自由曲面建筑外立面U型結(jié)構(gòu)優(yōu)化算法研究

李 珠，張睿豐

(遼寧工業(yè)大學(xué)，遼寧錦州121000)

1 引言

隨著人們物質(zhì)生活水平的提升，對(duì)建筑水平的需求逐漸多樣化，因此，提升建筑美觀度的同時(shí)保障建筑結(jié)構(gòu)達(dá)到最高水平，是建筑結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)的重中之重[1]。建筑結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)不僅可以節(jié)約建筑成本，還可提升建筑空間使用率[2]，使建筑具備最佳的使用功能。因此，優(yōu)化建筑結(jié)構(gòu)對(duì)建筑行業(yè)以及未來城市發(fā)展有著非常重要的作用[3]。表面形狀不可以被連續(xù)加工的、具有傳統(tǒng)加工成型的任意性特點(diǎn)的曲面，稱為自由曲面，其具有較高的創(chuàng)意性和可塑造性[4]，目前，該曲面在樓宇設(shè)計(jì)中被廣泛使用，受其幾何形狀的影響，自由曲面寬度較大[5]，因此，其結(jié)構(gòu)的承受荷載率與其穩(wěn)定性是衡量建筑物質(zhì)量的重要標(biāo)準(zhǔn)。

以提升建筑結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性，降低結(jié)構(gòu)位移量為目標(biāo)，設(shè)計(jì)自由曲面建筑外立面U型結(jié)構(gòu)優(yōu)化算法。結(jié)合梯度法對(duì)自由曲面建筑外立面U型結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化，梯度法也可稱為最速下降法，屬于迭代法的一種，可解決最小二乘問題，其計(jì)算過程是沿梯度下降或上升的方向求解極小值或極大值，該算法計(jì)算精準(zhǔn)度高，是無約束優(yōu)化方法中最基本的方法之一。采用該方法可以使建筑物立面U型結(jié)構(gòu)更加美觀的同時(shí)，又滿足建筑物的基本要求，發(fā)揮結(jié)構(gòu)最大功效。

2 自由曲面建筑外立面U型結(jié)構(gòu)優(yōu)化算法

2.1 建筑外立面U型結(jié)構(gòu)邊界條件

依據(jù)B樣條曲線以及曲面理論，使用(2m-1)次周期參數(shù)化樣條插值函數(shù)生成建筑外立面U型結(jié)構(gòu)邊界條件，其計(jì)算公式如下

(1)

其中，x、y分別表示橫縱坐標(biāo)軸。依據(jù)自由曲面建筑外立面U型結(jié)構(gòu)，按順時(shí)針方向?qū)M縱坐標(biāo)軸x、y數(shù)值代入到式(1)中，使用插值原理和實(shí)際所需擬合曲線次數(shù)，可獲得曲線上剩余點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)值，從而形成光滑外邊界曲線。

生成內(nèi)邊界需在建筑外立面U型結(jié)構(gòu)設(shè)定內(nèi)邊界數(shù)量，按逆時(shí)針方向，設(shè)置內(nèi)邊界關(guān)鍵點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)x、y數(shù)值，使用插值原理[6]和實(shí)際所需擬合曲線次數(shù)，可獲得曲線上剩余點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)值[7，8]，形成光滑內(nèi)邊界曲線。內(nèi)外兩邊界生成后，將內(nèi)邊界與外邊界涵蓋的范圍生成建筑平面圖，建筑平面圖網(wǎng)格劃分使用Delaunay三角剖分方法。由于建筑外立面U型結(jié)構(gòu)支座位置和條件具有特定性，在劃分建筑平面圖網(wǎng)格時(shí)，需設(shè)置不動(dòng)散點(diǎn)為建筑外立面U型結(jié)構(gòu)的支座點(diǎn)[9]。

2.2 自由曲面生成

利用經(jīng)過已知點(diǎn)的B樣條插值曲面法生成建筑外立面U型結(jié)構(gòu)自由曲面，需在建筑外立面U型結(jié)構(gòu)設(shè)置特定支座，方可滿足自由曲面生成條件。令已知點(diǎn)為N×M個(gè)，則B樣條插值算法計(jì)算公式為

(2)

其中，x、y方向節(jié)點(diǎn)數(shù)量分別由M、N表示；x、y方向的第d次和第h次B樣條基函數(shù)由Bi，d(x)、Bi，h(y)表示。在B樣條曲面上，關(guān)于x，y的函數(shù)是節(jié)點(diǎn)的縱坐標(biāo)z，插值點(diǎn)坐標(biāo)由計(jì)算系數(shù)gi，j獲得，最終生成光滑自由曲面。

2.3 建立梯度法基本方程

為使自由曲面建筑外立面U型結(jié)構(gòu)更加美觀并且擁有合理的受力性能，自由曲面創(chuàng)建方法需使用實(shí)際建筑外立面U型結(jié)構(gòu)上的已知點(diǎn)，初始自由曲面使用B樣條理論進(jìn)行擬合。受初始模型力學(xué)符合率較低的影響，需在建筑條件允許的情況下對(duì)該模型進(jìn)行微調(diào)。自由曲面建筑外立面U型結(jié)構(gòu)最優(yōu)性能可由其應(yīng)變能和應(yīng)變能敏感度來衡量，當(dāng)應(yīng)變能敏感度近似0時(shí)，該結(jié)構(gòu)應(yīng)變能收斂最小，自由曲面建筑外立面U型結(jié)構(gòu)上節(jié)點(diǎn)受微小力量干擾時(shí)，應(yīng)變能敏感度可調(diào)整該結(jié)構(gòu)上關(guān)鍵點(diǎn)的高度，降低應(yīng)變能收斂，提升該結(jié)構(gòu)受力性能。使用自由曲面創(chuàng)構(gòu)方法計(jì)算曲面上的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)，優(yōu)化目標(biāo)使用梯度法，可實(shí)現(xiàn)自由曲面建筑外立面U型結(jié)構(gòu)優(yōu)化。

控制點(diǎn)的多元函數(shù)可描述自變量是曲面控制點(diǎn)的應(yīng)變能，其計(jì)算公式為

R=f(Q1，Q2，…，Qn)

(3)

其中，應(yīng)變能、控制點(diǎn)分別由R、Qn表示。設(shè)R是一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)，該標(biāo)量場(chǎng)內(nèi)任意一點(diǎn)處的梯度方向，可標(biāo)記該標(biāo)量場(chǎng)內(nèi)增長(zhǎng)最迅速的方向，其梯度長(zhǎng)度表示這個(gè)梯度方向的最大變化率。當(dāng)控制點(diǎn)為1時(shí)，應(yīng)變能可由單變量的實(shí)值函數(shù)計(jì)算，梯度則由導(dǎo)數(shù)表示。因此，自變量的變化方向與其梯度方向相反時(shí)，標(biāo)量場(chǎng)降低速度最快。應(yīng)變能敏感度可由在任意(Q1，Q2，…，Qn)位置的梯度表示。正負(fù)梯度方向分別為應(yīng)變能增加最快和降低最快的方向，控制點(diǎn)Qn變化的敏感度是通過應(yīng)變能對(duì)設(shè)計(jì)變量的控制程度計(jì)算，移動(dòng)該控制點(diǎn)，該控制點(diǎn)處應(yīng)變能敏感度則變大，因此，若得到合理U型結(jié)構(gòu)，即U型結(jié)構(gòu)受到微小力量干擾時(shí)，其總體結(jié)構(gòu)變化較小，那么其控制點(diǎn)處應(yīng)變敏感度最小。

2.4 建立變量?jī)?yōu)化方程

設(shè)置QZ={Qi，j(Z)}表示自由曲面控制點(diǎn)豎向分量，其中，(i=1，2，…，N，j=1，2，…，M)，控制點(diǎn)的函數(shù)是曲面上的點(diǎn)坐標(biāo)，以控制點(diǎn)豎向分量作為變量的結(jié)構(gòu)靜力平衡方程由下式表示

O(QZ)·U(QZ)=F(QZ)

(4)

其中，結(jié)構(gòu)剛度矩陣、結(jié)構(gòu)點(diǎn)位移向量、節(jié)點(diǎn)荷載向量分別由O(QZ)、U(QZ)、F(QZ)表示。結(jié)構(gòu)應(yīng)變能力為R(QZ)的計(jì)算公式為

(5)

通過式(5)可知，數(shù)學(xué)表達(dá)式min(R(QZ))可表示優(yōu)化模型。

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

假設(shè)外立面U型結(jié)構(gòu)材料是理想彈塑性材料，結(jié)構(gòu)屈曲荷載可通過以下公式計(jì)算

|[Wb]+λ[Wσ]|=0

(11)

其中，結(jié)構(gòu)彈性剛度矩陣、結(jié)構(gòu)曲面剛度矩陣、屈曲荷載因子分別由[Wb]、[Wσ]、λ表示。

2.5 推導(dǎo)應(yīng)變能梯度表達(dá)式

設(shè)曲面形狀變化不影響優(yōu)化流程中的荷載值，則有

(12)

將第k步優(yōu)化后獲取的自由曲面剛性結(jié)構(gòu)作為對(duì)象，對(duì)控制點(diǎn)進(jìn)行求導(dǎo)則有

(13)

(14)

變換梯度表達(dá)式可將式(13)代入式(14)中，則有

(15)

通過以上公式可推導(dǎo)出應(yīng)變能對(duì)于控制點(diǎn)的敏感度，控制點(diǎn)單元?jiǎng)偠染仃噷?duì)控制點(diǎn)的微分公式可通過推導(dǎo)整體坐標(biāo)系內(nèi)的梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃囄⒎止竭M(jìn)行表達(dá)，那么單元?jiǎng)偠染仃嚭筒糠肿鴺?biāo)系下單元?jiǎng)偠染仃囮P(guān)系可通過以下公式表示

(16)

其中，Oe、T分別表示部分坐標(biāo)系下單元?jiǎng)偠染仃嚭涂臻g梁?jiǎn)卧鴺?biāo)系轉(zhuǎn)化矩陣。

(17)

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)可依據(jù)實(shí)際問題和敏感度方向，控制點(diǎn)Qi，j在z方向的導(dǎo)數(shù)可由以下公式計(jì)算

(18)

計(jì)算坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換矩陣對(duì)控制點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，需先計(jì)算單元坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換矩陣，其公式如下

(19)

其中，λ0計(jì)算公式為

(20)

(21)

由推導(dǎo)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換矩陣對(duì)控制點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)以及單元部分坐標(biāo)系內(nèi)單元矩陣對(duì)控制點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)可知，計(jì)算自由曲面上的節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)控制點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是二者必不可少的步驟，所以需要構(gòu)建自由曲面上節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)控制點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式。設(shè)豎向坐標(biāo)QI，J(z)是第k步后自由曲面的控制點(diǎn)坐標(biāo)，該控制點(diǎn)在自由曲面上與其相對(duì)應(yīng)豎向控制點(diǎn)導(dǎo)數(shù)可由以下公式計(jì)算

(22)

其中：ωi，j表示權(quán)因子；Ni，Q(u)、Nj，r(v)分別為表示定義在非周期節(jié)點(diǎn)矢量u、v上的Q、r次B樣條基數(shù)。

通過上述公式推導(dǎo)流程，可計(jì)算出U型結(jié)構(gòu)應(yīng)變能梯度數(shù)值，使用梯度法調(diào)整自由曲面控制點(diǎn)坐標(biāo)，可實(shí)現(xiàn)自由曲面U型結(jié)構(gòu)優(yōu)化。

3 實(shí)驗(yàn)分析

使用MATLAB軟件，構(gòu)建建筑面積為25436m2，建筑結(jié)構(gòu)最高點(diǎn)為25.8m的建筑物，該建筑物由鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)和鋁合金立面U型單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)組成建筑主體的下部與上部，建筑物頂部長(zhǎng)軸為207.5m，立面U型單層網(wǎng)殼結(jié)構(gòu)的支座由落地支座和建筑物頂部混凝土柱子支座組成。采用所提算法依據(jù)建筑外立面U型結(jié)構(gòu)邊界條件，生成初始結(jié)構(gòu)，以數(shù)值為1.5kN/m2的豎向均布恒載力作為計(jì)算荷載，其缺陷數(shù)值分別為200mm、400mm、600mm。使用梯度算法，對(duì)建筑外立面U型結(jié)構(gòu)展開優(yōu)化。

在保證計(jì)算荷載數(shù)值不變的情況下，通過改變控制點(diǎn)豎向z坐標(biāo)，改變自由曲面形狀，計(jì)算應(yīng)變能關(guān)于整體控制平均敏感度和應(yīng)變能滾圓控制平均敏感度，其初始結(jié)構(gòu)與所提算法優(yōu)化后敏感度數(shù)值曲線如圖1所示。

圖1 結(jié)構(gòu)優(yōu)化前后數(shù)值曲線

分析圖1可知，應(yīng)變能關(guān)于整體控制平均敏感度和應(yīng)變能關(guān)于控制平均敏感度都是隨著優(yōu)化步數(shù)的增加而降低。在圖1(a)中，兩個(gè)敏感度曲線都呈逐漸下降趨勢(shì)。通過使用所提算法對(duì)建筑結(jié)構(gòu)優(yōu)化后，兩個(gè)敏感度曲線在優(yōu)化步數(shù)為200步前下降速度明顯，優(yōu)化步數(shù)超過200步后，二者曲線逐漸趨于平穩(wěn)，結(jié)構(gòu)應(yīng)變能對(duì)控制點(diǎn)變化的敏感度降低。說明使用所提算法可降低整體控制平均敏感度和應(yīng)變能關(guān)于控制平均敏感度，提升建筑外立面U型結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性能。

設(shè)置初始自由曲面與優(yōu)化后的自由曲面建筑物屋頂結(jié)構(gòu)均完整，對(duì)其施加均勻荷載因子，前8階屈曲荷載因子情況如表1所示，(荷載因子與施加荷載的積為屈曲荷載)。

表1 結(jié)構(gòu)屈曲荷載因子

分析表1可知，屈曲荷載因子隨著階數(shù)的增加而增加，優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)屈曲荷載因子較初始結(jié)構(gòu)增加明顯，尤其是階數(shù)為4時(shí)，二者屈曲因子最大差值達(dá)到14.452，可見經(jīng)過所提算法優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)剛度較大，結(jié)構(gòu)出現(xiàn)失穩(wěn)的概率較低。

結(jié)構(gòu)的初始缺陷是影響結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的因素之一，當(dāng)缺陷數(shù)值不同的情況下，對(duì)比初始結(jié)構(gòu)和優(yōu)化后結(jié)構(gòu)位移情況，結(jié)果如圖2所示。

圖2 結(jié)構(gòu)位移

分析圖2可知，位移數(shù)值與缺陷數(shù)值成正比，初始結(jié)構(gòu)位移隨著缺陷數(shù)值的增加而增長(zhǎng)迅速，優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)位移數(shù)值增長(zhǎng)極小，當(dāng)缺陷數(shù)值為600時(shí)，初始結(jié)構(gòu)位移達(dá)到50cm，優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)位移僅為20cm，穩(wěn)定性較好。由此可見，所提算法可有效實(shí)現(xiàn)建筑外立面U型結(jié)構(gòu)優(yōu)化。

4 結(jié)論

本文研究自由曲面建筑外立面U型結(jié)構(gòu)優(yōu)化算法，有效結(jié)合B樣條插值曲面法以及梯度法完成建筑物自由曲面優(yōu)化。通過實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，該算法可降低結(jié)構(gòu)應(yīng)變能對(duì)控制點(diǎn)變化敏感度和應(yīng)變能關(guān)于整體平均敏感度，提升建筑外立面U型結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性能；使用該算法對(duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行優(yōu)化后，可增加結(jié)構(gòu)屈曲荷載因子，增加結(jié)構(gòu)剛度，降低失穩(wěn)率；當(dāng)缺陷數(shù)值相同時(shí)，優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)位移較小。