具有精確幅值積分特性的正交信號(hào)發(fā)生器

孫于，李雪，耿嘉一，吳尚

(1.河北工業(yè)大學(xué) 省部共建電工裝備可靠性與智能化國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300132； 2.中國(guó)電工技術(shù)學(xué)會(huì)，北京 100055)

0 引 言

正交信號(hào)發(fā)生器(quadrature-signal-generator, QSG)可以產(chǎn)生一組較為精準(zhǔn)的正交信號(hào)，在電網(wǎng)同步[1]、單向功率的瞬時(shí)計(jì)算[2]以及三相系統(tǒng)的對(duì)稱分量提取等場(chǎng)合有著較大的應(yīng)用潛力以及產(chǎn)業(yè)價(jià)值[3-5]。其中，運(yùn)用二階廣義積分器的正交信號(hào)發(fā)生器(second-order-generalized-integrator based quadrature-signal-generator, SOGI-QSG)來(lái)提取正交分量的方法應(yīng)用最為廣泛，其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、性能優(yōu)越[6-11]，在虛擬磁鏈積分[10,12]、機(jī)電振蕩估計(jì)[13]、無(wú)傳感器電機(jī)控制[14]等方面發(fā)揮著重要的作用。然而，文獻(xiàn)[4]和文獻(xiàn)[15]表明，SOGI-QSG在參數(shù)設(shè)計(jì)以及提取效果方面存在一定的不足與局限性，可以歸納為以下兩個(gè)方面。

一方面，由于SOGI-QSG可以表述為2個(gè)具有二階特性的傳遞函數(shù)，因此其動(dòng)態(tài)性能的分析和設(shè)計(jì)可以參考典型二階系統(tǒng)的設(shè)計(jì)思路(second-order-system,SOS)[8,15]。SOGI-QSG的調(diào)節(jié)時(shí)間通常被設(shè)定為實(shí)際響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)輸出的誤差達(dá)到并保持在最終值的2%以內(nèi)所需要的時(shí)間(在某些情況下，使用1%或5%)[16]。該設(shè)計(jì)方法規(guī)則簡(jiǎn)潔且易于實(shí)現(xiàn)，因此多數(shù)研究學(xué)者對(duì)于SOGI-QSG的參數(shù)設(shè)計(jì)均采用這一規(guī)則。然而，與標(biāo)準(zhǔn)SOS不同的是，SOGI-QSG的有源輸入部分并非直流信號(hào)而是正弦信號(hào)，其同時(shí)具有幅值、相位和頻率3個(gè)特征量。因此，對(duì)于SOGI-QSG而言，其調(diào)節(jié)時(shí)間并不能準(zhǔn)確反映系統(tǒng)的實(shí)際狀態(tài)，導(dǎo)致調(diào)節(jié)時(shí)間失去了實(shí)際意義。

另一方面，廣義積分器(generalized-integrator,GI)作為SOGI-QSG的核心[6]，對(duì)于正弦信號(hào)具有幅值積分特性[17]，即當(dāng)二階廣義積分器(second-order-generalized-integrator,SOGI)的諧振頻率與輸入信號(hào)頻率相同時(shí)，其工作特性與一階系統(tǒng)(first-order-system,FOS)中純積分器的直流積分特性一致，因此可以從FOS的角度理解SOGI-QSG。然而，文獻(xiàn)[17]表明，GI會(huì)受到輸入信號(hào)初始相位的影響，使其積分特性不穩(wěn)定。當(dāng)輸入信號(hào)的初始相位為0時(shí)，其積分效果與FOS一致，可以實(shí)現(xiàn)交流信號(hào)的精確跟隨；但當(dāng)其初始相位不為0時(shí)，GI將不再是一個(gè)精準(zhǔn)的幅值積分器(magnitude-integrator,MI)，因此SOGI-QSG的準(zhǔn)確性也將嚴(yán)重下降。文獻(xiàn)[18]提出了降階廣義積分器(reduced-order generalized integrator,ROGI)的概念，將GI分解為正序MI以及負(fù)序MI，并分別對(duì)兩個(gè)MI進(jìn)行設(shè)計(jì)，從而一定程度上消除了初始相位的影響。然而，由于其復(fù)雜的矢量表達(dá)式，使得ROGI在單相系統(tǒng)中不易實(shí)現(xiàn)。

為了能夠獲取精準(zhǔn)的正交信號(hào)，并且能參考FOS的動(dòng)態(tài)過(guò)程來(lái)設(shè)計(jì)簡(jiǎn)單且易于實(shí)現(xiàn)的應(yīng)用要求，本文在SOGI-QSG的基礎(chǔ)上提出了一種基于精確幅值積分器的正交信號(hào)發(fā)生器(accurate-magnitude-integrator based quadrature-signal-generator,AMI-QSG)。與SOGI-QSG相比，AMI-QSG具有更清晰的結(jié)構(gòu)和概念，同時(shí)可以實(shí)現(xiàn)直流抑制以及諧波提取。

本文首先從FOS的角度對(duì)SOGI-QSG的原理進(jìn)行闡述，并指出其在參數(shù)設(shè)計(jì)以及實(shí)際應(yīng)用中存在的問(wèn)題。在此基礎(chǔ)上，提出了可以精確獲取正交信號(hào)的AMI-QSG。其次，為了更好的應(yīng)對(duì)實(shí)際應(yīng)用中的問(wèn)題，進(jìn)一步對(duì)其結(jié)構(gòu)進(jìn)行改進(jìn)，在得到正交信號(hào)的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)直流分量的抑制以及諧波分量的提取。最后，實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證所提出AMI-QSG的優(yōu)良性能。

1 SOGI-QSG的原理及問(wèn)題分析

1.1 FOS角度分析SOGI-QSG

圖1為標(biāo)準(zhǔn)FOS的結(jié)構(gòu)框圖，由于純積分器對(duì)直流信號(hào)具有無(wú)窮大的增益，因此其輸出可以跟隨直流輸入，使其穩(wěn)態(tài)誤差為0。FOS的閉環(huán)特性與低通濾波器相同，傳遞函數(shù)為

圖1 標(biāo)準(zhǔn)一階系統(tǒng)(FOS)框圖Fig.1 Block diagram of the standard first-order system (FOS)

F(s)=kdc/(s+kdc)。

(1)

其中kdc為一階系統(tǒng)的增益。

為了更好的實(shí)現(xiàn)對(duì)交流信號(hào)的跟隨，可以用SOGI取代FOS中的純積分部分，從而得到SOGI-QSG結(jié)構(gòu)[19]，如圖2所示。GI是SOGI-QSG的核心構(gòu)件，其傳遞函數(shù)[8]為

圖2 基于二次廣義積分器的正交信號(hào)發(fā)生器(SOGI-QSG)的結(jié)構(gòu)框圖Fig.2 Block diagram of the second-order generalized integrator based quadrature signal generator (SOGI-QSG)

(2)

該結(jié)構(gòu)的輸出信號(hào)v′以及qv′分別為輸入正弦信號(hào)的同相信號(hào)和正交信號(hào)，兩個(gè)正交分量的傳遞函數(shù)分別為：

(3)

(4)

圖3 GI-QSG的結(jié)構(gòu)框圖Fig.3 Block diagram of the GI-QSG

為了觀察GI-QSG和FOS的響應(yīng)過(guò)程，圖4和圖5分別給出了FOS對(duì)階躍信號(hào)的響應(yīng)以及GI-QSG對(duì)正弦信號(hào)的幅值階躍響應(yīng)。階躍響應(yīng)的表達(dá)式為

v′(t)=A(1-e-tkdc),t≥0。

(5)

其中包括與輸入信號(hào)大小相等的穩(wěn)態(tài)項(xiàng)以及由kdc決定時(shí)間常數(shù)的指數(shù)衰減項(xiàng)。在FOS中，將t=4T=4/kdc時(shí)刻定義為該系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)時(shí)間ts，則由式(4)可以計(jì)算出，在4T時(shí)刻系統(tǒng)的誤差為1.83%，如圖4所示。在GI-QSG中，輸入信號(hào)為一定頻率的正弦信號(hào)，從圖5的仿真對(duì)比結(jié)果可以看出，GI-QSG的幅值響應(yīng)與FOS的階躍響應(yīng)并不能實(shí)現(xiàn)理想的同步。因此，為了能夠更好的參考FOS的動(dòng)態(tài)響應(yīng)的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則來(lái)設(shè)計(jì)GI-QSG的參數(shù)，還需對(duì)GI-QSG的動(dòng)態(tài)響應(yīng)存在的問(wèn)題做進(jìn)一步分析。

圖4 FOS階躍響應(yīng)Fig.4 Step response of the FOS

圖5 GI-QSG正弦信號(hào)的幅值階躍響應(yīng)Fig.5 Magnitude step response of the GI-QSG for sinusoidal signal

1.2 GI-QSG的問(wèn)題分析

如前所述，F(xiàn)OS中的純積分環(huán)節(jié)在零頻點(diǎn)處具有無(wú)窮大的增益，因此可以實(shí)現(xiàn)對(duì)直流信號(hào)的無(wú)差跟蹤。然而，與純積分器不同的是，GI是由兩個(gè)較為復(fù)雜的積分器組合而成，即

(6)

由式(6)可知，GI在正頻域和負(fù)頻域內(nèi)都存在無(wú)限增益的頻率點(diǎn)，其理想情況下時(shí)域響應(yīng)為

v′(t)=A(1-e-tkac)sin(ωt+φ)。

(7)

其中kac為理想情況下的系統(tǒng)增益。

如果反饋系統(tǒng)是由與之相對(duì)應(yīng)的復(fù)雜積分器構(gòu)成，則式(7)中跟蹤特性將與FOS的跟蹤特性一致。當(dāng)GI-QSG輸入單一頻率的正弦信號(hào)時(shí)，式(6)中只有一個(gè)積分器對(duì)該信號(hào)進(jìn)行跟蹤，而另一個(gè)積分器的存在干擾了系統(tǒng)的跟蹤過(guò)程，導(dǎo)致系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)與FOS出現(xiàn)較大的差異。并且，當(dāng)系統(tǒng)需要快速響應(yīng)時(shí)，GI-QSG的幅值響應(yīng)與FOS的差異將更為顯著。為了更好的解釋這個(gè)問(wèn)題，需要推導(dǎo)出GI-QSG對(duì)正弦輸入信號(hào)v(t)=Asin(ωt+φ)的時(shí)域響應(yīng)，并與式(7)中的理想響應(yīng)進(jìn)行比較。

首先，正弦輸入信號(hào)v(t)=Asin(ωt+φ)的拉普拉斯變換為

(8)

GI-QSG輸出的拉普拉斯變換可以通過(guò)式(8)與式(3)相乘得到(v′(s)=v(s)D(s))。當(dāng)調(diào)節(jié)D(s)中的ω′使得ω′=ω時(shí)，時(shí)域響應(yīng)可以通過(guò)v′(s)的拉普拉斯逆變換得到，即

(9)

與式(7)中的理想響應(yīng)相比，式(9)中有相同的穩(wěn)態(tài)項(xiàng)，但有不同的指數(shù)衰減項(xiàng)。為了驗(yàn)證在快速動(dòng)態(tài)響應(yīng)情況下，F(xiàn)OS的參數(shù)設(shè)計(jì)規(guī)則對(duì)于GI-QSG的有效性，將穩(wěn)定時(shí)間設(shè)定為0.005 s (kGI=800)，隨后對(duì)GI-QSG的正弦信號(hào)響應(yīng)進(jìn)行仿真，并與理想M-FOS進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果如圖6所示。由圖可知，GI-QSG在0.005 s時(shí)產(chǎn)生了15.46%的跟蹤誤差，與理想M-FOS相比跟蹤誤差明顯。因此，對(duì)于具有快速動(dòng)態(tài)響應(yīng)的GI-QSG系統(tǒng)，基于一階系統(tǒng)的設(shè)計(jì)規(guī)則不再適用。

圖6 GI-QSG與理想M-FOS的階躍響應(yīng)的比較Fig.6 Magnitude-step-response comparison of the GI-QSG and the ideal M-FOS

2 基于精確幅值積分器的正交信號(hào)發(fā)生器(AMI-QSG)

由式(9)可以看出，GI-QSG的瞬態(tài)響應(yīng)是高度非線性的，這使得其參數(shù)設(shè)計(jì)非常困難。解決這一問(wèn)題的方案為在閉環(huán)系統(tǒng)中應(yīng)用一個(gè)與FOS有相同幅值響應(yīng)的正弦積分器，但是該系統(tǒng)需要輸入復(fù)雜的交流信號(hào)，這在單相系統(tǒng)中并不容易實(shí)現(xiàn)。為了適應(yīng)復(fù)雜的交流輸入信號(hào)，在本節(jié)中運(yùn)用反向推導(dǎo)的思想提出了一種新型積分器的設(shè)計(jì)方案，該方案與 GI-QSG相比更接近FOS響應(yīng)。

2.1 精確幅值積分器(accurate magnitude integrator,AMI)的推導(dǎo)

首先,對(duì)正弦輸入信號(hào)v(t)=Asin(ωt+φ)進(jìn)行拉普拉斯變換，其結(jié)果為

(10)

理想的幅值響應(yīng)由式(7)給出，其拉普拉斯變換為

(11)

利用上述輸入信號(hào)和輸出信號(hào)的傳遞函數(shù)，可以推導(dǎo)出跟蹤系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)，進(jìn)而計(jì)算出開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為

(12)

式(12)為理想正弦積分器的傳遞函數(shù)，其對(duì)應(yīng)跟蹤系統(tǒng)的幅值響應(yīng)與FOS相同。然而，可以注意到傳遞函數(shù)O(s)與輸入信號(hào)的初始相位有關(guān)，但是在實(shí)際中初始相位很難獲得，實(shí)現(xiàn)起來(lái)較為復(fù)雜，因此假設(shè)相角為0，式(12)可以簡(jiǎn)化為

(13)

由此，便得到AMI的結(jié)構(gòu)表達(dá)式(13)。與GI類似，AMI只與信號(hào)頻率和時(shí)間常數(shù)有關(guān)，因此相較于式(12)更容易實(shí)現(xiàn)。由于式(13)僅為一個(gè)特例，因此有必要對(duì)該積分器在一般情況下的有效性進(jìn)行驗(yàn)證。為此，首先給出由式(13)建立的閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

(14)

其次將v(t)=Asin(ωt+φ)作為系統(tǒng)的輸入信號(hào)，可以導(dǎo)出其時(shí)域響應(yīng)為

v′(t)=Asin(ωt+φ)-Asin(ωt+φ)e-kact+

(15)

與式(9)相比，式(15)更接近于理想M-FOS的時(shí)域響應(yīng)。由式(15)可以看出，僅在輸入信號(hào)初始相位為0時(shí)，AMI的時(shí)域響應(yīng)與式(7)中理想M-FOS相同；當(dāng)輸入信號(hào)初始相位不為0時(shí)，兩種積分器的響應(yīng)結(jié)果仍然存在差異。為了測(cè)試AMI對(duì)不同初始相位正弦信號(hào)的性能，給出了4個(gè)不同初始相位的仿真結(jié)果，如圖7所示。從圖7(a)中可以看出，當(dāng)初始相位為0時(shí)，AMI跟隨一階系統(tǒng)的響應(yīng)，響應(yīng)速度快于GI-QSG；當(dāng)初始相位不為0時(shí)，如圖7(b)、(c)、(d)所示，AMI的響應(yīng)速度還要快于FOS。這些結(jié)果說(shuō)明即使在不忽略初始相位的一般情況下，AMI仍然具有較強(qiáng)的優(yōu)越性。

圖7 GI-QSG和基于AMI的M-FOS在不同初始相位情況下，正弦輸入信號(hào)的階躍響應(yīng)比較Fig.7 Magnitude-step-response comparison of the GI-QSG and the AMI based M-FOS for the sinusoidal input signal with different initial phases

2.2 基于AMI的QSG的結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)

傳遞函數(shù)(13)可以改寫為

(16)

圖8 基于AMI的QSG(AMI-QSG)的結(jié)構(gòu)實(shí)現(xiàn)Fig.8 Structure realization of the AMI based QSG (AMI-QSG)

(17)

(18)

(19)

(20)

圖9 AMI-QSG的伯德圖Fig.9 Bode diagrams of AMI-QSG

AMI-QSG基于一階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性，運(yùn)用逆推的思想，實(shí)現(xiàn)了交流信號(hào)的動(dòng)態(tài)追蹤，為了保證圖8的結(jié)構(gòu)更好的應(yīng)對(duì)實(shí)際應(yīng)用中的問(wèn)題，以下對(duì)其結(jié)構(gòu)進(jìn)行了改進(jìn)，并在實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證中驗(yàn)證了其優(yōu)越性。

2.3 AMI-QSG的結(jié)構(gòu)改進(jìn)

考慮到FOS可以實(shí)現(xiàn)直流提取，因此將其與AMI-QSG結(jié)合來(lái)實(shí)現(xiàn)直流抑制，從而得到FOS和M-FOS的組合結(jié)構(gòu)，如圖10所示，其中v′與v，εv與v的傳遞函數(shù)分別為：

(21)

(22)

圖10 具有直流抑制的AMI-QSG改進(jìn)結(jié)構(gòu)Fig.10 Improved AMI-QSG structure with dc rejection(AMI-QSG)

(23)

(24)

圖11 改進(jìn)版AMI-QSG的伯德圖Fig.11 Bode diagrams of improved AMI-QSG

除了直流問(wèn)題，另一個(gè)實(shí)際問(wèn)題是低次諧波的存在會(huì)對(duì)基波分量的提取產(chǎn)生影響。盡管Dac(s)自身具有濾波特性，對(duì)高次諧波分量有較強(qiáng)的抑制能力，但是接近基頻的低次諧波仍然會(huì)使提取的基頻分量產(chǎn)生較大的畸變。此外，AMI-QSG的正交輸出具有高通濾波特性，使其對(duì)低次諧波更加敏感。為了解決這些問(wèn)題，可以通過(guò)改變固有頻率(ω′)的取值，得到與低次諧波分量相對(duì)應(yīng)的AMI-QSG結(jié)構(gòu)，隨后將其并聯(lián)得到MAMI-QSG，如圖12所示。該結(jié)構(gòu)可以實(shí)現(xiàn)對(duì)相應(yīng)諧波分量的提取，其有效性將在下一節(jié)中得到驗(yàn)證。

圖12 提取直流和諧波分量的多個(gè)AMI-QSG(MAMI-QSG)結(jié)構(gòu)Fig.12 Structure multiple AMI-QSG (MAMI-QSG) with DC and harmonics extraction

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

實(shí)驗(yàn)裝置由電網(wǎng)模擬器Chroma 61845、dSPACE DS1007平臺(tái)、DS2004高速A/D板、DS2102高分辨率D/A板和電壓傳感器板組成。電網(wǎng)模擬器用于生成所需的電壓，然后由電壓傳感器板進(jìn)行采樣檢測(cè)，采樣頻率設(shè)定為10 kHz，再由DS2004 A/D板將其轉(zhuǎn)換成數(shù)字信號(hào)送入DS1007平臺(tái)，需要驗(yàn)證的算法可以在dSPACE平臺(tái)上實(shí)現(xiàn)。dSPACE的處理結(jié)果將通過(guò)DS2102 D/A板將預(yù)估的變量轉(zhuǎn)換為模擬信號(hào)，最終將波形顯示在示波器中。

為了驗(yàn)證所提出的AMI-QSG結(jié)構(gòu)的性能，實(shí)驗(yàn)分別測(cè)試了AMI-QSG與傳統(tǒng)GI-QSG對(duì)正弦輸入信號(hào)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，測(cè)量波形如圖13所示。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，AMI-QSG相比于GI-QSG有更快的響應(yīng)速度，從而證明了AMI-QSG結(jié)構(gòu)的優(yōu)越性。

圖13 輸入正弦信號(hào)時(shí)，AMI-QSG與GI-QSG的 響應(yīng)波形Fig.13 Response waveforms of AMI-QSG and GI-QSG when the input is sinusoidal signal

圖14 AMI-QSG與改進(jìn)的AMI-QSG在輸入信號(hào)含有直流分量時(shí)的性能比較Fig.14 Performance comparison of the AMI-QSG and the improved AMI-QSG when the input signal contains dc component

為了驗(yàn)證MAMI-QSG對(duì)諧波提取的有效性，實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了實(shí)際情況中電網(wǎng)電壓包含多種低次諧波分量的情況，并在輸入信號(hào)中加入基波分量10%的3、5、7次諧波為例，首先對(duì)穩(wěn)態(tài)性能進(jìn)行測(cè)試，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖15所示。圖15 (a)給出了輸入信號(hào)的波形和MAMI-QSG中所有模塊組合后的估計(jì)波形，可以看出估計(jì)波形與輸入信號(hào)完全一致。除此之外，圖15(b)進(jìn)一步給出了由對(duì)應(yīng)的AMI估計(jì)得到的基波分量和各次諧波分量。以上結(jié)果表明，所提出的MAMI-QSG具有良好的穩(wěn)態(tài)性能。

圖15 存在諧波時(shí)MAMI-QSG的穩(wěn)態(tài)性能Fig.15 Steady-state performance of the MAMI-QSG in the presence of harmonics

隨后，在輸入信號(hào)中包含相同諧波分量的情況下，測(cè)試了所提出的MAMI-QSG的動(dòng)態(tài)性能，實(shí)驗(yàn)結(jié)果如圖16所示。圖16顯示了所有分量的集成波形與輸入信號(hào)波形的對(duì)比結(jié)果?？梢钥闯?，輸出信號(hào)可以在0.02 s內(nèi)快速跟隨輸入信號(hào)，從而驗(yàn)證了該方法的有效性。

圖16 MAMI-QSG在諧波存在時(shí)的輸入信號(hào)和估計(jì) 信號(hào)波形Fig.16 Waveform of the input signal and the estimated signal of the MAMI-QSG in the presence of harmonics

4 結(jié) 論

本文從一階系統(tǒng)的角度分析了GI-QSG動(dòng)態(tài)響應(yīng)，理論分析表明，由于GI幅值積分特性的影響，導(dǎo)致傳統(tǒng)GI-QSG的動(dòng)態(tài)響應(yīng)設(shè)計(jì)規(guī)則不準(zhǔn)確。為了克服GI-QSG這一缺點(diǎn)，本文提出一種更精確的幅度積分器 AMI-QSG。AMI-QSG的特性比GI-QSG更接近于FOS，因此可以參考FOS的動(dòng)態(tài)響應(yīng)參數(shù)設(shè)計(jì)規(guī)則來(lái)分析AMI-QSG的動(dòng)態(tài)過(guò)程。除此之外，為了抑制輸入信號(hào)中的直流分量以及提取其中的諧波分量，進(jìn)一步改進(jìn)AMI-QSG的結(jié)構(gòu)，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提方法的有效性。