一類二次奇攝動問題的角層近似解的構造

鐘家偉，凌婷婷，劉樹德

(安徽信息工程學院，安徽 蕪湖 241000)

1 引 言

在工程技術和科學問題的應用領域中，會出現(xiàn)各種邊界層和內層現(xiàn)象。由于問題的非線性、非均勻性和邊界條件的一般性，人們通常只能求其近似解，而各種攝動方法則是求近似解的有力手段。通過對邊界層或內層的構造，有助于弄清解的解析結構，更重要的是能夠提供有效的近似解。

有許多方法可用于處理出現(xiàn)邊界層和內層現(xiàn)象的奇攝動問題，其中角層問題通常運用微分不等式理論和方法。[1-3]通過構造適當?shù)牟坏仁?，對所論問題的解作出先驗估計。但該方法僅給出精確解與退化解之間的一個估計，未能構造出具有角層性質的校正項。

為此，本文考慮改用匹配漸近展開法。[4-9]先確定角層的位置，求出兩個不同尺度的內、外展開式，其中每一個展開式在一部分區(qū)域上有效，并使相鄰展開式的有效區(qū)域相互重疊，然后按匹配原則進行匹配，形成在整個區(qū)間上一致有效的復合展開式，從而得到該問題具有角層性質的近似解。

2 主要結果

考慮如下形式的二次邊值問題

εy″=f(x)(1-y′2)，0

(1)

y(0)=A，y(1)=B

(2)

其中:ε>0為小參數(shù);f(x)為區(qū)間[0，1]上的光滑函數(shù)且f(x)>0;A，B為給定常數(shù)滿足|A-B|<1。

先確定問題(1)，(2)內層的位置。設外展開式為如下冪級數(shù)形式

y(x)～y0(x)+εy1(x)+…

(3)

將(3)代入(1)，由ε0系數(shù)相等得退化方程

(4)

的情形。容易求出

分別是方程(4)滿足邊界條件y(0)=A和y(1)=B的解。外部解的零次近似可取為

由于

因此問題(1)，(2)的解在x=x0處出現(xiàn)角層現(xiàn)象，即當ε→0時，在x=x0附近急劇的變化不是發(fā)生在解的本身，而是在它的導數(shù)上。具有這種性質的解也稱為角層解。

∞∞.

(5)

設角層解的內展開式為

(6)

將(6)代入(5)，有

ε1-2λ(Y0″+εγY1″+…)=[f(x0)+…][1-ε-2λ(Y0′+εγY1′+…)2]

(7)

從(7)式看出，若Y0′≠0，則不能確定特異極限λ。當即為常值函數(shù)時，按平衡條件得

1+γ-2λ=2γ-2λ

由此可確定γ=1，且特異極限對應于λ=1。

根據(jù)匹配原則，若使一項外展開式與一項內展開式進行匹配，應有

Y0(-∞)=Y0(+∞)=y0(x0)

(8)

∞∞

在(7)式中取γ=λ=1，則O(1)項所滿足的方程為

∞∞

(9)

記f(x0)=σ(σ>0)，將(9)改寫為

(10)

再應用匹配原則，若使一項外展開式y(tǒng)0(x)與兩項內展開式進行匹配，應同時滿足(8)和

Y1(-∞)=Y1(+∞)=0

(11)

于是

∞

類似討論得到

∞

現(xiàn)在將一項外展開式y(tǒng)0(x)與兩項內展開式相加并減去它們的公共部分y0(x0)，形成復合展開式

當0≤x≤x0時，

當x0≤x≤1時，

因此區(qū)間[0，1]上，復合展開式寫為

即問題(1)，(2)的解在x=x0處出現(xiàn)了角層。

例考慮邊值問題[6]

εy″=x2(1-y′2)，0

(12)

y(0)=1，y(1)=1

(13)

這是問題(1)、(2)的類型，其中函數(shù)f(x)=x2，常數(shù)A=B=1滿足|A-B|<1。由此算出因此，問題(12)，(13)在處出現(xiàn)了角層，且角層解可表示為

這與文獻[6]通過直接構造所得的結果是一致的。

3 結束語

本文考慮的二次奇攝動問題常常出現(xiàn)在應用領域中，但有關它的研究論文卻相對較少。由于微分方程中含有y′的平方項，給構造邊界層或內層的校正項帶來一定的困難。例如，在一般情況下，按照匹配原則使一項外展開式與一項內展開式進行匹配，便可得到滿足邊界層或內層性質的校正項，但在本例中，需要用一項外展開式y(tǒng)0(x)與兩項內展開式進行匹配才滿足匹配條件的要求。

另一方面，在匹配方法上，當外展開式與內展開式的項數(shù)不相同時，通常用Van Dyke匹配原則[5]或中間變量匹配原則[6]，匹配過程比較復雜；而本文仍采用相對簡單的Prandtl匹配原則[7]，這是匹配技術上的一點創(chuàng)新。