指數(shù)函數(shù)及其性質第一課時課例分析

摘 要：指數(shù)函數(shù)及其性質是高中數(shù)學的教學難點，采取問題導學法“新課引入”“概念形成”“概念深化”“應用探究”以及“總結歸納”五個環(huán)節(jié)展開教學，對于最終的教學目標實現(xiàn)有著積極的意義。下文主要依托課程內容進行課例分析。

關鍵詞：指數(shù)函數(shù)及其性質;第一課時;課例

在核心素養(yǎng)的教學背景下，積極培養(yǎng)學生高中數(shù)學綜合素質成為教學的一大關鍵任務。但傳統(tǒng)的“填鴨式”教學模式顯然無助于學生的綜合素養(yǎng)養(yǎng)成。本文以指數(shù)函數(shù)及其性質的第一課時內容為例，黃河清“問題導學法”探究“新課引入”“概念形成”“概念深化”“應用探究”以及“總結歸納”五個環(huán)節(jié)展開教學的策略分析。希望本文的分析能夠給高中數(shù)學教師的教學活動帶來一定的實踐參考價值。

一、指數(shù)函數(shù)及其性質第一課時的基本概況

指數(shù)函數(shù)及其性質是高中階段數(shù)學教學的重要知識點，甚至從宏觀角度來看，這一課程的教學內容在高中數(shù)學知識體系之中有著承前啟后的地位。但是對于廣大高中生而言，這一課程也是學習的一大難點所在。主要是因為這一課時之中所涉及的概念較多，往往難以為學生所把握，甚至還會造成學生知識概念混淆的情況。另外，在學習指數(shù)函數(shù)及其性質第一課時這一課程的時候，學生雖然具備了一定的知識積累情況和理解能力，但在面對指數(shù)函數(shù)及其性質第一課時課例的知識內容的時候，還會感到有所陌生，吸收起來也存在客觀的困難。

另外，在核心素養(yǎng)的教學背景下，教師在展開指數(shù)函數(shù)及其性質第一課時的課程教學過程中，不僅需要充分地把握相關知識點的內涵，同時還需要盡可能地提升自己的教學效率，以及培養(yǎng)學生積極健康的態(tài)度，由此充分地提升學生的綜合素質以及多元能力。

二、指數(shù)函數(shù)及其性質第一課時的教學設計

針對指數(shù)函數(shù)及其性質第一課時的基本情況，要想實現(xiàn)更為理想化的教學目標，就需要采取“新課引入”“概念形成”“概念深化”“應用探究”以及“總結歸納”五個環(huán)節(jié)展開教學。下文主要從上述五個環(huán)節(jié)出發(fā)，進行課程教學設計分析：

（一）新課引入環(huán)節(jié)的設計

對于高中階段的數(shù)學教學而言，要想充分地提升學生的學習效率，離不開合理的課程引入環(huán)節(jié)的充分設計。通過對新課引入環(huán)節(jié)的設計，能夠在很大程度上架設學生從已知到未知的橋梁。針對指數(shù)函數(shù)及其性質第一課時的知識內容情況，在新課引入環(huán)節(jié)教師可以借助于故事引入法。

比如：在古印度有一個古老的故事，講述的印度宰相和國王下象棋并且打賭，如果宰相贏了，那么皇帝需要在象棋的第一個格子上放上1粒米，在第二個格子上放上2粒米，第三個格子上需要放上4粒米，以此類推，后面的一個格子的米粒數(shù)量總是前面一個格子米粒的兩倍。在最初，印度皇帝以為僅僅不過是一個小數(shù)目，但是經過仔細核算才發(fā)現(xiàn)，最后這些大米粒支付下來居然是一個天文數(shù)字。在指數(shù)函數(shù)及其性質第一課時的教學過程中引入這一故事，能夠在很大程度上豐富學生的學習趣味性，由此也能夠幫助學生實現(xiàn)學習的積極主動性。

除此之外，教師在新課引入環(huán)節(jié)，也可以引入《莊子》中的一個經典寓言，寓言中說：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭?！狈g過來就是，一尺長的木棰，每天截取一半，從數(shù)學上來看，這個木棰是永遠都不會消失的。莊子的這一寓言論斷也和指數(shù)的相關知識有著密切的關系。之所以在指數(shù)函數(shù)及其性質第一課時的新課引入環(huán)節(jié)引入這一知識內容，不僅可以實現(xiàn)對新課程知識內容的有效過渡，同時也能夠在一定程度上強化學生對于傳統(tǒng)文化的認識，由此可以實現(xiàn)對學生的愛國情懷的熏陶。

（二）概念形成環(huán)節(jié)的設計

在完成了新課引入環(huán)節(jié)之后，教師應該做到趁熱打鐵，借助于合理的情境設計，幫助學生形成指數(shù)函數(shù)的相關概念。在這一環(huán)節(jié)的設計過程中，教師應該靈活設計具體的情境，讓學生在具體的情境之中實現(xiàn)對指數(shù)函數(shù)概念的把握：

情境1：某種細胞在分裂時，每次能夠從一個細胞分裂為兩個，第一次會由一個細胞分裂為兩個，第二次會由兩個細胞分裂為四個，以此類推。設細胞分裂x次得到y(tǒng)個細胞，試求y和x之間的關系式。

分裂次數(shù)x 1 2 3 4 …

細胞個數(shù)y

在這一情景教學中，學生可以得出關系式：y=2x，（X∈N※）

情境2：某一物質的質量為1，且該物質在發(fā)展過程還存在著不斷地衰減情況，經過一年之后，該物質會衰減到原有質量的一半，如果該物質的剩余量為y，時間單位年為x，那么，試求y和x之間的關系式。

時間x 1 2 3 4 …

剩余量y

學生根據(jù)這一客觀背景，可以得出關系式，表述為：y=（1/2）x，（X∈N※）

教師在引導學生完成了對相關關系式的表述之后，可以引導學生思考，上述這幾個關系式能夠構成函數(shù)嗎？它們如果不是函數(shù)，那么應該如何給它們命名呢？你們可以對這類關系式作出一般性的定義嗎？

定義：一般地，函數(shù)y=ax（a>0，且a≠1）叫作指數(shù)函數(shù)（exponential function），其中x是自變量，函數(shù)的定義域為R.

教師借助于這類引導，能夠在很大程度上幫助學生實現(xiàn)對指數(shù)函數(shù)的深入了解，從而加速學生的知識吸收。

繼續(xù)探究底數(shù)a的范圍為什么規(guī)定為“a>0，且a≠1”？

①當a=1時，y=1x=1，沒必要研究。

②當a<0時，對于x的一些數(shù)值，可使ax無意義，如（-2）x，對于…，這樣的函數(shù)值不存在。

③當a=0時，x>0，ax=0;x≤0，ax無意義，如00。

因此規(guī)定a>0，且a≠1。

（三）概念深化環(huán)節(jié)的設計

在通過合理的情境設計引導學生實現(xiàn)對指數(shù)函數(shù)概念掌握之后，教師還應該繼續(xù)幫助學生進一步深入思考指數(shù)函數(shù)的概念以及其性質，教師需要在課堂上列出如下幾個函數(shù)關系式，并且對提問學生哪些是指數(shù)函數(shù)，哪些不是指數(shù)函數(shù)，并且引導學生思考為什么有些函數(shù)不是指數(shù)函數(shù)。教師在課堂上列出的具體函數(shù)式包括以下幾個方面：

例1： （1）y=3x （2）y=-6x

（3）y=（-6）x （4）y=6x2

教師通過引導學生思考上述的函數(shù)式，并且反思這些函數(shù)式的特點，由此能夠幫助學生進一步地認識到指數(shù)函數(shù)的概念內涵以及性質特點。這對于學生的數(shù)學綜合能力發(fā)展有著較為積極的價值。

接下來研究指數(shù)函數(shù)的圖像性質，通過取一些特殊的函數(shù)來歸納特征。首先分學習小組讓同學們動手，在同一坐標系中分別作出函數(shù)（1）y=2x，（2）y=3x，的圖像特征。做出后進行小組討論，指數(shù)函數(shù)圖像特征。教師利用幾何畫板來看a的范圍不同圖像是如何變化的，通過觀察，師生共同總結指數(shù)函數(shù)的性質：

a>1 0

圖像

性

質 定義域：R

值域：（0，+∞）

圖像都過點（0，1）

在R上是增函數(shù) 在R上是減函數(shù)

總結如下規(guī)律：在y軸右側第一象限，圖像從下至上底數(shù)由小變大;在y軸左側第二象限，圖像從上至下底數(shù)由小變大。

（四）應用探究環(huán)節(jié)的設計

對于高中階段的數(shù)學教學而言，教師不僅需要幫助學生掌握一系列的客觀知識點，同時也需要提升學生具備學以致用的能力，也就是能夠將客觀知識和現(xiàn)實生活有機地結合在一起，由此幫助學生實現(xiàn)更為迅速地知識進步效果。而要想實現(xiàn)這一教學目標，教師在教學活動中應該采取如下幾個方面的舉措：

第一，教師需要讓學生基于自己對于指數(shù)函數(shù)及其性質的理解和把握，引導學生借助于計算機軟件建立完善的數(shù)據(jù)模型。在當前的教學背景下，計算機技術在高中數(shù)學階段中的教學價值已經得到了較為充分的重視，因此，在未來的教學過程中，教師可以讓學生利用相關的計算機軟件，建立指數(shù)函數(shù)的相關模型，由此可以幫助學生實現(xiàn)更為迅速的應用能力的進步。

第二，教師在教學過程中還應該讓學生利用自己所學習到的知識解決現(xiàn)實生活中的某一個問題。在現(xiàn)實生活中處處存在著指數(shù)函數(shù)的相關知識，同時很多現(xiàn)實問題也適合運用指數(shù)函數(shù)進行解決。教師引導學生利用指數(shù)函數(shù)解決相關問題，對于學生的知識運用能力提升來說也具備較為積極的價值。借此可以幫助學生加深對指數(shù)函數(shù)及其性質的理解。

例2：比較下列各組數(shù)的大小。

（1）1.72.5，1.73 （2） （3）1.70.3，0.93.1

通過以上例子，教師引導學生去歸納：

底數(shù)相同時：可以用函數(shù)的單調性比較;

指數(shù)相同時：可以轉化為底數(shù)相同比較，也可以借助圖像進行比較。

指數(shù)、底數(shù)都不同時：可以找中間量來進行比較。中間量的找法可以是“1”，也可以是分數(shù)，利用二分法選取。

（五）總結歸納環(huán)節(jié)的設計

在數(shù)學教學過程中，教師要想充分夯實學生的學習成果，還應該采取合理的總結歸納環(huán)節(jié)，由此幫助學生實現(xiàn)對知識的鞏固。在這一環(huán)節(jié)的教學中，教師也應該避免對知識的僵化灌輸，而是應該采取具體的案例，讓學生帶著問題進行對知識的鞏固。在具體的教學過程中，教師可以列出一系列的指數(shù)函數(shù)，讓學生比較相關的數(shù)值大小：

第一，1.82.5和1.83.2哪個數(shù)值更大;

第二，0.6a>0.6b，那么，a和b哪一個數(shù)值更大;

第三，a0.75>1，那么，a和1哪個數(shù)值更大。

通過這一系列的習題練習，能夠在很大程度上強化學生對于指數(shù)函數(shù)的理解，這對于學生的指數(shù)函數(shù)知識的鞏固有著不可忽視的價值。在完成了上述的習題之后，教師還應該讓學生進一步地反思總結相關知識點，由此也可以實現(xiàn)學生的知識升華。

最后思考：計算1.01365與0.99365的大小，你能總結出什么生活哲理？

用一個公式來計算一下，1的365方等于1，0.99的365方等于多少？1.01的365方等于多少？1.02的365方等于多少？假設1代表你每天不進不退，365天下來還是原樣1，0.99代表每天退步一點點，那365天等于多少？結果是約等于0.03，每天進步一點點1.01了，365天結果是37.78，那如果比1.01的再努力一點點1.02的人呢？365天下來結果是1377。很多成功不是一兩天努力就可以的，都是每天不斷地進步，哪怕每天一點小小的進步，堅持不懈，最后會產生強大的變化。

三、指數(shù)函數(shù)及其性質第一課時的教學反思

總體上來看，指數(shù)函數(shù)及其性質第一課時的教學內容是初中數(shù)學教學的重要課程，在教學過程中依托于“新課引入”“概念形成”“概念深化”“應用探究”以及“總結歸納”五個環(huán)節(jié)展開教學活動，對于最終的教學目標實現(xiàn)有著積極的價值。當然，在具體的教學實踐中教師應該充分打破思維限制，并且采取更為靈活的教學手段，如此才能夠實現(xiàn)最終的教學目標。

參考文獻

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作者簡介：孫威，男，廣西南寧市，第三中學高中，數(shù)學教師。