基于觀測器的線性系統(tǒng)非脆弱魯棒控制及仿真

張學(xué)勝，章 偉，吉明明

(1.上海工程技術(shù)大學(xué)機械與汽車工程學(xué)院，上海 201620；2.上海工程技術(shù)大學(xué)機器人智能控制實驗室，上海 201620)

1 引言

狀態(tài)反饋控制是以系統(tǒng)狀態(tài)變量作為反饋量的反饋控制。由于實際應(yīng)用中系統(tǒng)狀態(tài)變量不易直接測量，因此常常使用觀測器重構(gòu)系統(tǒng)狀態(tài)實現(xiàn)狀態(tài)反饋控制。在觀測期的研究上，近年來取得了許多成果。Zhang等人在文獻[1]中研究了基于觀測器的同步和未知輸入還原，在文獻[2]中研究了單邊Lipschitz非線性系統(tǒng)中的指數(shù)觀測器設(shè)計，在文獻[3]中研究了單邊Lipschitz非線性系統(tǒng)中未知輸入觀測器的設(shè)計。此外，Zhao[4]等人研究了滿足遞增二次有界條件的非線性系統(tǒng)中的混沌同步和保密通信，Acikmese[5]等人研究了滿足遞增二次有界條件的非線性觀測器設(shè)計，Zemouche[6]等人研究了Lipschitz非線性系統(tǒng)中設(shè)計觀測器的線性矩陣不等式((Linear Matrix Inequalities，LMIs))方法，都海波[7]等人研究了二階非線性系統(tǒng)有限時間輸出反饋控制及其應(yīng)用，蔣繼成[8]等人研究了基于觀測器的加速度獲取方法，董澤[9]等人研究了基于狀態(tài)觀測器的歷史數(shù)據(jù)建模。為了將這些觀測器的理論研究成果用于控制中，需要研究基于觀測器的控制。

基于觀測器的控制將觀測器用在了反饋控制中，使觀測器在許多領(lǐng)域得到了應(yīng)用。例如，Zhao等人在文獻[10]中將基于觀測器的反饋控制用于故障檢測中，Ekramian等人在文獻[11]中研究了Lipschitz非線性系統(tǒng)中基于觀測器的控制，Arcak等人在文獻[12]中研究了斜度有界非線性系統(tǒng)中基于觀測器的控制，Khalil等人在文獻[13]中研究了高增益觀測器的輸出反饋控制，Sun等人在文獻[14]中研究了基于觀測器的魯棒控制及其在航天器中的應(yīng)用。此外，基于觀測器的控制還可以被用于移動執(zhí)行器、MIS機器人、加熱爐的控制[15-17]。然而，在實際應(yīng)用中基于觀測器的控制仍存在許多問題。

在實際應(yīng)用中，由于存在環(huán)境噪聲、數(shù)據(jù)誤差、系統(tǒng)更迭等不確定因素，系統(tǒng)的參數(shù)和控制率可能存在擾動，因此需要在基于觀測器的控制中加入魯棒控制和非脆弱控制[18]。在非脆弱控制的研究上，近年來出現(xiàn)了許多成果。劉艷[19]等人研究了網(wǎng)絡(luò)化控制系統(tǒng)的非脆弱耗散控制，程昊宇[20]等人研究了變體飛行器的非脆弱魯棒控制，肖會芹[21]等人研究了網(wǎng)絡(luò)控制系統(tǒng)的非脆弱跟蹤控制，王宇飛[22]將非脆弱控制用在了近空間飛行器多模型軟切換中，Kchaou[23]、Mathiyalagan[24]等人研究了基于觀測器的非脆弱控制，Lien[25]等人研究了線性系統(tǒng)中基于觀測器的非脆弱控制，Zhou[26]等人研究了基于觀測器的非脆弱控制在隨機時滯系統(tǒng)中的應(yīng)用，Arthi[27]等人研究了離散時間非線性系統(tǒng)中基于觀測器的非脆弱控制，Zhu[28]等人研究了基于觀測器的非脆弱反饋控制在不確定系統(tǒng)中的應(yīng)用，Liu[29]等人研究了基于非脆弱觀測器的滑膜控制。雖然對于非脆弱控制的研究有了許多卓越成果，但是基于觀測器的非脆弱魯棒控制的研究成果依然很少。

本文研究了不確定線性系統(tǒng)中基于觀測器的控制，主要創(chuàng)新在于將非脆弱控制加入到基于觀測器的魯棒控制中。首先，針對所研究的不確定系統(tǒng)設(shè)計了非脆弱觀測器并構(gòu)造了Lyapunov函數(shù)。然后，對Lyapunov函數(shù)進行求導(dǎo)，使用線性矩陣不等式工具，將觀測器存在問題轉(zhuǎn)化為線性矩陣不等式求解問題。最后，得到了線性系統(tǒng)非脆弱魯棒控制器存在的充分條件，并通過MATLAB仿真驗證了結(jié)論的正確性和有效性。

2 問題描述及觀測器設(shè)計

本文中將研究以下線性系統(tǒng)

(1)

其中，x(t)、y(t)分別為系統(tǒng)的狀態(tài)向量和輸出向量，u(t)為系統(tǒng)的輸入向量。A、B、C、D是維數(shù)已知的定常矩陣，ΔA為擾動矩陣。

針對該系統(tǒng)，觀測器設(shè)計如下

(2)

假設(shè)擾動矩陣ΔA、ΔK和ΔL滿足

(3)

(4)

引理1[30]：對任意實矩陣D∈Rn×m，E∈Rm×n，時變矩陣F(t)∈Rm×m滿足FT(t)F(t)≤I，和任意常數(shù)ε>0，有

DF(t)E+ETFT(t)DT≤ε-1DDT+εETE

(5)

引理2[31]：對具有適當維數(shù)的矩陣X、Y、Z、U和常數(shù)ξ，不等式

X+ZTYT+YZ<0

(6)

成立，如果下列不等式得到滿足：

(7)

(8)

等價于

(9)

或者

(10)

3 主要定理及證明

定理1：系統(tǒng)(1)可通過觀測器(2)和(3)實現(xiàn)漸近穩(wěn)定，如果存在常數(shù)ε1、ε2、ε3、ρ、ξ，矩陣P、R、、使下列線性矩陣不等式成立

其中

系統(tǒng)的控制器和觀測器增益可通過K=U-1和L=R-1求出。

定理1與已有的結(jié)論相比，增加了控制的非脆弱控制，可以實現(xiàn)不確定系統(tǒng)中基于觀測器的非脆弱魯棒控制。

證明：根據(jù)系統(tǒng)(1)與觀測器(2)，構(gòu)造如下Lyapunov函數(shù)

V(z(t))=xT(t)Px(t)+eT(t)Re(t)

對其求導(dǎo)，得

=xT(t)[ATP-KTBTP+PA-PBK]x(t)

+eT(t)[ATR-CTLTR+RA-RLC]e(t)

+eT(t)KTBTPx(t)+xT(t)PBKe(t)

+xT(t)Δ1x(t)+eT(t)Δ2e(t)+Δ3

其中

Δ1=ΔAT(t)P+PΔA(t)-ΔKT(t)BTP-PBΔK(t)，

Δ2=ΔAT(t)R+RΔA(t)-CTΔLT(t)R-RΔL(t)C，

Δ3=eT(t)ΔKT(t)BTPx(t)+xT(t)PBΔK(t)e(t)。

由式(3)可得

-PBM2F2(t)N2，

-RM3F3(t)N3C，

由引理1，得

故

其中

ψ2=PBK，ψ3=KTBTP，

令Ψ=Ψ1+Ψ2，其中

令K=U-1，對Ψ進行化簡，得

其中

由引理2，得Ψ<0等價于

即

由引理3，使用Shur補對上式進行變換即可推導(dǎo)出定理1，定理1得證。

4 計算機仿真

針對系統(tǒng)(1)與觀測器(2)，將使用如下數(shù)據(jù)求解LMI得到控制增益與觀測器增益

將數(shù)據(jù)代入系統(tǒng)(1)與觀測器(2)中，求解LMI得到結(jié)果如下：

由下列數(shù)據(jù)，進行仿真：

得到仿真圖形如圖1和圖2所示，由圖1和圖2可看出，隨著時間的增加，系統(tǒng)狀態(tài)的估計值趨近于真實值，誤差估計趨近于零，說明本文的定理1的有效性。

圖1 系統(tǒng)狀態(tài)真實值與估計值

圖2 誤差估計示意圖

5 結(jié)論

本文研究了一類基于觀測器的非脆弱控制，采用了基于觀測器的控制方法，利用線性矩陣不等式推導(dǎo)方法，得到了線性系統(tǒng)非脆弱控制器存在的充分條件。該充分條件通過LMI的形式給出，并且經(jīng)過MATLAB仿真測試表明了該條件的有效性。