亞音速流場(chǎng)中曲線纖維變剛度復(fù)合材料壁板顫振特性研究

段靜波， 徐步青

(石家莊鐵道大學(xué) 工程力學(xué)系，石家莊 050043)

高速鐵路作為國(guó)民經(jīng)濟(jì)大動(dòng)脈和國(guó)家重要基礎(chǔ)設(shè)施，在國(guó)民經(jīng)濟(jì)又好又快發(fā)展和國(guó)防建設(shè)中發(fā)揮著不可替代的全局性支撐作用。隨著我國(guó)高速列車行進(jìn)速度的不斷攀升，一方面，蒙皮、裙板、底板等車體壁板類結(jié)構(gòu)所面臨的力學(xué)環(huán)境越來(lái)越惡劣，原本在低速列車設(shè)計(jì)中被合理忽略的壁板氣動(dòng)彈性問(wèn)題日益突顯出來(lái)。另一方面，為了追求列車的高速輕量化設(shè)計(jì)，復(fù)合材料正在成為高速軌道交通領(lǐng)域使用越來(lái)越廣泛的一類新型材料。值得注意的是，傳統(tǒng)的纖維增強(qiáng)復(fù)合材料層合板采用的是直線纖維，如圖1(a)所示，隨著自動(dòng)鋪放等先進(jìn)制造技術(shù)的發(fā)展，自動(dòng)鋪放設(shè)備能夠使纖維方向在鋪層內(nèi)曲線變化，如圖1(b)所示。與常規(guī)的直線纖維復(fù)合材料單層板相比，曲線纖維復(fù)合材料單層板剛度在空間上的非均勻分布能大幅改善結(jié)構(gòu)承載能力，適應(yīng)更為復(fù)雜的力學(xué)環(huán)境。因此，將曲線纖維變剛度層合板應(yīng)用于高速列車壁板類結(jié)構(gòu)，有望提高壁板顫振臨界速度，順利實(shí)現(xiàn)我國(guó)新一代復(fù)合材料高速列車壁板輕量化的設(shè)計(jì)目標(biāo)。

(a) 直線纖維鋪設(shè)

曲線纖維復(fù)合材料最早由Hyper等[1]提出用來(lái)代替直線纖維以提高帶孔復(fù)合材料層合板的力學(xué)性能。隨后，Gürdal等[2-3]提出了變剛度復(fù)合材料概念。目前，國(guó)內(nèi)外目前關(guān)于曲線纖維變剛度壁板相關(guān)力學(xué)問(wèn)題的研究大多是關(guān)于曲線纖維變剛度壁板的屈曲分析及優(yōu)化設(shè)計(jì)。Groph等[4]基于微分求積法研究了橫向剪切效應(yīng)對(duì)變剛度層合板屈曲性能的影響。Mahdi等[5]設(shè)計(jì)層合板的纖維軌跡為恒定曲率變化，并考慮層合板制造過(guò)程中纖維滿足最小轉(zhuǎn)彎半徑的情況下，對(duì)層合板的最大屈曲載荷和面內(nèi)剛度進(jìn)行優(yōu)化。Hao等[6]采用等幾何分析研究了復(fù)合材料變剛度板的屈曲及優(yōu)化問(wèn)題，提出了復(fù)合材料變剛度結(jié)構(gòu)的精確建模、分析與結(jié)構(gòu)優(yōu)化一體化設(shè)計(jì)框架。孫士平等[7]研究了復(fù)合載荷作用下變剛度復(fù)合材料回轉(zhuǎn)殼的屈曲優(yōu)化問(wèn)題。Hamed等[8]推導(dǎo)了一種新的曲線路徑，并采用ABAQUS軟件通過(guò)定義子程序的方式，對(duì)曲線鋪設(shè)的復(fù)合材料層合板屈曲特性進(jìn)行了模擬分析。此外，Houmat[9]對(duì)曲線纖維變剛度壁板進(jìn)行大變形和應(yīng)力分析。譚萍等[10]開展了曲線纖維變剛度壁板的幾何非線性振動(dòng)分析。馬洪濤等[11-12]建立了曲線纖維增強(qiáng)復(fù)合材料層合板自由振動(dòng)問(wèn)題的基本方程，采用微分求積法求解，得到了層合板的自振頻率及相應(yīng)的振型。馬成[13]通過(guò)對(duì)纖維曲線鋪放層合板阻尼比的研究，探究纖維曲線鋪放層合板的減振效果。杜宇等[14]對(duì)曲線纖維變剛度復(fù)合材料層合板在拉伸和彎曲載荷作用下的損傷破壞過(guò)程進(jìn)行了試驗(yàn)研究，獲得了該復(fù)合材料層合板的損傷破壞演化過(guò)程。有關(guān)曲線纖維變剛度壁板顫振問(wèn)題，相關(guān)的研究較少，但已經(jīng)引起了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注。Vahid等[15]采用等幾何分析法研究了高速流場(chǎng)中的曲線纖維變剛度層合壁板顫振問(wèn)題。歐陽(yáng)小穗等[16]研究了高速流場(chǎng)中的曲線纖維變剛度層合壁板非線性顫振響應(yīng)。Touraj等[17]將曲線纖維變剛度壁板應(yīng)用于飛機(jī)機(jī)翼承力結(jié)構(gòu)，研究了機(jī)翼-引擎系統(tǒng)的氣動(dòng)彈性特性。

由于我國(guó)高速列車目前的設(shè)計(jì)速度處于亞音速范圍，因此，本文以曲線纖維變剛度復(fù)合材料層合板為研究對(duì)象，建立亞音速流場(chǎng)中變剛度復(fù)合材料壁板顫振模型，研究復(fù)合變合壁板的固有振動(dòng)特性、模態(tài)耦合特性、顫振臨速度以及顫振時(shí)域響應(yīng)，分析曲線纖維鋪層關(guān)鍵參數(shù)對(duì)復(fù)合變剛度壁板顫振特性的影響規(guī)律。

1 纖維曲線方位角

(1)

(a) 曲線纖維方向角示意

2 亞音速流場(chǎng)中復(fù)合變剛度壁板顫振方程

2.1 壁板變形幾何關(guān)系

結(jié)構(gòu)方面，曲線纖維變剛度層合壁板屬于復(fù)合材料層合板，需要采用厚板理論，因而，本文采用Mindlin厚板理論，其應(yīng)變-位移關(guān)系如下

(2)

式中:u和υ分別為中面上的點(diǎn)沿x軸和y軸方向的位移；w為z軸方向的位移；θx和θy分別為中面繞x軸和y軸方向的轉(zhuǎn)角；ε0為壁板中面面內(nèi)位移產(chǎn)生的應(yīng)變向量；γ為橫向剪切應(yīng)變向量；κ為彎曲時(shí)壁板的曲率向量；z為壁板厚度方向的坐標(biāo)。

2.2 復(fù)合變剛度壁板本構(gòu)關(guān)系

對(duì)于正交各向異性材料，忽略法向正應(yīng)力，其應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系為

σ=Qmε，τ=Qsγ

(3)

其中，

(4)

式中，Qm,Qs分別為面內(nèi)和剪切剛度，其元素Qij表達(dá)式參見文獻(xiàn)[18]。

對(duì)于變剛度單層壁板，由于曲線纖維角度影響，不僅單層板內(nèi)本構(gòu)關(guān)系隨壁板平面是變化的，當(dāng)多個(gè)單層板形成層合板后，則曲線纖維角度和各層鋪層角共同影響壁板本構(gòu)關(guān)系，第k層本構(gòu)關(guān)系可如下表示

(5)

(6)

(7)

式中:φ為曲線纖維方位角，即與單層板局部坐標(biāo)r軸方向的夾角;θk為第k層單層板鋪層角，即單層板局部坐標(biāo)r軸方向與總體坐標(biāo)x軸方向的夾角，如圖2(b)所示。

根據(jù)復(fù)合材料層合理論，對(duì)于n層的復(fù)合變剛度壁板本構(gòu)關(guān)系可寫為

(8)

式中，N，M，F(xiàn)s分別為復(fù)合變剛度壁板的膜力、彎矩、橫向剪力等內(nèi)力。矩陣A，B，D，As表達(dá)式如下

(9)

2.3 亞音速氣動(dòng)力模型

氣動(dòng)力模型主要有三種理論：活塞理論、勢(shì)流理論和基于Euler方程或Navier-Stokes方程理論。由于列車壁板結(jié)構(gòu)一側(cè)的空氣流動(dòng)速度處于亞音速范圍，因此，采用線性、等熵、無(wú)黏性的勢(shì)流流動(dòng)理論，僅考慮氣動(dòng)力沿來(lái)方向的相互影響，暫不考慮氣動(dòng)垂直來(lái)流方向的影響。因而，可采用美國(guó)學(xué)者Dowell給出氣動(dòng)力模型[19]

(10)

式中:A(x)表示壁板內(nèi)氣動(dòng)力相互影響效應(yīng);D1(x)、D2(x)表示壁板邊界條件對(duì)氣動(dòng)力的影響效應(yīng);ρ∞為空氣密度;v∞來(lái)流速度。

2.4 曲線纖維復(fù)合變剛度壁板的顫振有限元方程

基于復(fù)合變剛度壁板本構(gòu)關(guān)系、幾何關(guān)系以及氣動(dòng)力模型，可以寫出其虛動(dòng)能、虛應(yīng)變能、外力虛功

(11)

采用四邊形四節(jié)點(diǎn)板單元對(duì)復(fù)合變剛度壁板進(jìn)行網(wǎng)格劃分，根據(jù)Hamilton原理，通過(guò)變分則可得到壁板的有限元顫振方程

Kss+Ka)u=0

(12)

(13)

式中，Nw為形函數(shù)矩陣N中對(duì)應(yīng)撓度自由度元素組成的矩陣。

3 算例驗(yàn)證與結(jié)果分析

3.1 正確性驗(yàn)證

首先對(duì)本文算法及程序進(jìn)行正確性驗(yàn)證。根據(jù)文獻(xiàn)[16]中四邊固支曲線纖維變剛度復(fù)合材料層合壁板算例，采用本文程序，退化消除氣動(dòng)力，進(jìn)行了固有頻率計(jì)算，如表1所示，并與文獻(xiàn)結(jié)果進(jìn)行比較，從表中可以看出本文結(jié)果與文獻(xiàn)的結(jié)果吻合較好，從而驗(yàn)證了本文模型和程序的正確性。

表1 曲線纖維層合板無(wú)量綱固有頻率隨T0/T1變化結(jié)果對(duì)比

其次，采用文獻(xiàn)[21]中鋼制鋁制懸壁板，進(jìn)行顫振分析驗(yàn)證，將本文程序退化為各向同性材料壁板進(jìn)行顫振速度計(jì)算。從表2中可以看到，本文方法計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)在厚板結(jié)果上吻合很好，與薄板吻合相對(duì)較好，主要原因是文獻(xiàn)[21]沒(méi)有考慮厚板剪切效應(yīng)。

表2 懸壁板顫振結(jié)果

3.2 網(wǎng)格收斂性分析

對(duì)于曲線纖維變剛度復(fù)合材料層合板，每一點(diǎn)的纖維方向都是不同的，因此壁板的剛度不再是常量，而是隨著不同位置處纖維方位角的變化而變化。采用有限元法分析時(shí)，通常需要通過(guò)細(xì)密網(wǎng)格才能保證分析結(jié)果的精度。因此，需要進(jìn)行網(wǎng)格收斂性驗(yàn)證。由于壁板在約束松動(dòng)、失效情況下極易出現(xiàn)顫振現(xiàn)象，本文考慮壁板單邊固支的極端約束情形。壁板單層材料屬性如表3所示。幾何尺寸為L(zhǎng)×H=0.6 m×0.4 m，總厚度為h=4 mm，鋪層為[0/90/<15|30>/<-15|-30>]s，來(lái)流方向平行于x軸，顫振臨界速度和頻率如表4所示。以網(wǎng)格50×50為基準(zhǔn)，當(dāng)網(wǎng)格為30×30時(shí)，曲線纖維復(fù)合材料層合板的顫振臨界速度和頻率誤差分別為-1.63%和1.42%。綜合考慮線性壁板顫振的計(jì)算精度和效率，本文后續(xù)計(jì)算采用30×30共900個(gè)單元的網(wǎng)格劃分。

表3 曲線纖維鋪層材料性能

表4 顫振分析的網(wǎng)格收斂性

3.3 亞音速氣流中復(fù)合變剛度壁板顫振分析

3.3.1 顫振頻域計(jì)算

采用復(fù)模態(tài)理論了求解復(fù)合變剛度壁板頻率顫振特性。圖3和圖4分別為鋪層方式[0/90/<15|30>/<-15|-30>]s、[0/90/<75|-15>/<-75|15>]s時(shí)，壁板前兩階復(fù)頻率實(shí)部、虛部隨來(lái)流速度變化的情況。復(fù)頻率實(shí)部表示阻尼，虛部表示頻率。從圖3(a)可看出，鋪層方式為[0/90/<15|30>/<-15|-30>]s的壁板，其前兩階復(fù)頻率實(shí)部隨來(lái)流先減小，后有一支增大與x=0相交，這表示振動(dòng)阻尼為零。與此同時(shí)，從圖3(b)可看出，壁板前兩階復(fù)頻率的虛部相互靠近，發(fā)生模態(tài)耦合。根據(jù)穩(wěn)定性條件可以判定系統(tǒng)此時(shí)發(fā)生了顫振，顫振速度約為60 m/s，顫振頻率約為18.2 Hz。同理，從圖4可知，當(dāng)氣流速度在116 m/s時(shí)，鋪層方式為[0/90/<75|-15>/<-75|15>]s的壁板也發(fā)生了顫振，顫振頻率約為14.9 Hz。

3.3.2 顫振時(shí)域計(jì)算

曲線纖維復(fù)合變剛度壁板在給定初始擾動(dòng)下，若在顫振臨界速度以下，壁板的運(yùn)動(dòng)隨時(shí)間減小，響應(yīng)是收斂的；當(dāng)超過(guò)臨界速度，壁板的振幅隨時(shí)間增大，響應(yīng)則是發(fā)散的。本文采用Newmark法計(jì)算壁板時(shí)域顫振響應(yīng)。圖5～圖7分別為[0/90/<15|30>/<-15|-30>]s復(fù)合變剛度壁板中點(diǎn)在氣流速度v∞為56 m/s、59 m/s、60 m/s時(shí)顫振時(shí)間歷程和相平面圖。從圖5可以看出，當(dāng)氣流速度v∞=56 m/s時(shí)，壁板受到初始擾動(dòng)后，壁板振動(dòng)撓度和法向速度均是收斂的，從板中點(diǎn)位置顫振相平面圖也可以看到。這表明壁板沒(méi)有發(fā)生顫振。當(dāng)v∞=59 m/s時(shí)，從圖6(a)、6(b)可以看到壁板受到初始擾動(dòng)后，經(jīng)過(guò)一段時(shí)后幅值保持不變，呈現(xiàn)出周期振動(dòng)的現(xiàn)象，這表明壁板處于顫振狀態(tài)。從圖6(d)的顫振形態(tài)圖上可以看到，壁板是一階彎曲和一階扭轉(zhuǎn)發(fā)生了耦合，以彎扭耦合的振型顫振。當(dāng)氣流速度v∞=60 m/s時(shí)，從圖7中可以看到，壁板受到初始擾動(dòng)后，隨著時(shí)間的增加，振動(dòng)已經(jīng)發(fā)散了。計(jì)算的結(jié)果表明，從時(shí)域計(jì)算得到的顫振臨界速度與采用復(fù)模態(tài)方法從頻域預(yù)測(cè)的結(jié)果相當(dāng)吻合。

(a) 復(fù)頻率實(shí)部

(a) 復(fù)頻率實(shí)部

(a) 壁板中點(diǎn)撓度-時(shí)間歷程

(a) 壁板中點(diǎn)撓度-時(shí)間歷程

(c) 壁板中點(diǎn)位置顫振相平面圖

(a) 壁板中點(diǎn)撓度-時(shí)間歷程

3.4 纖維鋪放參數(shù)對(duì)壁板顫振的影響分析

圖8給出了纖維直線鋪設(shè)和曲線鋪設(shè)對(duì)復(fù)合變剛度壁板顫振速度影響。其中，圖8(a)給出了三種直線纖維對(duì)稱鋪設(shè)方式，分別為[0/15]s、[0/30]s、[0/45]s，也給出了相應(yīng)的三種曲線纖維鋪設(shè)方式，分別是為[0/15/<0|45>/<0|-45>]s、[0/30/<0|45>/<0|-45>]s、[0/45/<0|45>/<0|-45>]s。從圖8(a)中可看到，與直線纖維鋪設(shè)的復(fù)合壁板相比，曲線纖維復(fù)合壁板的顫振速度要低一些。圖8(b)給出了四種直線纖維和曲線纖維非對(duì)稱鋪設(shè)的情況。

曲線鋪層方式一：[0/15/<0|45>/<0|-45>]s曲線鋪層方式二：[0/30/<0|45>/<0|-45>]s曲線鋪層方式三：[0/45/<0|45>/<0|-45>]s直線鋪層方式一：[0/15]s直線鋪層方式二：[0/30]s直線鋪層方式三：[0/45]s(a) 對(duì)稱鋪設(shè)

曲線鋪層方式一：[15/45/60/90/<0|45>/<0|45>/<0|45>/<0|45>]曲線鋪層方式二：[30/45/60/75/<0|45>/<0|45>/<0|45>/<0|45>]曲線鋪層方式三：[45/30/60/75/<0|45>/<0|45>/<0|45>/<0|45>]曲線鋪層方式四：[45/60/75/90/<0|45>/<0|45>/<0|45>/<0|45>]直線鋪層方式一：[15/45/60/90]直線鋪層方式二：[30/45/60/75]直線鋪層方式三：[45/30/60/75]直線鋪層方式四：[45/60/75/90](b) 非對(duì)稱鋪設(shè)圖8 纖維直線和曲線鋪設(shè)下顫振臨界速度的比較Fig.8 Comparison of flutter critical speeds with straight andcurved fiber laying

其中，直線纖維鋪設(shè)方式分別為[15/45/60/90]、[30/45/60/75]、[45/30/60/75]、[45/60/75/90]，曲線纖維鋪設(shè)方式分別為[15/45/60/90/<0|45>/<0|45>/<0|45>/<0|45>]、[30/45/60/75/<0|45>/<0|45>/<0|45>/<0|45>]、[45/30/60/75/<0|45>/<0|45>/<0|45>/<0|45>]、[45/60/75/90/<0|45>/<0|45>/<0|45>/<0|45>]。從圖8(b)中可看到，曲線纖維復(fù)合壁板的顫振速度高于直線纖維鋪設(shè)。究其原因，可能是當(dāng)纖維非對(duì)稱分布時(shí)，復(fù)合壁板的彎曲與扭轉(zhuǎn)耦合效應(yīng)，產(chǎn)生了彎扭耦合剛度，能對(duì)壁板顫振產(chǎn)生抑制作用。

圖9給出了不同鋪層主方向?qū)η€纖維復(fù)合壁板顫振速度和頻率的影響。壁板鋪層采取6種鋪設(shè)方式，每一層曲線纖維的方向角T0、T1保持不變，鋪層形式分別為[0/0/<0|45>/<0|-45>]s、[0/15/<0|45>/<0|-45>]s、[0/30/<0|45>/<0|-45>]s、[0/45/<0|45>/<0|-45>]s、[0/60/<0|45>/<0|-45>]s、[0/75/<0|45>/<0|-45>]s、[0/90/<0|45>/<0|-45>]s。從圖9中可看到，隨著鋪層主方向角從0°、15°、30°、45°、60°、75°、90°增大，顫振速度呈現(xiàn)出先增大后減小再增大的變化規(guī)律，在鋪層主方向角約為30°時(shí)出現(xiàn)極大值，在鋪層主方向角約為90°時(shí)出現(xiàn)最大值，相應(yīng)的顫振頻率也出現(xiàn)這樣的變化情況。

(a) 顫振速度

(b) 顫振頻率圖9 鋪層主方向?qū)εR界顫振速度和頻率的影響Fig.9 Influence of ply direction on critical flutterspeed and frequency

進(jìn)一步研究曲線纖維方向角對(duì)復(fù)合壁板顫振速度和頻率的影響。針對(duì)鋪層形式[0/90//<-T0|-T1>]s，考慮T0和T1單獨(dú)變化的兩種情況，圖10給出了T1不變、T0=-90°～90°(間隔15°)，變剛度壁板顫振特性隨T0的變化規(guī)律。圖11給出了T0不變、T1=-90°～90°(間隔15°)，變剛度壁板顫振特性隨T0的變化規(guī)律?？傮w上從兩圖中可以看到，曲線纖維方向角對(duì)復(fù)合變剛度壁板的顫振有較大影響，在某些曲線纖維方向角度下，壁板甚至不會(huì)出現(xiàn)顫振現(xiàn)象。從圖10中可以看出，當(dāng)T1不變、T0變化時(shí)，壁板顫振速度隨著T0從-90°～90°呈現(xiàn)出先減小后增大的趨勢(shì)，在T0=0°時(shí)，壁板顫振速度出現(xiàn)極小值。壁板顫振頻率隨著T0從-90°～90°呈現(xiàn)出先增大后減小的趨勢(shì)。從圖11中可以看出，當(dāng)T0不變、T1變化時(shí)，壁板顫振速度隨著T1從-90°～90°呈現(xiàn)出持續(xù)增大的趨勢(shì)，壁板顫振頻率隨著T1從-90°～90°先增大后減小趨勢(shì)。由此可見，因此，復(fù)合變剛度壁板的顫振特性存在較大的優(yōu)化空間，通過(guò)調(diào)整鋪層主方向角、曲線纖維的路徑可以提高復(fù)合材料變剛度壁板的顫振臨界速度。

(a) 顫振速度

(b) 顫振頻率圖10 曲線纖維變剛度壁板顫振特性隨T0的變化(T1不變)

4 結(jié) 論

本文建立了亞音速曲線纖維變剛度壁板顫振有限元模型，與相應(yīng)文獻(xiàn)結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了本文模型及算法的正確性。進(jìn)而采用復(fù)模態(tài)理論、Newmark法分別從頻域時(shí)域求解復(fù)合變剛度壁板顫振特性，時(shí)域頻域預(yù)測(cè)結(jié)果相當(dāng)吻合。在此基礎(chǔ)上進(jìn)行了曲線纖維鋪設(shè)參數(shù)影響分析，得出的主要結(jié)論如下：

(a) 顫振速度

(b) 顫振頻率圖11 曲線纖維變剛度壁板顫振特性隨T1的變化(T0不變)

(1) 當(dāng)纖維對(duì)稱鋪設(shè)時(shí)，曲線纖維鋪設(shè)變剛度壁板的顫振速度低于直線纖維鋪設(shè)情況；當(dāng)曲線纖維非對(duì)稱鋪設(shè)時(shí)，曲線纖維鋪設(shè)變剛度壁板顫振速度高于直線纖維鋪設(shè)情況；

(2) 曲線纖維變剛度鋪層主方向角對(duì)復(fù)合變剛度壁板顫振有影響，曲線纖維變剛度鋪層主方向角φ從0°～90°變化時(shí)，復(fù)合壁板的顫振速度呈現(xiàn)出增大后減小再增大的規(guī)律，在變剛度鋪層主方向角約為30°時(shí)出現(xiàn)極大值，在鋪層主方向角約為90°時(shí)出現(xiàn)最大值；

(3) 曲線纖維方向角對(duì)復(fù)合變剛度壁板顫振有較大影響，當(dāng)T1不變、T0變化時(shí)，壁板顫振速度隨著T0從-90°～90°呈現(xiàn)出先減小后增大的規(guī)律；當(dāng)T0不變、T1變化時(shí)，壁板顫振速度隨著T1從-90°～90°呈現(xiàn)出持續(xù)增大的規(guī)律，在一些曲線纖維路徑下，壁板不出現(xiàn)顫振現(xiàn)象。