基于彎曲梁流變?cè)囼?yàn)和黏彈性理論評(píng)價(jià)瀝青低溫性能研究*

銀 花，李 凱

(1. 內(nèi)蒙古大學(xué) 交通學(xué)院， 呼和浩特 010070；2. 內(nèi)蒙古大學(xué) 橋梁檢測(cè)與維修加固工程技術(shù)研究中心， 呼和浩特 010070)

0 引 言

瀝青混合料中最重要組成部分就是瀝青，其物化性能的好壞直接影響了混合料性能，當(dāng)溫度較低時(shí)，瀝青會(huì)出現(xiàn)硬度升高、勁度模量和抗變形能力迅速下降的現(xiàn)象，在寒冷地區(qū)，由于瀝青材料的感溫性較強(qiáng)而使得低溫開裂病害成為了瀝青路面的最常見(jiàn)且最主要的病害之一，這主要是由于瀝青混合料在低溫時(shí)，瀝青層內(nèi)會(huì)產(chǎn)生較大的的溫度應(yīng)力，當(dāng)該應(yīng)力超過(guò)抗拉強(qiáng)度時(shí)便會(huì)產(chǎn)生低溫開裂。美國(guó)SHRP(Strategic highway research program)通過(guò)研究發(fā)現(xiàn)，瀝青本身的特性對(duì)低溫性能的影響程度超80%，可見(jiàn)瀝青的低溫性能是影響瀝青路面低溫抗裂能力的最主要的因素[1-2]。

眾多專家學(xué)者的研究認(rèn)為瀝青彎曲梁流變(BBR)試驗(yàn)是用來(lái)評(píng)價(jià)瀝青的低溫性能最為合理的試驗(yàn)，該試驗(yàn)主要通過(guò)對(duì)瀝青的低溫蠕變勁度S(t)和蠕變勁度變化率m(t)等參數(shù)進(jìn)行測(cè)試后來(lái)表征出瀝青的低溫?cái)嗔烟卣?，該試?yàn)方法在我國(guó)也較為常用[3-7]，而美國(guó)SHRP認(rèn)為BBR試驗(yàn)是更適于評(píng)價(jià)瀝青混合料的路用性能且具有較高的準(zhǔn)確性的一種試驗(yàn)方法。目前常用于描述瀝青低溫性能的流變模型主要有：Burgers模型、CAM模型、Superpave低溫開裂模型和Hajek模型等。比如，S. Liu等利用 Burgers模型對(duì) BBR 試驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，明確了m值與勁度模量比值m/S的物理意義，并驗(yàn)證了其余流變學(xué)指標(biāo)間的相關(guān)性[8]。S.Afla等采用黏彈性流變學(xué)方法評(píng)價(jià)了改性瀝青的低溫性能[9]。譚憶秋等結(jié)合CAM模型計(jì)算了雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖中勁度模量主曲線下的面積SA，不僅同時(shí)兼顧了蠕變速率和蠕變勁度，還能在較寬溫度域和時(shí)間域下評(píng)價(jià)瀝青材料的低溫性能[10]。王琨等基于BBR試驗(yàn)，分析了瀝青的低溫性能和Burgers模型的黏彈性[11]。王嵐等結(jié)合Burgers模型來(lái)評(píng)價(jià)多聚磷酸改性瀝青的黏彈性，由模型四參數(shù)組合的低溫指標(biāo)具有高度的統(tǒng)一性[12]。雖然這些模型對(duì)于評(píng)價(jià)瀝青低溫蠕變特性具有較高的準(zhǔn)確性，但由于模型較為復(fù)雜和參數(shù)確定方法難統(tǒng)一限制了其應(yīng)用。

有關(guān)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)黏彈性模型在瀝青和瀝青混合料的描述和評(píng)價(jià)方面的研究也不斷開展。例如，C. Celauro和C. Fecarotti等利用分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)模型對(duì)純?yōu)r青及瀝青混合料的蠕變特性進(jìn)行了研究[13-14]。詹小麗等利用分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)Maxwell模型和廣義Maxwell模型分別對(duì)改性瀝青的動(dòng)態(tài)黏彈性能進(jìn)行了擬合分析，結(jié)果表明，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)Maxwell模型在全過(guò)程精確描述了改性瀝青的動(dòng)態(tài)力學(xué)性能，模型參數(shù)較少且簡(jiǎn)單，并且參數(shù)具有一定的物理意義。而廣義的Maxwell模型在曲線兩端的擬合效果較差[15]。銀花等提出用分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)三元件固體模型描述瀝青混合料的動(dòng)態(tài)力學(xué)特性，結(jié)果表明，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)三元件固體模型擬合效果較好，且模型參數(shù)少，擬合參數(shù)也具有一定的物理意義[16]。李銳鐸等提出了改進(jìn)的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)經(jīng)驗(yàn)蠕變模型并利用該模型來(lái)描述瀝青膠砂的蠕變特性[17]。宋云連等基于分?jǐn)?shù)階黏彈性模型，通過(guò)低溫彎曲梁流變?cè)囼?yàn)(BBR)分析了RH和Evotherm溫半劑對(duì)苯乙烯—丁二烯—苯乙烯嵌段共聚物(SBS)改性瀝青低溫性能的影響[18]。

總之，目前國(guó)內(nèi)外部分學(xué)者，先后利用分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)黏彈性本構(gòu)模型著重研究了瀝青及瀝青混合料的高溫流變性能等，而采用分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)黏彈性模型對(duì)于瀝青低溫流變性能方面的研究和分析卻很少。鑒于瀝青低溫流變性能對(duì)瀝青路面低溫抗裂性能起著重要影響，本文基于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)黏彈性模型，通過(guò)低溫彎曲梁流變?cè)囼?yàn)(BBR)分析了瀝青的低溫性能，為開發(fā)具有優(yōu)異低溫性能的瀝青材料提供了研究基礎(chǔ)。

1 黏彈性行為的分?jǐn)?shù)階演算

1.1 整數(shù)階導(dǎo)數(shù)黏彈性模型

在瀝青小梁彎曲流變(BBR)試驗(yàn)的測(cè)試溫度范圍內(nèi)，瀝青膠結(jié)料屬于線性黏彈性材料。一般情況下，線性黏彈性材料的力學(xué)行為可以通過(guò)串聯(lián)或并聯(lián)的彈簧和牛頓黏壺來(lái)模擬，它們的本構(gòu)關(guān)系分別滿足胡克定律和牛頓內(nèi)摩擦定律。

式(1)描述了黏彈性材料的一般數(shù)學(xué)公式，它涉及時(shí)間的整數(shù)階導(dǎo)數(shù)，并描述了應(yīng)力σ(t)和應(yīng)變?chǔ)?t)之間的本構(gòu)關(guān)系[19]。

(1)

其中，ai和bj為常數(shù)值。

1.2 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)黏彈性模型

分?jǐn)?shù)微積分的黏彈性分?jǐn)?shù)模型是在經(jīng)典流變學(xué)本構(gòu)方程中用非整數(shù)階(0<α<1)的分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)(dα/dtα)代替一階導(dǎo)數(shù)發(fā)展來(lái)的。M. Gaputo等建立了分?jǐn)?shù)階本構(gòu)方程并通過(guò)該方程對(duì)巖漿的運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了詳細(xì)描述，但這種方程由于無(wú)法保證熱力學(xué)和動(dòng)力學(xué)上的穩(wěn)定性而在物理角度上看來(lái)不具備合理性[20]。

R. C. Koller提出的彈壺(spring-pot)概念即通過(guò)彈壺代替經(jīng)典模型中的彈簧和黏壺，通過(guò)建立本構(gòu)方程使得力學(xué)和熱力學(xué)方面更具有穩(wěn)定性[21-22]。因此本文對(duì)彈壺的分?jǐn)?shù)階微分黏彈性模型也進(jìn)行了分析研究。

1.2.1 彈壺及其性質(zhì)

R. C. Koller以分?jǐn)?shù)階微分理論為基礎(chǔ)，提出了一種描述黏彈性行為的彈壺元件(圖1)[22]，其力學(xué)響應(yīng)為如式(2)

圖1 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)彈壺模型Fig 1 Fractional derivative bullet pot model

σ(t)=E1-αηαDαε(t)=EταDαε(t)

(2)

其中，τ=η/E為材料的平均松弛時(shí)間；當(dāng)α=0時(shí)，式(2)退化為 Hooke 彈簧的情形；當(dāng)α=1時(shí)，式(2)退化為Newton黏壺的情形，因此式(2)可視為一般意義上的彈壺的力學(xué)響應(yīng)。

為分析彈壺在靜態(tài)響應(yīng)下的特性，對(duì)式(2)作Laplace變換和Laplace 逆變換后得到的蠕變?nèi)崃咳缡?3)

(3)

式中：α為材料的黏彈特性參數(shù)，α越大材料的黏性越強(qiáng)。

1.2.2 黏彈性行為的分?jǐn)?shù)階演算

P. G. Nutting[23]和M. D. Paola等[24]觀察到黏彈性材料的試驗(yàn)測(cè)試顯示出一種冪函數(shù)衰減規(guī)律而不是指數(shù)。C. Celauro等[25-27]的研究結(jié)果也表明，瀝青的蠕變?cè)囼?yàn)遵循冪函數(shù)衰減規(guī)律，而不是指數(shù)型，并提出描述瀝青本構(gòu)模型的最合適的算子是一個(gè)分?jǐn)?shù)算子。根據(jù)這些實(shí)驗(yàn)證據(jù)，如果假定將蠕變?nèi)崃慷x為單位階躍函數(shù)(應(yīng)力)H(t)的應(yīng)變，并由冪函數(shù)描述。那么，應(yīng)變公式中的遺傳積分就是一個(gè)分?jǐn)?shù)階積分。下面將證明這一結(jié)論，即采用Nutting方程，如式(4)給出的蠕變?nèi)崃靠梢詷?gòu)建分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)黏彈本構(gòu)模型[25-27]。

蠕變?nèi)崃客ㄟ^(guò)Nutting公式可以寫成如式(4)

(4)

式中，A和α為材料參數(shù)，通過(guò)模型計(jì)算可求出。

對(duì)式(4)求一階導(dǎo)數(shù)得到

J′(t)=Aαtα-1

(5)

眾所周知，在動(dòng)力學(xué)中，線性靜態(tài)系統(tǒng)在t=0時(shí)刻的響應(yīng)可以寫成如下古典的Duhamel積分形式：

(6)

式中，δ(t)為單位沖擊響應(yīng)函數(shù)。

根據(jù)單位沖擊響應(yīng)函數(shù)δ(t)的定義(或與單位階躍函數(shù)H(t)的關(guān)系)可知：

δ(t)=J′(t)

(7)

將式(5)和(7)代入式(6)可得到：

(8)

考慮到對(duì)于函數(shù)f(t)的Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分定義為：

(9)

將式(9)代入式(8)，可以得到：

(10)

以 Riemann-Liouville 對(duì)分?jǐn)?shù)階微積分定義將式(10)轉(zhuǎn)換為如下公式：

σ(t)=cαDαε(t)

(11)

由式(11)、(10)、(2)可得：

(12)

又由αΓ(α)=Γ(1+α)，將其代入式(12)可得：

(13)

由式(13)可知，式(4)等價(jià)于式(3)，即如式(14)：

(14)

式(14)表明Nutting方程的蠕變?nèi)崃颗c分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)黏彈本構(gòu)模型的蠕變?nèi)崃肯嗟取?/p>

由式(2)、(11)和(14)可知，采用Nutting方程描述材料的蠕變?nèi)崃康葍r(jià)于實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)彈壺模型(圖1)[25-27]，并且分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)彈壺蠕變?nèi)崃颗cNutting 蠕變?nèi)崃恐g存在著一定的關(guān)系，即分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)黏彈性模型的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)階次α和材料的黏彈性能參數(shù)E與Nutting 蠕變?nèi)崃肯禂?shù)A相關(guān)，即A為變形因子，表征黏彈性材料的抗變形能力；分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)階次α則反映黏彈性材料的黏彈性能，即α為黏彈因子[17]。進(jìn)而從理論上證明了分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)黏彈模型參數(shù)的物理意義及應(yīng)用價(jià)值，利用試驗(yàn)實(shí)測(cè)結(jié)果經(jīng)擬合可以確定出分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)黏彈性模型的參數(shù)A和α，并且可以用于為瀝青膠結(jié)料的低溫黏彈行為建模。

2 瀝青彎曲梁流變( BBR)試驗(yàn)

2.1 試驗(yàn)材料

試驗(yàn)所選用的瀝青材料為4種瀝青，包括90#基質(zhì)瀝青(Neat)、苯乙烯-丁二烯-苯乙烯三嵌段共聚物(SBS)瀝青、極寒瀝青(Cold)和橡膠瀝青(Rubber)等，由中國(guó)石油遼河石化公司提供。根據(jù)《公路工程瀝青及瀝青混合料試驗(yàn)規(guī)程》(JTG E20-2011)[28]對(duì)各種瀝青的參數(shù)指標(biāo)進(jìn)行測(cè)試，并滿足《公路瀝青路面施工技術(shù)規(guī)范》(JTG F40-2004) )[29]對(duì)于各項(xiàng)指標(biāo)的要求。表1為基質(zhì)瀝青和改性瀝青的常規(guī)性能指標(biāo)[30]。

表1 基質(zhì)瀝青和改性瀝青的性能指標(biāo)Table 1 Performance index of unmodified and modified asphalt binders

2.2 BBR試驗(yàn)結(jié)果與分析

瀝青彎曲梁(BBR)試驗(yàn)，選用上述的4種瀝青，以TE-BBR彎曲梁流變儀進(jìn)行試驗(yàn)測(cè)試，具體儀器和樣品制備如圖2和3所示[30]。以《公路工程瀝青及瀝青混合料試驗(yàn)規(guī)程》(JTG E20-2011)和美國(guó) AASHTO M320-10 作為依據(jù)進(jìn)行瀝青BBR試件的制備及試驗(yàn)操作。對(duì)上述4種瀝青樣品進(jìn)行旋轉(zhuǎn)薄膜加熱老化及PAV長(zhǎng)期老化處理。根據(jù)規(guī)范ASTM D2872[31]和ASTM D6521[32]分別進(jìn)行 RTFOT和PAV老化試驗(yàn)，獲得短期老化和長(zhǎng)期老化之后的樣品試件。BBR試驗(yàn)選擇的溫度為-12，-18，-24和-30 ℃，平行試驗(yàn)兩組，數(shù)據(jù)差異較大時(shí)補(bǔ)充實(shí)驗(yàn)，最終瀝青蠕變勁度模量S和蠕變速率m值取試驗(yàn)平均值[30]。

圖2 彎曲梁流變儀及其內(nèi)部環(huán)境Fig 2 Curved beam rheometer and its internal environment

log[S(t)]=A+B[log(t)]+C[log(t)]2

(15)

式中，A，B和C為回歸系數(shù)，S(t)為瀝青膠結(jié)料的蠕變勁度模量，MPa；t為時(shí)間，s。

根據(jù)ASTM D6648研究表明[12]，在雙對(duì)數(shù)坐標(biāo)下，曲線log[S(t)]-[log(t)]的變化趨勢(shì)可以通過(guò)二次拋物線方程(式(15))進(jìn)行回歸。

基于上述定義的蠕變速率，即m值可由式(16)計(jì)算[12]：

圖3 彎曲梁流變?cè)囼?yàn)樣品Fig 3 Curved beam rheological test sample

(16)

BBR試驗(yàn)評(píng)價(jià)兩個(gè)參數(shù)：(1)蠕變勁度模量S,即瀝青抵抗荷載的能力；(2)蠕變速率m值，即荷載作用時(shí)瀝青勁度隨時(shí)間的變化率。這兩個(gè)指標(biāo)是建立在流變力學(xué)基礎(chǔ)上的，能充分反映溫度、時(shí)間對(duì)瀝青低溫流變性質(zhì)的影響[12,18]。

圖4和5為4種瀝青BBR試驗(yàn) 60 s時(shí)的蠕變勁度模量log[S(t)]和蠕變速率m(t)值隨溫度T的變化情況，即等時(shí)曲線。

圖4 4種瀝青60 s時(shí)勁度模量log[S(t)]與溫度T的變化Fig 4 log[S(t)] at 60 s versus test temperatures for unmodified and modified asphalt binders

根據(jù) Superpave 性能等級(jí)規(guī)范，用PAV 老化后瀝青試樣的勁度模量S和蠕變速率m值可以確定瀝青的低溫性能，同時(shí)滿足S≤300，m≥0.3 的要求。

由圖4、5和表2可知，4種瀝青的蠕變勁度模量S隨溫度下降而不斷增加，而蠕變速率m值隨溫度降低而減小，相關(guān)學(xué)者認(rèn)為S和m與溫度呈現(xiàn)線性關(guān)系，據(jù)此建立了線性關(guān)系表達(dá)式，但通過(guò)試驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證，實(shí)際上S和m值與溫度之間不能粗略地認(rèn)為是線性關(guān)系，尤其在90 #基質(zhì)瀝青和SBS改性瀝青進(jìn)行BBR試驗(yàn)時(shí)，當(dāng)溫度低于-18 ℃時(shí)，其S和m值往往會(huì)發(fā)生突變，這是由于瀝青會(huì)發(fā)生玻璃化轉(zhuǎn)變，而不是始終線性變化。

3 BBR試驗(yàn)的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)黏彈性模型分析

3.1 BBR試驗(yàn)的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)模型參數(shù)

正如前面所證明，采用冪函數(shù)描述材料的蠕變?nèi)崃康葍r(jià)于采用分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)彈壺模型(圖1)描述瀝青膠結(jié)料的黏彈行為。又根據(jù)蠕變勁度模量和蠕變?nèi)崃康年P(guān)系，很明顯：

(17)

采用式(17)對(duì)4種瀝青4個(gè)溫度下的BBR試驗(yàn)實(shí)測(cè)得到的蠕變勁度模量進(jìn)行擬合，將得到的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)黏彈性模型的參數(shù)A和α的結(jié)果列于表2，隨溫度的變化如圖6和7所示。

表2 不同溫度下基質(zhì)和改性瀝青的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)黏彈性模型參數(shù)值Table 2 Element values of fractional viscoelastic model for various unmodified andmodified asphalts at different temperatures

由圖6可知，對(duì)同一溫度，橡膠瀝青和極寒瀝青的利用分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)黏彈性模型擬合得到的參數(shù)A值較SBS改性和基質(zhì)瀝青的A值大；A值隨著溫度的降低而逐漸減小，在溫度為-12～-18 ℃范圍內(nèi)下降趨勢(shì)較快，在-24～-30 ℃范圍內(nèi)下降趨勢(shì)減慢；隨著溫度的降低，4種瀝青間的差值也逐漸減小，當(dāng)溫度降低到-30 ℃后，A值很小趨于零，說(shuō)明瀝青的低溫抗變形能力隨著溫度的下降而下降。因此，同試驗(yàn)溫度條件下，可以將A作為瀝青的低溫性能評(píng)價(jià)指標(biāo)，稱A為變形因子，A值越大，低溫下柔性越大，瀝青的低溫抗裂性越好。

圖5 4種瀝青60 s時(shí)蠕變速率m(t)與溫度T的變化Fig 5 m(t)at 60 s versus test temperatures for unmodified and modified asphalt binders

圖6 4種瀝青的參數(shù)A隨溫度的變化Fig 6 Variation of parameter A of four asphalts with temperature

由圖7可知，相同溫度下，基質(zhì)瀝青的α值最小，材料的黏彈性成分越??；隨著試驗(yàn)溫度的降低，其α值逐漸減小，說(shuō)明瀝青的黏性性能隨著溫度的下降而逐漸減小，越來(lái)越接近彈性體。因此，相同試驗(yàn)溫度條件下，可以稱α為黏彈因子(松弛因子)，α值越大，表明瀝青低溫松弛能力越強(qiáng)。

圖7 4種瀝青的參數(shù)α隨溫度的變化Fig 7 Variation of parameter α of four asphalts with temperature

3.2 基于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)模型確定BBR試驗(yàn)蠕變速率m值

根據(jù)ASTM D6648[31]的計(jì)算方法，考慮蠕變速率m值的確定過(guò)程，則可以確定出蠕變速率m值只與分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)黏彈模型的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)階次α有關(guān)。對(duì)式(17)兩邊取對(duì)數(shù)，則有：

log[S(t)]=-logA-αlog(t)

(18)

利用蠕變速率m值的定義，可以確定：

(19)

將不同溫度下BBR試驗(yàn)實(shí)測(cè)得到的蠕變速率m值和采用分?jǐn)?shù)階黏彈性模型擬合得到的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)階次α值(即計(jì)算m值)進(jìn)行對(duì)比，對(duì)比結(jié)果如圖 8所示。

由圖8可知，一方面，4種瀝青不同溫度下的實(shí)測(cè)蠕變速率m值和分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)黏彈性模型參數(shù)，即分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)階次α值(計(jì)算m值)，經(jīng)計(jì)算相差都小于1%，兩者相關(guān)性非常好，因此表明采用分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)彈壺模型可以較好地預(yù)估瀝青膠結(jié)料的低溫蠕變速率m和線性黏彈性行為；另一方面，蠕變速率m值可以表征瀝青低溫勁度的時(shí)間敏感性及應(yīng)力松弛能力，m值越大，瀝青的應(yīng)力松弛性能越好，其低溫抗裂性能越好。由圖5發(fā)現(xiàn)，溫度越低，蠕變速率m值越小，瀝青低溫性能越差。根據(jù)SHRP PG分級(jí)標(biāo)準(zhǔn)可知，m≥0.3作為一項(xiàng)重要的參考指標(biāo)評(píng)價(jià)結(jié)果，當(dāng)溫度為-24 ℃時(shí)，極寒瀝青的m值≥0.3，其瀝青低溫松弛能力較好；當(dāng)溫度降低到-30 ℃時(shí)，反而橡膠瀝青的低溫松弛能力最好。

圖8 不同溫度下基質(zhì)和改性瀝青的蠕變速率m實(shí)測(cè)值和α值(計(jì)算m值)對(duì)比Fig 8 Creep rate m measured and the α value (calculated m value) of the unmodified and modified asphalt at different temperatures

3.3 基于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)模型建立BBR試驗(yàn)參數(shù)之間的物理方程

基于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)黏彈模型，本文推導(dǎo)建立BBR試驗(yàn)參數(shù)蠕變勁度模量S和蠕變速率m之間的關(guān)系。

由式(15)，可以導(dǎo)出：

S(t)=10{A+B[log(t)]+C[log(t)]2}

(20)

通過(guò)定義：

(21)

并把式(20)代入式(21)，可得：

M1(t)=10{A+B[log(t)]+C[log(t)]2}×

(22)

由log[S(t)]的曲線和測(cè)試溫度的特征，可知

B+2Clog(t)<0

(23)

因此，由式(16)推導(dǎo)出：

B+2Clog(t)=-m(t)

(24)

最后，把式(20)和(24)代入式(22)，可得：

(25)

另一方面，根據(jù)式(17)可知，蠕變勁度模量S(t)是蠕變?nèi)崃縅(t)的倒數(shù)，并且定義M2(t)與M1(t)相同[12]，即

(26)

把式(17)和(19)代入式(25)，并由式(26)可得：

(27)

由式(5)和(17)，把式(27)可以改寫為式(28)：

M2(t)=-[S(t)]2×J′(t)

(28)

顯然，M1(t)和M2(t)表示相同的物理概念。因此，由式(25)-(28)可以推導(dǎo)出式(29)[12]：

(29)

把式(29)可以寫成以下形式[12]：

(30)

其中，J′(t)為蠕變?nèi)崃克俾?，且有?/p>

J′(t)=Aαtα-1

(31)

根據(jù)式(30)可知，在某一特定時(shí)間，通過(guò)增加蠕變速率m(t)的值和減少蠕變勁度模量S(t)的值，同樣都可以得到更大的蠕變?nèi)崃克俾蔎′(t)，這也是在較低的服務(wù)溫度條件下瀝青BBR試驗(yàn)所期望的趨勢(shì)。因此，蠕變?nèi)崃克俾蔎′(t)可以作為評(píng)價(jià)瀝青膠結(jié)料的低溫性能指標(biāo)，并且蠕變?nèi)崃克俾蔎′(t)越大，意味著瀝青具有較好的低溫抗裂性能。

圖9為瀝青蠕變?nèi)崃克俾蔎′(t=60 s)與試驗(yàn)溫度變化圖。由圖9可知，隨著溫度的升高，蠕變?nèi)崃克俾蔎′(t)會(huì)增大。又考慮到表2中列出的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)黏彈性模型參數(shù)A、α和分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)黏彈性流變行為的概念，顯然在更高的溫度下，瀝青具有更大的功率，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)階次α值越大，表明瀝青的黏性成分越大，低溫下具有較大的柔性，抗開裂性能更好。

圖9 基質(zhì)和改性瀝青60 s時(shí)的蠕變?nèi)崃克俾蔎′(t)與溫度的變化Fig 9 Derivation of creep compliance for unmodified and modified asphalt binders at 60 s

4 結(jié) 論

(1)基于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)理論，證明了黏彈性材料的黏彈性行為分?jǐn)?shù)階演算，即采用Nutting方程描述材料的蠕變?nèi)崃康葍r(jià)于實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)彈壺模型，并進(jìn)一步推導(dǎo)建立了分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)彈壺蠕變模型與Nutting蠕變方程之間的關(guān)系，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)黏彈性模型的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)階次α和材料的黏彈性能參數(shù)E與Nutting蠕變?nèi)崃肯禂?shù)A相關(guān)，變形因子A可表征黏彈性材料的抗變形能力；分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)階次α為黏彈因子，反映黏彈性材料的黏彈性能，從而明確了分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)黏彈模型參數(shù)的物理意義及應(yīng)用價(jià)值。

(2)BBR試驗(yàn)4種瀝青60 s 的蠕變勁度模量log[S(t)]和蠕變速率m值隨溫度的變化并不具有顯著的線性關(guān)系，并且改性瀝青的蠕變速率m值均大于基質(zhì)瀝青，而蠕變勁度模量log[S(t)]明顯小于基質(zhì)瀝青，應(yīng)力松弛能力強(qiáng)，其低溫性能較基質(zhì)瀝青好，尤其橡膠瀝青的低溫抗裂性能最好。

(3)通過(guò)理論推導(dǎo)和試驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合，與實(shí)測(cè)瀝青彎曲梁流變?cè)囼?yàn)(BBR)數(shù)據(jù)對(duì)比發(fā)現(xiàn)，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)黏彈性模型能夠更加精確地描述瀝青彎曲梁流變(BBR)試驗(yàn)中的瀝青低溫性能，模型參數(shù)都具有物理意義，模型參數(shù)A表示瀝青低溫變形因子，參數(shù)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)階次α表示瀝青低溫松弛因子，并且α可以較好地預(yù)估瀝青的低溫蠕變速率m值。

(4)基于分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)黏彈性模型，推導(dǎo)構(gòu)建了瀝青低溫蠕變勁度模量S和蠕變速率m之間的物理方程，進(jìn)而提出蠕變?nèi)崃康乃俾蔎′(t)可以作為評(píng)價(jià)瀝青膠結(jié)料的低溫性能指標(biāo)，并且蠕變?nèi)崃克俾蔎′(t)越大，意味著瀝青膠結(jié)料具有較好的低溫抗裂性能。本文只針對(duì)4種瀝青的BBR試驗(yàn)進(jìn)行了分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)黏彈性模型分析，結(jié)論是否具有普遍性還需其他學(xué)者采用其他瀝青進(jìn)行驗(yàn)證。