基于Kriging代理模型的加筋柱殼結(jié)構(gòu)優(yōu)化

胥 磊，王蓉暉，王 濤，邊園園

(中國(guó)航天科技集團(tuán)公司第四研究院第41研究所，陜西 西安710025)

1 引言

加筋柱殼結(jié)構(gòu)是常見(jiàn)的導(dǎo)彈/火箭艙段結(jié)構(gòu)[1]，在導(dǎo)彈、火箭等飛行器中有廣泛的應(yīng)用。該型結(jié)構(gòu)在彎矩、軸向力載荷聯(lián)合作用時(shí)，不能發(fā)生結(jié)構(gòu)破壞或失穩(wěn)[2]。由于飛行器性能的需求，結(jié)構(gòu)輕量化成為結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的一項(xiàng)基本要求。因此尋求滿(mǎn)足強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性要求的最小質(zhì)量結(jié)構(gòu)是設(shè)計(jì)者的一項(xiàng)重要任務(wù)，結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法成為一個(gè)重要的研究方向。

加筋柱殼結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)具有模型復(fù)雜、變量復(fù)雜、性能計(jì)算復(fù)雜的特點(diǎn)。冀賓等[3]基于軸壓載荷失效的工程算法，建立了桁式半硬殼結(jié)構(gòu)等三種運(yùn)載火箭主結(jié)構(gòu)的優(yōu)化模型。毛佳等[4]利用有限元模型的研究結(jié)果，使用理論計(jì)算的方法發(fā)展了一種軸壓薄壁加筋圓柱殼結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。David Bushnell[5]等通過(guò)專(zhuān)用結(jié)構(gòu)分析程序PANDA2對(duì)正交“T”型加強(qiáng)筋的軸壓柱殼優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題進(jìn)行了研究。上述研究均是通過(guò)理論解析或工程計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算，結(jié)合優(yōu)化算法進(jìn)行優(yōu)化，需要針對(duì)具體結(jié)構(gòu)形式建立分析模型，計(jì)算方法的適應(yīng)性較差。有限元方法的適應(yīng)性強(qiáng)，無(wú)需開(kāi)展具體結(jié)構(gòu)形式的理論建模研究，但計(jì)算成本較大。 因此高效優(yōu)化設(shè)計(jì)方法研究很有必要。代理模型(Surrogate Model)優(yōu)化方法[6]被逐漸應(yīng)用于此類(lèi)結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)中。郝鵬等[7]開(kāi)展了大量網(wǎng)格式半硬殼結(jié)構(gòu)的優(yōu)化工作，通過(guò)優(yōu)化策略縮減設(shè)計(jì)空間，提高了優(yōu)化效率。劉克龍等[8]基于Kriging建立了一種結(jié)構(gòu)形狀優(yōu)化的工程方法。王曉慧[9]等研究了導(dǎo)彈艙段徑向連接結(jié)構(gòu)的優(yōu)化模型，通過(guò)有限元計(jì)算，使用遺傳算法進(jìn)行優(yōu)化，此方法計(jì)算量較大。

綜上所述，加筋柱殼結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)難度較大，需建立通用化的設(shè)計(jì)流程，發(fā)展簡(jiǎn)潔高效的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法。本文從設(shè)計(jì)試驗(yàn)出發(fā)，通過(guò)有限元計(jì)算結(jié)構(gòu)響應(yīng)，使用Kriging代理模型建立加筋柱殼結(jié)構(gòu)優(yōu)化模型、優(yōu)化流程并使用Workbench計(jì)算平臺(tái)進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算。通過(guò)優(yōu)化結(jié)果分析對(duì)比，表明本文方法優(yōu)化效率較高、精度能夠滿(mǎn)足工程使用。本文方法對(duì)飛行器加筋柱殼結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計(jì)具有一定參考價(jià)值。

2 基于Kriging代理模型的優(yōu)化方法

本文使用了一種基于Kriging代理模型的優(yōu)化方法。其基本優(yōu)化思想是使用Pro/E建立參數(shù)化結(jié)構(gòu)模型并傳遞給Workbench，利用試驗(yàn)設(shè)計(jì)法在設(shè)計(jì)變量空間中選取樣本點(diǎn)集， 使用Workbench進(jìn)行靜力分析和線(xiàn)性屈曲分析，獲得對(duì)應(yīng)樣本點(diǎn)的結(jié)構(gòu)重量、最大Mises應(yīng)力、最大變形、屈曲強(qiáng)度因子的響應(yīng)值，然后通過(guò)樣本點(diǎn)和對(duì)應(yīng)響應(yīng)值建立Kriging代理模型，通過(guò)Workbench的Design Exploration模塊使用GA(遺傳算法)對(duì)Kriging近似代理模型進(jìn)行優(yōu)化，獲得最優(yōu)設(shè)計(jì)結(jié)果。整個(gè)優(yōu)化過(guò)程的流程圖見(jiàn)圖1。

圖1 基于響應(yīng)面優(yōu)化方法流程圖

使用全因子水平設(shè)計(jì)(FFD)試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法產(chǎn)生用于生成Kriging代理模型的采樣點(diǎn)。該方法用于了解信息較少的系統(tǒng)，所有變量組合都取樣本點(diǎn)，能夠包含各層次因素，在初步設(shè)計(jì)時(shí)使用效果較好。

2.1 優(yōu)化模型

加筋柱殼結(jié)構(gòu)作為火箭的主要結(jié)構(gòu)件，布置有縱向和環(huán)向加強(qiáng)筋，承受火箭存放、運(yùn)輸、飛行過(guò)程中的載荷。優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題為加強(qiáng)筋的布局優(yōu)化和尺寸優(yōu)化，優(yōu)化目標(biāo)是獲得重量最輕的結(jié)構(gòu)。優(yōu)化設(shè)計(jì)變量包括縱向加強(qiáng)筋的數(shù)量、尺寸和環(huán)向加強(qiáng)筋位置、尺寸。其中加強(qiáng)筋數(shù)量為離散型設(shè)計(jì)變量，位置、尺寸為連續(xù)型設(shè)計(jì)變量。加筋柱殼結(jié)構(gòu)在給定載荷下能夠滿(mǎn)足強(qiáng)度要求，不發(fā)生強(qiáng)度破壞，變形不應(yīng)超過(guò)給定要求，同時(shí)需要結(jié)構(gòu)不發(fā)生失穩(wěn)。綜上，優(yōu)化設(shè)計(jì)模型如下

minW(X)

(1)

式中：X為設(shè)計(jì)變量，包括離散變量和連續(xù)變量；W(X)為結(jié)構(gòu)重量；λ(X)為結(jié)構(gòu)屈曲強(qiáng)度因子；σmax(X)為有限元計(jì)算的結(jié)構(gòu)最大應(yīng)力；umax(X)為有限元計(jì)算的結(jié)構(gòu)最大變形；λ*為屈曲強(qiáng)度因子設(shè)計(jì)要求值；[σb]為材料的屈服強(qiáng)度極限；[up]為艙段的許用最大變形；XL和XU為所有設(shè)計(jì)變量的上下限。

2.2 Kriging代理模型方法

目前使用較多的代理模型有響應(yīng)面代理模型、Kriging代理模型、徑向基函數(shù)代理模型以及人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)代理模型等[10][11]。其中Kriging代理模型是一種常用的代理模型方法。Kriging代理模型包含兩個(gè)部分，表達(dá)式為

y(x)=fT(x)β+Z(x)

(2)

式中，β為回歸系數(shù)，f(x)是設(shè)計(jì)變量x的函數(shù)，是全局空間的近似模型，Z(x)時(shí)平均值為0的隨機(jī)函數(shù)，用于局部偏差的近似。通過(guò)試驗(yàn)設(shè)計(jì)的樣本點(diǎn)和響應(yīng)值確定Kriging代理模型相應(yīng)參數(shù)后就可以通過(guò)代理模型預(yù)測(cè)待測(cè)點(diǎn)的響應(yīng)值。Kriging代理模型在處理非線(xiàn)性程度較高的問(wèn)題時(shí)往往能夠取得較為理想的擬合效果[8]。

2.3 遺傳算法優(yōu)化方法

上述優(yōu)化模型中，由于優(yōu)化變量具有離散和連續(xù)混合變量特點(diǎn)，使用遺傳算法(GA)對(duì)Kriging代理模型進(jìn)行尋優(yōu)。

傳統(tǒng)遺傳是一種利用自然選擇和生物進(jìn)化思想在設(shè)計(jì)空間進(jìn)行隨機(jī)搜索最優(yōu)解的優(yōu)化算法。通過(guò)模擬自然選擇中的選擇、交叉、變異操作來(lái)尋求優(yōu)良個(gè)體，用適應(yīng)度函數(shù)評(píng)價(jià)個(gè)體優(yōu)劣，依據(jù)優(yōu)勝劣汰的原則，搜索出適應(yīng)度最高的個(gè)體[13]。該方法收斂速度快并可以很好地在設(shè)計(jì)空間中尋找全局最優(yōu)解。

3 加筋柱殼結(jié)構(gòu)優(yōu)化算例

3.1 加筋柱殼結(jié)構(gòu)及參數(shù)化建模

加筋柱殼艙體結(jié)構(gòu)如圖2所示，艙體結(jié)構(gòu)直徑1000mm，長(zhǎng)度1100mm，兩端通過(guò)安裝法蘭和對(duì)接螺栓與前后艙段連接，法蘭后端開(kāi)口用于提供螺母擰緊扳手空間。安裝法蘭和開(kāi)口尺寸依據(jù)以往設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)和具體連接件尺寸進(jìn)行確定。該結(jié)構(gòu)設(shè)置縱向和環(huán)向加強(qiáng)筋，縱向加強(qiáng)筋剖面為“T”型，環(huán)向加強(qiáng)筋剖面為矩形，參數(shù)見(jiàn)圖2。 艙體結(jié)構(gòu)材料使用航天結(jié)構(gòu)常用的鋁合金材料，材料屈服強(qiáng)度極限為σs=320MPa，彈性模量E=71GPa，泊松比ν=0.3，密度ρ=2.78e-6kg/mm3。

圖2 Pro/e加筋柱殼結(jié)構(gòu)三維參數(shù)化建模

使用Pro/E進(jìn)行加筋柱殼結(jié)構(gòu)三維參數(shù)化建模，在Workbench建立Geometry項(xiàng)目，使用Pro/E與Workbench的通用接口將設(shè)計(jì)參數(shù)傳入Workbench，在Workbench的Geometry模塊中使用DM(Design Model)功能模塊對(duì)導(dǎo)入模型進(jìn)行操作，選擇三維模型參數(shù)。

3.2 有限元計(jì)算

加筋柱殼火箭艙體在火箭發(fā)射和飛行過(guò)程中承受巨大的軸向載荷和彎矩，計(jì)算時(shí)依據(jù)艙段承受的軸向力T=1.0×106N和彎矩M=1.0×105N·m進(jìn)行加載。根據(jù)以往火箭結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行加載和設(shè)置邊界條件，艙體結(jié)構(gòu)的前后端面一端固支、一端加彎矩和軸向力。通過(guò)Workbench建立有限元模型。使用Static Structural模塊進(jìn)行靜力分析并設(shè)置提取計(jì)算得到的最大Mises應(yīng)力和最大變形。通過(guò)Linear Bucking模塊進(jìn)行線(xiàn)性屈曲分析并提取結(jié)構(gòu)的一階屈曲強(qiáng)度因子。單次的靜力分析和屈曲分析需耗時(shí)約10min～15min。

對(duì)初始模型靜力分析結(jié)果表明，最大Mises應(yīng)力發(fā)生在前端開(kāi)口附近，最大Mises應(yīng)力為318.9MPa，最大變形2.72mm，應(yīng)力云圖和位移云圖見(jiàn)圖3。對(duì)初始模型線(xiàn)性屈曲分析結(jié)果表明屈曲強(qiáng)度因子為4.37，對(duì)應(yīng)失穩(wěn)波形見(jiàn)圖4。

圖3 初始模型有限元靜力計(jì)算結(jié)果

圖4 初始模型有限元屈曲計(jì)算結(jié)果

3.3 基于Workbench的優(yōu)化模型框架

設(shè)計(jì)變量及初值見(jiàn)表1?？v向加強(qiáng)筋數(shù)量為離散設(shè)計(jì)變量，其它變量為連續(xù)設(shè)計(jì)變量，結(jié)合結(jié)構(gòu)實(shí)際情況設(shè)置各個(gè)參數(shù)的上下限，并經(jīng)過(guò)初步的設(shè)計(jì)分析設(shè)置設(shè)計(jì)變量的初值。

表1 設(shè)計(jì)變量定義、初值及上下限

在Workbench中建立靜力分析和線(xiàn)性屈曲分析項(xiàng)目，并建立目標(biāo)驅(qū)動(dòng)優(yōu)化(Goal Driven Optimization)項(xiàng)目，參數(shù)設(shè)置(Parameter Set)模塊提供了設(shè)計(jì)變量和響應(yīng)變量的數(shù)據(jù)流。充分利用Workbench的數(shù)據(jù)交互流優(yōu)勢(shì)，減少建模工作量，建立的優(yōu)化框架見(jiàn)圖5。

圖5 基于Workbench的優(yōu)化模型框架

4 優(yōu)化計(jì)算結(jié)果及分析

4.1 Kriging代理模型有效性分析

為驗(yàn)證Kriging代理模型的精度和可行性，使用最優(yōu)設(shè)計(jì)方案作為對(duì)比樣本進(jìn)行比較分析。依據(jù)最優(yōu)設(shè)計(jì)方案的變量，重新建立有限元模型，進(jìn)行有限元計(jì)算，得到的應(yīng)力云圖、位移云圖見(jiàn)圖6，屈曲失穩(wěn)波形見(jiàn)圖7。由設(shè)計(jì)結(jié)果可以看出優(yōu)化設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)是滿(mǎn)足約束條件、合理可行的。

圖6 最優(yōu)設(shè)計(jì)有限元靜力計(jì)算結(jié)果

圖7 最優(yōu)設(shè)計(jì)有限元屈曲計(jì)算結(jié)果

Kriging代理模型預(yù)測(cè)結(jié)果與有限元計(jì)算結(jié)果對(duì)比見(jiàn)表2，最大應(yīng)力偏差0.55%、最大質(zhì)量偏差0.03%、最大變形偏差2.78%、最大屈曲因子偏差6.87%。結(jié)果表明代理模型的計(jì)算結(jié)果與有限元計(jì)算結(jié)果偏差較小，精度能夠滿(mǎn)足使用。

表2 優(yōu)化預(yù)測(cè)結(jié)果與FEM計(jì)算結(jié)果對(duì)立

4.2 Kriging模型優(yōu)化與直接優(yōu)化對(duì)比

為了驗(yàn)證基于Kriging代理模型的優(yōu)化方法的有效性和高效性，采用直接優(yōu)化方法和Kriging代理模型的優(yōu)化方法分別對(duì)加筋柱殼結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化。考慮到若使用本文參數(shù)化模型的8個(gè)設(shè)計(jì)變量，直接優(yōu)化方法調(diào)用有限元計(jì)算的次數(shù)較多，時(shí)間代價(jià)太高，本節(jié)將模型僅保留腹板高度、椽條寬度和縱向加強(qiáng)筋數(shù)目三個(gè)設(shè)計(jì)變量，其它變量設(shè)置為常數(shù)。

直接優(yōu)化方法的初值和算法選擇十分關(guān)鍵，初值和算法選擇不當(dāng)容易導(dǎo)致尋優(yōu)過(guò)程陷入局部最優(yōu)解。通過(guò)多次直接優(yōu)化算法的試算得到優(yōu)化結(jié)果，結(jié)果見(jiàn)表3。由表3可見(jiàn)，代理模型優(yōu)化方法與直接優(yōu)化方法優(yōu)化結(jié)果較接近，但代理模型優(yōu)化方法只調(diào)用了27次FEM計(jì)算，直接優(yōu)化方法調(diào)用了216次FEM計(jì)算，直接優(yōu)化計(jì)算代價(jià)消耗很多。通過(guò)使用Kriging近似模型，一方面大減少了計(jì)算代價(jià)，另一方面也能有效地尋優(yōu)。

表3 Kriging模型優(yōu)化與直接優(yōu)化結(jié)果對(duì)比

4.3 最優(yōu)方案及分析

優(yōu)化過(guò)程共產(chǎn)生316個(gè)試驗(yàn)設(shè)計(jì)點(diǎn)，調(diào)用316次結(jié)構(gòu)靜力分析和屈曲分析。通過(guò)試算確定本文的MIGA參數(shù)設(shè)置如下：島數(shù)為10，每個(gè)島的種群數(shù)為10，進(jìn)化代數(shù)為50。

通過(guò)代理模型優(yōu)化得到最優(yōu)設(shè)計(jì)結(jié)果與初始模型計(jì)算結(jié)果對(duì)比見(jiàn)表4，結(jié)構(gòu)總質(zhì)量為31.29kg，比初始模型重量減少了11.91%，優(yōu)化效果明顯。得到的最優(yōu)設(shè)計(jì)方案見(jiàn)表5，優(yōu)化后兩條環(huán)向加強(qiáng)筋的間距變大，縱向加強(qiáng)筋數(shù)量為8條，加強(qiáng)筋的布局更加合理。

表4 最優(yōu)設(shè)計(jì)結(jié)果

表5 最優(yōu)設(shè)計(jì)方案

5 結(jié)論

本文基于Kriging代理模型建立了一種加筋柱殼結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法，通過(guò)Workbench建立優(yōu)化框架，實(shí)現(xiàn)優(yōu)化計(jì)算，結(jié)果表明：

1)代理模型對(duì)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的擬合效果較好，代理模型計(jì)算精度與有限元計(jì)算結(jié)果誤差較小，Kriging代理模型能很好的代替有限元模型進(jìn)行響應(yīng)計(jì)算；

2)基于Kriging代理模型的優(yōu)化方法比直接優(yōu)化方法計(jì)算減少優(yōu)化過(guò)程中有限元模型的調(diào)用次數(shù)，并且能夠有效的搜索到全局最優(yōu)解，提高優(yōu)化效率；

3)通過(guò)加筋柱殼結(jié)構(gòu)優(yōu)化算例表明本文方法實(shí)現(xiàn)減重11.91%，優(yōu)化效果明顯，對(duì)此類(lèi)優(yōu)化問(wèn)題有一定的應(yīng)用參考價(jià)值。