基于概率主成分分析的結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測數(shù)據(jù)修復(fù)方法研究

馬 幟， 羅堯治， 萬華平， YUN C B， 沈雁彬， 俞 峰

(浙江大學(xué) 建筑工程學(xué)院，杭州 310058)

鑒于大型結(jié)構(gòu)的重要性以及發(fā)生結(jié)構(gòu)破壞事故的嚴(yán)重性，越來越多的大型結(jié)構(gòu)安裝了結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測系統(tǒng)[1-4]。結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測是指利用現(xiàn)代傳感和通訊技術(shù)，實(shí)時監(jiān)測結(jié)構(gòu)服役階段(甚至施工階段)的結(jié)構(gòu)響應(yīng)和環(huán)境變量，運(yùn)用合理有效的信號處理方法從監(jiān)測數(shù)據(jù)中提取能夠反映結(jié)構(gòu)健康狀態(tài)的特征量，進(jìn)而對結(jié)構(gòu)的服役狀況、承載力等進(jìn)行評估，為結(jié)構(gòu)的運(yùn)維管理提供科學(xué)依據(jù)[5-6]?；诮】当O(jiān)測數(shù)據(jù)對結(jié)構(gòu)狀態(tài)的評估結(jié)果的準(zhǔn)確性依賴于大量且高質(zhì)量的監(jiān)測數(shù)據(jù)。在長期監(jiān)測過程中，由于監(jiān)測設(shè)備故障、供能中斷、數(shù)據(jù)傳輸故障等諸多因素存在，監(jiān)測數(shù)據(jù)缺失情況不可避免。因此，有必要對缺失數(shù)據(jù)進(jìn)行修復(fù)，為結(jié)構(gòu)健康狀態(tài)評估的提供完整和可靠的數(shù)據(jù)。

缺失數(shù)據(jù)修復(fù)已成為結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測領(lǐng)域的重要研究課題，研究較為廣泛。數(shù)據(jù)修復(fù)方法包括壓縮傳感方法[7]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法[8-9]、多元線性回歸方法[10]、貝葉斯多任務(wù)學(xué)習(xí)方法[11]等。其中壓縮傳感方法通過對原始數(shù)據(jù)構(gòu)造隨機(jī)采樣矩陣，根據(jù)采樣數(shù)據(jù)修復(fù)原始缺失數(shù)據(jù)，不需要額外的參考數(shù)據(jù)。但是該方法要求待修復(fù)數(shù)據(jù)在某些正交基上具有稀疏特征，對于稀疏性較弱的數(shù)據(jù)的修復(fù)效果較差，例如日常環(huán)境荷載作用下的結(jié)構(gòu)應(yīng)力響應(yīng)監(jiān)測數(shù)據(jù)。其余數(shù)據(jù)修復(fù)方法則通過建立缺失數(shù)據(jù)與參考數(shù)據(jù)間的相關(guān)關(guān)系，利用參考數(shù)據(jù)對缺失數(shù)據(jù)進(jìn)行修復(fù)，例如采用荷載輸入數(shù)據(jù)或未缺失數(shù)據(jù)對缺失數(shù)據(jù)進(jìn)行修復(fù)。其中多元線性回歸方法假設(shè)缺失數(shù)據(jù)與參考數(shù)據(jù)的關(guān)系為線性，未考慮潛在的非線性關(guān)系，因此具有一定的局限性。神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法和貝葉斯多任務(wù)學(xué)習(xí)方法能夠較好的建立缺失數(shù)據(jù)與參考數(shù)據(jù)間的非線性關(guān)系，因而有著較高的修復(fù)準(zhǔn)確率。但是這兩種方法需要采用各測點(diǎn)均完整的監(jiān)測數(shù)據(jù)來建模，當(dāng)完整監(jiān)測數(shù)據(jù)較少時，得到的預(yù)測模型精度難以保證，會影響數(shù)據(jù)修復(fù)的效果。為此，針對日常環(huán)境荷載作用下各測點(diǎn)均存在數(shù)據(jù)缺失，完整監(jiān)測數(shù)據(jù)較少的情況，本文引入了概率主成分分析方法對結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行修復(fù)。

概率主成分分析(probabilistic principal component analysis,PPCA)[12]是主成分分析(principal component analysis,PCA)的一種概率形式。PPCA能夠在完整數(shù)據(jù)較少時，利用最大期望(EM)算法找到各組數(shù)據(jù)間的隱含關(guān)系，進(jìn)而對缺失數(shù)據(jù)進(jìn)行修復(fù)，無需對完整數(shù)據(jù)進(jìn)行訓(xùn)練。此外，PPCA能夠量化數(shù)據(jù)修復(fù)值的不確定性，給出修復(fù)結(jié)果的置信區(qū)間。基于以上優(yōu)勢，PPCA在結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測數(shù)據(jù)修復(fù)領(lǐng)域有著很大的應(yīng)用前景，但是目前還缺乏相關(guān)的研究。本文結(jié)合PPCA的特點(diǎn)，針對不完整的多測點(diǎn)響應(yīng)數(shù)據(jù)建立PPCA模型，對各測點(diǎn)的健康監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行修復(fù)。武夷山旋轉(zhuǎn)觀眾席的實(shí)測數(shù)據(jù)用來驗(yàn)證方法的有效性，并討論了不同測點(diǎn)數(shù)目、數(shù)據(jù)缺失類型和缺失率、以及選取的主成分個數(shù)對修復(fù)效果的影響。另外，在不同數(shù)據(jù)缺失工況下，對比了PPCA、PCA、多元線性回歸、K最近鄰法以及壓縮傳感方法五種方法的數(shù)據(jù)修復(fù)效果，結(jié)果表明PPCA的數(shù)據(jù)修復(fù)效果最佳。

1 主成分分析

主成分分析(PCA)[13]能夠?qū)⒏呔S相關(guān)變量轉(zhuǎn)化為低維互不相關(guān)的變量，廣泛應(yīng)用于多元數(shù)據(jù)的降維分析。對于一個d維數(shù)據(jù)向量，若其含有N個觀測值ti,i∈{1,…,N}，則PCA的目標(biāo)是尋找q組d維(q

Spj=λjpj

(1)

觀測向量ti在主成分軸上的投影向量可由下式得到

xi=PT(ti-μ)

(2)

(3)

在重構(gòu)的觀測向量中，僅使用了前q個主成分相關(guān)的信息，忽略了其他不重要的部分。由完整的觀測數(shù)據(jù)計(jì)算得到主成分矩陣P，通過待修復(fù)數(shù)據(jù)中未缺失部分的數(shù)據(jù)計(jì)算得到投影向量，能通過式(3)對缺失數(shù)據(jù)進(jìn)行修復(fù)。

2 概率主成分分析的數(shù)據(jù)重構(gòu)方法

2.1 概率主成分分析

在概率模型中，定義d維的觀測向量ti，i∈{1,…,N}與一個q維的隱變量xi之間存在如下的線性關(guān)系

ti=Wxi+μ+εi

(4)

式中:εi為殘差向量；W是一個d×q維的轉(zhuǎn)換矩陣，在這里由前q個主成分軸構(gòu)成。通常情況下，假定隱變量xi相互獨(dú)立，且服從單位方差的高斯分布，即xi～N(0,I)，其中I為q維的單位矩陣。殘差向量εi同樣假定相互獨(dú)立，在各維度數(shù)據(jù)中的噪聲水平相當(dāng)?shù)那闆r下，可以假定殘差向量服從一個各向同性方差的高斯分布，即εi～N(0,σ2I)。在給定隱變量xi的條件下，觀測向量ti的條件概率分布為

ti|xi～N(Wxi+μ,σ2I)

(5)

根據(jù)貝葉斯定理，在已知觀測向量ti之后，可以得到隱變量的后驗(yàn)概率分布，也為高斯分布

xi|ti～N(M-1WT(ti-μ),σ2M-1)

(6)

式中，M=WTW+σ2I。隱變量xi實(shí)際上為前q各主成分上的投影。

2.2 EM算法及數(shù)據(jù)重構(gòu)

PPCA無法像PCA一樣存在解析解，其參數(shù)可通過最大似然法求得，即尋找最優(yōu)的W和σ2，使得觀測向量ti的似然函數(shù)值最大。由式(5)可知，ti的似然函數(shù)涉及到隱變量xi，且其自身包含一部分缺失數(shù)據(jù)，采用最大似然法得到的結(jié)果是隱式的。因此，通常需要采用最大期望(EM)算法用來同時估計(jì)主成分軸、誤差水平和缺失數(shù)據(jù)。

EM算法是通過迭代進(jìn)行極大似然估計(jì)的優(yōu)化算法，非常適用于包含隱變量或缺失數(shù)據(jù)的參數(shù)估計(jì)。EM算法的迭代循環(huán)由E-step(Expectation step)和M-step(Maximization step)組成。在E-step，根據(jù)現(xiàn)有的模型參數(shù)對缺失數(shù)據(jù)和隱變量進(jìn)行后驗(yàn)估計(jì)，然后代入對數(shù)似然函數(shù)，得到僅與模型參數(shù)相關(guān)的新的對數(shù)似然函數(shù)。在M-step，重新估計(jì)最優(yōu)的模型參數(shù)，使得新的對數(shù)似然函數(shù)值最大。

(7)

其中，聯(lián)合概率密度p(ti,xi)可以通過條件概率公式求得。

(8)

(9)

在M-step，重新估計(jì)使對數(shù)函數(shù)最大的模型參數(shù)W和σ2

(10)

(11)

式中:N為觀測向量個數(shù);d為觀測向量維度。在EM算法中，E-step和M-step不斷迭代，直到模型參數(shù)收斂。

采用EM算法估計(jì)PPCA模型參數(shù)和修復(fù)缺失數(shù)據(jù)的具體步驟如下：

(1) 初始化模型參數(shù)W及σ2和將缺失數(shù)據(jù)設(shè)為0，根據(jù)式(9)求得初始隱變量的后驗(yàn)期望；

(2) E-step：根據(jù)式(8)和上一個循環(huán)步的模型參數(shù)和隱變量，估計(jì)缺失數(shù)據(jù)；

(3) E-step：根據(jù)修復(fù)后的觀測數(shù)據(jù)和式(9)計(jì)算隱含變量xi的后驗(yàn)估計(jì)〈xi〉；

(4) M-step：根據(jù)式(10)和(11) 重新估計(jì)模型參數(shù)W和σ2；

(5) 重復(fù)步驟(2)～(4)，直到模型參數(shù)收斂。

3 武夷山旋轉(zhuǎn)觀眾席

3.1 結(jié)構(gòu)簡介

武夷山旋轉(zhuǎn)觀眾席位于福建省武夷山市武夷山景區(qū)，是大型戶外實(shí)景演出“印象大紅袍”的重要組成部分。如圖1所示，該觀眾席主體結(jié)構(gòu)通過132個導(dǎo)輪支承于四環(huán)鋼軌道上。通過液壓馬達(dá)驅(qū)動，該結(jié)構(gòu)可做360°旋轉(zhuǎn)，最大旋轉(zhuǎn)速度可達(dá)到1.2°/s。演出期間，該觀眾席結(jié)構(gòu)可承載超過2 000名觀眾，并在旋轉(zhuǎn)中提供360°的演出視角及自然實(shí)景景觀。觀眾席主結(jié)構(gòu)為鋼網(wǎng)架結(jié)構(gòu)，最高處為10.88 m，直徑為46.6 m，質(zhì)量為520 t。

3.2 結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測系統(tǒng)

為保障武夷山旋轉(zhuǎn)觀眾席結(jié)構(gòu)的運(yùn)營安全，該結(jié)構(gòu)安裝了結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測系統(tǒng)(如圖2所示)，該系統(tǒng)為浙江大學(xué)空間結(jié)構(gòu)研究中心自主研發(fā)的長期無線監(jiān)測系統(tǒng)[15]。無線監(jiān)測系統(tǒng)非常適用于旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)，解決了旋轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu)布線困難的問題。該系統(tǒng)已成功應(yīng)用于多個大跨度空間結(jié)構(gòu)的健康監(jiān)測，如國家體育場“鳥巢”[16]、杭州奧體中心體育場、杭州東站等[17]。監(jiān)測數(shù)據(jù)通過無線節(jié)點(diǎn)傳輸?shù)奖镜鼗荆髮ㄟ^無線網(wǎng)絡(luò)上傳到監(jiān)測云數(shù)據(jù)庫，并同步在云數(shù)據(jù)庫網(wǎng)站和浙江大學(xué)監(jiān)測中心進(jìn)行展示。

旋轉(zhuǎn)觀眾席主結(jié)構(gòu)上總共布置有55個振弦式傳感器，其中34個傳感器安裝于立柱構(gòu)件上，12個安裝于環(huán)梁構(gòu)件上，9個安裝于斜桿上。系統(tǒng)每天自動采集8次應(yīng)變和溫度數(shù)據(jù)，采集間隔為3小時。每天的21:00時刻屬于活動表演時刻，結(jié)構(gòu)正承受觀眾荷載。

4 結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測數(shù)據(jù)修復(fù)

4.1 監(jiān)測數(shù)據(jù)介紹

選取結(jié)構(gòu)某徑向桁架的一端作為子結(jié)構(gòu)來進(jìn)行研究(如圖3所示)，8個測點(diǎn)的應(yīng)力監(jiān)測數(shù)據(jù)作為觀測數(shù)據(jù)(如圖4所示)，每個測點(diǎn)共100個數(shù)據(jù)點(diǎn)，用于演示數(shù)據(jù)修復(fù)方法。圖5所示為相應(yīng)的溫度荷載變化。

(a) 旋轉(zhuǎn)觀眾席總體構(gòu)造

(b) 旋轉(zhuǎn)觀眾席

(a) 無線傳感器節(jié)點(diǎn)

(c) 無線監(jiān)測系統(tǒng)示意圖2 旋轉(zhuǎn)觀眾席無線監(jiān)測系統(tǒng)Fig.2 The wireless monitoring system of revolving auditorium

圖3 相關(guān)測點(diǎn)布置Fig.3 Layout of relative strain sensors

4.2 PPCA模型建立

假設(shè)所有測點(diǎn)均存在20%缺失，缺失方式隨機(jī)，此時所有測點(diǎn)數(shù)據(jù)均未缺失的完整數(shù)據(jù)是很少的。PCA只能基于完整數(shù)據(jù)計(jì)算主成分矩陣，因此可能會因完整樣本不足而導(dǎo)致誤差較大。相比之下，PPCA對完整數(shù)據(jù)的數(shù)量沒有要求。為確定后續(xù)分析中所采用的主成分?jǐn)?shù)量，選取所有8個主成分建立PPCA模型，各主成分占比如圖6所示。從圖中可看出，前兩個主成分占比超過了95%，為此后續(xù)分析選取前2個主成分進(jìn)行數(shù)據(jù)重構(gòu)。

PPCA和PCA均用于完整監(jiān)測數(shù)據(jù)和缺失數(shù)據(jù)，建立主成分矩陣，得到前兩個成分上的投影。其中，第一主成分的投影與溫度荷載有著較強(qiáng)的相關(guān)性，圖7為第一主成分的投影與溫度的關(guān)系，從圖中可看出，對于完整數(shù)據(jù)，PPCA和PCA結(jié)果基本相同，第一主成分的投影與溫度荷載的相關(guān)系數(shù)均為0.923?；?0%數(shù)據(jù)缺失的數(shù)據(jù)，PPCA方法對應(yīng)的相關(guān)性依然較高，相關(guān)系數(shù)為0.921；PCA方法對應(yīng)的相關(guān)性有一定減弱，相關(guān)系數(shù)降為0.896。圖8為兩種方法對應(yīng)的第二主成分上的投影。當(dāng)無數(shù)據(jù)缺失時，兩種方法的投影在有觀眾荷載作用時均有一個大的負(fù)值，表示了觀眾荷載的出現(xiàn)，其幅值與觀眾荷載的大小有關(guān)。當(dāng)有數(shù)據(jù)缺失時，PPCA方法依然能夠反映觀眾荷載，且與完整數(shù)據(jù)的結(jié)果基本相同，而PCA方法則不再能較好的反映觀眾荷載。以上結(jié)果表明，PPCA方法依然能夠較準(zhǔn)確的得到主成分矩陣，從而能夠較準(zhǔn)確的修復(fù)缺失數(shù)據(jù)；PCA方法得到的主成分矩陣則存在一定偏差，從而影響缺失數(shù)據(jù)修復(fù)的準(zhǔn)確性。

圖4 結(jié)構(gòu)應(yīng)力響應(yīng)監(jiān)測數(shù)據(jù)Fig.4 Measured stress data

圖5 結(jié)構(gòu)的溫度荷載序列Fig.5 Temperature variations of the structure

圖6 主成分占比Fig.6 Percentages of the eigenvalues

(a) 完整數(shù)據(jù)

(b) 20%隨機(jī)數(shù)據(jù)缺失圖7 第一主成分上的投影與溫度的關(guān)系Fig.7 Correlation between projections on the first PC andtemperature

(a) 完整數(shù)據(jù)

(b) 20%隨機(jī)數(shù)據(jù)缺失圖8 第二主成分上的投影Fig.8 Projections on second PC

4.3 缺失數(shù)據(jù)修復(fù)

PPCA方法和PCA方法用于對缺失數(shù)據(jù)修復(fù)，這里僅給出測點(diǎn)1和2的結(jié)果。PPCA除給出了缺失數(shù)據(jù)的修復(fù)值外，還給出了置信區(qū)間。由圖9(a)可知，PPCA的修復(fù)結(jié)果比PCA更接近于數(shù)據(jù)真實(shí)值。為了考察PPCA方法和PCA方法處理連續(xù)數(shù)據(jù)缺失情況的效果，假設(shè)數(shù)據(jù)缺失為連續(xù)缺失。PPCA方法和PCA方法數(shù)據(jù)修復(fù)結(jié)果如圖9(b)所示，同樣可以看出PPCA方法的數(shù)據(jù)修復(fù)效果優(yōu)于PCA方法。

(a) 隨機(jī)數(shù)據(jù)缺失(所有測點(diǎn))

(b) 連續(xù)數(shù)據(jù)缺失(測點(diǎn)1和2)圖9 測點(diǎn)1和測點(diǎn)2數(shù)據(jù)插補(bǔ)結(jié)果Fig.9 Data recovery results for sensors 1 and 2

為了更全面考察PPCA方法用于缺失數(shù)據(jù)修復(fù)的效果，選取多元線性回歸法(MLR)、K最近鄰法(KNN)和壓縮傳感方法(CS)用作對比對象。對于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)和貝葉斯多任務(wù)學(xué)習(xí)方法，由于本文涉及的監(jiān)測數(shù)據(jù)中的完整數(shù)據(jù)較少，模型訓(xùn)練效果不理想，因此不用來對比。其中壓縮傳感方法將未缺失的數(shù)據(jù)看成是隨機(jī)采樣的樣本來修復(fù)缺失數(shù)據(jù)。多元線性回歸法基于各測點(diǎn)數(shù)據(jù)間的線性回歸關(guān)系，利用未缺失的測點(diǎn)對缺失測點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行修復(fù)。K最近鄰法將每一次采樣得到的各測點(diǎn)數(shù)據(jù)看作多維坐標(biāo)，在所有監(jiān)測序列中選取與缺失點(diǎn)歐拉距離最近的K個樣本，將這K個樣本對應(yīng)缺失測點(diǎn)的值的平均作為缺失數(shù)據(jù)的修復(fù)結(jié)果[18]。為了量化五種數(shù)據(jù)修復(fù)方法(PPCA、PCA、MLR、KNN、CS)的效果，采用數(shù)據(jù)修復(fù)均方根誤差(RMSE)

(12)

(a) 所有測點(diǎn)隨機(jī)數(shù)據(jù)缺失

(b) 測點(diǎn)1和2連續(xù)數(shù)據(jù)缺失圖10 五種修復(fù)方法的數(shù)據(jù)修復(fù)均方根誤差(RMSE)Fig.10 RMSE of the recovered data by five recovery methods

圖11所示分別為隨機(jī)缺失和連續(xù)缺失工況下，選取不同數(shù)量的測點(diǎn)進(jìn)行分析時，四種方法的數(shù)據(jù)缺失均方根誤差比較。由于壓縮傳感方法只采用了待修復(fù)測點(diǎn)本身的數(shù)據(jù)，而沒有參考其他測點(diǎn)的數(shù)據(jù)，在這里不再對其討論不同測點(diǎn)數(shù)量的影響。從圖中可看出，四種方法的修復(fù)均方根誤差基本都隨著選取測點(diǎn)的增多而減小，且PPCA的修復(fù)效果在大部分情況下都是最優(yōu)的，僅僅在連續(xù)數(shù)據(jù)缺失工況選取2個測點(diǎn)進(jìn)行分析時不如多元線性回歸方法。

(a) 所有測點(diǎn)隨機(jī)數(shù)據(jù)缺失

(b) 測點(diǎn)1和2連續(xù)數(shù)據(jù)缺失圖11 選取不同數(shù)量測點(diǎn)分析時四種方法的修復(fù)RMSE

接著考察主成分個數(shù)對PPCA方法修復(fù)效果的影響。圖12為不同主成分個數(shù)下的數(shù)據(jù)修復(fù)均方根誤差。從圖中可看出，對于三種數(shù)據(jù)缺失率工況，2個主成分對應(yīng)的數(shù)據(jù)修復(fù)誤差均最小。這是因?yàn)榍?個主成分反映了各測點(diǎn)間的隱含關(guān)系，其余主成分則代表了觀測誤差，選取次要的主成分會引入誤差，從而影響了數(shù)據(jù)修復(fù)的效果。

圖12 選取的主成分個數(shù)對數(shù)據(jù)修復(fù)誤差的影響Fig.12 RMSE of recovered data using different numbers of PCs

5 結(jié) 論

本文引入了概率主成分分析方法對結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測數(shù)據(jù)進(jìn)行修復(fù)，武夷山旋轉(zhuǎn)觀眾席結(jié)構(gòu)的監(jiān)測數(shù)據(jù)用來驗(yàn)證方法的有效性。同時，對比了PPCA、PCA、多元線性回歸法、K最近鄰法和壓縮傳感方法五種數(shù)據(jù)修復(fù)方法的效果。得到的主要結(jié)論如下：

(1) 基于EM算法，PPCA方法能夠在數(shù)據(jù)缺失情況下依然能較準(zhǔn)確地估計(jì)主成分矩陣。PPCA方法的主成分投影更接近完整數(shù)據(jù)的結(jié)果，對主成分矩陣的識別更為準(zhǔn)確，因而能得到更準(zhǔn)確的修復(fù)結(jié)果。

(2) 在概率框架里，PPCA能夠估計(jì)原始數(shù)據(jù)中的不確定性水平；PPCA除了給出缺失數(shù)據(jù)的修復(fù)值外，還給出了對應(yīng)的置信區(qū)間。

(3) 與PCA、多元線性回歸法、K最近鄰法和壓縮傳感方法四種數(shù)據(jù)修復(fù)方法相比，PPCA方法在不同缺失工況和不同缺失率下的修復(fù)效果均最佳。

(4) 選取過多的主成分進(jìn)行PPCA建模，會引入額外誤差，降低數(shù)據(jù)修復(fù)的準(zhǔn)確性。