基于動態(tài)矩陣控制的自主移動機器人模型預(yù)測控制方法研究

袁宇鵬，胡 楊，李 軍，王 浩，張祖?zhèn)ィ瑮?靖，王登攀

(1.中電科技集團 重慶聲光電有限公司，重慶 401332; 2.中國電子科技集團公司 第二十六研究所，重慶 400060)

0 引 言

移動機器人是機器人大家族的重要組成部分，已服務(wù)于人類生活的各個層面，發(fā)揮著重要的作用[1]，如用于服務(wù)領(lǐng)域的家庭服務(wù)機器人和醫(yī)療輔助機器人，在惡劣和危險環(huán)境下代替人類開展各種作業(yè)的移動機器人，以及執(zhí)行各種枯燥乏味等重復(fù)性工作的工業(yè)機器人[2-3]。

對于自主移動機器人而言，精確的運動轉(zhuǎn)向系統(tǒng)是保障其實現(xiàn)自主移動功能的良好基礎(chǔ)[4]。而采用合理有效的控制策略則是實現(xiàn)運動轉(zhuǎn)向系統(tǒng)精確動作的必要前提。因此，這也是當前許多機器人研究學(xué)者和工程人員的研究的重心。目前國內(nèi)外關(guān)于機器人運動系統(tǒng)的控制問題的研究也取得了一些卓有成效的結(jié)果。陳剛等[5]在駕駛機器人的速度控制中提出了模糊自適應(yīng)比例-積分-微分(proportion-integral-derivative，PID)控制方法。Park等[6]提出TYPE-2模糊自調(diào)節(jié)PID控制器方法，對于自治機器人的運動部分進行了有效控制。Ouyang等[7]在機器人系統(tǒng)中提出了一類PD-滑模結(jié)合形式的控制策略。進一步，張文君等[8]則在輪式移動機器人的研究中針對其離散數(shù)學(xué)模型提出一類模糊自適應(yīng)PID控制方法。

上述控制策略中，均僅考慮的是對于系統(tǒng)輸出的跟蹤問題，甚少有對于系統(tǒng)控制增量的變化情況進行結(jié)合考慮的控制算法。而在實際自主移動機器人的運動轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的控制中，系統(tǒng)的轉(zhuǎn)向速度或者移動速度的變化量是存在特定的軟約束的。因此，通過結(jié)合系統(tǒng)的跟蹤響應(yīng)和控制增量來設(shè)計控制器對于自主移動機器人的運動轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的控制具有重要的作用。所以，本文針對上述問題提出了一類基于動態(tài)矩陣控制的自主移動機器人運動轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的預(yù)測控制方法，并且針對李冬等建立的機器人運動轉(zhuǎn)向系統(tǒng)模型的連續(xù)形式，通過Matlab平臺進行了充分的仿真實驗，同常規(guī)PID控制算法進行了對比實驗，分析了模型失配問題對于系統(tǒng)閉環(huán)控制性能的影響，并且對移動機器人在環(huán)境中的行走性能開展了實驗分析。

1 動態(tài)矩陣控制算法

以動態(tài)矩陣控制算法(dynamics matrix control，DMC)為主的預(yù)測控制方法在現(xiàn)代以計算機控制為主流的控制系統(tǒng)中占據(jù)著重要的地位[9]。DMC控制通過增量式的方法能夠處理帶有非最小相位或者純滯后特性的系統(tǒng)。DMC控制的特點在于將被控對象的階躍響應(yīng)離散數(shù)學(xué)表達作為預(yù)測控制的系統(tǒng)模型，能夠避免常規(guī)的傳遞函數(shù)等模型參數(shù)辨識過程，通過采用多步前向預(yù)測控制的方式，能夠有效地解決時延問題。同時，DMC不僅能夠考慮系統(tǒng)輸出同參考偏差最小，還考慮了控制變量的增量，所以DMC是一類最優(yōu)控制的方法。DMC的控制結(jié)構(gòu)包含預(yù)測模型、滾動優(yōu)化和誤差校正等。

1.1 預(yù)測模型

動態(tài)矩陣控制算法中，基于被控對象的階躍響應(yīng)特性，通過一組動態(tài)系數(shù)a1,a2,…,ap來描述系統(tǒng)在不同采樣時刻中系統(tǒng)的階躍響應(yīng)值，其中，p表示模型的時域長度，ap表示趨近于穩(wěn)態(tài)的響應(yīng)值。對于線性系統(tǒng)而言，根據(jù)其疊加特性和比例特性可以獲得k-i(i=1,2,…,k)時刻的輸入的系統(tǒng)表達式，即階躍響應(yīng)模型，表示為

(1)

對于(1)式進行形變，可以推導(dǎo)出y(k+j)的n步前向預(yù)測(n

(2)

(2)式中，j=1,2,…,n。

實際控制系統(tǒng)中，過去時刻的系統(tǒng)控制輸入值是控制系統(tǒng)的已知量，因此，若將過去時刻的控制輸入從對于預(yù)測的系統(tǒng)輸出的影響中分離出，則系統(tǒng)的n步前向預(yù)測形式可改寫為

(3)

為降低控制輸入計算過程的計算復(fù)雜度，把控制輸入的增量僅考慮為m維(m

(4)

1.2 滾動優(yōu)化

DMC控制策略的設(shè)計過程的滾動優(yōu)化方法如圖1所示。

圖1 DMC的動態(tài)優(yōu)化過程示意圖Fig.1 Optimization process of DMC

同時，定義了二次型最優(yōu)化準則進行實時最優(yōu)化控制律的求解

(5)

(5)式優(yōu)化準則的矩陣形式可寫為

(6)

ΔU=(ATA+βI)-1AT(W-Y0)

(7)

為了防止控制系統(tǒng)受到弱非線性特性、擾動、模型誤差等影響，必須將(7)式進行m時刻的迭代運算的方式改為閉環(huán)控制算式

Δu(k)=cT(ATA+βI)-1AT(W-Y0)=dT(W-Y0)

(8)

1.3 誤差校正

由于每個采樣時刻控制系統(tǒng)均只實施第一個控制增量Δu(k)，因此，系統(tǒng)的預(yù)測形式變?yōu)?/p>

(9)

定義預(yù)測誤差函數(shù)

(10)

通過采用誤差加權(quán)的方法修正對未來預(yù)測時刻的估計值為

(11)

2 自主移動機器人系統(tǒng)動態(tài)特性模型

本文將一類應(yīng)用于地面環(huán)境的自主移動機器人作為研究對象，其主要特點是通過輪式自主移動的方式來完成特定的任務(wù)，例如巡查、環(huán)境探測和搬運貨物等。而該機器人的重要結(jié)構(gòu)部分就是其運動轉(zhuǎn)向系統(tǒng)，如圖2所示。精確控制的運動轉(zhuǎn)向系統(tǒng)是保障機器人完成指定功能任務(wù)的基礎(chǔ)。圖2所示的自主移動機器人的運行轉(zhuǎn)向系統(tǒng)包含前輪C、左后輪AL、右后輪AR以及帶動AL和AR轉(zhuǎn)動的電機BL和BR。其中，前輪C僅完成平衡和輔助導(dǎo)向的功能，左后輪AL和右后輪AR則是自主移動機器人的驅(qū)動來源。

圖2 自主移動機器人運動轉(zhuǎn)向系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.2 Steering system of mobile robot

自主移動輪式機器人在地面環(huán)境工作時，其工作狀態(tài)可分解為直線運動和旋轉(zhuǎn)運動。通過直線和旋轉(zhuǎn)的時空疊加可表現(xiàn)為直線前進后退、原地轉(zhuǎn)彎和曲線行走等工作狀態(tài)。自主移動機器人的工作動態(tài)示意圖如圖3所示。

圖3 自主移動機器人運動示意圖Fig.3 Motions of a mobile robot

對于自主移動機器人建立如下笛卡爾坐標系的運動方程

(12)

通過控制自主移動機器人的直線運動速度和旋轉(zhuǎn)角速度可以方便快捷地完成各類基本的工作狀態(tài)。令自主移動機器人左后輪和右后輪的半徑分別為dL，dR，則左后輪和右后輪的速度值可分別表示為

(13)

(14)

(13)—(14)式中：ce表示機器人車輪的速度系數(shù)；vL為左后輪運動速度；vR為右后輪運動速度；tL和tR分別表示左后輪和右后輪旋轉(zhuǎn)一周的時長。同時，由于自主移動機器人采用的是編碼傳感器進行編碼的方式控制速度，因此，用nL，nR來表示左后輪以及右后輪編碼脈沖的數(shù)量。

進一步提出自主移動機器人滿足剛體運動規(guī)律的假設(shè)，在考慮車輪的物理約束條件的前提下，機器人車輪速度方程可表示為

vL=Ld×ω

(15)

vR=(Ld+LLR)×ω

(16)

(16)式中：Ld表示片面上左后輪和坐標系原點的直線距離；LLR表示平面上左后輪和右后輪的直線距離。

通過上述分析得出，在自主移動機器人的工作過程中，利用對左右后輪的驅(qū)動速度的調(diào)節(jié)來控制機器人整體的直線運動速度以及旋轉(zhuǎn)角速度，進而完成自主移動機器人的原地旋轉(zhuǎn)、曲線行走等功能任務(wù)。

為對自主移動機器人的運動狀態(tài)進行有效控制，需要將上述自主移動機器人的運動方程轉(zhuǎn)換成傳遞函數(shù)形式的機器人模型，李冬等[10]將其轉(zhuǎn)換為連續(xù)式傳遞函數(shù)，表示為

(17)

(17)式中：傳遞函數(shù)的參數(shù)α=0.2，δ=18。

本論文在上述傳遞函數(shù)的基礎(chǔ)上進一步考慮運動控制的延時問題，此時，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)可表示為

(18)

(18)式中，延時因子τ取值為0.7。

3 實驗結(jié)果及分析

為了驗證本文提出的動態(tài)矩陣控制算法在自主移動機器人系統(tǒng)的動態(tài)特性模型的控制性能，基于Matlab平臺開展相關(guān)仿真實驗。本節(jié)采用(18)式描述的機器人系統(tǒng)模型作為自主移動機器人的運動控制的依據(jù)。為了全面分析動態(tài)矩陣控制算法的控制特性，本節(jié)開展機器人運動轉(zhuǎn)向系統(tǒng)實驗和環(huán)境行走實驗對控制性能進行驗證。

3.1 機器人運動轉(zhuǎn)向系統(tǒng)實驗

本節(jié)的實驗包含2個部分：DMC與PID(proportion-integral-derivative)算法對比實驗和模型失配對比實驗，重點分析兩類算法對(18)式描述的機器人系統(tǒng)模型的階躍響應(yīng)情況。下面分別對2個實驗進行闡述。

實驗一PID控制算法是控制領(lǐng)域應(yīng)用范圍最廣的控制算法。將DMC同PID控制算法進行對比具有重要的工程意義。因此，本次實驗中分別利用DMC算法和PID算法來控制(18)式所示的自主移動機器人轉(zhuǎn)向運動系統(tǒng)，并對于控制性能進行對比。DMC算法參數(shù)選擇中，采樣周期需綜合考慮系統(tǒng)對實際對象的逼近程度和計算復(fù)雜度。本文分析的機器人最大傳動速度為0.7 m/s，通常在室外環(huán)境的行走過程中對機器人定位導(dǎo)航的控制精度要求為小于1 m，為滿足香農(nóng)采樣定律，采樣周期需小于0.7 s。因此，選取多組采樣周期進行仿真實驗，其中控制時域長度m=1，預(yù)測時域長度n=9，實驗結(jié)果如表1所示。從表1中可得，本實驗中優(yōu)化選取DMC算法的采樣周期T=0.2 s。

表1 不同采樣周期的仿真結(jié)果

同時，研究不同控制時域長度和預(yù)測時域長度時的控制性能，如圖4所示。其中，圖4a為不同預(yù)測時域長度的仿真結(jié)果(T=0.2 s，m=1)；圖4b為不同控制時域長度的仿真結(jié)果(T=0.2 s，n=6)。由結(jié)果可知，T=0.2 s，m=1，n=6時具有最佳的控制性能，即超調(diào)量0.87%，調(diào)節(jié)時間0.6 s，而當系統(tǒng)進入穩(wěn)態(tài)后，系統(tǒng)穩(wěn)定無穩(wěn)態(tài)誤差，控制性能較好，能夠保障實際控制系統(tǒng)的控制精度小于1 m。

圖4 不同預(yù)測時域長度與控制時域長度控制性能分析Fig.4 Simulation results of different prediction and control time domain

優(yōu)化選取PID控制算法中比例參數(shù)kp=11，積分參數(shù)ki=0.1，微分參數(shù)kd=300。仿真結(jié)果如圖5所示，而PID控制的仿真結(jié)果圖4b中系統(tǒng)響應(yīng)明顯呈現(xiàn)發(fā)散狀態(tài)，對于帶時延系統(tǒng)函數(shù)控制性能較差，無法滿足實際移動機器人應(yīng)用要求。因此，可以得到DMC算法在自主移動機器人運動轉(zhuǎn)向系統(tǒng)中的控制性能明顯優(yōu)于PID控制算法。

圖5 PID控制仿真結(jié)果Fig.5 Simulation result of PID control strategy

圖6 DMC模型失配的對比控制實驗結(jié)果Fig.6 Simulation result of DMC strategy with unmatched model

3.2 環(huán)境行走實驗

本節(jié)利用圖2中移動機器人(Pioneer，P3-DX)進行環(huán)境行走仿真實驗。為了對機器人行走進行有效驗證，分別對于無障礙和有障礙2類情形進行實驗。

實驗一將移動機器人放置于室內(nèi)環(huán)境中進行行走實驗。移動機器人在運動轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的基礎(chǔ)上還具備超聲避障、激光測距等部件。同時，試驗中移動機器人的行走地圖采用柵格法進行建立，路徑規(guī)劃利用蒙特卡洛算法。在無障礙情形時，機器人從起始點行走至目標點的路徑如圖7所示。圖7中，蛇形路徑表示移動機器人從起始點到目標點過程中的行走路徑。由于目標點設(shè)置的方式是障礙性的目標點，因此，機器人不能完成到達目標點的中心區(qū)域。從圖7中可以看出，機器人能夠?qū)で蟮阶顑?yōu)的路徑進行近乎直線的行走。

圖7 無障礙情形機器人行走路徑Fig.7 Walking path of mobile robot without obstacle

實驗二在無障礙情形實驗的前提下，進一步增加了2個障礙物和目標點來對于移動機器人的行走性能進行實驗驗證。有障礙情形下移動機器人從起始點到遍歷2個目標點再返回過程的路徑如圖8所示。圖8中，蛇形路徑區(qū)域表示移動機器人的行走區(qū)域，2個“X”點表示設(shè)置的2個障礙型的目標點；2個矩形區(qū)域表示環(huán)境中的障礙物。從圖8中可以看出，移動機器人能夠有效遍歷2個目標點，并且能夠成功繞開2個障礙物的遮擋。

圖8 有障礙情形機器人行走路徑Fig.8 Walking path of mobile robot with obstacle

4 總結(jié)與展望

本文針對自主移動機器人的轉(zhuǎn)向運動系統(tǒng)的控制問題，在考慮動態(tài)響應(yīng)系數(shù)和控制增量軟約束的二次型優(yōu)化準則的基礎(chǔ)上，提出了一類基于動態(tài)矩陣控制的預(yù)測控制方法。文中首先對動態(tài)矩陣控制的設(shè)計過程進行了詳細的闡述，接著簡述了自主移動機器人的轉(zhuǎn)向運動系統(tǒng)的建模問題，最后通過實驗對于動態(tài)矩陣控制算法的控制性能以及移動機器人在環(huán)境中的行走性能進行了詳細的仿真分析。仿真結(jié)果表明，動態(tài)矩陣控制算法的控制性能明顯優(yōu)于常規(guī)PID控制器，且該算法具有較強的適應(yīng)能力和魯棒性，同時在環(huán)境行走實驗中進行了驗證。未來的研究工作將致力于通過智能算法對于自主移動機器人進行智能建模，從而提高系統(tǒng)的泛化能力。