基于有限元的衰蕩光腔內(nèi)溫度分布仿真

邢素霞，曹 宇，郭瑞民，曹 珂

(1. 北京工商大學(xué)，北京 100048；2. 中國(guó)計(jì)量科學(xué)研究院，北京 100029；3. 江蘇省計(jì)量科學(xué)研究院，江蘇 南京 210023)

1 引言

光腔衰蕩光譜法(cavity ring-down spectroscopy， CRDS)由于測(cè)量速度快、靈敏度高、量程大、穩(wěn)定性好，受光源強(qiáng)度和檢測(cè)系統(tǒng)噪聲影響小，不需要昂貴、費(fèi)時(shí)的校準(zhǔn)，被認(rèn)為是潛在的氣體成分量測(cè)量基準(zhǔn)方法[1-3]。

光腔衰蕩光譜測(cè)量系統(tǒng)需要一個(gè)溫度均勻且溫度變化小的實(shí)驗(yàn)環(huán)境[4，5]。根據(jù)實(shí)驗(yàn)測(cè)量精度要求，光腔的最大形變量要求控制在20nm之內(nèi)，光腔溫度變化小于±0.003℃。為實(shí)現(xiàn)以上精度要求，為光腔設(shè)計(jì)一帶有加熱裝置的控溫箱體，將光腔置于箱體內(nèi)部，箱體內(nèi)加熱裝置均勻分布在控溫箱內(nèi)，由于箱體各面散熱效果不同，相同的功率下，各加熱片附件溫度不同。為使箱體內(nèi)溫度均勻分布，本研究利用有限元分析方法模擬控溫箱體內(nèi)溫度分布，并采用參數(shù)化掃描優(yōu)化加熱裝置的分布位置及功率大小，直至腔內(nèi)溫度分布均勻。

COMSOL Multiphysics是一個(gè)多物理場(chǎng)耦合的仿真平臺(tái)[6，7]，可用于建模和模擬物理場(chǎng)問題，具有仿真結(jié)果可視化和強(qiáng)大的后處理功能，提高實(shí)際研究或生產(chǎn)效率。

2 衰蕩光腔控溫箱體幾何建模

本研究在 COMSOL 中根據(jù)成型控溫箱體直接繪制幾何模型?？販叵潴w結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)為中間鏤空的長(zhǎng)方體，其長(zhǎng)、寬、高分別為1.2m×0.22 m×0.22m。光腔置于長(zhǎng)方體的控溫箱體中，在控溫箱內(nèi)部分布有加熱片。繪制的衰蕩光腔模型結(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 衰蕩光腔幾何模型

3 基于有限元分析的溫度場(chǎng)分布

3.1 傳熱模型和定邊界條件

對(duì)衰蕩光腔溫度場(chǎng)仿真計(jì)算前，首先根據(jù)實(shí)際溫度場(chǎng)情況進(jìn)行熱源分析，確定傳熱方式，設(shè)置并計(jì)算出傳熱模型的一系列邊界條件。

在本研究中，熱源是硅膠加熱片，熱傳導(dǎo)占主要部分，熱對(duì)流占次要位置。但是由于外界實(shí)驗(yàn)環(huán)境為17℃，光腔溫度需要控制在25.5℃，箱體內(nèi)部與外部溫差較大，而且箱體內(nèi)各表面由于位置不同，導(dǎo)致與空氣對(duì)流的傳熱系數(shù)也不同，因此需要對(duì)6個(gè)面分布確定邊界條件。

傳熱模塊的邊界條件通常分為以下三種類型[8，9]：

1)第一類邊界條件

第一類邊界條件用以設(shè)置傳熱模型邊界上的溫度值。設(shè)置邊界溫度為常數(shù)，即tw等于常量，是第一類邊界條件最簡(jiǎn)單的應(yīng)用。在瞬態(tài)傳熱過程中，第一類邊界條件的關(guān)系式為

τ>0，tw=f1(τ)

(1)

2)第二類邊界條件

第二類邊界條件用以設(shè)置傳熱模型邊界上的熱流密度值。將邊界上的熱流密度設(shè)置成定值，即qw等于常數(shù)，是第二類邊界條件的最簡(jiǎn)單的應(yīng)用。在瞬態(tài)傳熱過程中，第二類邊界條件的關(guān)系式如下

(2)

3)第三類邊界條件

第三類邊界條件用以設(shè)置傳熱模型邊界周圍流體的溫度ft和周圍流體與物體之間的表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)h。如果物體處于被降溫冷卻的狀態(tài)下，那么第三類邊界條件表示如下

(3)

以上三類邊界條件分別與數(shù)理方程中的三類邊界條件相對(duì)應(yīng)，分別稱為Dirichlet條件、Neumann 條件和Robin 條件。

根據(jù)以上邊界條件的定義，第一類邊界條件將幾何模型外表面溫度設(shè)置為常量17℃。第二類邊界條件用于設(shè)置6個(gè)外表面，由于6個(gè)外表面位置不同，設(shè)置上稍微不同，但是基本方法一致。以上表面為例，如圖2所示。

圖2 上表面外部對(duì)流邊界

幾何模型通過上表面散發(fā)的熱量為

qo=h·(Text-T)

(4)

其中，h是上表面的對(duì)流系數(shù)，該對(duì)流系數(shù)與所處環(huán)境的空氣對(duì)流系數(shù)、上表面的等效板直徑、絕對(duì)壓力和外界溫度有關(guān)。其關(guān)系如式(5)所示

h=hair(L，pA，Text)

(5)

上表面與外界環(huán)境接觸，屬于外部自然對(duì)流。依次類推，設(shè)置其它5個(gè)外表面的邊界條件。

3.2 網(wǎng)格生成

確定傳熱模式和邊界條件后，設(shè)置初始加熱片功率，其中，4個(gè)側(cè)面內(nèi)壁上的加熱片功率相同，2個(gè)地面內(nèi)壁加熱片功率相同。利用有限元分析法將模型網(wǎng)格化劃分，網(wǎng)格越小，計(jì)算量越大，結(jié)果更加精確。本研究采用極端細(xì)化的模式將模型進(jìn)行劃分，模擬加熱片進(jìn)行加熱，計(jì)算得到控溫箱體初步溫度分布，如圖3所示，為經(jīng)過網(wǎng)格化的衰蕩光腔幾何模型。

圖3 衰蕩光腔網(wǎng)格化幾何模型

3.3 參數(shù)化掃描優(yōu)化

根據(jù)邊界條件初步計(jì)算的箱體內(nèi)溫度分布，為達(dá)到精度要求，需進(jìn)一步優(yōu)化，改善加熱片功率設(shè)計(jì)。

COMSOL優(yōu)化模塊中有基于梯度和無梯度兩種優(yōu)化技術(shù)。無梯度優(yōu)化方法適應(yīng)于沒有解析導(dǎo)數(shù)且目標(biāo)函數(shù)和約束不連續(xù)情況。優(yōu)化模塊提供了四類方法：二次近似的界限優(yōu)化 (BOBYQA)、Nelder-Mead、坐標(biāo)搜索以及蒙特卡洛(Monte Carlo )方法。其中最常用的是蒙特卡洛方法。蒙特-卡羅模擬法是一種基于統(tǒng)計(jì)和概率的隨機(jī)模擬方法。此方法可以用隨機(jī)數(shù)或偽隨機(jī)數(shù)的方法來解決諸多計(jì)算問題。具體方法就是把特定的概率模型與目標(biāo)求解的問題匹配關(guān)聯(lián)起來，然后通過計(jì)算機(jī)去實(shí)現(xiàn)抽樣或統(tǒng)計(jì)模擬，從而得到問題的近似解值。

與蒙特卡洛方法相比，參數(shù)化掃描的采樣點(diǎn)更多、更有規(guī)律一些[10，11]。通俗來說，參數(shù)化掃描就是遍歷法。按一定的規(guī)律，將所有可能的組合都計(jì)算一遍。相對(duì)于蒙特卡洛方法來說，參數(shù)化掃描的結(jié)果要更加全面。此外參數(shù)化掃描方法計(jì)算結(jié)果保留整個(gè)計(jì)算過程的結(jié)果。而蒙特卡洛方法只保留最后一次采樣時(shí)的結(jié)果。經(jīng)過以上比較，本研究采用參數(shù)化掃描的方式進(jìn)行優(yōu)化。

4 仿真結(jié)果與分析

首先計(jì)算最優(yōu)化下的控溫箱體內(nèi)六個(gè)加熱片的理想功率，進(jìn)而得到理想溫度分布。如圖4所示為經(jīng)過仿真計(jì)算的衰蕩光腔控溫箱體內(nèi)溫度分布情況?？梢郧逦乜吹剑m然控溫箱體與外界環(huán)境接觸的位置與內(nèi)部結(jié)構(gòu)之間存在溫度差，但是溫度差極小，在0.06℃之內(nèi)。控溫箱體中間的衰蕩光腔位置，溫差變化更小。為檢測(cè)衰蕩光腔位置溫差變化，沿光腔方向，隨機(jī)取樣18個(gè)點(diǎn)進(jìn)行溫度采集，采集溫度如表1所示，根據(jù)采集溫度值，控溫箱體內(nèi)等溫面分布如圖5所示。

圖4 衰蕩光腔溫度分布圖

表1 控溫箱體長(zhǎng)度方向采樣溫度值

圖5 衰蕩光腔等溫面分布圖

根據(jù)表1中測(cè)量數(shù)據(jù)，其統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)結(jié)果如表2所示，平均溫度25.4828℃，最大絕對(duì)誤差0.002℃，根據(jù)極差法誤差計(jì)算[12，13]，當(dāng)測(cè)量次數(shù)為18次時(shí)，極差系數(shù)為3.64，得箱體內(nèi)控溫精度為±0.0005℃，滿足衰蕩光腔溫度變化±0.003℃的精確度要求。

根據(jù)測(cè)量各點(diǎn)溫度求得加熱片內(nèi)各面的理想功率，即最優(yōu)解對(duì)應(yīng)的形變量示意圖，如圖6所示。根據(jù)溫度變化導(dǎo)致光腔長(zhǎng)度的變化關(guān)系。

圖6 溫度分布最優(yōu)解對(duì)應(yīng)的形變示意圖 (單位：nm)

5 結(jié)論

本研究對(duì)衰蕩光腔溫控箱體內(nèi)實(shí)際溫度場(chǎng)的熱源分布進(jìn)行分析，確定傳熱方式，設(shè)置并計(jì)算出傳熱模型的一系列邊界條件。然后利用參數(shù)化掃描方法，對(duì)溫控箱內(nèi)的溫度分布進(jìn)行迭代仿真，求得內(nèi)部各加熱片的理想功率及各個(gè)面功率之間的關(guān)系，溫度控制精度達(dá)±0.0005℃，仿真結(jié)果顯示，通過設(shè)置合理的加熱片功率，可以滿足衰蕩光腔溫度變化±0.003℃的精確度要求。