積分常數(shù)法在中值定理中的證明及應(yīng)用

潘嶸 宋宗余

摘 要：通過積分常數(shù)法證明中值定理，啟發(fā)學(xué)生的思維，加深其對(duì)問題的理解和解決問題的能力.

關(guān)鍵詞：微分中值定理;變上限積分;原函數(shù);構(gòu)造函數(shù)

[中圖分類號(hào)]O172.1 ? [文獻(xiàn)標(biāo)志碼]A

Abstract：The mean value theorem is proved by the integral constant method，Which inspires students' thinking，deepens the understanding of the problem and the ability to solve the problem

Key words：differential mean value theorem;change upper integral;original function;constructor function

微分中值定理是大學(xué)數(shù)學(xué)中重要的定理之一，是微分教學(xué)的重要內(nèi)容.教學(xué)難點(diǎn)是，證明過程中要構(gòu)造一個(gè)合適的輔助函數(shù)，因此，輔助函數(shù)的構(gòu)造就成為中值定理教學(xué)的關(guān)鍵.在大多數(shù)大學(xué)數(shù)學(xué)中，拉格朗日（Lagrange）中值定理和柯西（Cauchy）中值定理的證明都是直接給出輔助函數(shù)，利用輔助函數(shù)滿足羅爾（Rolle）中值定理得出結(jié)論，沒能將前后知識(shí)合理銜接.筆者給出一種新的輔助函數(shù)構(gòu)造技巧方法-積分常數(shù)法，這里對(duì)拉格朗日和柯西中值定理進(jìn)行證明.

積分常數(shù)法證明柯西中值定理要注意的是，柯西中值定理表達(dá)式包含兩個(gè)不同的函數(shù).在實(shí)際處理問題時(shí)，要注意變形.

微分中值定理很好地刻畫了導(dǎo)數(shù)的局部性和函數(shù)的整體性關(guān)系，是聯(lián)系導(dǎo)數(shù)和函數(shù)之間關(guān)系的橋梁紐帶.中值定理的證明關(guān)鍵是構(gòu)造合適的輔助函數(shù)，輔助函數(shù)法是解決數(shù)學(xué)問題重要的思想方法，是非常有效的數(shù)學(xué)工具.進(jìn)行構(gòu)造的目的是：如果不能按正常的邏輯關(guān)系推理得到問題的結(jié)論時(shí)，就要從新的角度觀點(diǎn)出發(fā)，另辟蹊徑，依據(jù)已知的信息創(chuàng)造性的解決問題.

2 結(jié)束語

本文從羅爾中值定理的應(yīng)用出發(fā)，明確羅爾定理證明問題構(gòu)造輔助函數(shù)的解題思路，順理成章地構(gòu)造出合理的輔助函數(shù)，從而證明出相應(yīng)的結(jié)論，變形要盯住目標(biāo).由于解決問題的途徑常常不是唯一的，在平時(shí)的學(xué)習(xí)中，應(yīng)考慮如何才能更快有效的解決問題，注意可能途徑之間的選擇，體現(xiàn)出對(duì)知識(shí)的靈活運(yùn)用，有助于邏輯思維的訓(xùn)練，形成知識(shí)網(wǎng)絡(luò).公式的形式要懂得推廣，在構(gòu)造輔助函數(shù)的過程中，要多留意經(jīng)常用的模型，只要條件允許，f″（x）←→f′（x）←→f（x）←→∫xaf（t）dt，相鄰兩項(xiàng)均可使用中值定理.

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編輯：吳楠