基于能量耦合的欠驅(qū)動(dòng)三維BC防擺控制

吳向明，范 波，張啟啟，宋曉明

(河南科技大學(xué)信息工程學(xué)院，河南 洛陽 471023)

1 引言

欠驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)以其獨(dú)立控制變量個(gè)數(shù)小于系統(tǒng)自由度個(gè)數(shù)的特性被廣泛地應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域。橋式起重機(jī)作為典型的欠驅(qū)動(dòng)控制系統(tǒng)，在短距離場地運(yùn)輸中發(fā)揮著重要的作用。

由于運(yùn)行環(huán)境的要求，橋式起重機(jī)一般是由經(jīng)驗(yàn)豐富的工人操作，但介于橋式起重機(jī)系統(tǒng)的高度非線性和控制量少等原因，給其控制帶來了極大的挑戰(zhàn)。這就導(dǎo)致橋式起重機(jī)系統(tǒng)普遍存在工作效率低下和安全性能不高等問題。為了提高橋式起重機(jī)系統(tǒng)的工作效率與安全性能，國內(nèi)外許多學(xué)者對(duì)橋式起重機(jī)系統(tǒng)進(jìn)行了大量的研究：Garrido等人[1]通過輸入整形技術(shù)在特定脈沖序列對(duì)模擬信號(hào)進(jìn)行卷積以減少負(fù)載擺動(dòng)。董明曉等人[2]以基于載荷擺動(dòng)幅值最小及優(yōu)化時(shí)滯的思想設(shè)計(jì)最優(yōu)輸入整形器。Fang等人[3]從能量角度來增強(qiáng)臺(tái)車與負(fù)載之間的動(dòng)態(tài)耦合關(guān)系，使得橋式起重機(jī)控制性能得到了提升。馬博軍等人[4]設(shè)計(jì)了一種基于耗散理論的自適應(yīng)控制器，實(shí)現(xiàn)了對(duì)整個(gè)橋式起重機(jī)系統(tǒng)的快速控制。Fang等人[5]構(gòu)造一條S形定位軌跡，并設(shè)計(jì)自適應(yīng)跟蹤控制器消除負(fù)載擺動(dòng)。

上述研究均以二維平面內(nèi)的橋式起重機(jī)系統(tǒng)模型為基礎(chǔ)展開，而在實(shí)際應(yīng)用中，橋機(jī)和吊重多數(shù)情況下都在三維空間內(nèi)運(yùn)動(dòng)。由于三維橋式起重機(jī)系統(tǒng)模型更接近實(shí)際橋式起重機(jī)，包含更多的狀態(tài)量，且各個(gè)狀態(tài)之間相互耦合，非線性更強(qiáng)，增加了吊重?cái)[動(dòng)控制的難度，因此其研究具有更大的實(shí)踐價(jià)值。文獻(xiàn)[6]中，孫寧等人設(shè)計(jì)了一種目標(biāo)軌跡自適應(yīng)控制器，雖然具有良好的控制性能和不錯(cuò)的適應(yīng)性，但該方法應(yīng)用時(shí)須進(jìn)行參數(shù)在線估算。文獻(xiàn)[7]中，Zhang等人通過引入兩個(gè)新的復(fù)合信號(hào)，構(gòu)造新的存儲(chǔ)函數(shù)，設(shè)計(jì)跟蹤控制策略，使得系統(tǒng)具有較好的暫態(tài)性能和較強(qiáng)的魯棒性；文獻(xiàn)[8]中，Sun等人通過引入虛擬有效載荷，分別對(duì)系統(tǒng)動(dòng)能及勢能整形，設(shè)計(jì)出一種能量耦合的輸出反饋控制律，實(shí)現(xiàn)了小車精確定位和有效載荷擺動(dòng)消除。雖然上述控制策略均有較好的定位和防擺控制效果，但是它們均過于依賴系統(tǒng)模型且控制器設(shè)計(jì)和分析較為復(fù)雜。

針對(duì)上述控制策略中過度依賴模型參數(shù)、控制方法復(fù)雜的問題，本文設(shè)計(jì)了一種基于能量耦合的三維橋式起重機(jī)防擺控制方法。首先，基于定繩長三維橋式起重機(jī)數(shù)學(xué)模型，分析系統(tǒng)能量，結(jié)合三維坐標(biāo)系中臺(tái)車與負(fù)載的耦合關(guān)系，建立基于負(fù)載空間位移誤差的復(fù)合控制信號(hào)；然后，利用李雅普諾夫方法，獲取能量耦合控制律，并通過LaSalle不變性原理證明系統(tǒng)的有界性與收斂性。最后，進(jìn)行仿真驗(yàn)證，并與傳統(tǒng)的PID控制及能量控制方法對(duì)比，說明該方法能夠?qū)崿F(xiàn)臺(tái)車的定位與負(fù)載消擺，且具有更佳的控制效果；同時(shí)減少調(diào)節(jié)參數(shù)，降低模型參數(shù)依賴度，簡化控制律。

2 三維橋式起重機(jī)模型分析

橋式起重機(jī)主要依靠大車、臺(tái)車和吊繩的運(yùn)動(dòng)來完成對(duì)負(fù)載的挪移，由此建立橋式起重機(jī)的五自由度三維數(shù)學(xué)模型[9]，其系統(tǒng)模型如圖1所示。

圖1 三維橋式起重機(jī)模型示意圖

其中，Mx，My分別表示x，y方向上運(yùn)動(dòng)的等效質(zhì)量(因?yàn)榕_(tái)車沿y方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，導(dǎo)軌隨之一起運(yùn)動(dòng)，所以Mx主要是(小車的質(zhì)量)臺(tái)車的質(zhì)量，而My主要包括臺(tái)車和橋架的質(zhì)量)；θx表示吊繩在xoz平面上的投影與z軸負(fù)方向所成的夾角，θy表示吊繩與xoz平面的夾角；l表示擺繩長度；m表示負(fù)載的質(zhì)量；fx，fy分別表示沿x，y方向上的力；(xm，ym，zm)表示負(fù)載質(zhì)心坐標(biāo)。

對(duì)于固定繩長的三維橋式起重機(jī)系統(tǒng)而言，其動(dòng)力學(xué)模型可描述如下[10，13，14]

mlxcosθxcosθy-mlysinθxsinθy-

(1)

(2)

(3)

(4)

由圖1可知，負(fù)載的水平位置信號(hào)可表示為

xm(t)=x+lsinθxcosθy

ym(t)=y+lsinθy

(5)

將式(5)關(guān)于時(shí)間t求導(dǎo)，可得

(6)

根據(jù)實(shí)際運(yùn)行情況，負(fù)載擺角θx(t)，θy(t)∈(-π/2，π/2)，負(fù)載的水平位移包含臺(tái)車位置與負(fù)載擺角的耦合信息，為控制器的設(shè)計(jì)提供條件。

3 能量耦合控制器設(shè)計(jì)

3.1 系統(tǒng)無源性分析

根據(jù)橋式起重機(jī)的動(dòng)力學(xué)模型，該系統(tǒng)能量可以表示為

(7)

對(duì)式(7)關(guān)于時(shí)間t求導(dǎo)并整理可得[11，12]

(8)

(9)

(10)

對(duì)式(10)關(guān)于時(shí)間t求積分，可得

E1(t)=E(t)+Edx(t)+Edy(t)=E(t)+Ed(t)

(11)

(12)

將式(3)和(4)代入式(12)整理可得

(13)

對(duì)式(13)關(guān)于時(shí)間t求積分有

Edx=-l(Mx+m)

(14)

對(duì)式(14)關(guān)于時(shí)間t求積分有

則

Ed(t)=Edx(t)+Edy

(15)

因?yàn)镸x

-gl(Mx+m)(1-cosθxcosθy)

(16)

令

由于θy(t)∈(-π/2，π/2)?cosθy>0，可得如下結(jié)論

將式(7)、(15)代入(11)并整理可得

E1(t)=E(t)+Edx(t)+Edy(t)=E(t)+Ed(t)

≥0

(17)

從E(t)，Ed(t)正定性可知，式(17)中新型儲(chǔ)能函數(shù)E1(t)也為正定。

3.2 能量耦合控制器設(shè)計(jì)

橋式起重機(jī)的控制的目標(biāo)是在時(shí)間t1內(nèi)臺(tái)車到達(dá)指定位置pdx、pdy，同時(shí)有效抑制并消除負(fù)載擺動(dòng)，即

負(fù)載水平運(yùn)動(dòng)的定位誤差信號(hào)εx(t)與εy(t)為

εx(t)=xm-pdx=ex+lsinθxcosθy

εy(t)=ym-pdy=ey+lsinθy

(18)

式中，ex(t)=xm(t)-pdx，ey(t)=ym(t)-pdy分別為臺(tái)車在x，y方向上的定位誤差。

選取李雅普諾夫候選函數(shù)

(19)

式中kpx>0，kpy>0。

對(duì)式(19)求導(dǎo)，可得

(20)

(21)

其中，kdx>0，kdy>0。

3.3 控制器穩(wěn)定性分析

臺(tái)車在耦合控制方法(21)作用下，可迅速到達(dá)目標(biāo)位置，并有效地消除負(fù)載擺動(dòng)，即

由式(20)、(21)可知

(22)

所以V(t)為減函數(shù)且V(t)>0，因此V(t)有界。由式(18)、(19)及(21)知

(23)

(24)

進(jìn)一步可知

εx(t)=ex+lsinθxcosθy=A

εy(t)=ey+lsinθy=B

(25)

=0

(26)

(27)

其中，A，B為待定常數(shù)。則由式(21)、(24)、(25)可得在集合Ψ中

fx(t)=-kpxA，fy(t)=-kpyB

(28)

將式(26)、(27)重新整理可得

(29)

(30)

將式(1)、(2)整理可得

(31)

(32)

結(jié)合式(28)、(29)、(30)、(31)、(32)可得

(33)

A=0，B=0

(34)

結(jié)合式(25)、(28)、(33)可知，在集合Ψ中

εy(t)=0，fx(t)=0，fy(t)=0.

(35)

(36)

(37)

將式(35)、(37)代入式(3)和式(4)，可求得

gsinθxcosθy=0

gcosθxsinθy=0

(38)

又因?yàn)閏osθx>0，cosθy>0，有

θx=0，θy=0

(39)

假設(shè)a≠0，b≠0，結(jié)合式(25)、(34)、(36)可得sinθxcosθy=-a/l≠0，sinθy=-b/l≠0，與式(39)的結(jié)論相矛盾，由此可知a=0，b=0。由式(36)得

ex(t)=0，ey(t)=0

(40)

綜上，由式(36)、(37)、(39)、(40)結(jié)論可知，最大不變集Ψ僅包含平衡點(diǎn)。根據(jù)LaSalle不變性原理[15]，基于負(fù)載能量耦合控制律(21)能夠滿足臺(tái)車到達(dá)指定位置并消除負(fù)載擺動(dòng)。即

4 仿真結(jié)果及分析

基于MATLAB/simulink仿真平臺(tái)驗(yàn)證上述基于能量耦合控制器消擺性能。仿真模型參數(shù)，見表1。仿真結(jié)果，如圖2、圖3、圖4、圖5、圖6、圖7、圖8、圖9、圖10、圖11、圖12、圖13所示。

表1 仿真模型參數(shù)表

圖2 能量耦合控制x軸方向位移變化曲線

圖3 能量耦合控制y軸方向位移變化曲線

圖4 能量耦合控制x軸方向擺角變化曲線

圖5 能量耦合控制y軸方向擺角變化曲線

圖2、圖3中，臺(tái)車在x軸方向和y軸方向均能到達(dá)指定位置。但y軸方向總質(zhì)量更重，到達(dá)指定位置時(shí)間耗時(shí)更長。

圖4、圖5中，臺(tái)車在x軸方向和y軸方向均能實(shí)現(xiàn)消擺功能。但y軸方向總質(zhì)量更重，產(chǎn)生的摩擦更大，且相比于x軸方向y軸的耦合情況更為復(fù)雜，受到外界干擾更多，因此y軸方向產(chǎn)生的殘余擺動(dòng)更難消除。

圖6 能量耦合與PID控制x軸方向位移變化曲線

圖7 能量耦合與PID控制y軸方向位移變化曲線

圖8 能量耦合與PID控制x軸方向擺角變化曲線

圖9 能量耦合與PID控制y軸方向擺角變化曲線

圖6、圖7中，與傳統(tǒng)PID控制相比，能量耦合控制在臺(tái)車定位方面消耗的時(shí)間更長，但能量耦合控制在位移變化前段和后段臺(tái)車加速度變化更加平緩，負(fù)載運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的擺動(dòng)相對(duì)更小，使橋式起重機(jī)操作更加安全。

圖8、圖9中，能量耦合控制與傳統(tǒng)PID控制均能在短時(shí)間內(nèi)完成負(fù)載消擺，兩者在消除負(fù)載殘余擺動(dòng)方面效果相差無幾，但能量耦合控制在抑制負(fù)載擺角上具有更好的控制效果。

圖10 能量耦合與傳統(tǒng)能量控制x軸方向位移變化曲線

圖11 能量耦合與傳統(tǒng)能量控制y軸方向位移變化曲線

圖12 能量耦合與傳統(tǒng)能量控制x軸方向擺角變化曲線

圖13 能量耦合與傳統(tǒng)能量控制y軸方向擺角變化曲線

圖10、圖11中，與傳統(tǒng)能量控制相比，能量耦合控制具有更好的位移曲線，能夠更快的實(shí)現(xiàn)臺(tái)車定位。能量耦合控制在位移變化前段臺(tái)車加速度變化更加平緩，負(fù)載運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的擺動(dòng)相對(duì)更小，位移變化后段具有更加迅速的定位效果，在指定位置附近能夠迅速定位。

圖12、圖13中，傳統(tǒng)能量控制負(fù)載擺動(dòng)時(shí)產(chǎn)生較大的擺角且負(fù)載殘余擺動(dòng)較為強(qiáng)烈，不能在短時(shí)間內(nèi)完成負(fù)載的消擺工作。而負(fù)載能量耦合控制在抑制負(fù)載擺角，消除殘余擺動(dòng)方面均具有良好的控制效果。

通過仿真結(jié)果對(duì)比分析可知，該方法能夠在橋式起重機(jī)運(yùn)行過程中有效抑制負(fù)載擺動(dòng)，實(shí)現(xiàn)臺(tái)車準(zhǔn)確定位；與傳統(tǒng)PID控制和傳統(tǒng)能量控制相比，能量耦合控制能夠有效抑制擺角并且對(duì)殘余擺動(dòng)有一定程度的消減，具有更好的消擺效果。

5 結(jié)論

針對(duì)欠驅(qū)動(dòng)三維橋式起重機(jī)防擺控制問題，本文通過分析三維橋式起重機(jī)系統(tǒng)能量，構(gòu)建負(fù)載空間位移誤差信號(hào)，利用李雅普諾夫方法，設(shè)計(jì)了基于能量耦合的定繩長三維橋式起重機(jī)防擺控制方法，并對(duì)控制器的性能進(jìn)行了嚴(yán)格的理論分析。通過仿真對(duì)比，驗(yàn)證了該方法能夠?qū)崿F(xiàn)臺(tái)車定位與負(fù)載有效消擺。在未來的工作中，將考慮提升臺(tái)車的快速定位性能，以獲得更好的控制效果。