閱讀題：促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)理解的重要學(xué)材*

丁益民

(江蘇省蘇州實(shí)驗(yàn)中學(xué) 215011)

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》[1]明確將閱讀自學(xué)作為數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)之一，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)閱讀在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性.為了適應(yīng)學(xué)生學(xué)習(xí)的個(gè)性化需求，引導(dǎo)學(xué)生展示數(shù)學(xué)理解力，滿足學(xué)生自主探究的欲望，拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)視野，各版教材都安排了有關(guān)數(shù)學(xué)閱讀的素材，這些素材或是以閱讀材料的方式出現(xiàn)，或是以探究拓展的方式出現(xiàn)，極大豐富了教材的學(xué)材屬性.

江蘇教育出版社的高中數(shù)學(xué)教材(以下簡(jiǎn)稱“蘇教版教材”)除了設(shè)置章末閱讀材料外，還設(shè)置了一定量的閱讀題，本文所述閱讀題是指蘇教版教材在習(xí)題“探究·拓展”欄目中設(shè)置與某些知識(shí)相關(guān)的閱讀情境，并借助情境中的信息解決問(wèn)題以達(dá)到理解知識(shí)的一類問(wèn)題，這些題是指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)閱讀的課程資源，也是促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)理解的重要學(xué)材[2].研究閱讀題并用好閱讀題是促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)理解的重要舉措，本文以2019版蘇教版教材必修一、二中的閱讀題為例，對(duì)閱讀題進(jìn)行梳理、功能解析并提出一些教學(xué)思考與建議.

1 教材中閱讀題的分布與分類

必修兩冊(cè)教材中出現(xiàn)了15道閱讀題，其分布位置與涉及內(nèi)容如下表：

分布位置涉及內(nèi)容題量必修第一冊(cè)第1章P20第15題“笛卡爾乘積”的定義與應(yīng)用第2章P38第6題用含量詞的命題及其否定表述其他學(xué)科中的現(xiàn)象或?qū)嵗?章P42第6題《墨經(jīng)》中“大故”和“小故”的論述第3章P57第11題學(xué)生錯(cuò)用基本不等式求函數(shù)最值的案例辨析第3章P64第15題一元二次不等式解法拓展與應(yīng)用第4章P88第12題舉物理例闡述對(duì)數(shù)在優(yōu)化運(yùn)算中的應(yīng)用第7章P209第20題介紹泰勒展開(kāi)式及估值的簡(jiǎn)單應(yīng)用7必修第二冊(cè)第9章P40第10題直線方向向量的介紹與應(yīng)用第9章P44第25題直線法向量的介紹與簡(jiǎn)單應(yīng)用第10章P79第19題介紹切比雪夫多項(xiàng)式及應(yīng)用第11章P95第11題探究“兩邊一對(duì)角”型三角形解的個(gè)數(shù)第13章P175第17題常見(jiàn)四棱柱概念的辨析與集合包含關(guān)系第13章P195第12題運(yùn)用類比和極限的思想探究球的表面積公式第14章P212第8題用統(tǒng)計(jì)的思想解釋二戰(zhàn)中坦克數(shù)量的準(zhǔn)確性第15章P261第6題介紹樹(shù)形圖表示樣本空間8

可以看出，教材中的這些閱讀題均是從數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)出發(fā)，以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣、拓寬學(xué)生的知識(shí)視野、培養(yǎng)應(yīng)有的數(shù)學(xué)素養(yǎng)為目的，以不同情境引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)閱讀，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng).

閱讀題在指導(dǎo)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、促進(jìn)數(shù)學(xué)理解方面有著重要的作用，按照閱讀題在引導(dǎo)理解、熟練技能、指導(dǎo)學(xué)習(xí)，運(yùn)用知識(shí)上的功能，可以將其大致分為以下幾類：

(1)知識(shí)補(bǔ)充類

“知識(shí)補(bǔ)充類”閱讀題是對(duì)相關(guān)章節(jié)知識(shí)進(jìn)行必要補(bǔ)充.如“直線方向向量的介紹與應(yīng)用”“直線法向量的介紹與簡(jiǎn)單應(yīng)用”便是學(xué)完向量這一章后進(jìn)行的知識(shí)補(bǔ)充，是為了體現(xiàn)向量工具屬性的必要補(bǔ)充，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)選擇性必修相關(guān)內(nèi)容提供知識(shí)準(zhǔn)備.此類閱讀題可在學(xué)生學(xué)習(xí)某一內(nèi)容后根據(jù)學(xué)生掌握的實(shí)際情況作補(bǔ)充.

(2)概念理解類

“概念理解類”閱讀題是為了幫助學(xué)生突破難以理解的概念而設(shè)計(jì).如第2章邏輯用語(yǔ)中的兩道題就是為了幫助學(xué)生正確理解“含有量詞的命題的否定”“充分條件”“必要條件”等概念而設(shè)計(jì)，分別引導(dǎo)學(xué)生從生物學(xué)科和數(shù)學(xué)史的視角對(duì)這些概念進(jìn)行理解，拓寬了概念理解的渠道.此類閱讀題可作為知識(shí)導(dǎo)入的情境呈現(xiàn)，也可作為知識(shí)理解的載體介紹.

(3)數(shù)學(xué)探究類

“數(shù)學(xué)探究類”閱讀題是通過(guò)創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行一定的數(shù)學(xué)探究活動(dòng).如第7章中介紹泰勒公式引導(dǎo)學(xué)生借助數(shù)學(xué)軟件進(jìn)行數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)探究，讓學(xué)生初步感受用一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)逼近一個(gè)給定的函數(shù)的思想，即盡量使多項(xiàng)式函數(shù)圖象擬合給定的函數(shù)圖象；再如第13章的閱讀題運(yùn)用類比和極限的思想去探究球的表面積公式，這些探究題無(wú)不蘊(yùn)含著從有限到無(wú)限的極限思想.此類閱讀題可作為引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行小組合作探究的素材.

(4)方法拓展類

“方法拓展類”閱讀題是為了拓展學(xué)生研究或解決問(wèn)題時(shí)的方法，開(kāi)拓學(xué)生的方法視野.如第3章中一元二次不等式的解法拓展，引導(dǎo)學(xué)生從方程的根以及因式的符號(hào)特性中去解二次不等式和分式不等式，體現(xiàn)用一個(gè)方法解決一類問(wèn)題；再如第15章的閱讀題介紹了樹(shù)形圖的方法，這是一種既直觀又樸素的探求樣本空間的方法，豐富了學(xué)生的計(jì)數(shù)方式.此類閱讀題可在解決具體問(wèn)題時(shí)作相應(yīng)的補(bǔ)充與拓展.

(5)知識(shí)應(yīng)用類

“知識(shí)應(yīng)用類”閱讀題是為了突出知識(shí)的應(yīng)用性.如第4章的閱讀題介紹了對(duì)數(shù)用于處理物理中的有關(guān)計(jì)算，目的是讓學(xué)生感受到引入對(duì)數(shù)對(duì)簡(jiǎn)化運(yùn)算的作用；再如第10章通過(guò)兩角和差的公式推導(dǎo)n倍角公式(即契比雪夫多項(xiàng)式)，是兩角和差公式的深入應(yīng)用，也揭示了本章公式生長(zhǎng)的“公理化”特征.此類閱讀題適合在單元復(fù)習(xí)時(shí)進(jìn)行專題研究.

當(dāng)然，有些閱讀題可能兼有上述分類中兩個(gè)或多個(gè)，這樣的多重性更突出了閱讀題的教學(xué)價(jià)值.

2 閱讀題的教學(xué)功能

2.1 引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)閱讀正確理解知識(shí)的本質(zhì)

課標(biāo)倡導(dǎo)要“創(chuàng)設(shè)合適的教學(xué)情境，啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生把握數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)”[1].由于數(shù)學(xué)概念的抽象性，學(xué)生在進(jìn)行數(shù)學(xué)表征時(shí)會(huì)出現(xiàn)迷失于某個(gè)局部或側(cè)面的情況，加上有些概念的理解需要一個(gè)螺旋上升的過(guò)程，學(xué)生并不能立刻正確理解知識(shí)的本質(zhì)，有些閱讀題就是為了幫助學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)而設(shè)計(jì)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念進(jìn)行“再學(xué)習(xí)”，促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念的本源.比如第13章“常見(jiàn)四棱柱概念的辨析與集合包含關(guān)系”，教材通過(guò)演變圖直觀演繹了常見(jiàn)四棱柱的“形成”過(guò)程，再嚴(yán)格給出這些幾何體的定義，最后引導(dǎo)學(xué)生用集合的語(yǔ)言表征這些對(duì)象之間的關(guān)系.整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程中的直觀演繹、抽象表征等活動(dòng)對(duì)理解“四棱柱”真正本質(zhì)起關(guān)鍵作用.

2.2 引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)閱讀感悟數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值

為擺脫當(dāng)前重“練”輕“悟”的教學(xué)現(xiàn)狀，在教學(xué)過(guò)程中要特別重視學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)價(jià)值的深層次認(rèn)識(shí)，尤其是對(duì)知識(shí)的科學(xué)價(jià)值進(jìn)行理性認(rèn)識(shí)和深度思考.如在第4章《對(duì)數(shù)》的學(xué)習(xí)中，為了讓學(xué)生充分理解對(duì)數(shù)在優(yōu)化運(yùn)算方面起到的作用，以物理學(xué)中“聲強(qiáng)”的計(jì)算為例，讓學(xué)生感悟“對(duì)數(shù)可以縮短計(jì)算時(shí)間”這一歷史需求和科學(xué)價(jià)值.又如第14章《統(tǒng)計(jì)》中，在帶有講故事性質(zhì)的閱讀題后提出本章(或?qū)W習(xí)統(tǒng)計(jì))的核心問(wèn)題：“為什么統(tǒng)計(jì)估值比情報(bào)估值更準(zhǔn)確呢？”這一問(wèn)題直接指向?qū)W習(xí)統(tǒng)計(jì)不是為了應(yīng)付考試而是要學(xué)會(huì)用統(tǒng)計(jì)的思維和觀念去分析和解決現(xiàn)實(shí)世界中遇到的問(wèn)題，進(jìn)而認(rèn)識(shí)到統(tǒng)計(jì)思想在信息時(shí)代的巨大價(jià)值.

2.3 引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)閱讀感受數(shù)學(xué)的文化價(jià)值

數(shù)學(xué)知識(shí)的傳遞是一種文化傳承，是人類發(fā)展的必然要求.數(shù)學(xué)知識(shí)在傳遞過(guò)程中，必然觸及到人對(duì)知識(shí)的感知、識(shí)記、理解、內(nèi)化等一系列心智過(guò)程，這是“化人”“育人”的過(guò)程，數(shù)學(xué)文化的育人價(jià)值已逐漸成為一線教師普遍認(rèn)可的共識(shí)[3].有些閱讀題的設(shè)計(jì)就是力求滲透數(shù)學(xué)文化，從數(shù)學(xué)文化中去尋找概念理解的力量.比如《墨經(jīng)》中的“小故”和“大故”就是我國(guó)墨辯邏輯的用語(yǔ)，其分別對(duì)應(yīng)了數(shù)學(xué)邏輯中的“必要條件”和“充分條件”，體現(xiàn)了我國(guó)古代在邏輯學(xué)上研究的卓越成就.再如泰勒展開(kāi)式、切比雪夫多項(xiàng)式等蘊(yùn)含著豐富數(shù)學(xué)史知識(shí)的閱讀題，都可以基于學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)進(jìn)行數(shù)學(xué)閱讀及探究活動(dòng).通過(guò)閱讀題進(jìn)行文化滲透，不僅拉近了學(xué)生與數(shù)學(xué)文本的距離，更重要的是提升了學(xué)生的數(shù)學(xué)文化觀.

2.4 引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)閱讀進(jìn)行整體的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

在上述15道閱讀題中有近半數(shù)是對(duì)本節(jié)或本章所學(xué)內(nèi)容的必要補(bǔ)充與銜接.如第9章中直線的方向向量和法向量的知識(shí)介紹與簡(jiǎn)單應(yīng)用，這既是對(duì)教材正文部分向量?jī)?nèi)容的補(bǔ)充，又為學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)選擇性必修課程中的“空間向量與立體幾何”時(shí)運(yùn)用方向向量和法向量處理空間立體幾何中的相關(guān)問(wèn)題提供認(rèn)知基礎(chǔ).這樣的設(shè)計(jì)體現(xiàn)了“整體把握教學(xué)內(nèi)容，促進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)連續(xù)性和階段性發(fā)展”[1]的教學(xué)要求，引導(dǎo)學(xué)生從整體上把握課程，實(shí)現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展.

2.5 引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)閱讀領(lǐng)略知識(shí)的數(shù)學(xué)背景

有些閱讀題帶有濃厚的高等數(shù)學(xué)味，將那些符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律的且具有高等數(shù)學(xué)背景的知識(shí)呈現(xiàn)給他們，讓他們了解數(shù)學(xué)知識(shí)的高等背景與思想源頭，這有利于激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，有利于學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，有利于開(kāi)拓學(xué)生視野和提升核心素養(yǎng).比如第13章中運(yùn)用類比和極限思想推導(dǎo)球的表面積，其中蘊(yùn)含的微積分思想正是學(xué)生進(jìn)入高校后要重點(diǎn)學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容，也是近代數(shù)學(xué)發(fā)展的標(biāo)桿內(nèi)容，這些都將激發(fā)學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí).

2.6 引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)閱讀化解學(xué)習(xí)的認(rèn)知難點(diǎn)

對(duì)學(xué)生而言，有些知識(shí)在短時(shí)間內(nèi)確實(shí)難以理解，為了幫助學(xué)生突破認(rèn)知障礙，化解認(rèn)知難點(diǎn)，一些閱讀題可幫助學(xué)生解決這樣的認(rèn)知困難，是幫助學(xué)生理解知識(shí)的載體.如在第11章設(shè)置了探究“兩邊一對(duì)角”型三角形解的個(gè)數(shù)的閱讀題，學(xué)生可按照提供的方案進(jìn)行自主探究從而化解難點(diǎn).特別引人注意的是在第3章設(shè)計(jì)了“對(duì)話式”閱讀題，這種閱讀題在心理層面拉近了學(xué)生與文本之間的距離，似乎是學(xué)生與教材編者之間的對(duì)話，又如兩個(gè)同學(xué)在進(jìn)行無(wú)聲的辯解，其中“甲同學(xué)”的錯(cuò)誤恰恰代表了一部分學(xué)生在學(xué)習(xí)“基本不等式”時(shí)的認(rèn)知缺陷，通過(guò)這樣的方式幫助學(xué)生突破難點(diǎn)，留下深刻的印象.

3 閱讀題的教學(xué)建議

事實(shí)表明，很多教師對(duì)教材中學(xué)材功能的研究與開(kāi)發(fā)不夠重視，僅僅將閱讀題視為普通的練習(xí)題，并沒(méi)有發(fā)揮出應(yīng)有的教學(xué)功能.即使有教師在教學(xué)中有所重視，但也沒(méi)有把握好教學(xué)的尺度，要么挖得過(guò)深，要么一帶而過(guò).筆者認(rèn)為，在處理閱讀題時(shí)應(yīng)該遵循以下原則：

3.1 目標(biāo)定位要合理

在講評(píng)閱讀題時(shí)要明確想達(dá)到的目標(biāo)，是激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性？還是拓寬學(xué)生的知識(shí)面？是為了解決知識(shí)的某個(gè)難點(diǎn)？還是介紹知識(shí)的產(chǎn)生背景？等等.教學(xué)應(yīng)始終明確這些題是“探究·拓展”部分的內(nèi)容，不能以統(tǒng)一的目標(biāo)定位去面向全體學(xué)生，應(yīng)結(jié)合班級(jí)學(xué)生的實(shí)際情況進(jìn)行開(kāi)發(fā)利用，而且在教學(xué)中不能就題論題，也不能喧賓奪主，要讓學(xué)生解決閱讀題后在數(shù)學(xué)理解上有所獲益.

3.2 教學(xué)方法要多樣

就文字信息量而言，閱讀題往往篇幅比較長(zhǎng)、信息比較多，甚至有時(shí)理解起來(lái)較為復(fù)雜.因此，在教學(xué)中要結(jié)合閱讀題的特點(diǎn)及承載的教學(xué)功能靈活選擇合適的教學(xué)方法.比如可通過(guò)研究性學(xué)習(xí)活動(dòng)解決拓展性問(wèn)題，通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的方法解決探索性問(wèn)題，通過(guò)網(wǎng)絡(luò)資源、文獻(xiàn)查詢學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)文化類的問(wèn)題，通過(guò)數(shù)學(xué)寫(xiě)作的方式進(jìn)行知識(shí)價(jià)值認(rèn)可類的閱讀題學(xué)習(xí)等等.

3.3 教學(xué)組織要適度

把握好閱讀題教學(xué)的“度”是發(fā)揮其教學(xué)功能的必要條件.就題論題，學(xué)生會(huì)不以為然，認(rèn)為只是一道普通的題目；挖掘過(guò)深，學(xué)生可能缺乏主體參與，甚至還需要補(bǔ)充其它知識(shí)，這反而將削弱閱讀題本身的教學(xué)功能.因此，閱讀題的教學(xué)應(yīng)在明確題目定位的前提下充分考慮學(xué)生的認(rèn)知水平、知識(shí)結(jié)構(gòu)以及理解能力等.

在教學(xué)中，教師要明晰閱讀題的設(shè)計(jì)意圖，這些題并不是增加學(xué)生負(fù)擔(dān)，教學(xué)中應(yīng)恰到好處地把握閱讀題教學(xué)的難度、深度與廣度.應(yīng)根據(jù)閱讀題的特點(diǎn)，因材施教，因生而異，不可生搬硬套，照本宣科.而且，應(yīng)把握好教學(xué)的時(shí)機(jī)，既可在相關(guān)知識(shí)的教學(xué)中穿插教學(xué)，也可在講相關(guān)知識(shí)整合后選講.

比如“直線的方向向量與法向量”，既可以就處理選擇性必修課程中有關(guān)“角”與“距離”的計(jì)算問(wèn)題時(shí)進(jìn)行補(bǔ)充，也可以在選擇性必修課程中的“空間向量與立體幾何”單元中系統(tǒng)講解，將其視為“空間直線的方向向量與平面法向量”的先行組織者材料.

最后值得說(shuō)明的是，由于這些知識(shí)基本屬于閱讀性或工具性知識(shí)，從應(yīng)試角度來(lái)看，高考中不會(huì)單獨(dú)考查，在教學(xué)過(guò)程中不可花過(guò)多精力對(duì)此進(jìn)行過(guò)深與過(guò)難的教學(xué)拓展，否則會(huì)加重學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān).總而言之，要通過(guò)研究教材，發(fā)揮閱讀題這一學(xué)材的教學(xué)價(jià)值，讓閱讀題真正促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì).