者的結(jié)果，可以得到圓柱殼體類(lèi)結(jié)構(gòu)精度較高的固有頻率解［12］。

對(duì)式（4）按無(wú)力矩理論進(jìn)行化簡(jiǎn)計(jì)算，首先設(shè)其解的形式為：

式中：U1，V1，W1為振型函數(shù)，n為周向波數(shù)，ω1為圓頻率。將式（7）代入式（5）得到：

其中：

進(jìn)一步整理可得：

此時(shí)應(yīng)該對(duì)低階固有頻率和高階固有頻率分別進(jìn)行考慮。

可求得振型函數(shù)W1：

其中c1，c2，c3，c4為待定常數(shù)。根據(jù)式（8）可求出：

綜上所述，最后結(jié)合無(wú)矩理論和純力矩理論的結(jié)果可得：

由此求出殼休的固有頻率：

2.1.2 撓度函數(shù)

軸承圓筒外側(cè)的肋板將圓筒殼體分隔成3個(gè)對(duì)稱(chēng)的振動(dòng)區(qū)域。由肋板隔開(kāi)的區(qū)域大小相對(duì)于整個(gè)軸承圓筒的曲率半徑而言較小，可將每個(gè)振動(dòng)區(qū)域的圓筒壁展開(kāi)，簡(jiǎn)化為粘貼有壓電陶瓷片的彈性薄板，如圖3所示。圖中l(wèi)為薄板的長(zhǎng)邊，β為短邊，壓電片的極化方向與z方向平行。

圖3 殼體簡(jiǎn)化為矩形平面彈性薄板Fig.3 Shell simplified into rectangular flat elastic thin plate

在電壓作用下，壓電材料延長(zhǎng)度方向產(chǎn)生周期性的伸縮變形，壓電材料的應(yīng)變又通過(guò)理想黏結(jié)層傳遞給薄板，最終使薄板基體結(jié)構(gòu)產(chǎn)生變形。

由壓電材料的性質(zhì)可知壓電片內(nèi)產(chǎn)生的驅(qū)動(dòng)應(yīng)變?yōu)椋?/p>

其中：d31為壓電陶瓷的壓電常數(shù)，tc為壓電片厚度，V（t）代表驅(qū)動(dòng)電壓。

以壓電片和壓電片與薄板接觸部分組成的組合梁（圖4）整體為研究對(duì)象，分析時(shí)做如下假設(shè)：

圖4 組合梁彎矩分析Fig.4 Bending moment analysis of composite beam

（1）壓電片與薄板基體理想粘貼；

（2）組合梁發(fā)生純彎曲變形；

（3）假設(shè)組合梁橫截面上的縱向應(yīng)變沿橫截面高度按直線(xiàn)規(guī)律變化。

根據(jù)組合梁理論可知，截面的中性軸與截面對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為：

式中：Ei為組合梁各組成部分材料的彈性模量，A為組合梁各組成部分的面積，Sio為組合梁各組成部分的面積相對(duì)于組合梁橫截面對(duì)稱(chēng)軸的面積。

可得到組合梁橫截面沿x方向的應(yīng)變分布函數(shù)：

式中H為橫梁厚度。壓電片產(chǎn)生的內(nèi)力彎矩M，可通過(guò)如下積分求得：

式中：za=H/2-tc，Ea，Eb分別為壓電片材料和薄板的彈性模量，la為組合梁的長(zhǎng)度。

為了簡(jiǎn)化模型，在研究彈性薄板彎曲變形時(shí)壓電片對(duì)基體結(jié)構(gòu)施加一對(duì)彎矩的作用等價(jià)為它們對(duì)基體結(jié)構(gòu)的集中載荷。已知薄板跨度為板長(zhǎng)l，則集中荷載為：

如圖5所示，假設(shè)集中力作用于彈性薄板中心處的微小矩形面上。

圖5 彈性薄板受集中載荷作用Fig.5 Elastic thin plate subjected to concentrated load

在彈性力學(xué)中矩形薄板彎曲的納維解基本形式可表示為：

將式（24）代入薄板彎曲的平衡方程，然后利用積分中值定理得到：

將式（25）代入納維解基本表達(dá)式，得到薄板上任意點(diǎn)（a，b）的撓度表達(dá)式：

當(dāng)荷載作用在板中心時(shí)，式（26）可簡(jiǎn)化為：

3 多目標(biāo)優(yōu)化過(guò)程及優(yōu)化結(jié)果

對(duì)上述超聲懸浮軸承結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行計(jì)算，發(fā)現(xiàn)增大軸承圓筒的壁厚會(huì)導(dǎo)致固有頻率增大和圓筒壁撓度減?。凑穹鶞p小），而增大圓筒的長(zhǎng)度會(huì)導(dǎo)致固有頻率減小，但圓筒壁的撓度會(huì)增大。即目標(biāo)之間是相互沖突的，無(wú)法使諧振頻率和撓度兩個(gè)優(yōu)化目標(biāo)同時(shí)達(dá)到最優(yōu)。并且固有頻率和撓度的量綱也明顯不同，無(wú)法直接進(jìn)行比較，此時(shí)傳統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法無(wú)法解決該問(wèn)題。

多目標(biāo)遺傳算法是一種基于遺傳進(jìn)化原理的隨機(jī)搜索算法，為解決多目標(biāo)優(yōu)化問(wèn)題提供了新的思路［13-14］。本文采用NSGA-Ⅱ多目標(biāo)遺傳算法，引入精英策略，通過(guò)計(jì)算擁擠度和擁擠度因子保證了種群的多樣性［15］。采用NSGA-Ⅱ?qū)Τ晳腋≥S承結(jié)構(gòu)進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計(jì)，流程如圖6所示。

圖6 NSGA-II算法流程Fig.6 Flowchart of NSGA-IIalgorithm

3.1 目標(biāo)函數(shù)與設(shè)計(jì)變量

利用前文推導(dǎo)的固有頻率與撓度的數(shù)學(xué)模型作為優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)。在優(yōu)化過(guò)程中，殼體的固有頻率和撓度越大越好。建立的多目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)如下：

根據(jù)目標(biāo)函數(shù)中的共有參數(shù)，這里選擇圓柱殼體的長(zhǎng)l，內(nèi)徑r和壁厚h作為設(shè)計(jì)變量。根據(jù)軸承的加工難度和使用要求，各結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)參數(shù)在一定范圍內(nèi)取值，選取的優(yōu)化變量范圍為：

3.2 優(yōu)化求解

本文基于多目標(biāo)遺傳算法編制程序在Mat?lab中進(jìn)行求解。設(shè)定遺傳算法參數(shù)：個(gè)體總數(shù)為100，變異率、交叉率分別設(shè)置為0.01和0.8。經(jīng)過(guò)1 000代遺傳迭代后得到Pareto解，所有最優(yōu)解形成帕累托前沿，如圖7所示。兩個(gè)坐標(biāo)軸分別表示兩個(gè)目標(biāo)函數(shù)，縱軸表示負(fù)的固有頻率，橫軸表示負(fù)的撓度。

圖7 帕累托前沿Fig.7 Pareto frontier

從Pareto最優(yōu)解中選取10組最優(yōu)解列于表1中。在這些解中，考慮到實(shí)際殼體的加工難度和材料的疲勞強(qiáng)度，殼體結(jié)構(gòu)壁厚不能過(guò)小，整體結(jié)構(gòu)的固有頻率不能過(guò)大。經(jīng)過(guò)篩選，本文選擇第6組解作為優(yōu)化結(jié)果。經(jīng)圓整該優(yōu)化結(jié)果為：l=40 mm，r=10 mm，h=2 mm。

表1 10組最優(yōu)解Tab.1 Ten sets of optimal solutions

4 超聲懸浮軸承實(shí)驗(yàn)

為了對(duì)本文優(yōu)化方法的效果進(jìn)行驗(yàn)證，制作了3組不同尺寸的超聲懸浮軸承，表2是3組超聲懸浮軸承機(jī)構(gòu)尺寸，圖8是超聲懸浮軸承實(shí)物照片。

表2 超聲懸浮軸承樣機(jī)的尺寸參數(shù)Tab.2 Size parameters of ultrasonic suspension bearing prototype

圖8 超聲懸浮軸承樣機(jī)Fig.8 Ultrasonic suspension bearing prototype

超聲懸浮軸承徑向振幅測(cè)量的實(shí)驗(yàn)設(shè)備有信號(hào)發(fā)生器、壓電陶瓷控制器和激光位移傳感器，測(cè)量實(shí)驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)如圖9所示。調(diào)節(jié)AFG-2225型信號(hào)發(fā)生器輸出正弦交流電壓信號(hào)并設(shè)置頻率。信號(hào)經(jīng)E00.D3型壓電陶瓷控制器放大一定倍數(shù)，頻率不變。放大后的電壓信號(hào)經(jīng)連接器和導(dǎo)線(xiàn)輸送到軸承圓筒外表面的壓電陶瓷片，此時(shí)軸承在正弦交流信號(hào)的驅(qū)動(dòng)下振動(dòng)。將軸承通過(guò)夾持裝置固定在隔震測(cè)量平臺(tái)上，調(diào)節(jié)傳感器激光發(fā)射源與軸承表面測(cè)量點(diǎn)間距到要求的測(cè)量距離后，對(duì)軸承表面測(cè)量點(diǎn)的振幅進(jìn)行測(cè)量，通過(guò)信號(hào)采集軟件讀取軸承的徑向振動(dòng)位移數(shù)據(jù)，如圖10所示。

圖9 徑向振動(dòng)振幅測(cè)試Fig.9 Radial vibration amplitude test

圖10 徑向振動(dòng)振幅信號(hào)采集Fig.10 Acquisition of radial vibration amplitude signal

在75 V電壓下，分別對(duì)3組超聲懸浮軸承的壓電陶瓷片施加3～60 k Hz的正弦電壓信號(hào)，并對(duì)每個(gè)軸承的振幅進(jìn)行多次測(cè)量，測(cè)得的最大振幅隨激振頻率的變化如圖11所示。

由圖11可以看出，實(shí)驗(yàn)組振幅在27.21 k Hz處出現(xiàn)峰值，峰值振幅為0.38μm；對(duì)照組A振幅在45.32 kHz處出現(xiàn)峰值，峰值振幅為0.18μm；對(duì)照組B振幅在17.10 kHz處出現(xiàn)峰值，峰值振幅為0.42μm。將優(yōu)化尺寸軸承的測(cè)試結(jié)果與理論計(jì)算值進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如表3所示。

表3 理論值與實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果對(duì)比Tab.3 Comparison of theoretical value and experimental measurement result

圖11 振幅隨激振頻率的變化Fig.11 Amplitude changes with excitation frequency

由表3可知，理論計(jì)算值與實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果存在誤差，但誤差在合理范圍內(nèi)。造成振幅誤差的原因主要是環(huán)境噪聲振動(dòng)。引起頻率誤差的原因主要是測(cè)量時(shí)軸承圓筒的夾持方式、裝夾位置和夾緊力不同對(duì)軸承的固有頻率產(chǎn)生了一定的影響。從實(shí)驗(yàn)測(cè)試結(jié)果可以看出，3組尺寸中振幅最大的是對(duì)照組B，諧振頻率最大的是對(duì)照組A。對(duì)照組A雖然振幅較大但其諧振頻率較低，對(duì)照組B雖然諧振頻率較大但是振幅較小。實(shí)驗(yàn)組為優(yōu)化尺寸，在振幅和頻率之間取得了平衡，振幅值和頻率值均有較滿(mǎn)意的結(jié)果。

然后，對(duì)3組超聲懸浮軸承的徑向懸浮力進(jìn)行測(cè)量和對(duì)比。實(shí)驗(yàn)現(xiàn)場(chǎng)如圖12所示，實(shí)驗(yàn)設(shè)備有信號(hào)發(fā)生器、壓電陶瓷控制器、光電計(jì)時(shí)器和精密天平。

圖12 徑向懸浮力測(cè)試實(shí)驗(yàn)Fig.12 Radial suspension force test experiment

假設(shè)軸承工作時(shí)軸固定不動(dòng)，此時(shí)圓筒殼體內(nèi)表面和軸的外柱面可近似視為兩個(gè)擠壓面，在高頻交流電壓的作用下壓電片帶動(dòng)軸承圓筒內(nèi)壁振動(dòng)，擠壓圓筒與軸圓柱面間的空氣形成擠壓膜。由于樣機(jī)產(chǎn)生的氣膜厚度較小，一般在微米級(jí)，很難直接判斷軸承是否完全脫離了軸面，因此直接測(cè)量軸承最大徑向懸浮力存在很大困難。為此設(shè)計(jì)了測(cè)力實(shí)驗(yàn)臺(tái)，通過(guò)觀察和測(cè)量軸承與斜面之間的摩擦狀態(tài)來(lái)間接測(cè)量承載力。實(shí)驗(yàn)時(shí)不斷調(diào)整傾斜軸與水平面之間的夾角，當(dāng)軸承對(duì)傾斜軸的正壓力與懸浮力大小相等方向相反時(shí)，即可以近似認(rèn)為軸承實(shí)現(xiàn)了無(wú)摩擦懸浮，此時(shí)軸承滑下加速度約等于重力加速度。軸承下滑加速度通過(guò)光電計(jì)時(shí)器測(cè)出，軸承和負(fù)載的質(zhì)量通過(guò)精密天平測(cè)出，軸承對(duì)傾斜軸的正壓力通過(guò)軸承和負(fù)載的重力、傾斜軸與水平面的夾角簡(jiǎn)單計(jì)算得出。

3組軸承傾斜軸下滑測(cè)量徑向懸浮力實(shí)驗(yàn)結(jié)果如表4所示。由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出，實(shí)驗(yàn)組優(yōu)化尺寸軸承對(duì)氣膜的擠壓效率最高、形成的徑向懸浮力最大，說(shuō)明前文使用的優(yōu)化方法是正確、有效的。

表4 徑向懸浮力測(cè)量實(shí)驗(yàn)結(jié)果Tab.4 Experimental results of radial levitation force mea?surement

5 結(jié) 論

本文設(shè)計(jì)了一種壓電片驅(qū)動(dòng)的徑向包容式超聲懸浮軸承結(jié)構(gòu)，建立了軸承圓筒殼體結(jié)構(gòu)的多目標(biāo)優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，并將NSGA-Ⅱ多目標(biāo)遺傳算法應(yīng)用于結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)中。通過(guò)Matlab編程計(jì)算，實(shí)現(xiàn)了諧振頻率和撓度兩目標(biāo)的優(yōu)化，有效克服了同類(lèi)型換能器設(shè)計(jì)時(shí)經(jīng)驗(yàn)依賴(lài)性強(qiáng)的缺陷。利用該優(yōu)化設(shè)計(jì)方法，獲得了基體結(jié)構(gòu)參數(shù)的最優(yōu)組合，即圓筒殼體：長(zhǎng)40 mm、直徑20 mm、壁厚2 mm。加工制作了3組軸承進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)對(duì)比測(cè)試，實(shí)驗(yàn)證明優(yōu)化尺寸軸承在撓度和頻率之間取得了平衡，即振幅值和頻率值均有較滿(mǎn)意的結(jié)果，優(yōu)化后軸承振幅的理論值為0.351 μm，實(shí)驗(yàn)測(cè)得的振幅值為0.38μm，誤差為7.63%，諧振頻率的理論值為30.379 kHz，實(shí)驗(yàn)測(cè)得的諧振頻率為27.21 k Hz，誤差為11.64%。通過(guò)軸承徑向懸浮力測(cè)量實(shí)驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)優(yōu)化尺寸軸承對(duì)氣膜的擠壓效率最高，形成的徑向懸浮力最大可達(dá)1.28 N，提高了超聲懸浮軸承在高頻振動(dòng)下的承載能力，為高效超聲懸浮軸承設(shè)計(jì)奠定了基礎(chǔ)。