人工智能元素融入大學(xué)數(shù)學(xué)課程的可行性探析

倪丹

【摘 要】 目前，人工智能相關(guān)的大學(xué)教育越來(lái)越受到重視。人工智能需要堅(jiān)實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。大學(xué)數(shù)學(xué)課程體系中的《微積分》《線性代數(shù)》《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》三門(mén)課程，在理論和實(shí)踐上都與人工智能有著密切的聯(lián)系。本文列舉并分析了一些具體的數(shù)學(xué)知識(shí)及其在人工智能方面的應(yīng)用，這些探討都展示了將人工智能元素滲透到大學(xué)數(shù)學(xué)課程中的可行性。

【關(guān)鍵詞】 人工智能;梯度;泰勒級(jí)數(shù);線性變換;貝葉斯公式

【中圖分類(lèi)號(hào)】 O1-4 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 A 【文章編號(hào)】 2096-4102（2021）05-0030-03

隨著人工智能的迅速發(fā)展，我國(guó)制定了相應(yīng)的國(guó)家發(fā)展戰(zhàn)略，將人工智能的普及、推廣和基礎(chǔ)教育置于非常重要的位置。

大學(xué)本科階段的數(shù)學(xué)作為廣義高等數(shù)學(xué)教育的起點(diǎn)，其知識(shí)體系主要由《微積分》《線性代數(shù)》《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》這三門(mén)課程構(gòu)成。人工智能所需要的最基本的數(shù)學(xué)知識(shí)主要來(lái)自于這些課程。筆者認(rèn)為，在這些數(shù)學(xué)課程中滲透人工智能思想，將對(duì)點(diǎn)燃學(xué)生對(duì)于人工智能學(xué)習(xí)興趣的火花大有裨益。以下就這三門(mén)課中一些與人工智能有密切關(guān)聯(lián)的知識(shí)進(jìn)行舉例分析，希望對(duì)相關(guān)數(shù)學(xué)課程的教學(xué)改革起到拋磚引玉的作用。

一、人工智能與《微積分》

（一）梯度

人工智能的主要思想是尋找一種用于數(shù)據(jù)分類(lèi)和預(yù)測(cè)的優(yōu)化擬合函數(shù)。因此，優(yōu)化理論在人工智能實(shí)踐中起著非常重要的作用。在一定約束條件下，找到目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值就是我們所說(shuō)的最優(yōu)化。大學(xué)微積分課程中便有不少優(yōu)化方面的內(nèi)容。比如，在多元函數(shù)微分方法及其應(yīng)用一章中，課本在介紹完方向?qū)?shù)之后引入了梯度。我們知道，梯度的方向是獲得方向?qū)?shù)的最大值的方向，梯度的值則是方向?qū)?shù)的最大值。為了獲得對(duì)梯度的清晰認(rèn)識(shí)，我們可以追溯到介紹導(dǎo)數(shù)的含義和幾何背景的章節(jié)。

梯度可以看作是導(dǎo)數(shù)的多變量推廣。與標(biāo)量值的導(dǎo)數(shù)不同，梯度是一個(gè)向量值函數(shù)，它表示函數(shù)圖切線的斜率。更精確地說(shuō)，梯度的負(fù)方向是函數(shù)達(dá)到其局部最小值的最快方向。梯度下降法是人工智能實(shí)踐中常用的優(yōu)化算法。它的核心思想是在當(dāng)前位置找到梯度的最快下降方向，以便逐步逼近最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)。

梯度則指明了從當(dāng)前位置下降的最陡方向。以二元函數(shù)為例，目標(biāo)函數(shù)J（w）將表示為J（w1，w2）。相應(yīng)的三維圖形類(lèi)似于一座山，谷底對(duì)應(yīng)于J（w1，w2）的最小值，而坡度（梯度的反方向）則指出了下山最快的方向（見(jiàn)圖1）。

（二）泰勒級(jí)數(shù)

人工智能的強(qiáng)大之處是其算法的效率和準(zhǔn)確性。當(dāng)運(yùn)用人工智能技術(shù)解決一個(gè)實(shí)際問(wèn)題時(shí)，常常需要一個(gè)具體的數(shù)學(xué)模型。而許多問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型通常很復(fù)雜。這些復(fù)雜的問(wèn)題往往難以解決甚至不可能精確地解決。這時(shí)，找到一個(gè)不那么精確但有效的解決方案可能是最好的選擇。而微積分中的泰勒公式的最大優(yōu)點(diǎn)是它將一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)近似為一系列冪函數(shù)的簡(jiǎn)單線性疊加，從而便于比較、求導(dǎo)、求積分和求解微分方程等。這一優(yōu)點(diǎn)使得泰勒級(jí)數(shù)成為研究神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有力工具。

“無(wú)窮級(jí)數(shù)”章節(jié)里，我們可以看到使用泰勒級(jí)數(shù)來(lái)逼近函數(shù)的神奇效果：以y=ex在x=0處的3階、7階泰勒展開(kāi)為例，見(jiàn)圖2。

《微積分》是人類(lèi)數(shù)學(xué)史上和人類(lèi)思維領(lǐng)域最偉大的成果之一，而人工智能在某種意義上是對(duì)人類(lèi)思維的模擬和進(jìn)一步發(fā)展。從上面梯度和級(jí)數(shù)例子的展示，我們可以看到，學(xué)生在微積分課堂的學(xué)習(xí)中，已經(jīng)可以直接追溯探討到人工智能主要思想的起點(diǎn)。

二、人工智能與《線性代數(shù)》

人工智能技術(shù)最終都是建立在與《線性代數(shù)》密不可分的數(shù)學(xué)模型之上的。特別是在處理多維數(shù)據(jù)時(shí)，需要用《線性代數(shù)》簡(jiǎn)潔明了地描述問(wèn)題，為分析和解決問(wèn)題打下基礎(chǔ)。事實(shí)上，隨著機(jī)器視覺(jué)成為人工智能的重要組成部分，投影技術(shù)和映射技術(shù)越來(lái)越受到人們的重視。而投影和映射的基本原理便來(lái)自于線性代數(shù)。

大學(xué)線性代數(shù)課程中的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容是線性變換。當(dāng)我們將一個(gè)線性變換作用于一個(gè)向量時(shí)，通常指將一個(gè)矩陣與一個(gè)向量相乘，幾何意義上通常意味著該向量被旋轉(zhuǎn)和縮放。如果將線性變換看作是一種運(yùn)動(dòng)，那么矩陣A的特征值和特征向量正好對(duì)應(yīng)了運(yùn)動(dòng)的速度與方向。

在本科階段的線性代數(shù)課程中，我們便可以接觸到以上所述的相關(guān)內(nèi)容，比如，線性變換如何通過(guò)矩陣乘法來(lái)實(shí)現(xiàn)：設(shè)[A=a11? ?a12a21? ?a22]為二階矩陣，[X=x1x2]為列向量，于是我們可得以下乘法：[AX=a11? ?a12a21? ?a22x1x2=a11x1+a12x2a21x1+a22x2=y1y2=Y]。這意味著向量X在線性變換下被向后旋轉(zhuǎn)和縮放成Y，該線性變換的幾何顯示如圖3所示。

而如果下式成立：[AX=a11? ?a12a21? ?a22x1x2=a11x1+a12x2a21x1+a22x2=λx1λx2=λX=Y]，其中λ是A的特征值，而非零向量，X稱為A對(duì)應(yīng)于特征值λ的特征向量，則線性變換的幾何顯示如圖4所示。

在現(xiàn)實(shí)世界中，諸多人工智能應(yīng)用中我們都可以看到線性代數(shù)的影子，比如人臉識(shí)別技術(shù)。Paul Viola和Michael J.Jones在2001年和2004年發(fā)表了經(jīng)典的《Rapid Object Detection using a Boosted Cascade of Simple Features》和《Robust Real-Time Face Detection》，提出了基于Haar-like特征和Adaboost分類(lèi)器的開(kāi)創(chuàng)性人臉識(shí)別算法。其中輪廓定位部分，說(shuō)的是模型從訓(xùn)練的樣本（如圖片集）中學(xué)習(xí)到了眼耳鼻喉等關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，即輪廓點(diǎn)定位。這樣的訓(xùn)練過(guò)程能夠得到人臉的均值輪廓。而一個(gè)人的臉部輪廓是可以通過(guò)這個(gè)均值輪廓進(jìn)行線性變換得到的。

具體以人臉識(shí)別投影過(guò)程中需要用到的仿射變換為例。仿射變換一般包括平移變換、旋轉(zhuǎn)變換、縮放變換、錯(cuò)切變換、翻轉(zhuǎn)變換等。簡(jiǎn)單舉例如下：

①旋轉(zhuǎn)變換的向量表示為[xy=cosθ-sinθsinθ-cosθxy]，譬如分別取θ為[π6]、[π4]、[π3]、[π2]，向量[11]即可順時(shí)針旋轉(zhuǎn)相應(yīng)的角度。

②翻轉(zhuǎn)變換（以關(guān)于y軸的翻轉(zhuǎn)為例）的向量表示為[xy=-1? ? 0? ?0? ? 1xy]，。

三、人工智能與《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》

《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》也是人工智能研究中極其重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。概率論為人工智能提供了隨機(jī)性，為預(yù)測(cè)提供了基礎(chǔ)，而數(shù)理統(tǒng)計(jì)有助于解釋機(jī)器學(xué)習(xí)算法和數(shù)據(jù)挖掘的結(jié)果。就機(jī)器學(xué)習(xí)而言，它是人工智能的核心，是實(shí)現(xiàn)計(jì)算機(jī)智能化的根本途徑。更具體地說(shuō)，機(jī)器學(xué)習(xí)是用實(shí)例數(shù)據(jù)或過(guò)去的經(jīng)驗(yàn)對(duì)計(jì)算機(jī)（智能系統(tǒng)）進(jìn)行編程，以優(yōu)化性能標(biāo)準(zhǔn)。在概率論中，過(guò)去的經(jīng)驗(yàn)是指先驗(yàn)概率，從中可以根據(jù)新的信息獲得后驗(yàn)概率，而機(jī)器學(xué)習(xí)的最終目標(biāo)是學(xué)習(xí)后驗(yàn)概率。

回到大學(xué)數(shù)學(xué)課程《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》中的“條件概率”章節(jié)部分，我們可以看到連接先驗(yàn)概率和后驗(yàn)概率的Bayes公式：

首先假設(shè)B1，B2，…，Bn為一個(gè)概率空間中的完備事件組，這意味著它們的并集是整個(gè)空間，于是有

[PBjA=P（ABj）P（A）=P（ABj）P（Bj）j=1nP（ABj）P（Bj）]

其中[P（A）≠0]

上述重要的Bayes公式通常用于計(jì)算后驗(yàn)概率，公式中的條件概率[P（BjA）]即為后驗(yàn)概率，而[P（Bj）]是先驗(yàn)概率。從某種意義上說(shuō)，[P（ABj）]是新的信息。假設(shè)新的信息被加入后，后驗(yàn)概率[P（BjA）]將成為另一輪利用貝葉斯公式得到新后驗(yàn)概率的先驗(yàn)概率。這就是機(jī)器學(xué)習(xí)的工作原理：不斷的學(xué)習(xí)和不斷的修改。

目前人工智能領(lǐng)域最有效的推理工具之一是貝葉斯網(wǎng)（Bayes Network），它是一種描述變量間不確定因果關(guān)系的圖形網(wǎng)絡(luò)模型，貝葉斯網(wǎng)就是起源于條件概率和貝葉斯模型。

四、結(jié)語(yǔ)

以上三方面的討論展示了大學(xué)數(shù)學(xué)課程與人工智能相關(guān)知識(shí)有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系。通過(guò)精心的教學(xué)設(shè)計(jì)，將人工智能元素滲透到大學(xué)數(shù)學(xué)課堂是可以實(shí)現(xiàn)的。隨著人工智能普及教育在大學(xué)教育中的地位越來(lái)越突出，人工智能與數(shù)學(xué)等相關(guān)學(xué)科、相關(guān)課程的交叉融合也將成為未來(lái)教育發(fā)展的趨勢(shì)。數(shù)學(xué)作為人工智能相關(guān)專(zhuān)業(yè)的核心基礎(chǔ)課程，對(duì)后續(xù)的學(xué)習(xí)研究起著至關(guān)重要的作用。在數(shù)學(xué)課程中滲透人工智能元素，不僅可在人工智能相關(guān)的專(zhuān)業(yè)素養(yǎng)訓(xùn)練方面事半功倍，而且還可以激發(fā)學(xué)生探索研究人工智能知識(shí)的興趣。故此，這將是人工智能教育與數(shù)學(xué)教育的雙贏嘗試。

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