深空通信載波同步高精度FFT頻偏估計(jì)算法

王翠蓮 李寅 禹霽陽 李珂

(1 北京空間飛行器總體設(shè)計(jì)部，北京 100094)(2 航天東方紅衛(wèi)星有限公司，北京 100094)

深空通信信道存在對地通信傳輸時(shí)延大，信道信噪比極低，通信距離遠(yuǎn)，通信環(huán)境變化大等特點(diǎn)。特別在火星探測器設(shè)計(jì)中，進(jìn)入、下降與著陸(EDL)階段對地通信信道具有高動(dòng)態(tài)、低信噪比的特點(diǎn)，需選用合適的信號(hào)調(diào)制技術(shù)降低解調(diào)的難度，保證EDL過程中正常通信[1]。目前深空探測器應(yīng)答機(jī)設(shè)計(jì)中通常采用多進(jìn)制相移鍵控(Multiple Phase Shift Keying, MPSK)作為調(diào)制方式實(shí)現(xiàn)遠(yuǎn)距離的可靠通信。MPSK信號(hào)在解調(diào)時(shí)，需要將載波頻率、相位通過一定的映射關(guān)系獲得解調(diào)結(jié)果，因此獲得精確的載波同步尤為重要。在傳統(tǒng)的探測器應(yīng)答機(jī)設(shè)計(jì)中，一般采用鎖相環(huán)算法實(shí)現(xiàn)載波捕獲和跟蹤。在采用MPSK調(diào)制且信噪比低于6 dB時(shí)，鎖相環(huán)失鎖現(xiàn)象明顯，無法可靠工作[2]。因此，基于頻偏估計(jì)的載波同步開環(huán)算法成為深空通信的研究熱點(diǎn)。

現(xiàn)有的頻偏估計(jì)算法基本是建立在求解最大似然方程的基礎(chǔ)上。一般有兩種思路：第一種是利用輸入序列的自相關(guān)函數(shù)構(gòu)造頻偏估計(jì)量，如L&W算法[3]、Fitz算法[4]以及M&M算法[5]等；第二種是用快速傅里葉變換(Fast Fourier Transform, FFT)作周期圖，然后搜索周期圖的峰值位置，利用頻偏值和峰值位置的對應(yīng)關(guān)系求解[6]。周期圖法的優(yōu)點(diǎn)是能直接檢測頻偏的絕對值，同時(shí)估計(jì)速度較快，但其固有的缺點(diǎn)是，用于估計(jì)的序列長度直接影響估計(jì)的精度，并且存在一定的信噪比門限。在估計(jì)序列長度一定的前提下，該方法需要在獲得初始FFT峰值譜線位置后進(jìn)行插值[7-10]以提高頻率分辨率。本文提出的算法只需進(jìn)行一次插值即可獲得頻偏的無偏估計(jì)值。在低信噪比條件下，插值算法在某些頻點(diǎn)估計(jì)精度不夠高，因此在插值后進(jìn)行二分搜索，二分搜索的次數(shù)取決于估計(jì)精度要求以及硬件實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度。

1 系統(tǒng)模型

在深空探測器應(yīng)答機(jī)設(shè)計(jì)中，采用開環(huán)算法的數(shù)字解調(diào)軟件由數(shù)字下變頻、捕獲、位同步、載波同步、解調(diào)、譯碼幾個(gè)部分組成，詳見圖1。模/數(shù)轉(zhuǎn)換器(Analog-to-Digital, ADC)采樣后的中頻信號(hào)經(jīng)過數(shù)字下變頻后輸出零中頻低速信號(hào)。位同步模塊通過位定時(shí)誤差估計(jì)和補(bǔ)償獲得最佳采樣點(diǎn)信息。載波同步模塊包括頻偏估計(jì)和頻偏補(bǔ)償兩部分，載波同步后的信號(hào)進(jìn)行后續(xù)的MPSK解調(diào)及譯碼。

位同步完成后，包含數(shù)據(jù)信息和載波頻偏、相偏的MPSK信號(hào)可表示為

rn=ej(2πΔfTn+φn+θ)+vn

(1)

式中；rn為位同步后的數(shù)據(jù)序列的第n個(gè)符號(hào)；Δf為收發(fā)載波間的頻偏；T為碼元周期；vn為加性復(fù)高斯白噪聲；θ為收發(fā)載波的初始相偏；φn為數(shù)據(jù)調(diào)制的相位。

在頻偏估計(jì)前，首先去除rn中的調(diào)制信息，得到包含加性噪聲的單載波信號(hào)hn。幀頭數(shù)據(jù)對于接收端是已知的，故有

(2)

假設(shè)幀頭長度(即用于估計(jì)的序列長度)為N，對hn做N點(diǎn)離散傅里葉變換，可以得到其頻譜

(3)

式中：k=0,1,…,N-1。在獲得的N條譜線中搜索kmax，使|Fk|值達(dá)到最大，根據(jù)最大似然估計(jì)理論，頻偏Δf的最大似然估計(jì)表達(dá)式為[7]

(4)

當(dāng)FFT長度為N時(shí)，算法可估計(jì)的最大及最小頻偏分別為

(5)

由式(5)可知，F(xiàn)FT算法理論上可以達(dá)到的頻偏估計(jì)范圍是-0.5fs～0.5fs(fs為碼元速率)。

(6)

理論上，F(xiàn)FT序列長度N的增加能夠線性的減小估計(jì)誤差，但在深空探測器應(yīng)答機(jī)設(shè)計(jì)中，由于信道資源有限，為提高傳輸效率，N的取值一般不超過256。當(dāng)系統(tǒng)要求的同步精度較高時(shí)，算法的估計(jì)誤差不能容忍。因此，必須設(shè)法減小FFT算法引入的估計(jì)誤差。常用的提高FFT算法估計(jì)精度的方法是基于插值的思想，如拋物線插值算法[7]、Rife插值算法[8]、Jacobsen算法[9]、Quinn算法[10]等，這些算法都是頻偏的最大似然估計(jì)值在理想情況下的近似。本文采用的插值算法經(jīng)過一次反正切運(yùn)算即可獲得插值量，可以顯著的提高估計(jì)精度。

2 基于插值的粗估計(jì)

假設(shè)FFT得到的初始峰值譜線位置為kmax，實(shí)際的峰值位置分布在(kmax-1)和(kmax+1)之間，因此只需在(kmax-1)和(kmax+1)之間進(jìn)行插值。由式(3)、式(4)，可得

(7)

(8)

推導(dǎo)可得

(9)

式中:

(10)

與式(4)比較，相當(dāng)于用η修正初始的峰值譜線位置，Δf的估計(jì)值為

(11)

為便于進(jìn)行性能比較，此處列出拋物線插值方法、Rife插值算法和Jacobsen差值算法的修正值η1、η2和η3，分別為[7-9]

(12)

式中：|Fksec ond|是|Fkmax+1|和|Fkmax-1|中較大的一個(gè)，Re[ ]為取實(shí)部運(yùn)算。

3 基于二分搜索的精估計(jì)

基于插值的FFT頻偏估計(jì)存在一個(gè)固有的問題，在低信噪比條件下進(jìn)行插值時(shí)，α1、α2大小可能出現(xiàn)誤判。特別是在實(shí)際頻偏值接近峰值譜線時(shí)，估計(jì)結(jié)果偏差較大，因此需要在插值基礎(chǔ)上進(jìn)行二分搜索以獲得更精確的頻偏估計(jì)值。

由式(11)獲得頻偏粗估計(jì)值對應(yīng)的頻點(diǎn)δ0=kmax-η，在區(qū)間[δ0-ε,δ0+ε]進(jìn)行搜索。假設(shè)

(13)

(14)

對搜索迭代次數(shù)m的選取，需要兼顧系統(tǒng)需要達(dá)到的頻率精度以及實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度。算法精度由歸一化估計(jì)方差表示，搜索次數(shù)m與算法精度的關(guān)系為

(15)

4 算法性能仿真

在深空探測器應(yīng)答機(jī)設(shè)計(jì)中，頻偏估計(jì)算法的精度決定了載波同步準(zhǔn)確度和載波同步門限，直接影響解調(diào)誤碼率和解調(diào)門限這兩項(xiàng)關(guān)鍵的應(yīng)答機(jī)解調(diào)性能指標(biāo)。本文設(shè)計(jì)仿真程序?qū)λ惴ǖ墓烙?jì)精度進(jìn)行了評估。

FFT頻偏估計(jì)算法的估計(jì)誤差是一個(gè)隨實(shí)際頻偏值成周期變化的函數(shù)，周期為FFT的頻率分辨率，即兩根相鄰譜線之間的距離。仿真環(huán)境設(shè)定如下：①采用MPSK調(diào)制方式；②估計(jì)序列長度為N=256；③碼元速率fs為300 kHz，采樣頻率2400 kHz；④頻偏的變化范圍為距離譜線位置偏移量[-0.5,0.5]的區(qū)間；⑤采用平方根升余弦濾波器；⑥二分搜索區(qū)間ε=0.1。

(16)

式中：Es/N0為信號(hào)能量與噪聲能量比。

圖2 算法估計(jì)精度比較Fig.2 Comparison of estimation accuracy

圖2中橫軸表示頻偏設(shè)定值距離譜線位置的偏移量，偏移量為0.5時(shí)即為兩根譜線的中間位置。從圖2中可以看出，拋物線插值算法在實(shí)際頻偏接近FFT的離散譜線位置時(shí)，插值效果明顯，但在實(shí)際頻偏遠(yuǎn)離FFT的離散譜線位置時(shí)，插值效果并不明顯；Rife插值算法性能優(yōu)于拋物線插值算法，但在實(shí)際頻偏接近FFT的離散譜線位置時(shí)頻偏估計(jì)結(jié)果偏差較大；本文提出的插值算法性能優(yōu)于拋物線差值算法和Rife插值算法，但在對估計(jì)精度要求高的場合，仍需采用二分搜索方法進(jìn)一步提高估計(jì)準(zhǔn)確度。隨著二分搜索迭代次數(shù)的增多，估計(jì)精度逐漸提高，尤其是在靠近離散譜線位置。當(dāng)搜索迭代次數(shù)等于5時(shí)，整個(gè)頻偏估計(jì)范圍內(nèi)的精度估計(jì)接近CRB。

在深空探測器應(yīng)答機(jī)設(shè)計(jì)中，用于載波同步的估計(jì)序列長度N一般為64、128、256。為進(jìn)一步驗(yàn)證算法的抗噪聲性能，仿真了不同估計(jì)序列長度，不同信噪比條件下的歸一化估計(jì)方差。信噪比的變化范圍為-16～12 dB；設(shè)定初始頻偏值在距離譜線位置偏移量[-0.5,0.5]的區(qū)間內(nèi)隨機(jī)分布。由圖3～圖5可知，幾種算法估計(jì)頻偏都存在信噪比門限，即當(dāng)信噪比低于該值時(shí)，估計(jì)性能急劇惡化。N為64、128、256時(shí)，對應(yīng)的信噪比門限分別約為-2 dB，-5 dB、-8 dB。

圖3 算法估計(jì)精度與CRB比較(N=256)Fig.3 Comparison of estimation accuracy with CRB (N=256)

圖4 算法估計(jì)精度與CRB比較(N=128)Fig.4 Comparison of estimation accuracy with CRB (N=128)

圖5 算法估計(jì)精度與CRB比較(N=64)Fig.5 Comparison of estimation accuracy with CRB (N=64)

由以上分析可知，在探測器應(yīng)答機(jī)設(shè)計(jì)中，采用本文算法，需要考慮的兩個(gè)主要參數(shù)為：①二分搜索迭代次數(shù)；②估計(jì)序列長度。由于探測器硬件資源有限，二分搜索迭代次數(shù)一般不超過5。估計(jì)序列長度為64、128、256時(shí)，對應(yīng)的載波同步門限分別為-2 dB，-5 dB、-8 dB；估計(jì)序列越長，信道利用率越低，實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度也會(huì)相應(yīng)增加。在應(yīng)用時(shí)可根據(jù)系統(tǒng)對載波同步門限的具體指標(biāo)要求選擇適當(dāng)?shù)墓烙?jì)序列長度。

5 工程應(yīng)用

目前，該算法已應(yīng)用在深空探測器應(yīng)答機(jī)的遙控解調(diào)軟件設(shè)計(jì)中。與載波同步相關(guān)的技術(shù)指標(biāo)包括：中頻頻率范圍為45～55 MHz，頻偏范圍為±100 kHz，載波同步門限為2 dB，幀頭長度為64。軟件采用圖1所示的解調(diào)結(jié)構(gòu)，其中頻偏估計(jì)部分采用本文提出的基于插值的FFT頻偏粗估計(jì)和基于二分搜索的頻偏精估計(jì)結(jié)合的算法。硬件平臺(tái)選用Xilinx Virtex-4系列現(xiàn)場可編程門陣列(Field Programmable Gate Array, FPGA)，具體實(shí)現(xiàn)步驟如下：

(1)中頻信號(hào)經(jīng)過ADC采樣后轉(zhuǎn)換為8 bit數(shù)字中頻信號(hào)。

(2)對數(shù)字中頻信號(hào)進(jìn)行下變頻和匹配濾波。

(3)匹配濾波后的數(shù)據(jù)送至位同步模塊，恢復(fù)最佳采樣點(diǎn)信息。

(4)最佳采樣點(diǎn)信息序列首先通過已知幀頭去掉調(diào)制信息，獲得長度為64的估計(jì)序列，接下來采用本文提出的算法獲得頻偏的估計(jì)值。初始的FFT計(jì)算選用FPGA內(nèi)自帶的Fast Fourier Transform IP核實(shí)現(xiàn)，精估計(jì)階段的二分搜索迭代次數(shù)選擇5。

(5)用頻偏估計(jì)值對最佳采樣點(diǎn)信息序列進(jìn)行相位補(bǔ)償，補(bǔ)償后的序列可直接進(jìn)行MPSK解調(diào)和譯碼。

根據(jù)仿真分析可知，幀頭長度為64時(shí)，本文算法的載波同步門限為-2 dB，在FPGA開發(fā)過程中數(shù)字化處理引入2 dB的損失，仍留有約2 dB的余量，滿足技術(shù)指標(biāo)要求。相比于傳統(tǒng)深空探測器應(yīng)答機(jī)中采用的鎖相環(huán)算法，性能優(yōu)化大于4 dB。在探測器工程應(yīng)用中，硬件開銷是算法需要考慮的一個(gè)關(guān)鍵問題，實(shí)現(xiàn)該算法的資源消耗情況見表1。由表1可知，相較于鎖相環(huán)算法，本文算法資源開銷稍大。但隨著航天器芯片技術(shù)的發(fā)展，邏輯資源豐富、可靈活配置的靜態(tài)隨機(jī)存儲(chǔ)器(Static Random Access Memory, SRAM)型FPGA在航天器設(shè)計(jì)中的應(yīng)用越來越廣泛，資源消耗已不是制約算法選擇的瓶頸。

表1 算法實(shí)現(xiàn)資源開銷

6 結(jié)束語

根據(jù)深空通信信噪比低，動(dòng)態(tài)范圍大的特點(diǎn)，本文設(shè)計(jì)了一種基于插值的FFT頻偏粗估計(jì)和基于二分搜索的頻偏精估計(jì)結(jié)合的載波同步算法。目前，該算法已應(yīng)用于深空探測器的遙控?cái)?shù)字解調(diào)軟件設(shè)計(jì)中。工程實(shí)踐表明，采用該算法實(shí)現(xiàn)的數(shù)字解調(diào)器能夠?qū)崿F(xiàn)信噪比2 dB條件下的載波恢復(fù)，相比于傳統(tǒng)的鎖相環(huán)載波同步算法，性能提升不小于4 dB。