基于粒子優(yōu)化算法的并聯(lián)機(jī)器人誤差建模分析

張樹梅，高興軍，鄧子龍，王 月

（1.遼寧石油化工大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 撫順113001；2.沈陽隆基電磁科技股份有限公司，遼寧 撫順113122）

并聯(lián)機(jī)器人憑借其承載能力高、結(jié)構(gòu)穩(wěn)定等諸多突出優(yōu)點(diǎn)，在多個(gè)領(lǐng)域中應(yīng)用廣泛[1-2]。并聯(lián)機(jī)器人結(jié)構(gòu)復(fù)雜，對其誤差問題的分析是一項(xiàng)關(guān)鍵內(nèi)容[3-5]。國內(nèi)外學(xué)者提出了一些解決方法。O.Masory等[6]基于D-H方法研究了Stewart并聯(lián)機(jī)器人誤差模型的建立問題。T.Ropponen等[7]分析了影響機(jī)器人位姿誤差的因素，并推導(dǎo)出運(yùn)動誤差的微分方程。劉華瑩等[8]提出利用BP神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的方法研究機(jī)器人誤差修正及補(bǔ)償問題。譚興強(qiáng)等[9]基于D-H方法建立了風(fēng)洞6-PUS并聯(lián)支撐機(jī)器人的位姿誤差模型。趙延治等[10]根據(jù)虛位移原理，研究了并聯(lián)機(jī)器人的靜態(tài)誤差模型及補(bǔ)償誤差和標(biāo)定問題。并聯(lián)機(jī)器人位姿誤差的主要影響因素為機(jī)械制造誤差和裝配誤差，這些誤差不能徹底消除。減小位姿誤差的主要方法是對其進(jìn)行誤差修正及補(bǔ)償[11]。

本文根據(jù)6-PTRT并聯(lián)機(jī)器人樣機(jī)，建立誤差模型，分析各個(gè)驅(qū)動桿長誤差參數(shù)變化與位姿誤差之間的關(guān)系，并尋優(yōu)各個(gè)驅(qū)動桿桿長誤差參數(shù)，實(shí)現(xiàn)對并聯(lián)機(jī)器人軌跡的修正，為精度標(biāo)定以及軌跡規(guī)劃奠定基礎(chǔ)。

1 6-PTRT并聯(lián)機(jī)器人誤差建模

6-PTRT并聯(lián)機(jī)器人逆解問題的解決思路為：給定并聯(lián)機(jī)器人動平臺任一末端位姿（xp，yp，zp，θ，β，γ），確定其驅(qū)動桿桿長。建立動、靜平臺坐標(biāo)系，分別為o-xyz、o′-x′y′z′，設(shè)o和o′分別為動平臺和靜平臺的中心原點(diǎn)，隨機(jī)選取并聯(lián)機(jī)器人的第i個(gè)支鏈o-Pi-Bi-o′，6-PTRT并聯(lián)機(jī)器人矢量如圖1所示[12]。

圖1 6-PTRT并聯(lián)機(jī)器人坐標(biāo)系矢量

采用單支鏈閉環(huán)矢量法，6-PTRT并聯(lián)機(jī)器人的六根驅(qū)動桿由靜平臺鉸點(diǎn)位置到動平臺鉸點(diǎn)位置的矢量Li可表示為[13]：

式中，P為靜平臺坐標(biāo)系原點(diǎn)o′指向動平臺坐標(biāo)系原點(diǎn)o的矢量；ai為動平臺坐標(biāo)系原點(diǎn)o指向各個(gè)動平臺鉸點(diǎn)的矢量；bi為靜平臺坐標(biāo)系原點(diǎn)o′指向靜平臺各個(gè)鉸點(diǎn)的矢量；i表示第i個(gè)驅(qū)動桿（i＝1～6）；R為旋轉(zhuǎn)矩陣。

其中，θ、β、γ分別為繞x軸、y軸、z軸的旋轉(zhuǎn)角，（°）。驅(qū)動桿桿長li表示為：

將6-PTRT并聯(lián)機(jī)器人動平臺的末端機(jī)構(gòu)誤差表示為：

式中，d P為并聯(lián)機(jī)器人動平臺的位置誤差，d P＝(d Px,d Py,d Pz)T；dΓ為并聯(lián)機(jī)器人動平臺的姿態(tài)誤差，dΓ＝(dθ,dβ,dγ)T。

由式（2）及單位矢量的定義可得各個(gè)驅(qū)動桿的單位矢量，靜平臺鉸點(diǎn)Bi指向動平臺鉸點(diǎn)Pi的單位矢量ui為：

基于式（1）和式（4），為便于微分計(jì)算將第i個(gè)閉環(huán)矢量表示為：

設(shè)d e＝δe，d l＝δl，d a＝δa，d b＝δb，δl′＝JOδQ，δl－δl′＝δl″整理可得：

式中，δe為機(jī)構(gòu)位姿誤差；δl″為包含鉸鏈誤差和各個(gè)驅(qū)動桿長誤差的等效誤差。

根據(jù)并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動位姿誤差模型，優(yōu)化各個(gè)驅(qū)動桿的桿長誤差參數(shù)，當(dāng)運(yùn)動位姿誤差值為最小時(shí)，將新的各個(gè)驅(qū)動桿桿長誤差參數(shù)作為修正量，修正其位姿誤差，提高工作精度。

2 基于驅(qū)動桿桿長誤差參數(shù)的運(yùn)動位姿誤差分析

利用單支鏈閉環(huán)矢量方法建立6-PTRT并聯(lián)機(jī)器人的運(yùn)動位姿誤差模型，研究各驅(qū)動桿桿長誤差參數(shù)對6-PTRT并聯(lián)機(jī)器人位姿誤差的影響。利用MATLAB軟件進(jìn)行數(shù)值仿真，驅(qū)動桿桿長參數(shù)誤差與并聯(lián)機(jī)器人輸出位姿誤差的關(guān)系如圖2所示。

圖2 驅(qū)動桿桿長誤差參數(shù)與并聯(lián)機(jī)器人輸出位姿誤差的關(guān)系

從圖2可以看出，位置誤差d Px、d Py、d Pz隨驅(qū)動桿1的桿長參數(shù)變化幅度較大，而姿態(tài)誤差dθ、dβ、dγ變化幅度則較小，二者相差約10－3數(shù)量級。而且，在同一個(gè)驅(qū)動桿桿長參數(shù)下，位置誤差d Px、d Py、d Pz和姿態(tài)誤差dθ、dβ、dγ并沒有同時(shí)達(dá)到最小。根據(jù)上述結(jié)論，為更合理地減小并聯(lián)機(jī)器人的末端位姿誤差，提高并聯(lián)機(jī)器人的運(yùn)動精度，需使位置誤差和姿態(tài)誤差同時(shí)為最小值。

6-PTRT并聯(lián)機(jī)器人的位姿誤差模型具有結(jié)構(gòu)參數(shù)多、非線性強(qiáng)、強(qiáng)耦合等特點(diǎn)，可將位姿誤差修正問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)多元非線性組合的尋優(yōu)問題，本文利用一種改進(jìn)的粒子優(yōu)化算法對多元非線性組合優(yōu)化的問題進(jìn)行求解，此方法計(jì)算效率高，易收斂，不依賴初始值。

3 基于改進(jìn)粒子算法的誤差分析

由位姿誤差模型可得誤差修正目標(biāo)函數(shù)，利用粒子優(yōu)化算法計(jì)算位姿誤差最小時(shí)各個(gè)驅(qū)動桿桿長參數(shù)誤差，修正其在軌跡規(guī)劃過程中的位姿誤差，使其更大程度上接近期望軌跡，減小其運(yùn)動位姿誤差?；谏鲜龇治?，利用改進(jìn)的粒子優(yōu)化算法對6-PTRT并聯(lián)機(jī)器人在運(yùn)動過程中的末端位姿誤差進(jìn)行修正。

3.1 位姿誤差修正目標(biāo)函數(shù)

根據(jù)6-PTRT并聯(lián)機(jī)器人的運(yùn)動位姿誤差模型，建立位姿誤差修正的目標(biāo)函數(shù)為：

3.2 基于標(biāo)準(zhǔn)粒子算法的位姿誤差

標(biāo)準(zhǔn)粒子算法的基本原理為：在1個(gè)n維搜索空間內(nèi)，m個(gè)粒子組成一個(gè)群體，其中第i個(gè)粒子的位 置 表 示 為Xi＝(Xi1,Xi2,···,Xin)T，速 度 表 示 為Vi＝(Vi1,Vi2,···,Vin)T。粒子在尋優(yōu)過程中，依靠局部極值Pi＝(Pi1,Pi2,···,Pin)和全局極值Pg＝（Pg1,Pg2,···,Pgn）更新位置和速度，公式為：

式中，c1、c2為學(xué)習(xí)因子；r1、r2為分布在（0，1）之間的隨機(jī)數(shù)；t為迭代次數(shù)；w為慣性權(quán)重；Vt＋1id為更新的速度；Xt＋1id為更新的位置；Ptgd為當(dāng)前全局極值。

根據(jù)粒子優(yōu)化算法設(shè)定其初始參數(shù)。學(xué)習(xí)因子c1＝c2＝2，種群數(shù)量m＝2 000，種群個(gè)體數(shù)D＝6，最大迭代次數(shù)t＝2 000，慣性權(quán)重w＝1.1。根據(jù)式（11）－（12）變換粒子的位置和速度，達(dá)到最大迭代次數(shù)或最大誤差時(shí)停止，粒子算法步驟流程如圖3所示。PSO算法修正的運(yùn)動位姿誤差曲線如圖4所示。從圖4可以看出，隨著迭代次數(shù)的增加，適應(yīng)度變??；前2次迭代時(shí)，適應(yīng)度迅速減小，隨之速度變慢，當(dāng)?shù)?0次時(shí)，粒子的適應(yīng)度變化曲線趨于穩(wěn)定，此時(shí)位姿誤差修正目標(biāo)函數(shù)最小值為Fv＝0.031 3。綜上可知，粒子適應(yīng)度曲線沒有趨于零，因此粒子存在過早收斂現(xiàn)象。

圖3 標(biāo)準(zhǔn)粒子算法步驟流程

圖4 PSO算法修正的運(yùn)動位姿誤差曲線

采用標(biāo)準(zhǔn)粒子算法，得到6-PTRT并聯(lián)機(jī)器人優(yōu)化后的各個(gè)驅(qū)動桿桿長誤差參數(shù)，并與理論值對比，其誤差參數(shù)如表1所示。

表1 6-PTRT并聯(lián)機(jī)器人各個(gè)驅(qū)動桿優(yōu)化后的誤差參數(shù)

3.3 基于自適應(yīng)權(quán)重粒子算法的位姿誤差

慣性權(quán)重w決定粒子優(yōu)化算法的尋優(yōu)能力，增大w粒子全局搜索能力增強(qiáng)；減小w粒子局部搜索能力增強(qiáng)。為調(diào)整粒子全局及局部尋優(yōu)能力，采用自適應(yīng)慣性權(quán)重粒子算法，慣性權(quán)重w表示為：

式中，wmax為最大慣性權(quán)重；wmin為最小慣性權(quán)重；f為粒子當(dāng)前的目標(biāo)函數(shù)值；favg為當(dāng)前所有粒子的平均目標(biāo)函數(shù)值；fmin為當(dāng)前所有粒子的最小目標(biāo)函數(shù)值。

自適應(yīng)慣性權(quán)重粒子優(yōu)化算法在標(biāo)準(zhǔn)粒子算法原理的基礎(chǔ)上，將固定值的慣性權(quán)重改為非線性的動態(tài)慣性權(quán)重系數(shù)。當(dāng)目標(biāo)函數(shù)值優(yōu)于平均目標(biāo)函數(shù)值時(shí)，對應(yīng)慣性權(quán)重因子較小，保留該粒子；當(dāng)目標(biāo)函數(shù)值差于平均目標(biāo)函數(shù)值時(shí)，對應(yīng)慣性權(quán)重因子較大，使粒子向較好的搜索區(qū)域靠攏。根據(jù)粒子優(yōu)化算法設(shè)定初始學(xué)習(xí)因子c1＝c2＝2.0，種群中個(gè)體個(gè)數(shù)D＝6，種群數(shù)量m＝2 000，最大迭代次數(shù)t＝100，最大慣性權(quán)重wmax＝0.9，最小慣性權(quán)重wmin＝0.6。根據(jù)式（11）－（13）變換粒子的位置和速度，達(dá)到最大迭代次數(shù)或最大誤差時(shí)停止，自適應(yīng)權(quán)重PSO算法修正的運(yùn)動位姿誤差曲線如圖5所示。

圖5 自適應(yīng)權(quán)重PSO算法修正的運(yùn)動位姿誤差曲線

從圖5可以看出，隨著迭代次數(shù)的增加，適應(yīng)度迅速變小，最終逐漸趨于零；隨著迭代次數(shù)的增加，粒子能夠快速找到局部最優(yōu)點(diǎn)；前30次迭代，適應(yīng)度迅速減小，隨之速度減緩，當(dāng)?shù)?5次時(shí)，粒子的適應(yīng)度變化曲線趨于穩(wěn)定，粒子收斂于全局最優(yōu)值，位姿誤差與理論誤差相差10－6數(shù)量級，位姿誤差修正目標(biāo)函數(shù)最小值Fv＝5.63×10－8，修正效果比較明顯[15]。

采用自適應(yīng)權(quán)重粒子優(yōu)化算法，得自適應(yīng)權(quán)重PSO算法優(yōu)化后驅(qū)動桿的誤差參數(shù)如表2所示。

表2 自適應(yīng)權(quán)重PSO算法優(yōu)化后驅(qū)動桿的誤差參數(shù)

3.4 基于帶收縮因子自適應(yīng)權(quán)重粒子算法的位姿誤差

帶收縮因子自適應(yīng)權(quán)重粒子算法原理為：與慣性權(quán)重系數(shù)相比，收縮因子能更有效控制粒子的更新速度，還能增強(qiáng)粒子優(yōu)化算法的局部和全局搜索能力。僅利用自適應(yīng)權(quán)重的粒子算法，后期由于慣性權(quán)值過小，會失去探索新區(qū)域的能力，而加入壓縮因子的方法則會彌補(bǔ)此不足。本文采用了一種既考慮慣性權(quán)重，又考慮收縮因子的粒子群優(yōu)化算法，這種算法既可以保持粒子活性，又可以提高粒子收斂于全局極值點(diǎn)的速度。

采用帶收縮因子的自適應(yīng)權(quán)重粒子優(yōu)化算法，在自適應(yīng)權(quán)重粒子優(yōu)化算法原理的基礎(chǔ)上，引入收縮因子，可保證算法的收斂性。

式中，k為壓縮因子；?＝c1＋c2。

設(shè)定粒子優(yōu)化算法初始參數(shù)為c1＝c2＝2.05，種群中個(gè)體個(gè)數(shù)D＝6，種群數(shù)量m＝2 000，最大慣性權(quán)重wmax＝0.9，最小慣性權(quán)重wmin＝0.6，最大迭代次數(shù)t＝100。根據(jù)式（13）－（16）變換粒子的位置和速度，達(dá)到最大迭代次數(shù)或最大誤差時(shí)停止，得到并聯(lián)機(jī)器人的運(yùn)動位姿誤差與迭代次數(shù)之間的關(guān)系，帶收縮因子的PSO算法修正的運(yùn)動位姿誤差曲線如圖6所示。

從圖6可以看出，粒子的適應(yīng)度隨著迭代次數(shù)的增大而急速減小，并且逐漸趨于零；粒子隨著迭代次數(shù)增加，快速出現(xiàn)局部最優(yōu)點(diǎn)，然后繼續(xù)迭代；前20次迭代時(shí)，適應(yīng)度急速減小，之后下降速度變慢，在迭代30次時(shí)，粒子的適應(yīng)度變化曲線趨于穩(wěn)定，搜索空間中的粒子收斂于全局最優(yōu)值，6-PTRT并聯(lián)機(jī)器人末端的運(yùn)動位姿誤差為10－8數(shù)量級，位姿誤差修正目標(biāo)函數(shù)最小值Fv＝2.19×10－15，修正效果相比自適應(yīng)權(quán)重粒子優(yōu)化算法更加明顯。同理，其余末端位姿點(diǎn)的修正方法和結(jié)果與此類似。結(jié)果表明，改進(jìn)粒子優(yōu)化算法不僅具有較快的收斂速度，還具有更強(qiáng)的局部和全局搜索能力，提高粒子收斂于全局最優(yōu)解的速度。

圖6 帶收縮因子的PSO算法修正的運(yùn)動位姿誤差曲線

針對粒子群算法（PSO）存在的過早收斂問題，采用帶收縮因子的自適應(yīng)權(quán)重粒子優(yōu)化算法，得到6-PTRT并聯(lián)機(jī)器人優(yōu)化后的各個(gè)驅(qū)動桿桿長誤差參數(shù)，并求得理論值與實(shí)際值之間的誤差，帶收縮因子的PSO算法優(yōu)化后的驅(qū)動桿誤差參數(shù)計(jì)算結(jié)果同自適應(yīng)權(quán)重PSO算法相同。

對比表1－2及圖4－6可知，標(biāo)準(zhǔn)粒子優(yōu)化算法存在粒子過早收斂現(xiàn)象，最終求解值誤差偏大；自適應(yīng)粒子慣性權(quán)重能有效避免粒子過早收斂問題，但是會失去探索新區(qū)域的能力；帶收縮因子的自適應(yīng)權(quán)重粒子優(yōu)化算法不僅可以避免粒子過早收斂問題，還能有效增強(qiáng)粒子優(yōu)化算法的局部和全局搜索能力，且提高粒子收斂于全局的速度，求解值誤差減小。

根據(jù)表2中6-PTRT并聯(lián)機(jī)器人各個(gè)驅(qū)動桿優(yōu)化后的誤差參數(shù)，得到6-PTRT并聯(lián)機(jī)器人的理論與其修正后的位姿誤差如表3所示。

從表3可以看出，帶收縮因子的自適應(yīng)權(quán)重粒子優(yōu)化算法能夠更快速有效地減小并聯(lián)機(jī)器人的位姿誤差，對并聯(lián)機(jī)器人期望軌跡的修正具有重要的意義。

表3 6-PTRT并聯(lián)機(jī)器人的理論與其修正后的位姿誤差

3.5 軌跡修正及仿真分析

令6-PTRT并聯(lián)機(jī)器人的運(yùn)動軌跡為：

式中，x、y、z為機(jī)器人在其方向的位移方程；t′為仿真時(shí)間。

設(shè)置仿真時(shí)間為10 s，步長為0.1 s，利用帶收縮因子的自適應(yīng)權(quán)重粒子優(yōu)化算法修正6-PTRT并聯(lián)機(jī)器人的輸出位姿誤差，6-PTRT并聯(lián)機(jī)器人的運(yùn)動軌跡如圖7所示。

圖7 6-PTRT并聯(lián)機(jī)器人的運(yùn)動軌跡

從圖7可以看出，理想軌跡x、y、z方向的誤差分別為－0.028 8、－0.037 0、0.003 0 mm，修正后期望軌跡的x、y、z方向的誤差分別為－6.7×10－6、8.9×10－6、－6.0×10－6mm，說明采用帶收縮因子的自適應(yīng)權(quán)重的粒子群算法能夠有效地修正6-PTRT并聯(lián)機(jī)器人的軌跡，減小其軌跡規(guī)劃中的運(yùn)動誤差，顯著提升6-PTRT并聯(lián)機(jī)器人的工作精度。

4 結(jié) 論

（1）建立6-PTRT并聯(lián)機(jī)器人輸出位姿誤差模型，并基于位姿誤差模型，分析驅(qū)動桿桿長誤差參數(shù)對位姿誤差的影響。

（2）采用不同算法求解優(yōu)化后的各個(gè)驅(qū)動桿桿長誤差參數(shù)，并與理論值對比。帶收縮因子的自適應(yīng)權(quán)重粒子優(yōu)化算法避免了粒子過早收斂問題，增強(qiáng)了粒子的局部和全局搜索能力，降低了求解值的誤差。

（3）利用帶收縮因子的自適應(yīng)權(quán)重粒子算法優(yōu)化各個(gè)驅(qū)動桿桿長誤差參數(shù)，運(yùn)動位姿綜合誤差為10－8數(shù)量級，軌跡修正目標(biāo)函數(shù)最小值為Fv＝2.19×10－15，相比其他粒子算法更加高效。