基于SVD與最小化互相干系數(shù)的測量矩陣優(yōu)化方法

張瑞，孟晨，王成，王強

（陸軍工程大學石家莊校區(qū)，河北石家莊，050003）

0 引言

壓縮感知[1]（compressive sensing，CS）的理論是由Donoho等人在2006年提出的。壓縮傳感的主要思想是將信號采樣和信號壓縮結合起來，前提是原始信號是稀疏的或可以被稀疏地表示。壓縮采樣通過減少信號尺寸來完成壓縮，而不需要奈奎斯特采樣的中間階段。通過相應的信號重建算法，用比奈奎斯特采樣更少的采樣數(shù)直接重建原始信號，從而節(jié)省了傳輸和存儲成本，降低了計算復雜性和能耗。由于壓縮感知可以用比Nyquist要求更低的頻率對信號進行采樣，壓縮感知提高了信號的可壓縮性和可恢復性。這些特性使得CS在信號處理的許多領域有廣泛的應用。一些典型的基于CS的應用包括單像素成像[2]，圖像和視頻的恢復[3]，無線圖像傳感器網(wǎng)絡[4]，以及一些生物醫(yī)學信號處理領域，如核磁共振成像[5]（MRI）和心電圖（ECG）信號處理[6]。

原始信號的稀疏表示、測量矩陣的設計和信號重構算法是CS理論的三個主要部分。壓縮感知過程如圖1所示。

圖1 壓縮感知過程

測量矩陣作為CS理論的關鍵研究內容之一，它的設計與選擇將直接影響到信號壓縮感知的效果。

基于此，本文在壓縮理論的框架下，針對現(xiàn)有測量矩陣提出了一種新的優(yōu)化方法，進一步提升信號壓縮測量的性能。本文首先利用奇異值分解，優(yōu)化初始測量矩陣的非零奇異值，然后借鑒了最小化互相干系數(shù)的思想，對得到的測量矩陣進行了進一步的優(yōu)化。

1 測量矩陣設計

從以上對CS的理論介紹可以看出，測量矩陣的性能直接影響信號重構的結果，而測量矩陣是信號稀疏和信號重構之間的重要中間環(huán)節(jié)。Candès為壓縮感知理論做出了開創(chuàng)性的工作。文獻[7]證明了測量矩陣和正交稀疏基是盡可能不相干(正交)的，測量矩陣將有較大的概率具有更好的性能。

一般來說，稀疏基 是已知的且固定的，所以通過設計和優(yōu)化測量矩陣，可以盡可能地減少測量矩陣和稀疏基之間的相干性。另外，直觀的理解是，如果Φ和Ψ是不一致的或不相關的，從原始信號采樣將包含更多的新信息，因此，測量矩陣的性能主要取決于測量矩陣和稀疏基矩陣之間的互相關性。

根據(jù)相關的數(shù)學理論，測量矩陣與稀疏矩陣之間的不相干性可以間接轉化為Gram矩陣盡可能接近單位矩陣的問題。Gram矩陣定義如下:

非相干性表示測量矩陣與稀疏矩陣之間的正交性質。根據(jù)Gram矩陣的定義，最小化Φ和Ψ之間的互相干性，相當于最小化相應的Gram矩陣中的非對角元素的絕對值，使Gram矩陣盡可能接近單位矩陣。Gram矩陣越接近單位矩陣，Φ與Ψ之間的相互相干越小。因此，構造更好的測量矩陣相當于解決以下優(yōu)化問題:

其中I是N×N維的單位陣。因此，最小化式（2）可以有效地減小互相關性。

2 基于SVD與最小化互相關系數(shù)的測量矩陣優(yōu)化方法

文獻[8]指出，測量矩陣的列向量應具有良好的線性非相關性，這與測量矩陣的最小奇異值密切相關。矩陣的最小奇異值越小，矩陣的線性相關性就越大，即其獨立性越弱。因此，應該增大矩陣的奇異值來提高測量矩陣各列向量之間獨立性。

2.1 測量矩陣優(yōu)化設計

奇異值分解（Singular Value Decomposition）是線性代數(shù)中一種重要的矩陣分解，奇異值分解是特征分解在任意矩陣上的推廣。在信號處理、統(tǒng)計學等領域有重要應用。

本文首先對初始測量矩陣 Φ∈ RM×N(M ＜ N)進行奇異值分解，得到：

其中D是M×N 維的半正定矩陣，U和V分別為M×M、N×N 維的酉矩陣。

然后利用Σ'，構造新的測量矩陣Φ1為，

測量矩陣Φ1的奇異值得到增大，矩陣各列之間的獨立性得到了提高。

考慮到Φ1仍有進一步優(yōu)化的空間，本文借鑒最小化互相干系數(shù)思想對Φ1進一步優(yōu)化，得到更好的測量矩陣。

降低列向量之間的互相干系數(shù)就可以轉換成最小化Gram矩陣的非對角元素。其中互相干系數(shù)存在著一個下界（Welch界）[9]，讓測量矩陣與稀疏基矩陣的互相干系數(shù)逼近Welch界，可以保證測量矩陣具有更好的壓縮觀測性能。Welch界定義如下：

定義優(yōu)化的目標函數(shù)為：

其中Gideal為重新定義的目標矩陣，滿足的條件如下：

通過最小化目標函數(shù)，最后得到最優(yōu)的測量矩陣Φ'。

2.2 算法實現(xiàn)步驟

本文提出的優(yōu)化測量矩陣的算法（SVD-MCM）步驟如下：

本文算法（SVD-MCM）輸入：測量矩陣Φ，稀疏基Ψ；輸出：優(yōu)化后的測量矩陣Φ';Step 1 對Φ進行奇異值分解，Φ=UD VT Step 2 對奇異值進行優(yōu)化處理，構造新的測量矩陣Φ1 Step 3矩陣；Step 4 利用式（15）更新目標矩陣G Θ= Φ Ψ 1列歸一化后得到^Θ，計算Φ1的Gram ideal Step 5 據(jù)式（14）目標函數(shù)，迭代優(yōu)化Step 6 判斷是否滿足迭代終止條件，滿足則進入Step 7則,返回Step 4 Step 7利用式（11），輸出化后的測量矩陣Φ'。

3 仿真實驗與分析

本實驗在Matlab平臺對算法進行數(shù)值仿真實驗，根據(jù)壓縮感知理論，高斯隨機矩陣與伯努利隨機矩陣具有較好的隨機性，可以以較高的概率滿足RIP條件，本文以這兩種測量矩陣為對象，研究SVD-MCM算法對測量矩陣的優(yōu)化效果。

第一組實驗是壓縮感知重構實驗，用于比較SVD-MCM算法對信號壓縮感知重構效果的影響。仿真信號選用時域稀疏信號，測量矩陣選擇高斯隨機矩陣，此時稀疏基為標準正交基。參數(shù)設置如下，信號長度N=256，信號稀疏度K=40，測量數(shù)目M=128。重構算法采用常用的正交匹配追蹤（OMP）算法，為進一步評價重構效果，引入衡量重構性能的指標均方誤差 MSE（mean square distortion）：

采用本文算法優(yōu)化的高斯隨機矩陣（Gauss+SVD-MCM）、未經優(yōu)化的原始高斯隨機矩陣（Gauss+Origin）兩種測量矩陣重構效果圖如圖2所示。

圖2 重構效果：(a)Gauss+Origin;(b)Gauss+SVD-MCM。

從重構效果圖可以看出，觀測數(shù)目M=128時，兩種測量矩陣均實現(xiàn)了對原信號的有效重構。對比均方誤差來看，經本文算法優(yōu)化后的測量矩陣，重構誤差明顯低于未優(yōu)化的高斯隨機矩陣。

實驗二，設定不同的稀疏度K，比較測量矩陣對稀疏度不同的稀疏信號的重構效果。稀疏度K從10變化到80，變化步長為5。六種測量矩陣分別為原始高斯隨機矩陣（Gauss+Origin）、經奇異值分解優(yōu)化的高斯隨機矩陣（Gauss+SVD）、經本文算法優(yōu)化的高斯隨機矩陣（Gauss+SVDMCM）、原始伯努利隨機矩陣（Berno+Origin）、經奇異值分解優(yōu)化的伯努利隨機矩陣（Berno+SVD）、經本文算法優(yōu)化的伯努利隨機矩陣(Berno+SVD-MCM)。

當均方誤差小于10-4時，則認為信號重構成功；否則，失敗。統(tǒng)計200次蒙特卡洛實驗的重構概率。

圖3 為六種測量矩陣信號重構均方誤差隨信號稀疏度的變化關系，可以看出在其他條件不變的情況下，隨著信號稀疏度的增加，信號的重構誤差會增大。同時實驗結果表明，高斯隨機矩陣的性能要優(yōu)于伯努利隨機矩陣的性能。經本文算法優(yōu)化后的測量矩陣性能優(yōu)于奇異值分解優(yōu)化方法，與原始測量矩陣相比，重構精度得到提高，重構性能明顯提升。

圖3 重構均方誤差隨信號稀疏度的變化關系

圖4 為六種測量矩陣重構成功概率隨信號稀疏度的變化關系?？梢钥闯?，隨著信號稀疏度的增加信號的稀疏性變差，重構概率降低，經本文算法優(yōu)化的測量矩陣在稀疏性較差時也可以獲得較高的重構成功概率，重構性能得到了顯著的改善。

圖4 重構成功概率隨信號稀疏度的變化關系

4 結論

本文在壓縮感知理論框架下對已有的壓縮感知測量矩陣優(yōu)化算法進行進一步的優(yōu)化，提出了一種基于奇異值分解與互相干系數(shù)最小化相結合的優(yōu)化方法，保證了測量矩陣在優(yōu)化后具有良好的獨立性，以及與稀疏基矩陣的不相干性。實驗結果驗證了算法的有效性，本文算法優(yōu)化后的測量矩陣性能得到了明顯的改善，重構誤差得到有效降低，重構成功概率得到顯著提高。