一題多變 深度探究

周善宏

數(shù)學(xué)教學(xué)的根本任務(wù)是優(yōu)化學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的能力，使學(xué)生積極參與到知識的形成過程中去。一題多變的教學(xué)，正是有目的地從多方面、多層次、多角度去培養(yǎng)學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念的能力，提高其思維品質(zhì)。

一、立足教材，理解概念

《圓的有關(guān)性質(zhì)》是通過與圓有關(guān)的線段（如直徑、弦等）、角（如圓心角、圓周角等）和弧體現(xiàn)的。教學(xué)時(shí)，筆者出示下面這道習(xí)題：如圖1，A、P、B、C是⊙O的四個(gè)點(diǎn)，∠APC=∠BPC=60°。判斷△ABC的形狀，并證明你的結(jié)論。

生1 ：△ABC是等腰三角形。

生2 ：△ABC是等邊三角形。

師：等邊三角形的判定有哪些方法？

生3 ：①三邊都相等的三角形叫等邊三角形;②三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形;③有一個(gè)角是60°的等腰三角形是等邊三角形。

師：想一想，如何將圓周角∠APC、∠BPC轉(zhuǎn)化為△ABC的內(nèi)角？

生4：同弧或等弧所對的圓周角相等，所以∠ABC=∠APC=60°，∠BAC=∠BPC=60°。

師：根據(jù)以上討論，判斷△ABC的形狀，并證明你的結(jié)論。

生5：△ABC是等邊三角形。因?yàn)椤螦BC=∠APC=60°，∠BAC=∠BPC=60°，所以∠ACB=180°-（∠ABC+∠BAC）=60°， ∠ABC=∠BAC=∠ACB，所以△ABC是等邊三角形。

師：很棒！你用的是判定定理②，大家可以分別用判定定理①、③嘗試一下。

二、條件不變，挖掘結(jié)論

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)講求靈活變通、觸類旁通。要達(dá)到這樣的效果，筆者需要抓住典型題目，引導(dǎo)學(xué)生通過多種方式開展探究。

師：已知條件不變，除上述結(jié)論外，大家還有什么發(fā)現(xiàn)，比如線段PA、PB、PC有什么等量關(guān)系？

生1：PC=PA+PB。

師：證明一條線段等于另外兩條線段的和（差），一般用什么方法？

生2 ：截長法、補(bǔ)短法。

師：用“截長法”如何驗(yàn)證？

生3：如圖2，在PC上截取PD=PA，連接AD，易證∠ADC=∠APB=120°、∠ACD=∠ABP、AC=AB，所以△ACD≌△ABP、DC=PB，最后得出結(jié)論：PD+DC=PA+PB，即PC=PA+PB。

師：非常棒！ 那么用“補(bǔ)短法”又如何驗(yàn)證呢？

生4：如圖3，延長BP至D，使PD=PA，連接AD，易證∠APC=∠ADB=60°、∠ACP=∠ABD、AC=AB，所以△ACP≌△ABD、PC=DB，又因?yàn)镈B=PD+PB=PA+PB，所以PC=PA+PB。

師：非常好！經(jīng)過驗(yàn)證，你們的猜想是正確的。

三、增加條件，變換結(jié)論

有了發(fā)現(xiàn)之后，學(xué)生興趣大增。筆者趁熱打鐵，增加條件，變換結(jié)論，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的興趣，培養(yǎng)其探索和創(chuàng)新能力。

師：如圖4，A、P、B、C是⊙O上的四個(gè)點(diǎn)，∠APC=∠BPC=60°，過點(diǎn)A作AD⊥PC于D。判斷線段PB、PD、CD的等量關(guān)系，并證明結(jié)論。

生1：CD=PD+PB。

師：用“截長法”如何驗(yàn)證？

生2：如圖5，在CD上截取ED=PD，連接AE。易證∠AEC=∠APB=120°、∠ACE=∠ABP、AC=AB，所以△ACE≌△ABP，EC=PB，所以ED+EC=PD+PB，即CD=PD+PB。

師：太棒了！ 那么用“補(bǔ)短法”又如何驗(yàn)證呢？

生3：如圖6，延長BP至E，使PE=PD，連接AE。易證∠ADC=∠AEB=90°、∠ACD=∠ABE、AC=AB，所以△ACD≌△ABE、CD=BE。又因?yàn)锽E=PE+PB=PD+PB，所以CD=PD+PB。

四、部分條件、結(jié)論互換

通過挖掘，有了發(fā)現(xiàn)，經(jīng)過變換，有了提高，學(xué)生的興趣越來越濃。筆者把部分條件、結(jié)論互換，進(jìn)一步把探究引向深入。

師：再來看第一道例題，如圖1，A、P、B、C是⊙O上的四個(gè)點(diǎn)，△ABC是等邊三角形，求∠APC、∠BPC的度數(shù)。

生1：∠APC=60°，∠BPC=60°。

師：你是怎么發(fā)現(xiàn)的？

生1：因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，所以∠ABC=∠BAC=60°，∠APC=∠ABC=60°，∠BPC=∠BAC=60°。

師：A、P、B、C是⊙O上的四個(gè)點(diǎn)，△ABC是等邊三角形，求∠APC、∠BPC的度數(shù)。

生2：沒變。

師：好好想想，“如圖”與“無圖”有什么區(qū)別？

生3：如圖，需按指定圖形數(shù)形結(jié)合;無圖，則需自己畫圖，分類討論。

師：沒有“如圖”的情況下，一定要規(guī)范畫圖，分類討論。動(dòng)手試一試吧！

生4：有三種情況。除了圖1，還有圖7、圖8兩種情況。

師：如何分類討論呢？

生5：如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在AB上時(shí)（不與點(diǎn)A、B重合），∠APC=60°、∠BPC=60°。

生6：如圖7，當(dāng)點(diǎn)P在AC上時(shí)（不與點(diǎn)A、C重合），∠APC=120°、∠BPC=60°。

生7：如圖8，當(dāng)點(diǎn)P在BC上時(shí)（不與點(diǎn)B、C重合），∠APC=60°、∠BPC=120°。

立足教材、變式整合，從變中總結(jié)解題方法、發(fā)現(xiàn)解題規(guī)律，從變中發(fā)現(xiàn)“不變”，既培養(yǎng)了學(xué)生思維的靈活性，又由表及里、由此及彼、舉一反三，將學(xué)生的思維引向深處。

（作者單位：丹江口市均縣鎮(zhèn)初級中學(xué)）

責(zé)任編輯 ?張敏