一種改進(jìn)的混合蛙跳算法及其在變壓器設(shè)計中的應(yīng)用

杜 江，袁中華

(河北工業(yè)大學(xué) 電磁場與電器可靠性省部共建重點實驗室，天津 300130)

變壓器是應(yīng)用最為廣泛的電力設(shè)備之一，在電力系統(tǒng)中具有重要的地位，鐵心柱截面設(shè)計為其設(shè)計過程中的重要一環(huán).合理安排鐵心級數(shù)及各級尺寸，使鐵心柱更充分占用線圈內(nèi)的圓形空間，即增大鐵心柱截面積，可以達(dá)到節(jié)約生產(chǎn)材料、降低運行損耗的目的，具有非常重要的意義.目前常用的鐵心柱截面優(yōu)化設(shè)計方法有圖解法、解析法、動態(tài)規(guī)劃法等[1-2]，但都存在設(shè)計結(jié)果粗糙、計算量大等問題，設(shè)計效果很難讓人滿意.

混合蛙跳算法[3](shuffled frog leaping algorithm, 簡稱SFLA)是結(jié)合模因算法(memetic algorithm, 簡稱MA)和粒子群優(yōu)化算法(particle swarm optimization, 簡稱PSO)的一種全新智能仿生算法，具有結(jié)構(gòu)簡單、參數(shù)少、魯棒性強等優(yōu)點，一經(jīng)提出便在計算機和工程領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用[4-6].然而，基本混合蛙跳算法(SFLA)只能求解無約束條件的優(yōu)化問題，對有約束條件的優(yōu)化問題，必須首先對約束條件進(jìn)行處理.罰函數(shù)法[7]是目前最常用的約束條件處理方法，但是，常常因為罰因子選取不當(dāng)，導(dǎo)致算法的搜索效率嚴(yán)重下降.另外，針對基本混合蛙跳算法易陷入局部最優(yōu)、收斂精度不高的缺陷，國內(nèi)外學(xué)者從不同角度進(jìn)行了改進(jìn).文獻(xiàn)[8]對算法的解向量進(jìn)行離散化并采用閾值選擇策略，增強了算法全局尋優(yōu)能力，提高了收斂速度；文獻(xiàn)[9]把加速因子引入子種群內(nèi)部迭代，提高了算法整體尋優(yōu)能力；文獻(xiàn)[10]將差分進(jìn)化有機地嵌入進(jìn)化過程，改善了種群的多樣性，提高了算法復(fù)雜問題尋優(yōu)能力.筆者借鑒文獻(xiàn)[11]的約束條件處理方法，引入移動步長變異算子，自適應(yīng)調(diào)整移動步長，提出一種求解約束優(yōu)化問題的自適應(yīng)混合蛙跳算法(adaptive shuffled frog leaping algorithm for solving constrained optimization problems，簡稱CASFLA)，且將此改進(jìn)算法用于變壓器鐵心柱截面優(yōu)化設(shè)計.

1 優(yōu)化設(shè)計問題描述

變壓器鐵心柱截面優(yōu)化設(shè)計就是在線圈內(nèi)圓直徑D和鐵心級數(shù)n一定的情況下，合理安排鐵心每級的片寬Bi和片厚Ti，使疊成后的鐵心柱截面積達(dá)到最大.顯然，級數(shù)越多，鐵心柱截面就越趨近于圓形，鐵心柱截面積就越大，線圈匝數(shù)就越少，就越節(jié)省材料；然而級數(shù)越多，鐵心疊片的種類也就越多，鐵心的制造工藝就越復(fù)雜.鐵心柱直徑與級數(shù)的對應(yīng)關(guān)系如表1所示.

表1 鐵心柱直徑與級數(shù)的對應(yīng)關(guān)系

1.1 目標(biāo)函數(shù)

因為鐵心柱截面積越大，越能節(jié)約材料、降低損耗，所以優(yōu)化設(shè)計的目標(biāo)函數(shù)為鐵心柱截面積S最大，即

(1)

1.2 約束條件

(1) 鐵心柱每級片寬必須為5的倍數(shù)，即

Bk%5=0.

(2)

(2) 第k級寬度一半的平方與從第1級(第1級記一半厚度)累加到第k級厚度平方之和，小于或等于線圈內(nèi)圓半徑的平方，即

(3)

(3) 考慮鐵心柱與線圈間支撐件的存在，要求鐵心柱第1級寬度不小于26 mm，第n級厚度不小于20 mm，即

B1≥26 mm，Tn≥20 mm.

(4)

(4) 第j級的寬度必須大于第j+1級寬度，即

Bj>Bj+1.

(5)

1.3 數(shù)學(xué)模型

根據(jù)上述分析可得到變壓器鐵心柱截面積優(yōu)化設(shè)計的數(shù)學(xué)模型為

使得

(6)

2 改進(jìn)的混合蛙跳算法

2.1 基本混合蛙跳算法

基本混合蛙跳算法尋優(yōu)本質(zhì)上是模擬自然界中青蛙的撲食動作.該算法的迭代可分為以下操作：種群混合排序、子種群劃分和子種群內(nèi)部更新.

設(shè)青蛙種群由分布在S維解空間內(nèi)的F個青蛙個體組成，參與更新的青蛙個體屬性由個體位置和移動步長來描述，它們分別為Xi=(xi1,xi2,…,xiS)，Di=(di1,di2,…,diS)，其中：1≤i≤m，-Dimax≤Di≤Dimax，Dimax為青蛙最大移動步長.

青蛙位置更新方法如下

Di=rand()×(X-Xw)，

(7)

Xw(new)=Xw(old)+Di，

(8)

Xw(new)=Xw(old)+rand()×Dimax.

(9)

式(7)為移動步長公式，其中rand()為(0,1)之間的隨機數(shù).當(dāng)式(8)為局部深度搜索時，X為子種群最優(yōu)個體位置Xb；當(dāng)式(8)為全局深度搜索時，X為整個種群最優(yōu)個體位置Xg，Xw(old)，Xw(new)分別為位置更新前后的青蛙個體位置.式(9)為隨機移動公式.

根據(jù)適應(yīng)度判斷位置的優(yōu)劣，每次更新均由子種群的最差個體參與，且每次更新只選擇3種操作(局部深度搜索、全局深度搜索和隨機移動)中的一種.

2.2 約束條件的處理

由前文對優(yōu)化問題的描述可知，變壓器鐵心柱截面積優(yōu)化設(shè)計是一個多約束條件優(yōu)化問題.利用混合蛙跳算法求解約束優(yōu)化問題，首先對約束條件進(jìn)行處理，使其轉(zhuǎn)化為無約束條件的優(yōu)化問題.借鑒文獻(xiàn)[11]約束條件的處理方法，使目標(biāo)函數(shù)與約束條件分離，將原問題轉(zhuǎn)化為

(10)

其中：fitness(x)對應(yīng)優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)f(x)；violation(x)對應(yīng)優(yōu)化問題的約束條件，反映解x對約束條件的違反程度；gi(x)是第i個不等式約束條件;hj(x)是第j個等式約束條件；p,q分別是優(yōu)化問題中等式約束條件和不等式約束條件的個數(shù).

在解空間內(nèi)，滿足所有約束條件的解x稱為可行解,否則稱為不可行解.基于以上對解x的適應(yīng)度和對約束條件違反程度的規(guī)定，該文采用以下原則判斷解空間內(nèi)任意兩個解(x1和x2)的相對優(yōu)劣(以最小化問題為例)：

(1) 當(dāng)解x1和x2都為可行解，如果fitness(x1)

(2) 當(dāng)解x1和x2都為不可行解，如果violation(x1)

(3) 當(dāng)解x1為可行解，x2為不可行解，則x1優(yōu)于x2.

2.3 變異算子的引入

對這類多變量、離散型、非線性、多約束條件的復(fù)雜優(yōu)化問題，效仿遺傳算法，添加變異操作機制，自適應(yīng)改變移動步長，可以同時兼顧算法收斂速度及收斂精度，是一種非常有效的提高求解性能的方法.該文在種群進(jìn)化的移動步長中引入變異算子，式(7)改寫為

Di=rand()×di×(X-Xw)，

(11)

其中：di為移動步長變異算子.

由式(11)可以看出，變異算子的大小直接影響移動步長的大小，進(jìn)而影響解空間的搜索范圍.顯然，di取值越大，搜索的解空間就越大；反之，搜索的解空間就越小.當(dāng)算法處于迭代前期，較大的移動步長可以提高算法收斂速度，使蛙群迅速聚集在最優(yōu)解附近；當(dāng)算法處于迭代后期，較小的移動步長可在一定程度上避免粒子在最優(yōu)解附近往復(fù)震蕩，使算法更精確地收斂于最優(yōu)解.另外，當(dāng)算法最優(yōu)解的進(jìn)步速度較快時，較小的移動步長有助于避免粒子跳過解空間內(nèi)的較優(yōu)位置；當(dāng)算法最優(yōu)解的進(jìn)步速度較慢時，算法很有可能陷入局部最優(yōu)，此時較大的移動步長有助于算法跳出局部最優(yōu).

通過上述分析，該文最終確定了移動步長變異算子di的控制量為“算法迭代階段測量值S”和“算法進(jìn)步速度測量值V”.通過這兩個控制量，共同決定di的取值.

(1) 設(shè)t為當(dāng)前算法的混合迭代次數(shù)(即進(jìn)行全局信息交換次數(shù))，N1為預(yù)設(shè)算法的最大混合迭代次數(shù).該文用比值t/N1表示算法所處的迭代階段測量值S.設(shè)pmin，pmax為算法當(dāng)前所處迭代階段的閾值，且pmin∈[0,1)，pmax∈(0,1]，pmin≤pmax.當(dāng)S∈[0,pmin] 時，則認(rèn)為算法處于迭代前期，此時應(yīng)使di取較大值，即擴大解空間搜索范圍；當(dāng)S∈(pmax,1]時，則認(rèn)為算法處于迭代后期，此時應(yīng)使di取較小值，以提高算法收斂精度并保證算法收斂；S∈(pmin,pmax]時，di取適中值.

(2) 設(shè)Yg1，Yg2分別表示相鄰兩次混合迭代種群最優(yōu)解，用它們的差(Yg2-Yg1)表示算法當(dāng)前的進(jìn)步速度.設(shè)Vmin，Vmax為算法進(jìn)步速度的閾值，當(dāng)(Yg2-Yg1)∈[0,Vmin]，則認(rèn)為進(jìn)步速度較小，說明可能收斂于局部最優(yōu)解附近，此時應(yīng)使di取較大值，這樣有助于算法跳出局部最優(yōu)解；當(dāng)(Yg2-Yg1)∈(Vmax,+∞)時，則認(rèn)為進(jìn)步速度較大，此時應(yīng)使di取較小值，避免移動步長太大而漏掉解空間內(nèi)較好的解；當(dāng)(Yg2-Yg1)∈(Vmin,Vmax]，即進(jìn)步速度適中時，此時應(yīng)使di取適中值.

(3) 當(dāng)這兩個控制量的“意見”出現(xiàn)分歧時，應(yīng)綜合考慮這兩個控制量對算法的影響，進(jìn)而確定給變異算子di賦3個值(較大值dib、適中值dim和較小值dil)中的一個.

基于以上分析，并借助模糊控制思想，得到變異算子控制規(guī)則表(見表2).

表2 控制規(guī)則表

2.4 算 法

改進(jìn)算法(CASFLA)對變壓器鐵心柱截面進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計的步驟如下：

步驟1 對鐵心柱參數(shù)(直徑、級數(shù)等)、算法參數(shù)(種群規(guī)模、迭代次數(shù)、變異系數(shù)等)及青蛙種群個體位置進(jìn)行初始化；

步驟2 計算每只青蛙個體的適應(yīng)度或約束條件違反程度；

步驟3 對青蛙種群從優(yōu)到劣進(jìn)行排序；

步驟4 將該青蛙種群劃分為m個青蛙子種群；

步驟5 對每個子種群進(jìn)行指定次數(shù)的子種群內(nèi)部更新；

步驟6 計算更新后每只青蛙的適應(yīng)度或約束條件違反程度，并找出青蛙種群最優(yōu)青蛙個體；

步驟7 如果算法當(dāng)前迭代次數(shù)t<2，則執(zhí)行步驟8；否則根據(jù)表1調(diào)整步長變異算子di的取值；

步驟8 判斷是否滿足結(jié)束條件，即判斷是否達(dá)到最大混合迭代次數(shù)di或者滿足最小允許誤差Δ，如果不滿足結(jié)束條件，則執(zhí)行步驟3，否則輸出變壓器鐵心柱優(yōu)化結(jié)果并結(jié)束.

3 應(yīng)用實例

筆者將提出的求解帶約束條件的自適應(yīng)混合蛙跳算法(CASFLA)應(yīng)用到3種典型直徑的變壓器鐵心柱截面優(yōu)化中，并與現(xiàn)有的算法比較，證實CASFLA的有效性.

首先以直徑300 mm的鐵心柱為例，CASFLA分別以8級和11級對300 mm的鐵心柱截面積進(jìn)行優(yōu)化.算法參數(shù)為：青蛙個體數(shù)F=80，子種群數(shù)m=8，最大移動步長Dimax=0.3，最大混合迭代次數(shù)N1=100，子種群內(nèi)部迭代次數(shù)N2=10；各控制參數(shù)為：pmin=0.5，pmax=0.75，Vmin=0.05，Vmax=0.5，dib=2，dim=1，dil=0.8；運行平臺為Visual Studio 2010.對比結(jié)果如表3所示.

表3 不同算法300 mm鐵心柱截面積優(yōu)化結(jié)果比較

注:疊片系數(shù)為1，片寬以5結(jié)尾，直徑偏差為0.

同樣的方法對直徑125，220 mm的鐵心柱截面積進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，比較結(jié)果分別如表4，5所示.

表4 不同算法125 mm鐵心柱截面積優(yōu)化結(jié)果比較

注:疊片系數(shù)為1，片寬以5結(jié)尾，直徑偏差為0.

表5 不同算法220mm鐵心柱截面積優(yōu)化結(jié)果比較

注:疊片系數(shù)為1，片寬以5結(jié)尾，直徑偏差為0.

從表3～5可看出，采用筆者提出的改進(jìn)算法(CASFLA)對變壓器鐵心柱截面積進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計，得到的結(jié)果要優(yōu)于其他算法.在計算復(fù)雜度方面，對Windows XP系統(tǒng)、AMD雙核2.5 GHz CPU、1.94 G內(nèi)存的計算機，混合迭代100次得到最優(yōu)解所花費的時間僅為1.2 s左右，大大縮短了設(shè)計周期.另外，通過表4還可以看出，級數(shù)越大，越能得到更大的鐵心柱截面積.在實際應(yīng)用中，采用鐵心柱截面優(yōu)化設(shè)計結(jié)果，可節(jié)約生產(chǎn)材料、降低運行損耗，進(jìn)而使綜合經(jīng)濟效益進(jìn)一步提高.

4 結(jié)束語

該文以鐵心柱截面積最大為目標(biāo)函數(shù)建立了變壓器鐵心柱截面優(yōu)化設(shè)計模型，并結(jié)合混合蛙跳算法的特點，提出了一種求解約束優(yōu)化問題的自適應(yīng)混合蛙跳算法(CASFLA)，且將其用于變壓器鐵心柱截面優(yōu)化設(shè)計.3種典型直徑變壓器鐵心柱截面優(yōu)化設(shè)計結(jié)果表明，該算法具有更強的全局搜索能力，能增加鐵心柱截面積，對節(jié)省材料、降低損耗有很大幫助.

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