大規(guī)模MIMO系統(tǒng)中范數(shù)雙向選擇算法

蘇 佳，夏 雨

(河北科技大學(xué) 信息科學(xué)與工程學(xué)院，河北 石家莊 050018)

0 引 言

多輸入多輸出系統(tǒng)在發(fā)射和接收端布設(shè)了大量的天線(xiàn)，信號(hào)主要通過(guò)天線(xiàn)集構(gòu)成的信道矩陣進(jìn)行傳送和接收，這種布設(shè)大量天線(xiàn)的方法使得通信系統(tǒng)性能有所提高[1,2]。隨著天線(xiàn)數(shù)的增加，系統(tǒng)的信道自由度也會(huì)隨之上升，進(jìn)而提高信號(hào)傳輸?shù)目煽啃訹3]。在實(shí)際生活中，用戶(hù)和基站數(shù)量的極速增加，給傳統(tǒng)MIMO技術(shù)帶來(lái)了巨大挑戰(zhàn)，傳統(tǒng)MIMO技術(shù)已經(jīng)無(wú)法滿(mǎn)足人們對(duì)信息獲取的需求，因此在傳統(tǒng)MIMO系統(tǒng)的基礎(chǔ)上延伸出了大規(guī)模MIMO系統(tǒng)[4,5]。

Massive MIMO系統(tǒng)通過(guò)在基站側(cè)布置大量天線(xiàn)單元得到集中式天線(xiàn)系統(tǒng)(co-located antenna system，CAS)。作為第5代(5G)無(wú)線(xiàn)系統(tǒng)的核心技術(shù)之一，Massive MIMO系統(tǒng)因具有高頻譜利用效率和能量利用效率而獲得了研究人員的關(guān)注，能夠在不消耗更多頻譜資源的前提下對(duì)信道容量和系統(tǒng)能效進(jìn)行優(yōu)化。通過(guò)國(guó)內(nèi)外的進(jìn)一步研究，Massive MIMO技術(shù)有可能滿(mǎn)足未來(lái)高速鐵路的通信需求，并有潛力產(chǎn)生巨大的經(jīng)濟(jì)效益和環(huán)境影響，進(jìn)而促使綠色通信的實(shí)現(xiàn)。雖然天線(xiàn)數(shù)目的增多可以大幅度提升Massive MIMO系統(tǒng)性能，但在實(shí)際部署的過(guò)程中需要為每一根天線(xiàn)配備與之對(duì)應(yīng)的射頻鏈路，硬件成本和復(fù)雜度也會(huì)隨之增加，會(huì)產(chǎn)生更多系統(tǒng)功耗和硬件損耗[6]。天線(xiàn)選擇技術(shù)的核心思想就是根據(jù)不同的算法，在保證系統(tǒng)性能的前提下，在發(fā)射端或接收端選取出最適合當(dāng)前通信環(huán)境傳輸?shù)奶炀€(xiàn)子集，這些天線(xiàn)子集能夠滿(mǎn)足信號(hào)傳輸需求，進(jìn)而降低功耗和損耗。

信道容量與系統(tǒng)能效是優(yōu)化天線(xiàn)選擇算法的兩個(gè)主要目標(biāo)。傳統(tǒng)天線(xiàn)選擇算法中能使容量最優(yōu)的算法是窮舉天線(xiàn)選擇法，該算法能夠遍歷所有可能的天線(xiàn)組合，從而選擇出最優(yōu)的天線(xiàn)子集，雖然這種算法可以使得系統(tǒng)容量最大化，但其運(yùn)算過(guò)程復(fù)雜在實(shí)際中不可能實(shí)現(xiàn)，因此研究人員對(duì)天線(xiàn)選擇算法進(jìn)行了研究和改進(jìn)[7]。文獻(xiàn)[8]提到了一種遞減天線(xiàn)快速選擇算法，天線(xiàn)子集從全集開(kāi)始逐漸減少，所以這種算法適用于選擇天線(xiàn)數(shù)量較多的情況；文獻(xiàn)[9]結(jié)合貪心算法，提出了一種從空集遞增選擇的算法，逐漸將符合準(zhǔn)則的天線(xiàn)加入到空集中，這種算法適合應(yīng)用在選擇天線(xiàn)數(shù)較少的通信環(huán)境；文獻(xiàn)[10]提到了一種范數(shù)選擇算法，該方法通過(guò)計(jì)算信道矩陣的范數(shù)來(lái)對(duì)天線(xiàn)進(jìn)行選擇；文獻(xiàn)[11]提出了基于機(jī)器學(xué)習(xí)多級(jí)分類(lèi)思想的天線(xiàn)選擇算法。

上述幾種天線(xiàn)選擇算法以損失部分性能為代價(jià)，極大程度減少了算法復(fù)雜度，不同的算法在不同的通信環(huán)境中擁有各自的優(yōu)缺點(diǎn)。在Massive MIMO系統(tǒng)中，適用于傳統(tǒng)MIMO系統(tǒng)的天線(xiàn)選擇算法仍具有較高的復(fù)雜度，因此研究人員針對(duì)Massive MIMO系統(tǒng)中的選擇算法進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[12]基于最大體積子矩陣的查找方法，提出了一種實(shí)時(shí)逐根天線(xiàn)循環(huán)迭代的天線(xiàn)選擇算法，這種算法具有低內(nèi)存成本和低運(yùn)算復(fù)雜度；文獻(xiàn)[13]在Massive MIMO中提出了一種選擇算法，該算法結(jié)合了兩種關(guān)鍵技術(shù)：天線(xiàn)選擇和波束成型，最優(yōu)解通過(guò)凸函數(shù)來(lái)求解，能夠同時(shí)對(duì)系統(tǒng)各方面性能進(jìn)行優(yōu)化；文獻(xiàn)[14]根據(jù)能效最大化的原則，提出了功率分配方案來(lái)優(yōu)化算法，提升性能并降低算法復(fù)雜度；文獻(xiàn)[15]提出了雙向搜索天線(xiàn)選擇算法，這種算法適用于不同天線(xiàn)選擇數(shù)的情況；文獻(xiàn)[16]提出了一種能夠?qū)⒔邮展β首畲蠡乃惴?，算法的最?yōu)解通過(guò)將優(yōu)化函數(shù)轉(zhuǎn)化成另一種凸函數(shù)來(lái)求解；文獻(xiàn)[17]提出的算法名為最小條件數(shù)，該算法能夠使信道容量趨近于窮舉法的信道容量。上述幾種天線(xiàn)選擇算法雖然從各個(gè)方面提升系統(tǒng)性能，但在系統(tǒng)中仍具有較高的復(fù)雜度。

在Massive MIMO通信系統(tǒng)條件下，天線(xiàn)選擇算法主要分為兩類(lèi)：一類(lèi)算法是以系統(tǒng)性能最優(yōu)為前提，但復(fù)雜度會(huì)隨天線(xiàn)數(shù)的增加而提高；另一類(lèi)算法的復(fù)雜度較低，但不具有良好的系統(tǒng)性能。本文提出了一種綜合考慮系統(tǒng)性能和復(fù)雜度的天線(xiàn)選擇算法，即最大歐式范數(shù)雙向選擇算法，該算法能夠在保持較低算法復(fù)雜度的同時(shí)提升系統(tǒng)容量。

1 系統(tǒng)模型

本文考慮的大規(guī)模MIMO系統(tǒng)，其中發(fā)射端配備N(xiāo)根天線(xiàn)，接收端配備M根天線(xiàn)，具有平坦的瑞利衰落信道且具有加性高斯白噪聲(additive white Gaussian noise，AWGN)，系統(tǒng)信號(hào)傳輸模型可表示為

(1)

其中

y(i)=[y1(i),y2(i),…,yM(i)]T

(2)

x(i)=[x1(i),x2(i),…,xN(i)]T

(3)

n(i)=[n1(i),n2(i),…,nM(i)]T

(4)

(5)

式中：y(i) 代表M維從M根接收天線(xiàn)處收集的i個(gè)信號(hào)采樣點(diǎn)；x(i) 代表N維從N根發(fā)射天線(xiàn)處收集的i個(gè)信號(hào)采樣點(diǎn)；n(i) 代表零均值高斯噪聲矢量；Es是每根接收天線(xiàn)和每個(gè)信道使用的平均功率；較強(qiáng)的散射環(huán)境和稀疏的天線(xiàn)間距可以使得信道矩陣更加容易滿(mǎn)足獨(dú)立同分布的瑞利衰落的假設(shè)。

在進(jìn)行天線(xiàn)子集選擇時(shí)，假設(shè)在接收端處已知完整信道狀態(tài)信息(channel state information，CSI)，如果在發(fā)射端無(wú)法獲取完整的信道狀態(tài)信息，則每根發(fā)射天線(xiàn)需要獲取相同的發(fā)射功率，矩陣H對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)信道容量可表示成

C(H)=lb det(IN+EsHHH)=
lb det(IM+EsHHH)

(6)

C(H)為信道H對(duì)應(yīng)信道容量； (·)H表示對(duì)矩陣做共軛轉(zhuǎn)置處理； det(·) 表示求矩陣的行列式值；IN表示N維的單位矩陣。

圖1為Massive MIMO系統(tǒng)天線(xiàn)選擇示意圖，N為總的發(fā)射天線(xiàn)數(shù)，從N根發(fā)射天線(xiàn)里選擇LN根發(fā)射天線(xiàn)，M為總的接收天線(xiàn)數(shù)，在M根接收天線(xiàn)選擇里選擇LM根接收天線(xiàn)進(jìn)行信號(hào)的傳輸，H為信號(hào)傳輸?shù)男诺谰仃?，在發(fā)射端和接收端均配備了與之對(duì)應(yīng)的射頻鏈路。

圖1 Massive MIMO系統(tǒng)中的天線(xiàn)選擇

若在發(fā)射端選擇全部發(fā)射天線(xiàn)進(jìn)行信號(hào)發(fā)射，即LN=N, 在接收端選擇LM根天線(xiàn)來(lái)接收信號(hào)，LM

(7)

大規(guī)模MIMO系統(tǒng)的天線(xiàn)選擇分為3類(lèi)：

(1)接收天線(xiàn)選擇。接收天線(xiàn)選擇算法在接收端發(fā)揮作用，當(dāng)接收端已獲得完整CSI，在某個(gè)約束條件下從所有接收天線(xiàn)中遴選出適合當(dāng)前通信環(huán)境傳輸?shù)娜舾筛炀€(xiàn)來(lái)接收信號(hào)。

(2)發(fā)送天線(xiàn)選擇。發(fā)射天線(xiàn)選擇算法應(yīng)用在發(fā)射端，發(fā)射天線(xiàn)選擇是在某個(gè)約束條件下，從所有發(fā)射天線(xiàn)中遴選出適合當(dāng)前通信環(huán)境傳輸?shù)娜舾筛炀€(xiàn)。發(fā)射天線(xiàn)對(duì)應(yīng)信道矩陣的列向量，對(duì)發(fā)射天線(xiàn)進(jìn)行選擇即為通過(guò)算法對(duì)信道矩陣列向量進(jìn)行選取。與接收天線(xiàn)選擇不同的是，接收端需要將CSI反饋給發(fā)送端，發(fā)送端將此CSI作為根據(jù)來(lái)選擇天線(xiàn)。

(3)發(fā)射與接收天線(xiàn)的聯(lián)合選擇。接收與發(fā)射天線(xiàn)的聯(lián)合選擇也叫收發(fā)聯(lián)合天線(xiàn)選擇，意思是同時(shí)在接收端和發(fā)送端進(jìn)行天線(xiàn)選擇。收發(fā)聯(lián)合選擇會(huì)導(dǎo)致備選天線(xiàn)子集數(shù)量成倍增加，極大程度增加了復(fù)雜度，因此需要高效的算法來(lái)降低復(fù)雜度。

2 天線(xiàn)選擇算法

2.1 雙向搜索算法

天線(xiàn)選擇算法中，每根天線(xiàn)對(duì)信道容量的貢獻(xiàn)度是一個(gè)重要指標(biāo)，不同的天線(xiàn)選擇算法對(duì)貢獻(xiàn)度的計(jì)算也不盡相同。例如在范數(shù)算法中，通過(guò)不同信道子矩陣對(duì)應(yīng)的范數(shù)來(lái)計(jì)算容量貢獻(xiàn)度；矩陣體積算法中，通過(guò)不同信道子矩陣對(duì)應(yīng)的體積來(lái)計(jì)算容量貢獻(xiàn)度。當(dāng)天線(xiàn)間存在相關(guān)性或者相互影響時(shí)，還需要將天線(xiàn)相關(guān)行對(duì)信道的影響以及天線(xiàn)間影響考慮在內(nèi)。本文所提算法是通過(guò)矩陣范數(shù)來(lái)計(jì)算每根天線(xiàn)的容量貢獻(xiàn)度。

雙向搜索算法是根據(jù)遞增算法與遞減算法的適用情況來(lái)提出的，這兩種算法均是通過(guò)一系列矩陣知識(shí)來(lái)簡(jiǎn)化窮舉算法運(yùn)算的過(guò)程。遞增天線(xiàn)選擇算法選擇天線(xiàn)步驟為：算法從空集開(kāi)始選擇，每次將一根對(duì)系統(tǒng)容量貢獻(xiàn)最大的天線(xiàn)加入到空集中，直到集合中天線(xiàn)符合要求。同理，遞減選擇算法從待選天線(xiàn)全集開(kāi)始，每次將一個(gè)對(duì)系統(tǒng)容量貢獻(xiàn)最小的天線(xiàn)去除，直到集合中剩余天線(xiàn)數(shù)符合要求。在不同選擇天線(xiàn)數(shù)的系統(tǒng)環(huán)境下，兩種算法各有優(yōu)缺點(diǎn)，遞增算法由空天線(xiàn)集合開(kāi)始逐一增加，適用于選擇天線(xiàn)數(shù)較少 (LM≤M/2) 的情況；而遞減算法從全天線(xiàn)集合中開(kāi)始逐一減少，適用于選擇天線(xiàn)數(shù)較多 (LM≥M/2) 的情況。算法具體步驟如下：

算法1： 雙向搜索天線(xiàn)選擇算法

輸入： Λ

輸出：Z

(1) 初始化Λ,X=Y=?,B=IN

(3)K=argmaxσk, Λ=Λ-K,X=X+K

(4)C=(IN+EsH(Λ,∶)HH(Λ,∶))-1

(6) while length(X)≠LM

(7) 使用遞減選擇算法進(jìn)行天線(xiàn)選擇

1)P=argminμk, Λ=Λ-P,Y=X+Λ O(MLM)

2) if length(Y)=LM

Z=Y, break

end if

4) 對(duì)于k∈Λ, 求出每一項(xiàng)σk=σk-|αHhk|2

O(NMLM)

(8) 使用遞增選擇算法進(jìn)行天線(xiàn)選擇

1)K=argmaxσk, Λ=Λ-K,X=X+K

3) 對(duì)于k∈Λ, 求出每一項(xiàng)μk=μk+|hke|2

O(NMLM)

(9)Z=X

(10) end while

(11) 返回集合Z

其中，hk(1≤k≤M) 是信道矩陣H中的第k行；Λ為所有接收天線(xiàn)集合；σk(k∈Λ) 為第k根天線(xiàn)對(duì)信道容量的貢獻(xiàn)，K和P為本次循環(huán)選擇出天線(xiàn)對(duì)應(yīng)的序號(hào)；α、C、e是為簡(jiǎn)化計(jì)算而引入的變量矩陣；算法返回的Z是選擇后的天線(xiàn)子集； O(·)H表示最大運(yùn)算復(fù)雜度。

本文通過(guò)計(jì)算范數(shù)來(lái)對(duì)天線(xiàn)進(jìn)行選擇，提出了最大歐式范數(shù)雙向選擇算法。該算法在循環(huán)中同時(shí)對(duì)兩根天線(xiàn)進(jìn)行選擇，直到所選天線(xiàn)子集中的天線(xiàn)數(shù)與所需天線(xiàn)數(shù)相等，同時(shí)處理兩根天線(xiàn)的方法加快了選擇速度且對(duì)系統(tǒng)的容量幾乎沒(méi)有影響。雖然每次循環(huán)過(guò)程中對(duì)兩根天線(xiàn)進(jìn)行了選擇，增加了當(dāng)前循環(huán)過(guò)程的計(jì)算量，但這種方法能夠減少下一次每次循環(huán)的計(jì)算量。

2.2 最大歐式范數(shù)雙向選擇算法

最大歐式范數(shù)雙向選擇算法的主要方法同雙向搜索選擇算法一樣，分別從天線(xiàn)的空集遞增，全集遞減，當(dāng)任意集合達(dá)到所需天線(xiàn)數(shù)即可得到選擇后的天線(xiàn)集合。不同的是，在雙向搜索算法中，使用的是遞增與遞減算法來(lái)判斷天線(xiàn)對(duì)容量的貢獻(xiàn)度，對(duì)天線(xiàn)進(jìn)行選擇，而對(duì)于最大歐式范數(shù)雙向選擇算法，在每一次循環(huán)中通過(guò)計(jì)算比較信道矩陣每一行的歐式范數(shù)來(lái)選擇天線(xiàn)，即使用范數(shù)選擇算法來(lái)判斷對(duì)容量的貢獻(xiàn)度。與單純的使用遞增遞減算法相比，降低了選擇過(guò)程中算法的復(fù)雜度，這種算法既能在降低算法復(fù)雜度的同時(shí)減少對(duì)系統(tǒng)容量的影響，又能滿(mǎn)足不同選擇天線(xiàn)數(shù)的需求。

算法中對(duì)容量貢獻(xiàn)的分析主要是通過(guò)計(jì)算行列式的范數(shù)來(lái)計(jì)算的，以范數(shù)選擇算法為例，每根接收天線(xiàn)對(duì)應(yīng)信道矩陣的行向量，歐式范數(shù)的計(jì)算公式為

(8)

算法2： 范數(shù)選擇算法

輸入： Λ

輸出：S

(1) 初始化,T=Λ

O(N2M)

(3)n=2

(4) form=1 toM-1

fort=ntoM

ifEt>Em

temp=Tm

O(M2)

Tm=Tt

Tt=temp

end if

end for

n=n+1

end for

(5) forj=1 toLM

S=S+Tj

O(LM)

end for

(6) 返回集合S

其中，Λ與T為所有接收天線(xiàn)集合；Ek(1≤k≤M) 表示第k行對(duì)應(yīng)的范數(shù)；程序的返回值S為選擇后的天線(xiàn)子集。

范數(shù)選擇算法可使系統(tǒng)具有較高的信道容量，但隨著天線(xiàn)數(shù)量的增加，算法的計(jì)算復(fù)雜度也會(huì)隨之增高。為了降低每一次循環(huán)中的計(jì)算復(fù)雜度，本節(jié)提出了最大歐式范數(shù)雙向選擇算法。每一次循環(huán)選擇天線(xiàn)的過(guò)程導(dǎo)致了算法具有高計(jì)算復(fù)雜度，使用范數(shù)選擇算法來(lái)進(jìn)行天線(xiàn)選擇，進(jìn)一步降低循環(huán)中的計(jì)算復(fù)雜度。下面總結(jié)了最大歐式范數(shù)雙向選擇算法的具體步驟[18]：

(1)初始化算法中使用的參數(shù)：接收天線(xiàn)集表示為Λ，遞增過(guò)程選擇的天線(xiàn)集表示為X, 遞減過(guò)程選擇的天線(xiàn)集表示為Y，X和Y初始都為空；

(2)計(jì)算出信道矩陣每個(gè)行向量的歐式范數(shù)值，從計(jì)算出的所有值中選擇出值最大的天線(xiàn)K加入到集合X當(dāng)中，在集合Λ中刪除該天線(xiàn)并且在歐式范數(shù)值的集合E中刪除該天線(xiàn)對(duì)應(yīng)的歐式范數(shù)值。從全集開(kāi)始進(jìn)行循環(huán)遞減選擇：如果集合X中的元素個(gè)數(shù)等于LM， 停止天線(xiàn)選擇算法；如果集合X中的元素個(gè)數(shù)不等于LM， 則執(zhí)行步驟(3)繼續(xù)進(jìn)行天線(xiàn)選擇；

(3)在歐式范數(shù)值集合E中選擇出值最小的天線(xiàn)P， 在集合Λ中刪除該天線(xiàn)同時(shí)在歐式范數(shù)值的集合E中刪除該天線(xiàn)對(duì)應(yīng)的歐式范數(shù)值，并且將集合X與集合Λ做并運(yùn)算并賦值給集合Y。 如果集合Y中的元素個(gè)數(shù)等于LM， 此時(shí)停止天線(xiàn)選擇算法并將集合Y賦值給集合Z； 如果集合X中的元素個(gè)數(shù)不等于LM， 則執(zhí)行步驟(4)繼續(xù)進(jìn)行天線(xiàn)選擇；

(4)從空集開(kāi)始對(duì)天線(xiàn)進(jìn)行遞增選擇，在歐式范數(shù)集合E中選擇出值最大的天線(xiàn)K加入到集合X當(dāng)中，在集合Λ中刪除該天線(xiàn)同時(shí)在歐式范數(shù)值的集合E中刪除該天線(xiàn)對(duì)應(yīng)的歐式范數(shù)值，并且將集合X賦值給集合Z， 返回步驟(3)循環(huán)進(jìn)行天線(xiàn)選擇。

(5)將經(jīng)過(guò)算法選擇后的天線(xiàn)集合X或Y賦值給集合Z， 結(jié)束算法，完成天線(xiàn)選擇。

算法3： 最大歐式范數(shù)雙向選擇算法

輸入： Λ

輸出：Z

(1) 初始化Λ,X=Y=?

O(N2M)

(3)K=argmaxEk,E=E-EK, Λ=Λ-K,X=X+K

(4) while length(X)≠LM

(5) 通過(guò)范數(shù)比較進(jìn)行遞減選擇

1)P=argminEk

2)E=E-EP, Λ=Λ-P,Y=X+Λ

3) if length(Y)=LM

Z=Y, break

end if

(6) 通過(guò)范數(shù)比較進(jìn)行遞增選擇

1)K=arg maxEk

O(MLM)

2)E=E-EK, Λ=Λ-K,X=X+K

(7)Z=X

(8) end while

(9) 返回集合Z

其中，hk是信道矩陣H中的第k行；Ek表示第k行對(duì)應(yīng)的歐式范數(shù)，K和P為本次循環(huán)選擇出天線(xiàn)對(duì)應(yīng)的序號(hào)；程序的返回值Z為選擇后的天線(xiàn)子集。

從算法1和算法2的步驟中可以看出，范數(shù)選擇算法的復(fù)雜度為O(M2)， 雙向搜索算法的復(fù)雜度為O(NMLM)， 而從算法3中可以看出最大歐式范數(shù)雙向選擇算法的復(fù)雜度為O(MLM), 與雙向搜索算法相比有所降低，且選擇天線(xiàn)數(shù)等于接收天線(xiàn)數(shù)時(shí) (LM=M)， 最大歐式范數(shù)雙向選擇算法的復(fù)雜度與范數(shù)選擇算法相等，此時(shí)情況相當(dāng)于未進(jìn)行天線(xiàn)選擇。相比于原范數(shù)天線(xiàn)選擇算法，每一次循環(huán)處理的天線(xiàn)數(shù)為兩根，相當(dāng)于將原先需要循環(huán)的總次數(shù)減少了一半，選擇出天線(xiàn)所需要得循環(huán)總數(shù)減少為M/2。

3 仿真結(jié)果

為了分析文中提出的最大歐式范數(shù)雙向選擇算法的性能，本文從系統(tǒng)性能和計(jì)算復(fù)雜度兩個(gè)方面與已有算法——遞增選擇算法、隨機(jī)選擇算法、雙向搜索選擇算法以及范數(shù)算法進(jìn)行仿真和比較，使用上述算法對(duì)接收端天線(xiàn)進(jìn)行天線(xiàn)子集選擇。對(duì)Massive MIMO系統(tǒng)的上行鏈路進(jìn)行仿真，終端發(fā)射端設(shè)有N根發(fā)射天線(xiàn)，基站接收端設(shè)有M根接收天線(xiàn)，信道仿真環(huán)境為瑞利平坦衰落信道，信道矩陣中的各個(gè)元素為高斯隨機(jī)變量，服從獨(dú)立同分布。

3.1 容量與選擇天線(xiàn)數(shù)的關(guān)系

在發(fā)射天線(xiàn)數(shù)N=16， 接收天線(xiàn)數(shù)M=128， 選擇天線(xiàn)數(shù)LM的范圍為0～120，系統(tǒng)默認(rèn)信噪比為10 dB的條件下進(jìn)行仿真，圖2與圖3為采用不同算法時(shí)容量與選擇天線(xiàn)數(shù)的關(guān)系圖，圖2選擇天線(xiàn)數(shù)范圍為0～40，圖3選擇天線(xiàn)數(shù)范圍為40～100。

圖2 容量與選擇天線(xiàn)數(shù)(0-40)的關(guān)系

由圖2可以看出，系統(tǒng)容量隨著選擇天線(xiàn)數(shù)量的增加而不斷提升，通過(guò)比較實(shí)驗(yàn)仿真的算法，遞增和范數(shù)算法對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)容量最佳，為容量上界；而隨機(jī)選擇算法對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)容量最差，為容量下界。當(dāng)選擇天線(xiàn)數(shù)小于40時(shí)，最大歐式范數(shù)雙向選擇算法與雙向搜索算法的性能比較接近于遞增選擇算法；天線(xiàn)數(shù)大于40時(shí)的曲線(xiàn)趨勢(shì)如圖3所示。

圖3 容量與選擇天線(xiàn)數(shù)(40-100)的關(guān)系

由圖3可知，當(dāng)選擇天線(xiàn)數(shù)等于60時(shí)，相比于雙向選擇算法，所提新算法對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)容量提高了0.89 bit/s/Hz；當(dāng)選擇天線(xiàn)數(shù)在40到100范圍內(nèi)，可明顯看出最大歐式范數(shù)雙向選擇算法對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)容量較高，但低于范數(shù)選擇算法對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)容量。這是由于使用了雙向選擇算法從而降低了范數(shù)選擇算法的復(fù)雜度，但會(huì)對(duì)系統(tǒng)容量造成了一定影響，所以未能達(dá)到范數(shù)選擇算法的系統(tǒng)容量。

3.2 容量與信噪比的關(guān)系

在發(fā)射天線(xiàn)數(shù)N=4， 接收天線(xiàn)數(shù)M=100， 系統(tǒng)默認(rèn)信噪比為10 dB的條件下進(jìn)行仿真，圖4為在固定選擇天線(xiàn)數(shù)LM=70的前提下，采用不同天線(xiàn)選擇算法獲得的系統(tǒng)容量與信噪比關(guān)系的曲線(xiàn)。

圖4 容量與信噪比的關(guān)系

由圖4可以看出，算法的信道容量曲線(xiàn)隨信噪比的提高呈現(xiàn)不斷上升的趨勢(shì)，最大歐式范數(shù)雙向選擇算法的信道容量曲線(xiàn)在其他所有曲線(xiàn)的上方；而隨機(jī)選擇算法的信道容量曲線(xiàn)在其他所有曲線(xiàn)的下方；最大歐式范數(shù)雙向算法的信道容量曲線(xiàn)位于雙向選擇算法信道容量曲線(xiàn)的上方，這是因?yàn)橥ㄟ^(guò)計(jì)算歐式范數(shù)來(lái)判斷每根天線(xiàn)對(duì)容量貢獻(xiàn)權(quán)重的方法能夠選擇出更適合當(dāng)前通信環(huán)境傳輸?shù)奶炀€(xiàn)，進(jìn)而提高了信道容量上限值。當(dāng)信噪比等于10 dB時(shí)，與范數(shù)選擇算法相比較，所提新算法的信道容量值提高了1.6 bit/s/Hz；與雙向選擇算法相比較，所提新算法的信道容量值提高了2.21 bit/s/Hz。相比于原雙向選擇算法，所提新算法在不同信噪比的通信環(huán)境下具有更優(yōu)的信道容量值。

3.3 算法復(fù)雜度與選擇天線(xiàn)數(shù)的關(guān)系

在發(fā)射天線(xiàn)數(shù)N=4， 接收天線(xiàn)數(shù)M=100，系統(tǒng)默認(rèn)信噪比為10 dB的條件下進(jìn)行仿真，選擇天線(xiàn)數(shù)LM范圍為0～99根。在仿真實(shí)驗(yàn)中，不同算法在相同參數(shù)的約束下重復(fù)執(zhí)行100次，記錄下每一種天線(xiàn)選擇算法運(yùn)算的總時(shí)間。

從圖5可以得知，歐式范數(shù)算法的運(yùn)行時(shí)間隨選擇天線(xiàn)數(shù)量的增加而提高，這是因?yàn)殡S著選擇天線(xiàn)數(shù)量的增加，在對(duì)每根天線(xiàn)對(duì)應(yīng)范數(shù)的計(jì)算過(guò)程中，將范數(shù)按照從大到小進(jìn)行排序所消耗的時(shí)間基本呈線(xiàn)性增加，所以算法對(duì)應(yīng)的計(jì)算復(fù)雜度也會(huì)呈線(xiàn)性增加，最大迭代次數(shù)為M。 而所提新算法利用了雙向搜索選擇算法的優(yōu)點(diǎn)，在每一次循環(huán)中處理的天線(xiàn)數(shù)量為兩根，這相當(dāng)于減少了一半的計(jì)算量。隨著選擇天線(xiàn)數(shù)量的增加，算法的運(yùn)行時(shí)間先增加后減少，在LM=M/2時(shí)達(dá)到最大值，將迭代次數(shù)的最大值從M降低到M/2。 仿真結(jié)果表明，相比與范數(shù)選擇算法，當(dāng)選擇天線(xiàn)數(shù)在1至50之間時(shí)，最大歐式范數(shù)雙向選擇算法運(yùn)行時(shí)間降低了一半；當(dāng)選擇天線(xiàn)數(shù)量等于99根時(shí)，與范數(shù)選擇算法相比較，最大歐式范數(shù)雙向選擇算法的運(yùn)行時(shí)間降低了0.29 s，所以此算法更能滿(mǎn)足不同天線(xiàn)選擇數(shù)的需求。

圖5 新算法與范數(shù)選擇算法復(fù)雜度的對(duì)比

從圖6可以得知，不同天線(xiàn)選擇數(shù)的需求下，最大歐式范數(shù)雙向選擇算法和雙向搜索選擇算法均有較好的信道容量，但最大歐式范數(shù)雙向選擇算法的時(shí)間曲線(xiàn)位于雙向搜索算法之下，即時(shí)間復(fù)雜度更低，這是因?yàn)樗嵝滤惴ńY(jié)合了歐式范數(shù)選擇算法復(fù)雜度較低的優(yōu)點(diǎn)：可選出較優(yōu)的天線(xiàn)子集，進(jìn)而降低了算法復(fù)雜度。雙向搜索算法的時(shí)間復(fù)雜度為O(NMLM)， 而雙向選擇算法的時(shí)間復(fù)雜度為O(MLM)， 復(fù)雜度得到了有效優(yōu)化。結(jié)果表明，當(dāng)選擇天線(xiàn)數(shù)等于50根時(shí)，相比于原來(lái)的雙向搜索算法，最大歐式范數(shù)雙向選擇算法的運(yùn)行時(shí)間降低了0.08 s，減少了原算法的復(fù)雜度；當(dāng)選擇天線(xiàn)數(shù)小于或大于50時(shí)，算法的運(yùn)行時(shí)間均有所降低。

圖6 新算法與雙向搜索算法復(fù)雜度的對(duì)比

4 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)大規(guī)模MIMO系統(tǒng)，提出了最大歐式范數(shù)雙向選擇算法。在每一次循壞迭代中，使用范數(shù)選擇算法同時(shí)選擇出對(duì)容量貢獻(xiàn)最大和最小的兩根天線(xiàn)，與原算法相比，算法復(fù)雜度得到了極大的改善，并且未損失過(guò)多的系統(tǒng)容量。

通過(guò)對(duì)系統(tǒng)容量進(jìn)行分析，將最大歐式范數(shù)雙向選擇算法與常用的傳統(tǒng)天線(xiàn)選擇算法進(jìn)行比較，仿真結(jié)果表明，最大歐式范數(shù)雙向選擇算法對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)容量方面得到了改善，有一定的提高，在靈活應(yīng)對(duì)不同選擇天線(xiàn)數(shù)量需求的時(shí)候有更好的表現(xiàn)；通過(guò)循環(huán)運(yùn)行不同算法，對(duì)算法運(yùn)行時(shí)間進(jìn)行比較，仿真結(jié)果表明，與現(xiàn)有的歐式范數(shù)和雙向搜索算法相比，文中所提算法減少了算法的運(yùn)算時(shí)間，在一定程度上降低了算法復(fù)雜度。