基于伯努利矩陣的音頻信號觀測矩陣設(shè)計與仿真*

喀什大學(xué)物理與電氣工程學(xué)院 彭慧 婁顏超

壓縮感知理論顛覆了傳統(tǒng)的奈奎斯特采樣定理,提出了一種將信號采樣與壓縮過程合二為一的信號采集方法。其采樣于壓縮過程實質(zhì)是線性觀測的過程。音頻信號在壓縮采樣過程中要完成高維矩陣運算,利用傳統(tǒng)的壓縮感知觀測矩陣如高斯隨機矩陣、部分哈達瑪矩陣對音頻信號壓縮采樣的時間復(fù)雜度、空間復(fù)雜度較高,難以在計算、存儲資源有限的硬件設(shè)備上實現(xiàn)。針對該問題,本文針對音頻信號設(shè)計了一種以伯努利矩陣為基礎(chǔ)的觀測矩陣,并對該矩陣的觀測性能及信號重建效果進行了仿真分析,分析表明該矩陣能以高概率滿足RIP性質(zhì),且觀測性能及重建效果與高斯隨機矩陣相當,但大大節(jié)約了計算量和計算時間。

0 引言

壓縮感知理論的出現(xiàn)為信號的采集與壓縮提供了思路,如語音信號壓縮感知[1-2]、牲畜音頻信號分析[3]。與傳統(tǒng)的先高速采樣再壓縮的處理方法不同,壓縮感知理論提出將采樣與壓縮過程合二為一,在采樣的同時進行壓縮,壓縮采樣得到的是包含信號所有信號的少量數(shù)據(jù)。

目前壓縮感知觀測矩陣主要包含隨機矩陣、部分正交矩陣、結(jié)構(gòu)化矩陣三大類。最常用的觀測矩陣是高斯隨機矩陣、托普利茲矩陣、部分哈達瑪矩陣等。

高斯隨機矩陣的缺點是矩陣中的每一個元素都需要儲存,需要占用較大的存儲空間,因此在硬件上實現(xiàn)高斯隨機觀測較為困難。托普利茲(Toeplitz)矩陣和部分哈達瑪矩陣減少了隨機變元數(shù)量、簡化了觀測矩陣的結(jié)構(gòu),但仍然在一定程度上存在計算復(fù)雜度高和需要存儲空間大的問題。

1 壓縮感知理論下音頻信號處理過程

Cands、Tao等人提出的壓縮感知理論[4]指出,奈奎斯特采樣定理是信號精確重建的充分條件而非必要條件。只要信號具有稀疏性或在某個變換域內(nèi)具有稀疏性(即信號具有可壓縮性),那么就可以以遠低于奈奎斯特頻率的速率對信號進行低速采樣,低速采樣值中包含了信號重建所需的全部信息。

音頻信號在傅里葉變換、離散余弦變換、小波變換等變換下都具有稀疏性,滿足壓縮感知理論要求。基于壓縮感知的音頻信號處理有兩種方案[5]。第一種方案,先將信號進行奈奎斯特采樣,對采樣后的信號進行壓縮感知線性觀測得到壓縮值。第二種方案,直接對音頻信號進行壓縮采樣,將采樣與壓縮過程合并。

Candes等人提出,為使K個稀疏系數(shù)能由M個觀測值準確恢復(fù),觀測矩陣必須滿足限制等距特性RIP(Restricted Isometric Property)[6],即對任意具有K稀疏度的矢量V,Θ都能保證(2-6)所示的不等式成立,式中0＜δ＜1。

RIP準則的等價條件說明:只要測量矩陣和稀疏矩陣不相干,信號也能夠精確恢復(fù),此時恢復(fù)矩陣能以高概率滿足RIP準則。

2 音頻信號觀測矩陣設(shè)計

由于伯努利矩陣中的元素可能的取值少,而且可以以整數(shù)形式出現(xiàn),所以在實際應(yīng)用中可以減小計算量、節(jié)約存儲空間。

伯努利類測量矩陣中,隨機對稱符號矩陣(Random Symmetric Signs Matrices)[7]是最常用的。若有隨機對稱符號矩陣Φ,且 Φ ∈ Rm×n。

那么矩陣中的每一個元素都獨立的服從對稱符號伯努利分布,如式(2)所示。

伯努利二進制矩陣中零元素的存在給線性觀測過程帶來的影響可以這樣來理解:如果對稱符號矩陣能夠?qū)⑿盘栔械男畔⑷總鬟f至觀測值向量中,那么伯努利二進制矩陣中的元素有1/2的可能性為零,導(dǎo)致了信號中的信息有1/2不能傳遞到伯努利二進制矩陣所得到的觀測值中。但是,值得注意的是,觀測值向量中若有m個元素,那么伯努利二進制矩陣所得到的觀測值向量能夠以的概率得到信號中的全部信息,因為ΓΦ滿足RIP準則,即ΓΦ的元素完好地采集到了x中的信息,與ΓΦ所對應(yīng)的αΦ以概率 滿足信號的精確重建,隨著m的增大,該概率趨向于1。

3 仿真與分析

仿真中選取了音樂信號為研究對象,格式為WAV,將截取2s～5s的信號進行壓縮觀測并重建。選取DCT基作為信號的稀疏基,OMP[8]算法作為信號重建算法。

3.1 觀測矩陣性能分析

將一段時長為3S的音頻信號進行分段處理,分段長度取N=512;與常用觀測矩陣,高斯隨機矩陣、托普利茲、部分哈達瑪矩陣的結(jié)果進行比較,結(jié)果為40段相同長度的信號,且每段信號仿真100次后得到的平均值,對比結(jié)果如圖1所示。

圖1中結(jié)果表明隨著觀測點數(shù)的增加,信號的重建信噪比提高,重建效果更好。在相同的觀測點數(shù)下,高斯隨機矩陣和伯努利二進制矩陣觀測效果相當,都優(yōu)于托普利茲矩陣和部分哈達瑪矩陣。

圖1 四種觀測矩陣重建效果對比Fig.1 Comparison of the reconstruction effects of the four observation matrices

為進一步驗證音頻信號分段長度不同對信號觀測與重建效果的影響,取一段長度為3s的測試信號,對信號進行不同長度的分段處理。表1還列出了仿真過程中所需的運算時間。結(jié)果表明當信號分段長度越長,處理相同長度的音頻信號所需的時間越長。這是由于分段長度越長,矩陣維數(shù)越高,運算的復(fù)雜度越大。但分段長度越長信號的重建信噪比越高,重建效果越好。所以在觀測過程中要綜合考慮計算復(fù)雜度與重建效果兩方面,針對信號特點選擇合適的信號分段長度。

表1 信號分塊長度與稀疏度估計、重建信噪比、運算時間的關(guān)系Tab.1 The relationship between the signal block length and sparsity estimation, reconstruction signal-to-noise ratio, and computing time

3.2 噪聲性能分析

仿真中噪聲為高斯白噪聲,在原始音頻信號中加入不同信噪比的高斯白噪聲,對比在高斯隨機矩陣、二進制伯努利矩陣、托普利茲矩陣、部分哈達瑪矩陣觀測下,信號的重建效果,重建效果用重建信噪比來衡量。結(jié)果如表1所示。

從表2中結(jié)果可以看出:當含噪信號的信噪比為5db至25db時,四種觀測矩陣觀測下得到的重建信噪比均高于原信號信噪比,這就說明,壓縮感知對含噪信號具有一定的信號增強功能。當含噪信號的信噪比為25db時托普利茲矩陣和部分哈達瑪矩陣的重建信噪比低于25db,高斯隨機矩陣和伯努利二進制矩陣的重建信噪比仍然高于25db,這就說明,托普利茲矩陣和部分哈達瑪矩陣對音頻信號的觀測性能不如高斯隨機矩陣和伯努利二進制矩陣。

表2 信號中加入不同強度噪聲時四種觀測矩陣性能對比Tab.2 Comparison of the performance of the four observation matrices when different intensities of noise are added to the signal

4 結(jié)語

本文基于伯努利矩陣,結(jié)合隨機對稱符號矩陣以高概率滿足RIP準則的特點,針對音頻信號設(shè)計了伯努利二進制觀測矩陣。仿真實驗表明,伯努利二進制矩陣在信號不含噪聲情況下,觀測性能與高斯隨機矩陣相當,但由于其矩陣元素不是1就是0,大降低了觀測矩陣生成及觀測過程的計算復(fù)雜度。在含噪聲情況下,觀測過程具有信號增強功能。本文提出矩觀測矩陣為壓縮感知在計算機存儲資源有限的硬件上實現(xiàn)提供了可行性方案。

引用

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