基于小波變換閾值去噪算法的改進

李維松，許偉杰，張 濤

(1. 中國科學院聲學研究所東海研究站，上海 201815；2. 中國科學院大學，北京 100089)

1 引言

在信號的采集、處理和轉(zhuǎn)發(fā)過程中，由于環(huán)境干擾，信號中總會夾雜有噪聲。如果對帶有噪聲的信號直接處理，就會產(chǎn)生很大的誤差，甚至會造成錯誤。因此，對信號的噪聲去除在信號處理的過程中顯得尤為必要。信號去噪處理的方法有很多，小波分析克服了傳統(tǒng)傅里葉分析中的諸多不足，能夠同時在時域和頻域?qū)π盘柗治觯哂休^好的局部化和多分辨率特性，是近年來對含噪信號進行濾波去噪應用最廣泛的方法之一。

目前比較常見的小波去噪方法有：模極大值去噪算法、相關(guān)性去噪算法和小波閾值去噪算法，其中閾值去噪算法應用最為廣泛。傳統(tǒng)的閾值去噪法主要包括硬閾值去噪、軟閾值去噪[1]，以及Garrote閾值去噪[2-3]，這三類算法都存在有自身固定的缺陷，本文在在充分吸取以上三類算法優(yōu)點的基礎上，提出一種改進的閾值函數(shù)，并采用新的閾值確定方法，取得了更優(yōu)地去噪效果。

2 小波閾值去噪原理

小波閾值去噪算法的主要原理是[4]：小波變換有很強的去數(shù)據(jù)相關(guān)性，它把信號的能量集中到小波域中一些較大的小波系數(shù)上，而所含的白噪聲在正交基上的變換都是白噪聲，小波變換則將其能量分布于整個小波域內(nèi)大多數(shù)的展開系數(shù)上。因此，經(jīng)過小波分解后，原始信號的小波系數(shù)幅值要大于噪聲的系數(shù)幅值，并且信號小波系數(shù)個數(shù)遠遠少于噪聲小波系數(shù)。幅值比較大的小波系數(shù)一般以信號為主，而幅值比較小的系數(shù)在很大程度上都是噪聲。所以可將幅值較大的系數(shù)保留，將幅值較小的系數(shù)置零，得到估計的小波系數(shù)，再對其進行信號重構(gòu)，即可達到去除噪聲的目的。

小波閾值去噪算法流程如圖1所示[5]。

圖1 小波閾值去噪一般算法流程

2.1 小波閾值去噪基本步驟

1)選擇合適的小波基函數(shù)和分解層數(shù)，對含噪信號進行小波分解，常用的小波主要有dbN小波、symN小波、coifN小波、Haar小波和biorNr.Nd小波等，分解層數(shù)一般選取3-5層。

2)選取合適的閾值和閾值函數(shù)[6]。小波閾值直接影響去噪效果，若所選閾值過大，則會丟失掉一部分原始信號信息，導致重構(gòu)后的信號產(chǎn)生失真；若所選閾值過小，則會保留過多噪聲分量，去噪效果大打折扣。常用的閾值主要有基于無偏似然估計(rigsure)閾值、固定(sqtwolog)閾值、啟發(fā)式(heursure)閾值和最小極大方差(minimaxi)閾值。而常見的閾值函數(shù)主要有軟閾值函數(shù)、硬閾值函數(shù)和Graaote閾值函數(shù)三類。

3)將處理后的小波系數(shù)進行離散小波逆變換，得到重構(gòu)去噪信號。

2.2 閾值函數(shù)

1)硬閾值函數(shù)

(1)

2)軟閾值函數(shù)

(2)

3)Garrote閾值函數(shù)

(3)

這三類函數(shù)在信號處理中經(jīng)常用到，但它們各自都存在一定的不足。用硬閾值函數(shù)處理信號時，去噪后的信號邊緣性比較好，但由于函數(shù)本身具有不連續(xù)性，可能會導致重構(gòu)后的信號存在不必要的震蕩；軟閾值函數(shù)具有很好的連續(xù)性，去噪結(jié)果更為平滑，但當小波系數(shù)較大時，估計的小波系數(shù)與原始系數(shù)之間存在固定的偏差，使得信號高頻部分遭到損失，導致重構(gòu)后的信號與原信號相比逼近度差，容易產(chǎn)生失真；Garrote閾值結(jié)合了軟、硬閾值函數(shù)的優(yōu)點，信號連續(xù)性好，且小波系數(shù)較大時，固定的偏差會趨向于零，有效克服了軟、硬閾值函數(shù)存在的不足，但它忽略了噪聲在小波變換下隨尺度的增大而減小的特性[7]，并且針對突變信號，其去噪效果仍有不足之處[8]。三類閾值函數(shù)圖像如圖2所示。

圖2 軟、硬閾值函數(shù)和Garrote閾值函數(shù)對比

3 改進的閾值去噪方法

3.1 一種新的閾值函數(shù)

由于上面所提的三類傳統(tǒng)閾值函數(shù)都存在各自的缺陷，故在充分考慮這三類函數(shù)各自優(yōu)點的前提下，構(gòu)造出一種新的閾值函數(shù)，具體表達式如下式(4)所示。

(4)

由(4)式可以看出新的閾值函數(shù)具有如下特征：

1)新的閾值函數(shù)仍是連續(xù)函數(shù)，它保留了軟閾值函數(shù)連續(xù)性好的特點。

2)在|di,k|≥λ的很短區(qū)間內(nèi)新閾值函數(shù)能夠迅速的逼近硬閾值函數(shù)，因此有效地解決了軟閾值函數(shù)存在的固定偏差問題。

圖3和圖4分別為N取10和100時的四類函數(shù)對比情況。

圖3 當N=10時，四類閾值函數(shù)對比

圖4 當N=100時，四類閾值函數(shù)對比

3.2 新的閾值獲取方法

經(jīng)過小波變換后，原始信號對應的小波系數(shù)幅值隨著分解尺度的增大而變大，而噪聲對應的小波系數(shù)幅值隨分解尺度的增大而減小，根據(jù)這一特性，可以對不同分解層選取不同的閾值。

由文獻[9]和文獻[10]可知

|Wfjx(t)|≤K2jα

(5)

式中，Wfjx(t)表示第j層小波系數(shù)，j表示分解層數(shù)，α表示Lipschitz指數(shù)，K為常數(shù)。該式表明，存在一個常數(shù)K，使得小波變換系數(shù)的模極大值為K2jα。

對于原始信號成分來說,α>0,則根據(jù)(5)式可知：

max{|Wfjx(t)|}≤2αmax{|Wfj+1x(t)|}

(6)

可以看出原始信號小波系數(shù)尺度比值>2，即第j+1層小波系數(shù)幅值大于第j層的兩倍；而對于噪聲成分來說，其α=-0.5-ε(ε>0)[10]，帶入(5)式中可得

(7)

(8)

4 仿真研究

本文使用Matlab仿真軟件對該改進的閾值函數(shù)進行仿真，以驗證其去噪能力是否得到改進。對比較平滑的Heavysine信號和波形突變性很強的Block信號分別加入高斯白噪聲，然后對含噪信號進行閾值去噪處理[11]，其去噪效果通過信噪比(SNR)和均方誤差(MSE)進行定量判定，其中SNR和MSE分別通過如下式(9)和(10)得到

(9)

(10)

式(9)和(10)中，s(i)表示原始信號，y(i)表示去噪后的信號。

信噪比是衡量信號去噪效果的重要依據(jù)，去噪后的信噪比越高說明信號的提取效果越好；均方誤差則反映了信號的失真程度，去噪信號與原始信號的均方誤差越小，說明失真程度越小，信號提取的越完整，去噪效果越好。

首先采用硬閾值函數(shù)、軟閾值函數(shù)、Garrote閾值函數(shù)以及本文提出的改進閾值函數(shù)對加噪Heavysine信號做去噪處理，采用sym8小波對加噪信號做5層小波分解，調(diào)節(jié)因子N取100，采用固定(sqtwolog)閾值作為第一層閾值，公式為：

(11)

式中，σ為噪聲標準方差，N為信號長度，硬閾值函數(shù)、軟閾值函數(shù)和Garrote閾值函數(shù)去噪方法采取固定閾值方式，而改進的閾值函數(shù)去噪方法則采用分層變閾值方式，選取規(guī)則按照(8)式進行，仿真結(jié)果如圖5所示。

圖5 四類閾值函數(shù)對Heavysine信號去噪結(jié)果

由圖5可知，用四類閾值函數(shù)去噪處理后，重構(gòu)信號與原始信號逼近度很高，重構(gòu)出的信號總體上較為平滑，都保留了大部分有用信息，直觀上較難分辨出處理效果的好壞。因此再對四類重構(gòu)信號做定量分析，表1列出了用這四類函數(shù)對Heavysine信號去噪后的信噪比和均方誤差。

表1 Heavysine信號的四種去噪結(jié)果定量比較

由上表可知，軟閾值去噪效果優(yōu)于硬閾值去噪，而Garrote去噪和軟閾值去噪相比差別并不大，改進后的閾值去噪方法在SNR和MSE兩個方面都要優(yōu)于其余三類方法。

其次用四類閾值函數(shù)對加噪Block信號做去噪處理，采用db1小波對加噪信號做5層小波分解，調(diào)節(jié)因子N取10，采用固定(sqtwolog)閾值作為第一層閾值，硬閾值函數(shù)、軟閾值函數(shù)和Garrote閾值函數(shù)去噪方法采取固定閾值方式，本文改進閾值函數(shù)去噪則采用分層變閾值方式，仿真結(jié)果如圖6所示。

圖6 四類閾值函數(shù)對Block信號去噪結(jié)果

由圖6可知，硬閾值去噪方法對Block信號中的上升沿、下降沿等突變部分保留得較好，但信號不夠平滑，波形中存在尖峰、毛刺；軟閾值去噪后的信號整體過于平滑，對波形的突變部分保留的不完整，存在明顯的失真現(xiàn)象；用Garrote閾值法去噪后，波形整體去噪效果比軟閾值去噪要好，但仍有少量失真；用改進的閾值去噪方法處理后，重構(gòu)的信號波形不再存在尖峰毛刺，信號的突變部分信息保留得也較好。

再對四類重構(gòu)信號做定量分析，表2列出了用這四類函數(shù)對Block信號去噪后的信噪比和均方誤差。

表2 Block信號的四種去噪結(jié)果定量比較

由表2可知，對突變性強的Block信號做去噪處理，采用硬閾值去噪效果明顯優(yōu)于軟閾值去噪，Garrote閾值去噪效果稍次于硬閾值去噪，而改進的閾值去噪方法信噪比最高、均方誤差最小，可以看出其去噪效果最好。

5 結(jié)論

小波變換在信號的濾波降噪處理中有著廣泛應用，本文基于小波閾值去噪的基本原理，針對傳統(tǒng)小波閾值去噪算法中軟、硬閾值函數(shù)以及Garrote閾值函數(shù)的不足，構(gòu)造出了一個新的閾值函數(shù)，并采用新的閾值確定方法，克服了傳統(tǒng)閾值函數(shù)的不足，同時對信號的去噪處理更加靈活。最后仿真結(jié)果表明，改進的閾值去噪方法對平滑信號以及突變性信號降噪效果都要優(yōu)于傳統(tǒng)的三類閾值去噪方法。