基于模型預(yù)測控制的直升機(jī)軌跡跟蹤控制

高莘青，馬 釗，梁穎茜

(航空工業(yè)西安飛行自動(dòng)控制研究所，陜西 西安 710076)

1 引言

實(shí)現(xiàn)精準(zhǔn)的直升機(jī)航跡跟蹤在實(shí)際應(yīng)用中具有重要的意義。然而，直升機(jī)氣動(dòng)特性復(fù)雜，各軸(俯仰、滾轉(zhuǎn)、航向和總距)響應(yīng)耦合嚴(yán)重，操縱較困難[1]。在該背景下，針對軌跡跟蹤問題，近年來提出了眾多的基于非線性理論的控制方法，包括滑模控制[2]，自抗擾控制[3]、反步控制[4]等。大量仿真結(jié)果表明上述非線性控制方法能夠保證良好的跟蹤效果。然而，直升機(jī)的實(shí)際操縱對于系統(tǒng)狀態(tài)以及操縱輸入通常具有約束，而非線性控制理論難以同時(shí)考慮上述約束，對模型精度要求高，制約了其在工程實(shí)施的大規(guī)模推廣應(yīng)用。

模型預(yù)測控制(MPC)是工業(yè)控制領(lǐng)域應(yīng)用廣泛的多變量控制算法，并且占據(jù)了較大的市場份額[5]。模型預(yù)測控制的核心是滾動(dòng)優(yōu)化：在每個(gè)控制周期內(nèi)，在已知當(dāng)前系統(tǒng)狀態(tài)以及輸入的前提下，通過預(yù)測系統(tǒng)未來的狀態(tài)并最小化優(yōu)化目標(biāo)，計(jì)算系統(tǒng)輸入[5]。利用優(yōu)化技術(shù)計(jì)算系統(tǒng)輸入的顯著優(yōu)勢在于，其能夠融入系統(tǒng)狀態(tài)以及輸入的約束，而上述約束在實(shí)際應(yīng)用中通常是需要考慮的關(guān)鍵問題。此外，MPC可通過凸優(yōu)化求解，具有豐富的理論支撐。上述優(yōu)點(diǎn)保證了MPC在工業(yè)界的廣泛應(yīng)用。

在飛行控制領(lǐng)域，MPC在軌跡跟蹤領(lǐng)域進(jìn)行了相關(guān)研究，可參考相關(guān)文獻(xiàn)[6，7]。然而在實(shí)施中，需要關(guān)注以下關(guān)鍵問題。第一，計(jì)算代價(jià)。理論上，MPC算法可嵌入控制增穩(wěn)層，也即通過MPC直接計(jì)算直升機(jī)的周期變距以及總距的控制量。對于工業(yè)控制，對象的動(dòng)態(tài)特性比較緩慢，因此MPC的控制周期通常為5s～20s，而 MPC本身的計(jì)算代價(jià)在實(shí)施中并不需要太多關(guān)注。然而對于控制增穩(wěn)回路，控制周期約為10ms，且飛控計(jì)算機(jī)算力有限，難以實(shí)時(shí)支撐MPC的在線優(yōu)化。第二，直升機(jī)響應(yīng)類型限制。理論研究通常忽視了各軸實(shí)際的響應(yīng)類型，影響了MPC的實(shí)際可實(shí)施性。第三，在實(shí)際應(yīng)用中需要合理地整定MPC參數(shù)，保證其對各軸響應(yīng)類型動(dòng)態(tài)不確定性具有一定的魯棒性。

綜上所述，本文主要工作總結(jié)如下。第一，提出了基于分層架構(gòu)的MPC軌跡控制方法：底層控制增穩(wěn)回路對直升機(jī)的速度以及姿態(tài)進(jìn)行調(diào)節(jié)，而MPC架設(shè)在頂層的制導(dǎo)回路，通過對底層回路的姿態(tài)和速度指令進(jìn)行調(diào)度，以期實(shí)現(xiàn)直升機(jī)軌跡的精確控制。與控制增穩(wěn)回路相比，制導(dǎo)回路的動(dòng)態(tài)特性更加緩慢，可采用更長的控制周期實(shí)施MPC，因此顯著降低計(jì)算代價(jià)。第二，針對直升機(jī)典型的各軸響應(yīng)類型，設(shè)計(jì)實(shí)用的MPC控制策略，確保各軸操縱符合預(yù)期。第三，針對實(shí)際對象的非線性特性，用了分段線性的方法，保證滾動(dòng)優(yōu)化的全局最優(yōu)性。第四，針對響應(yīng)動(dòng)態(tài)的不確定性，采用了基于min-max原則的MPC參數(shù)整定法，保證了算法的魯棒性以及在不同飛行條件下的可適用性。

2 直升機(jī)模型

本文考慮單旋翼以及帶尾槳的直升機(jī)對象。根據(jù)歐美坐標(biāo)系，直升機(jī)動(dòng)力學(xué)方程、運(yùn)動(dòng)學(xué)方程和導(dǎo)航方程為

(1)

(2)

(3)

其中，VB=[VxVyVz]T為機(jī)體坐標(biāo)系下機(jī)體線速度，Ω=[pqr]T為機(jī)體坐標(biāo)系下機(jī)體角速度，Θ=[θφψ]T為歐拉角向量，P=[xy-h]T為北向、東向坐標(biāo)和海拔高度，J為直升機(jī)的三軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣，Q為歐拉角向量與角速度向量直接的轉(zhuǎn)換矩陣，TBE為從機(jī)體坐標(biāo)系到地理坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣。FB與MB為機(jī)體坐標(biāo)系下受到的由旋翼以及機(jī)體氣動(dòng)產(chǎn)生的力和力矩

FB=Fmr+Ftr+Ffus

MB=Mmr+Mtr+Mfus

(4)

其中，下標(biāo)mr、tr、fus分別表示由主旋翼、尾槳和機(jī)體產(chǎn)生的力或力矩，詳細(xì)的計(jì)算方式可參考文獻(xiàn)[8]。直升機(jī)主要通過操控主旋翼總距、縱橫向周期變距以及尾槳距，從而改變Fmr、Mmr、Ftr、Mtr，四軸操縱量分別為：縱向周期變距角θ1s，橫向周期變距角θ1c，總槳距角θmr，尾槳槳距角θtr。

3 基于分層結(jié)構(gòu)的MPC軌跡控制策略

3.1 軌跡控制基本架構(gòu)

對于實(shí)際的工程應(yīng)用，最通用的控制架構(gòu)是基于時(shí)間分離尺度，自底向上依次構(gòu)建分層次的姿態(tài)控制回路、速度控制回路和空間位置控制回路。本文將沿襲上述思路進(jìn)行軌跡控制回路的搭建。需要注意的是，對于實(shí)際直升機(jī)控制，需要額外關(guān)注直升機(jī)的操縱響應(yīng)類型[9]。由于直升機(jī)本身氣動(dòng)特性特點(diǎn)，飛控系統(tǒng)需要針對不同的飛行狀態(tài)設(shè)計(jì)各軸響應(yīng)類型。對于軌跡回路的設(shè)計(jì)，本文主要考慮表1所示的各軸響應(yīng)類型，說明如下。

表1 直升機(jī)各軸操縱響應(yīng)類型

俯仰通道：帶速度保持的姿態(tài)控制響應(yīng)類型(ACVH)。通過操縱改變機(jī)體俯仰角，并通過俯仰角的變化實(shí)現(xiàn)機(jī)體前向速度的控制。操控回中后，速度保持在當(dāng)前值上。

滾轉(zhuǎn)通道：帶姿態(tài)保持的姿態(tài)控制響應(yīng)類型(ACAH)。通過操縱控制滾轉(zhuǎn)角，當(dāng)操縱結(jié)束后，操縱回中，姿態(tài)回中。

航向通道：協(xié)調(diào)轉(zhuǎn)彎模態(tài)(TC)。目標(biāo)是在機(jī)體進(jìn)行滾轉(zhuǎn)動(dòng)作時(shí)通過航向軸的控制實(shí)現(xiàn)側(cè)滑的消除。

總距通道：垂速控制(Rate)。

上述響應(yīng)類型是直升機(jī)在中高速下典型操縱響應(yīng)類型：縱向操縱直接控制直升機(jī)前飛速度，橫向操縱通過改變滾轉(zhuǎn)控制直升機(jī)的偏航角速度，總距操縱直接控制直升機(jī)的爬升速度。根據(jù)上述的操縱類型，MPC控制架構(gòu)如圖1所示。MPC架設(shè)于頂層的制導(dǎo)回路，通過綜合期望的直升機(jī)航跡、位置反饋信息以及對于實(shí)際操縱和直升機(jī)狀態(tài)的約束，實(shí)時(shí)計(jì)算底層回路的前飛速度指令、滾轉(zhuǎn)角指令以及垂速指令，最終實(shí)現(xiàn)直升機(jī)軌跡的精確控制。整套控制方案總結(jié)如下：通過調(diào)整前飛速度指令控制直升機(jī)飛行速度，調(diào)整滾轉(zhuǎn)角指令控制直升機(jī)的航線方向，調(diào)整垂速指令控制直升機(jī)飛行高度，而航向通道與滾轉(zhuǎn)通道進(jìn)行交聯(lián)，在直升機(jī)進(jìn)行滾轉(zhuǎn)機(jī)動(dòng)時(shí)通過調(diào)整機(jī)頭方向，實(shí)現(xiàn)側(cè)滑的消除。需要注意的是，盡管直升機(jī)的操縱輸入是4自由度，然而對于本文采用的MPC架構(gòu)，MPC的輸出僅有3自由度，并無航向通道。這是因?yàn)閮?nèi)回路航向通道的模態(tài)為協(xié)調(diào)轉(zhuǎn)彎，其與滾轉(zhuǎn)回路進(jìn)行交聯(lián)以實(shí)現(xiàn)側(cè)滑的消除。

圖1 MPC控制架構(gòu)

3.2 工程可實(shí)施性分析

對于本文采用的控制策略，MPC并未在底層的控制增穩(wěn)層實(shí)施，而是針對各軸實(shí)際響應(yīng)類型，在頂層制導(dǎo)回路架設(shè)MPC控制器，通過對內(nèi)回路指令進(jìn)行調(diào)度，最終實(shí)現(xiàn)軌跡的精確控制。盡管MPC作為先進(jìn)控制算法，理論上可以架設(shè)于直升機(jī)的控制增穩(wěn)回路，但是從工程可實(shí)施性的角度，本文采取的控制架構(gòu)具有如下優(yōu)勢。

第一，有效降低MPC實(shí)施的計(jì)算成本。直升機(jī)內(nèi)部的控制增穩(wěn)回路與直升機(jī)的穩(wěn)定性和安全性密切相關(guān)，并且由于角速度和加速度響應(yīng)的快速動(dòng)態(tài)特性，因此需要較短的控制周期。在實(shí)際的工程應(yīng)用中，控制周期在10ms左右。MPC盡管能保證良好的閉環(huán)效果，但其核心是優(yōu)化問題，需要較高的計(jì)算代價(jià)，而實(shí)際飛控計(jì)算機(jī)算力有限，難以支持MPC的毫秒級的在線實(shí)時(shí)優(yōu)化。對于頂層的制導(dǎo)回路而言，其涉及到的響應(yīng)為速度響應(yīng)和航向角響應(yīng)。與角速度和加速度相比，速度響應(yīng)與航向角響應(yīng)的動(dòng)態(tài)特性更加緩慢，響應(yīng)時(shí)間通常為秒級。因此，0.1～0.5秒的控制周期通?？梢员ＷC制導(dǎo)回路的精準(zhǔn)控制。與直接架設(shè)在控制增穩(wěn)回路相比，計(jì)算代價(jià)至少可以降低90%。

第二，降低了對模型精度的苛刻要求。MPC需要對未來系統(tǒng)的狀態(tài)進(jìn)行預(yù)測，因此對模型的精度具有較高要求。直升機(jī)動(dòng)力學(xué)具有高度非線性以及強(qiáng)耦合的特點(diǎn)，難以獲取完全精確的模型。在底層通過合理的內(nèi)回路設(shè)計(jì)，可以有效地對模型不確定性和耦合進(jìn)行補(bǔ)償。對于控制增穩(wěn)回路的設(shè)計(jì)，PID控制以及模型跟隨控制已經(jīng)取得了成熟的工程應(yīng)用[10]。對于本文采用的控制架構(gòu)，MPC僅需要考慮各軸響應(yīng)的動(dòng)態(tài)，故建模難度以及模型不確定性將顯著降低。以速度保持和姿態(tài)保持為例，內(nèi)回路通常采用積分器，因此響應(yīng)模型的增益為1，而響應(yīng)的動(dòng)態(tài)可基于飛行數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)，因此有效降低了建模過程中的模型不確定性。事實(shí)上，閉環(huán)響應(yīng)動(dòng)態(tài)特性的估計(jì)是飛行品質(zhì)評估的核心問題，在工程應(yīng)用中已有較成熟的解決方案[11]。盡管在不同的飛行狀態(tài)下各軸的響應(yīng)特性具有一定的差異，仍然可以通過整定合理的MPC參數(shù)保證閉環(huán)控制的穩(wěn)定性和魯棒性。

4 基于模型預(yù)測控制的軌跡跟蹤算法

4.1 MPC優(yōu)化問題

考慮如下離散形式的系統(tǒng)模型

x(k+1)=Ax(k)+Buu(k)+Bdd(k)+Bww(k)

y(k+1)=Cx(k)+Ddd(k)+Dww(k)

(5)

其中：x(k)為系統(tǒng)狀態(tài)向量，y(k)為系統(tǒng)輸出，u(k)為系統(tǒng)輸入，也稱作操作變量，d(k)為干擾變量，其含義為可以測量但是無法直接控制的外擾，MPC通過前饋的機(jī)制對其進(jìn)行補(bǔ)償。w(k)為不可測的高斯噪聲。

在每個(gè)控制周期，MPC通過上述系統(tǒng)模型對未來系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行預(yù)測。定義x(k|k-1)為在k-1時(shí)刻通過系統(tǒng)模型對k時(shí)刻的狀態(tài)預(yù)測值。在k時(shí)刻采集到系統(tǒng)實(shí)際狀態(tài)，通過如下狀態(tài)觀測器對狀態(tài)預(yù)測值進(jìn)行修正

(6)

其中L為誤差反饋矩陣，可采用Kalman濾波理論進(jìn)行設(shè)計(jì)。對于預(yù)測步長p，系統(tǒng)狀態(tài)可根據(jù)如下方程預(yù)測

X(k)=Γ0x(k|k)+H0u(k-1)+HΔuΔU(k)+HdD(k)

(7)

其中

未來時(shí)刻系統(tǒng)輸出可根據(jù)式(8)進(jìn)行預(yù)測

y(k+i|k)=Cx(k+i|k)+Ddd(k+i|k)

(8)

MPC通過以下帶約束的優(yōu)化問題計(jì)算計(jì)算系統(tǒng)輸入[5]

(9)

其中，Y(k)為未來時(shí)刻系統(tǒng)輸出預(yù)測y(k+i|k)所構(gòu)成的數(shù)據(jù)向量，Yref(k)為期望的系統(tǒng)輸出，正定矩陣Q和R為系統(tǒng)誤差加權(quán)矩陣。優(yōu)化目標(biāo)為最小化跟蹤誤差，并同時(shí)保證系統(tǒng)輸入的變化率盡可能平緩。此外，MPC優(yōu)化考慮了系統(tǒng)輸入和輸出幅值以及變化率幅值的關(guān)鍵實(shí)際約束。

對于線性系統(tǒng)，MPC問題為凸優(yōu)化問題，故ΔU(k)對于問題(9)而言是全局最優(yōu)解。從長期的視角而言，如果模型是完全準(zhǔn)確的，且全系統(tǒng)沒有不可測干擾，則ΔU(k)可以保證是系統(tǒng)的最優(yōu)輸入。然而，由于模型的不確定性或者未知外擾的存在，則系統(tǒng)的預(yù)測和真實(shí)值存在差異。以長遠(yuǎn)的視角，ΔU(k)不能保證長時(shí)最優(yōu)性。故在每一個(gè)控制周期內(nèi)，MPC只實(shí)施ΔU(k)頭m個(gè)分量，在第m個(gè)控制周期之后，通過滾動(dòng)優(yōu)化的方式，通過優(yōu)化問題(9)重新計(jì)算系統(tǒng)輸入ΔU(k)并實(shí)施前m個(gè)分量。通過式(6)狀態(tài)觀測器對系統(tǒng)誤差的補(bǔ)償以及滾動(dòng)優(yōu)化的形式，保證了MPC的可實(shí)施性。

4.2 分段線性MPC

針對第3.1節(jié)所述的直升機(jī)各軸響應(yīng)類型，俯仰通道的響應(yīng)為

(10)

(11)

垂直通道的響應(yīng)為

+Gh(s)Vh_cmd(s)

(12)

對于MPC的實(shí)施，需要對上述傳遞函數(shù)進(jìn)行離散化。對于直升機(jī)軌跡跟蹤控制，以地面坐標(biāo)系為參考。需要注意的是，因?yàn)橹鄙龣C(jī)水平面(XY軸)的響應(yīng)的參考系為機(jī)體系，故需要進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換:

(13)

其中Cθ、Sθ分別表示sinθ和cosθ，[VxVyVz]T和Vh分別為體軸速度和直升機(jī)垂直爬升率。

基于上述的MPC控制變量分配，對(13)進(jìn)行線性化。對于直升機(jī)的機(jī)動(dòng)，機(jī)體滾轉(zhuǎn)角和俯仰角在幅值上具有限制，故在線性化的過程中認(rèn)定SθSφ≈0。線性化的結(jié)果為

-SCVy-(SCC+SS)Vz

+(SSC-CS)Vz

(14)

其中，上標(biāo)“^”表示在當(dāng)前控制周期內(nèi)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)參數(shù)的測量值。

5 魯棒MPC的設(shè)計(jì)

5.1 響應(yīng)模型形式

基于實(shí)際直升機(jī)各軸內(nèi)回路的實(shí)際特性，本文采用如下形式的響應(yīng)模型

(15)

需要注意到，如果內(nèi)回路的設(shè)計(jì)采用了積分器，可先驗(yàn)獲取模型的穩(wěn)態(tài)增益。在式(10)～(11)中的各軸響應(yīng)模型中，對角元素的穩(wěn)態(tài)增益為1，故模型參數(shù)應(yīng)滿足如下約束

Kz1z2=piω2

(16)

對于非對角元素可視為其它軸的操縱輸入對本軸響應(yīng)的干擾，而內(nèi)回路的積分器可完全消除常值外部干擾，從而模型參數(shù)應(yīng)滿足約束

z1z2=0

(17)

5.2 MPC參數(shù)的魯棒設(shè)計(jì)

內(nèi)回路的三軸響應(yīng)模型可利用飛行數(shù)據(jù)進(jìn)行辨識，模型獲取的難度相較直升機(jī)動(dòng)力學(xué)模型顯著降低。盡管如此，在實(shí)際的工程應(yīng)用中模型仍然存在一定的不確定度。模型不確定性主要來源于兩個(gè)方面：

1) 辨識誤差。在進(jìn)行飛行試驗(yàn)的過程中，由于測量噪聲或者外擾的存在，導(dǎo)致所辨識的模型存在一定的誤差。

2) 不同飛行條件下響應(yīng)動(dòng)態(tài)特性的差異，尤其是空速大小的影響較顯著。

對于MPC參數(shù)的設(shè)計(jì)，需要考慮實(shí)際的模型不確定性。針對式(15)中的參數(shù)形式，本文考慮如下具有參數(shù)不確定性的模型：

(18)

需要注意，如果內(nèi)回路采用了積分器，盡管模型具有兩個(gè)零點(diǎn)，但是其不確定性僅僅只有1個(gè)自由度，因?yàn)榱泓c(diǎn)必須滿足約束(16)或者(17)。

影響MPC性能的關(guān)鍵參數(shù)總結(jié)如下：預(yù)測步長p、控制步長m、模型輸入輸出權(quán)重矩陣Q和R。上述參數(shù)通過如下基于min-max準(zhǔn)則的優(yōu)化問題進(jìn)行優(yōu)化[12]

(19)

上述優(yōu)化問題是雙層優(yōu)化問題。內(nèi)層優(yōu)化變量是響應(yīng)模型的參數(shù)，其目標(biāo)是對于給定的MPC參數(shù)，搜索最壞的控制效果；外層優(yōu)化變量是MPC參數(shù)，其目標(biāo)是確定最優(yōu)參數(shù)，以保證對于所有可能的響應(yīng)模型，使得MPC在最壞情況下的控制誤差是最小的，也即最小化最壞情況下的控制誤差。

6 仿真驗(yàn)證

本節(jié)通過數(shù)值仿真對提出方法的有效性進(jìn)行驗(yàn)證。期望的直升機(jī)跟蹤軌跡采用螺旋上升曲線

xref(t)=350sin(2πt/250)+150

yref(t)=350cos(2πt/250)

zref(t)=0.5t

(20)

基于直升機(jī)內(nèi)回路的設(shè)計(jì)，三軸的指令與響應(yīng)直接的動(dòng)態(tài)關(guān)系見表2。直升機(jī)的初始位置坐標(biāo)為(0，0，0)，偏航角為0rad?；趯Ω鬏S內(nèi)回路動(dòng)態(tài)特性分析，MPC的控制周期設(shè)為0.25s。

表2 直升機(jī)3軸指令模型

其中，G11(s)～G33(s)傳遞函數(shù)為

根據(jù)實(shí)際直升機(jī)的操縱需求，各軸指令應(yīng)滿足如下約束

-3m/s≤Vx_cmd≤15m/s

|ΔVx_cmd|≤0.6m/s

-1.5m/s≤Vh_cmd≤3m/s

|ΔVh_cmd|≤0.5m/s

(21)

其中，Δ表示變量在相鄰控制周期內(nèi)的變化量。在確定上述操縱變量的約束后，通過離線優(yōu)化，預(yù)測步長p設(shè)置為15，控制步長m設(shè)置為1，輸入輸出權(quán)重矩陣Q和R分別為diag[1，1，1]和diag[0.115，0.115]，其中符號diag表示對角矩陣。

盡管MPC的控制周期為0.25秒，遠(yuǎn)遠(yuǎn)高于控制增穩(wěn)回路的控制周期(10ms)，但是其仍然能夠保證精準(zhǔn)的航跡跟蹤效果。MPC操縱變量的求解本質(zhì)上為凸優(yōu)化問題，基于已有的快速凸優(yōu)化技術(shù)，在0.25秒內(nèi)足夠控制步長的求解。

圖2～4展示了3軸的航跡跟蹤結(jié)果。由于直升機(jī)縱橫的耦合作用，水平面的跟蹤效果與高度軸相比稍差，然而仍然在合理的水平：跟蹤誤差在50秒左右快速收斂到合理的水平，在100秒之后誤差收斂至1.5米以內(nèi)。

圖2 X軸軌跡跟蹤結(jié)果

圖3 Y軸軌跡跟蹤結(jié)果

圖4 高度軸軌跡跟蹤結(jié)果

圖5展示了3維平面的軌跡跟蹤控制結(jié)果：直升機(jī)的實(shí)際軌跡能夠快速跟蹤參考軌跡，而跟蹤誤差也能快速收斂。上述結(jié)果驗(yàn)證了基于MPC的軌跡控制方法的合理性。

圖5 3維度軌跡跟蹤結(jié)果

7 結(jié)論

本文提出了基于MPC的直升機(jī)軌跡跟蹤控制方法。在工程應(yīng)用中，直升機(jī)具有特定的各軸響應(yīng)類型。針對實(shí)際響應(yīng)類型的約束，本文提出了基于制導(dǎo)層指令調(diào)度的MPC控制架構(gòu)。一方面，該架構(gòu)保證了針對不同響應(yīng)類型的可擴(kuò)展性，另一方面也能夠確保MPC以更合理的控制周期進(jìn)行解算，顯著降低了計(jì)算成本，保證了工程可實(shí)施性。基于分段線性MPC的控制策略擴(kuò)展了方法對實(shí)際非線性過程的適用性。針對實(shí)際工程應(yīng)用中的模型不確定性，采用了依據(jù)min-max準(zhǔn)則的MPC設(shè)計(jì)方法，提高了方法的魯棒性。仿真案例驗(yàn)證對方法的有效性與合理性進(jìn)行了驗(yàn)證，結(jié)果表明方法控制精度和計(jì)算代價(jià)合理，具有工程推廣前景。