具有雙時(shí)滯SIRS傳染病模型的穩(wěn)定性與Hopf分支

劉柏林,許友軍,王建偉

(南華大學(xué) 數(shù)理學(xué)院,湖南 衡陽 421001)

0 引 言

傳染病是由病毒或其它病原體引起的一類傳染性很強(qiáng)的疾病，主要在人與人或人與動(dòng)物之間互相傳播。部分傳染病會與人類共存，另一部分則因人們采取措施而消亡。人類曾經(jīng)發(fā)生過大規(guī)模流行性傳染病，比如流感、天花、黑死病等。人們在長期與傳染病抗?fàn)幍倪^程中總結(jié)出以下經(jīng)驗(yàn)：感染初期無明顯癥狀，在經(jīng)過一段時(shí)間后表現(xiàn)出相應(yīng)癥狀，并迅速以指數(shù)式的傳播增長。研究初期人們并未考慮到時(shí)滯延遲因素，后來研究者們發(fā)現(xiàn)引入時(shí)滯(單或雙時(shí)滯)因素，如疾病的潛伏周期，免疫周期等，得到的結(jié)果更加逼近實(shí)際。不少學(xué)者在傳染病動(dòng)力學(xué)時(shí)滯延遲的研究方面已取得了很多研究成果[1-4]，為傳染病的防治提供了有效的理論依據(jù)。文獻(xiàn)[5]中作者研究了一類具有Logistic輸入率的雙時(shí)滯SIRS模型，如(1)所示：

(1)

其中S(t)、I(t)、R(t)分別代表t時(shí)刻的易感者人數(shù)，感染者人數(shù)，及康復(fù)者人數(shù)。參數(shù)r、K、β、α、μ、α1、γ、δ都是正常數(shù)。其中r是種群的凈增長率，K是理想環(huán)境下的最大種群容納量，β是感染者的平均接觸系數(shù)，α是與感染者有關(guān)的抑制飽和因子影響，μ是種群的自然死亡率，α1是種群的因病死亡率，γ是疾病的康復(fù)率，δ是疾病康復(fù)后再次復(fù)發(fā)的概率，τ1是疾病的潛伏周期，τ2是疾病感染者的康復(fù)周期。作者全面研究了正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，Hopf分支的方向與周期解的穩(wěn)定性。

在文獻(xiàn)[5]基礎(chǔ)上，將疾病的發(fā)生率函數(shù)βSI/(1+αI)修改為βSI/(1+αS)，即疾病發(fā)生率的抑制飽和因子與易感者有關(guān)，再考慮到患者康復(fù)后存在一個(gè)免疫周期，即有再次感染的風(fēng)險(xiǎn)。因此得到以下模型：

(2)

其中τ2代表疾病的免疫周期，其它參數(shù)代表的意義與模型(1)相同。

1 正平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性與Hopf分支

經(jīng)簡單計(jì)算可知，系統(tǒng)(2)總存在一個(gè)無病平衡點(diǎn)E0(K,0,0)。由基本再生數(shù)的生物學(xué)意義，定義系統(tǒng)(2)的基本再生數(shù)為:

顯然當(dāng)R0>1時(shí)，系統(tǒng)(2)存在唯一的正平衡點(diǎn)E*(S*,I*,R*)。其中

將系統(tǒng)(2)在正平衡點(diǎn)E*處線性化可得到等價(jià)系統(tǒng)(3)

(3)

其中

系統(tǒng)(3)對應(yīng)的特征方程為

λ3+m2λ2+m1λ+m0+(n2λ2+n1λ+n0)e-λτ1+p0e-λ(τ1+τ2)=0,

(4)

其中

情形1 當(dāng)τ1=τ2=0時(shí)，方程(4)為

λ3+m12λ2+m11λ+m10=0,

(5)

其中

m12=m2+n2,m11=m1+n1,

m10=m0+n0+p0。

若方程(5)的系數(shù)滿足下列條件

(H1)m12>0,且m11m12-m10>0。

由Routh-Hurtitz準(zhǔn)則可知，方程(5)的所有根都具有嚴(yán)格負(fù)實(shí)部。根據(jù)泛函微分方程的穩(wěn)定性理論可得到定理1。

定理1 當(dāng)τ1=τ2=0時(shí)，如果條件(H1)均滿足，系統(tǒng)(2)的正平衡點(diǎn)E*是局部漸近穩(wěn)定的。

情形2 當(dāng)τ1=0,τ2>0時(shí)，方程(4)可寫成如下形式

λ3+(m2+n2)λ2+(m1+n1)λ+(m0+n0)+p0e-λτ2=0,

(6)

假設(shè)λ=iω(ω>0)是方程(6)的一個(gè)純虛根，代入其中化簡得

-iω3-(m2+n2)ω2+i(m1+n1)ω+(m0+n0)+p0(cosωτ2-isinωτ2)=0。

分離實(shí)部和虛部得到

兩式平方相加得到

ω6+c2ω4+c1ω2+c0=0,

(7)

其中

令z=ω2，則方程(7)變?yōu)?/p>

z3+c2z2+c1z+c0=0,

(8)

定義函數(shù)

f(z)=z3+c2z2+c1z+c0。

(9)

討論方程(8)根分布情況，由文獻(xiàn)[6],得到以下引理:

引理1 對于方程(8)的系數(shù)

(i)若c0<0,方程(8)至少有一個(gè)正實(shí)根；

現(xiàn)在假設(shè)f(z)的系數(shù)滿足下列條件

(H2)c0<0或者c0≥0,Δ>0,z*>0,f(z*)≤0。

根據(jù)Hopf分支理論[7],需要驗(yàn)證橫截性條件。設(shè)λ(τ)=α(τ)+iω(τ)是方程(7)在τ=τ20處且滿足α(τ20)=0,ω(τ20)=ω20的根，下面尋找橫截性條件，對方程(6)兩邊關(guān)于τ2求導(dǎo)，得到

因此，有

注意到

顯然，當(dāng)滿足下列條件時(shí)

定理2 當(dāng)τ1=0,τ2>0時(shí)，有

(1)若(H2),引理1(ii)成立，則系統(tǒng)(2)的正平衡點(diǎn)E*對所有τ2>0都是局部漸近穩(wěn)定的；

(2)若(H2),(H3)成立，則當(dāng)τ2∈(0,τ20)時(shí)，系統(tǒng)(2)正平衡點(diǎn)E*是局部漸近穩(wěn)定的；當(dāng)τ2>τ20時(shí)，系統(tǒng)(2)的正平衡點(diǎn)E*是不穩(wěn)定的；當(dāng)τ2=τ20時(shí)，系統(tǒng)(3)在正平衡點(diǎn)E*處出現(xiàn)Hopf分支。

情形3 當(dāng)τ1>0,τ2=0時(shí),方程(4)重寫為

λ3+m2λ2+m1λ+m0+(n2λ2+n1λ+n0+p0)e-λτ1=0,

(10)

此時(shí)類似情形2，采用相同的研究方法，可得到類似的結(jié)論:

定理3 對于τ1>0,τ2=0時(shí)，若與(H2),(H3)相對應(yīng)的條件成立，則當(dāng)τ1∈(0,τ10)時(shí)，系統(tǒng)(2)正平衡點(diǎn)E*是局部漸近穩(wěn)定的;當(dāng)τ1>τ10時(shí)，系統(tǒng)(2)的正平衡點(diǎn)E*是不穩(wěn)定的；當(dāng)τ1=τ10時(shí)，系統(tǒng)(2)在正平衡點(diǎn)E*處出現(xiàn)Hopf分支。

情形4 當(dāng)τ1>0,τ2>0且τ2∈(0,τ20)時(shí)。此時(shí)系統(tǒng)(3)的特征方程就是方程(4)

λ3+m2λ2+m1λ+m0+(n2λ2+n1λ+n0)e-λτ1+p0e-λ(τ1+τ2)=0

將τ1視為分支參數(shù)，令λ=iω(ω>0)是方程(4)的根，代入其中并分離實(shí)部和虛部可得

其中

兩式平方相加，并展開得到

l1(ω)+2l2(ω)cosωτ2+2l3(ω)sinωτ2=0

(11)

其中

假設(shè)

(H4)方程(11)有有限個(gè)正根，記這些根為ω11*,ω12*,ω13*,…,ω1k*。

那么對每一個(gè)固定的ω1j*(j=1,2,3,…,k)，相應(yīng)的時(shí)滯臨界值為

記

因?yàn)?/p>

所以有

其中

進(jìn)一步作代換，有

(12)

其中

所以只需滿足下列條件

(H5)AD+BC≠0。

2 數(shù)值模擬

參考文獻(xiàn)[5]提供的數(shù)據(jù)，取r=0.02,K=150,μ=0.037 5,α=0.002 5,α1=0.05,β=0.075,γ=0.035,δ=0.042。得到系統(tǒng)(2)特殊系統(tǒng)如下：

(13)

通過計(jì)算，可得到系統(tǒng)(13)的正平衡點(diǎn)為E*(1.6400,0.3119,0.1373)。

(1)τ1=0,τ2>0

計(jì)算得到τ20≈49.506 4，由定理2知，系統(tǒng)(13)的正平衡點(diǎn)E*在τ2∈(0,τ20)是局部漸近穩(wěn)定的；在τ2>τ20時(shí)不穩(wěn)定；并在τ2=τ20處發(fā)生Hopf分支，詳見圖1和圖2。

圖2 當(dāng)τ1=0,τ2=60>τ20時(shí)，正平衡點(diǎn)E*不穩(wěn)定Fig.2 E* is unstable when τ1=0,τ2=60>τ20

圖3 當(dāng)時(shí)，正平衡點(diǎn)E*漸近穩(wěn)定Fig.3 E* is asymptotically when

圖4 當(dāng)時(shí)，正平衡點(diǎn)E*不穩(wěn)定Fig.4 E* is unstable when

3 結(jié) 論

本文研究了一類具有免疫潛伏時(shí)滯的SIRS傳染病模型，重點(diǎn)討論了正平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定性?？梢缘贸霎?dāng)潛伏期時(shí)滯較小時(shí)，免疫期的時(shí)滯影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性；反之當(dāng)免疫期時(shí)滯較小時(shí)，潛伏期時(shí)滯影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性。關(guān)于正平衡點(diǎn)E*的Hopf分支的方向以及分支周期解的穩(wěn)定性，還有待進(jìn)一步的研究。