基于突變理論的巖溶隧道拱頂安全厚度分析與失穩(wěn)預(yù)測(cè)

鄒洋，彭立敏，張智勇，雷明鋒，彭龍，施成華

(1.中南大學(xué) 土木工程學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙 410075；2.中交三航局第三工程有限公司，江蘇 南京 210011)

我國(guó)幅員遼闊，地理地質(zhì)條件十分復(fù)雜，是世界巖溶分布最廣的國(guó)家，特別是貴州、廣西及云南等西南部地區(qū)。隨著國(guó)家“西部大開(kāi)發(fā)”的全面推進(jìn)，各類諸如高速公路、鐵路等基礎(chǔ)設(shè)施不斷向西部延伸，必將跨越廣大巖溶地區(qū)[1]。已有實(shí)踐表明，巖溶隧道施工受溶洞、溶腔內(nèi)充滿填充物以及突水突泥等影響顯著。其中，隧道與溶洞間巖層的失穩(wěn)、垮塌是巖溶區(qū)隧道常見(jiàn)的工程問(wèn)題之一，嚴(yán)重地影響隧道施工和運(yùn)營(yíng)安全。因此，研究巖溶區(qū)隧道與溶洞間的安全厚度，確保兩者間巖層的穩(wěn)定性對(duì)保證巖溶區(qū)隧道施工及運(yùn)營(yíng)期的安全具有重要的現(xiàn)實(shí)意義[2?3]。針對(duì)巖溶隧道巖墻安全厚度及失穩(wěn)問(wèn)題，大量學(xué)者通過(guò)經(jīng)驗(yàn)類比、數(shù)值模擬和理論計(jì)算等方法開(kāi)展了研究。在經(jīng)驗(yàn)類比方面，林杭等[4]利用強(qiáng)度折減法，建立了巖體厚度折減法理論；劉超群等[5]基于工程經(jīng)驗(yàn)，對(duì)不同因素進(jìn)行回歸統(tǒng)計(jì)，確立了巖墻安全厚度的經(jīng)驗(yàn)公式。在數(shù)值模擬方面，曹茜[6]以宜萬(wàn)鐵路為工程依托，采用FLAC3D對(duì)巖溶隧道洞壁安全距離開(kāi)展模擬，建立了數(shù)學(xué)預(yù)測(cè)模型。劉曉蕾[7]利用Midas軟件分析了溶洞的大小與分布對(duì)隧道圍巖穩(wěn)定性的影響。在理論研究方面，周科平等[8]利用非線性原理中的BP人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法，建立了安全厚度預(yù)測(cè)模型；王勇等[9]采用回歸方式建立隧道與溶洞的安全厚度模型；賴永標(biāo)[10]采用支持向量機(jī)技術(shù)建立了溶洞塌陷的預(yù)測(cè)模型；宋戰(zhàn)平等[11]根據(jù)巖體抗拉、抗剪強(qiáng)度準(zhǔn)則，應(yīng)用彈性梁、板理論建立了隧道底板安全厚度的計(jì)算方法。楊子漢等[12]基于極限分析上限原理，提出了2種不同準(zhǔn)則下巖土厚度的計(jì)算方法。郭佳奇等[13]基于塑性區(qū)貫通理論，得到了巖柱穩(wěn)定性的判斷標(biāo)準(zhǔn)，建立了中間巖柱安全厚度的力學(xué)預(yù)測(cè)模型?？傮w而言，經(jīng)驗(yàn)類比法取值較為保守，而且由于地下工程的地質(zhì)條件大多不同，難以精確類比；數(shù)值模擬能考慮諸多因素的影響，但計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性需要實(shí)踐驗(yàn)證，無(wú)法單獨(dú)作為判斷依據(jù)；而前述理論計(jì)算方法可以提供較好依據(jù)，但選取的參數(shù)繁多復(fù)雜，且很多參數(shù)難以測(cè)量，在實(shí)際工程中應(yīng)用有限。近年來(lái)，突變理論在解決巖土工程的穩(wěn)定性問(wèn)題中運(yùn)用廣泛。該理論通過(guò)總勢(shì)能原理，求得臨界破壞條件，從而判定結(jié)構(gòu)是否穩(wěn)定。QIN等[14]采用尖點(diǎn)突變理論研究了邊坡的滑移失穩(wěn)現(xiàn)象，建立了其失穩(wěn)判據(jù)；JIANG等[15]基于尖點(diǎn)突變模型，研究了巖溶地區(qū)路基溶洞頂板安全厚度計(jì)算方法，推導(dǎo)了路基洞室的失穩(wěn)必要條件；姜德義等[16]采用固支大變形圓板突變模型研究了單井溶腔頂板的穩(wěn)定性，確立了溶腔頂板失穩(wěn)的臨界條件；付成華等[17]應(yīng)用突變理論，建立了5種地下工程洞室圍巖失穩(wěn)判據(jù)；師海等[2]基于彈性梁與彈性圓板模型，確立了溶洞與掌子面不同空間狀態(tài)下的安全距離計(jì)算公式；YANG等[3]通過(guò)改進(jìn)的橢圓板模型和固支梁模型，充分考慮地下水的影響，推導(dǎo)了隧道底板臨界安全厚度的表達(dá)式；進(jìn)一步通過(guò)極限分析方法和突變理論研究了圍巖中隧道底板的坍塌形態(tài)與失穩(wěn)條件[18]。綜合上述分析可見(jiàn)，目前基于突變理論的巖溶隧道安全厚度的研究，主要集中在簡(jiǎn)化的彈性梁、板模型上，大多將自身重力簡(jiǎn)化成均布面力，事實(shí)上，重力是一個(gè)與巖梁厚度有關(guān)的體力，而將其按體力考慮的隧道拱頂失穩(wěn)預(yù)測(cè)模型尚未見(jiàn)到報(bào)道。為此，本文在上述成果的基礎(chǔ)上，采用突變理論分析方法，綜合考慮重力、坡度等因素，針對(duì)巖溶隧道頂板的安全厚度及拱頂失穩(wěn)的預(yù)測(cè)方法開(kāi)展進(jìn)一步研究。

1 基于突變理論的分析模型

巖溶隧道與溶洞間巖層在外力作用下發(fā)生失穩(wěn)坍塌，可以認(rèn)為是一種彈性能量的聚集——瞬間釋放的過(guò)程[2]，其臨界狀態(tài)必定對(duì)應(yīng)著隧道拱頂位移的臨界值。當(dāng)拱頂變形超過(guò)此臨界位移時(shí)，巖體將會(huì)失穩(wěn)而直至坍塌，此時(shí)隧道與溶洞間巖層的厚度即為巖溶隧道頂板的臨界安全厚度。因此，可以通過(guò)用現(xiàn)代非線性的突變理論來(lái)分析拱頂溶洞與隧道間安全距離，進(jìn)而預(yù)測(cè)其失穩(wěn)狀態(tài)。

1.1 突變理論

突變理論是非線性科學(xué)的一個(gè)分支，突變理論是法國(guó)數(shù)學(xué)家RENE Thom(1972)提出的，旨在研究自然界中跳躍性變化現(xiàn)象的一種數(shù)學(xué)方法。該方法的基本思想是通過(guò)系統(tǒng)中建立各種形式的微分方程，在相應(yīng)變量影響下，預(yù)測(cè)系統(tǒng)的狀態(tài)。目前尖點(diǎn)突變模型是巖溶地區(qū)工程問(wèn)題分析中應(yīng)用最廣泛的一種[19]。

尖點(diǎn)突變模型是由ZEEMAN提出來(lái)的，其勢(shì)函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式為[10]：

式中：x為狀態(tài)變量；u和v是控制變量。

根據(jù)勢(shì)能函數(shù)，可求得S集在控制平面上的投影為分叉集B(如圖1)，故而分叉集B滿足：

圖1 尖點(diǎn)突變模型示意圖Fig.1 Cusp catastrophe model sketch map

由式(2)可知，只有u≤0才有跨越分叉集的可能，故系統(tǒng)發(fā)生突跳的必要條件為：

當(dāng)控制變量u和v同時(shí)滿足方程式(2)和式(3)時(shí)，系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)。

1.2 巖溶隧道頂板力學(xué)模型

當(dāng)采用尖點(diǎn)突變理論建立勢(shì)函數(shù)及其分支集方程，需要構(gòu)建合適的力學(xué)模型。文獻(xiàn)[3]和[15]將隧道與溶洞間巖層看作橢圓板或固支梁進(jìn)行分析，但其均將巖板的重力簡(jiǎn)化為一個(gè)均布面荷載，且未考慮隧道坡度的影響，故需要作出一定的修改，建立如圖2所示的巖溶隧道頂板力學(xué)模型。根據(jù)工程經(jīng)驗(yàn)及前人研究成果，該模型簡(jiǎn)化和假定如下：

圖2 巖溶隧道的結(jié)構(gòu)示意圖Fig.2 Structure of tunnel proof in karst region

1)隧道頂板巖體體系結(jié)構(gòu)保持完整，無(wú)裂隙或缺陷，隧道與溶洞呈平行狀態(tài)。

2)隧道頂板力學(xué)模型視為兩端固支的均質(zhì)梁，將巖梁兩端的地質(zhì)構(gòu)造應(yīng)力簡(jiǎn)化為軸向力。

3)溶洞水對(duì)隧道頂板巖層的作用僅體現(xiàn)為水壓力，忽略其對(duì)圍巖參數(shù)弱化作用。

簡(jiǎn)化的力學(xué)模型如圖3所示，洞頂跨度為L(zhǎng)，水平寬度為單位長(zhǎng)度，厚度為H，巖石彈性模量為E，自重為q，溶腔壓力簡(jiǎn)化為均布荷載p，以及巖梁兩端軸向力N，隧道施工坡度為α。

圖3 隧道頂板力學(xué)模型Fig.3 Mechanical model of clamped beam

2 巖溶隧道頂板安全厚度計(jì)算

巖石彎曲變形的過(guò)程是外力能量積累的過(guò)程，當(dāng)彈性能增加到一個(gè)臨界值時(shí)，隧道發(fā)生失穩(wěn)破壞。因此，首先應(yīng)求出該力學(xué)模型系統(tǒng)的總勢(shì)能，構(gòu)建勢(shì)函數(shù)表達(dá)式，并將其變換為尖點(diǎn)突變模型的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)表達(dá)式，進(jìn)而求得隧道頂板安全厚度。

2.1 構(gòu)建勢(shì)能函數(shù)

針對(duì)圖3所示的簡(jiǎn)化力學(xué)模型，由彈性穩(wěn)定理論可知，系統(tǒng)的總勢(shì)能V(x)為梁的應(yīng)變能改變量，即彎曲應(yīng)變能、勢(shì)能和外力做功改變量的負(fù)值之和[3]：

式中：V1，V2分別為彎曲應(yīng)變能、系統(tǒng)增加的勢(shì)能；V3，V4分別為重力與水壓力、軸向構(gòu)造力做的功。

由基本的力學(xué)分析可知，巖梁的撓曲線方程為：

式中：w為巖梁中點(diǎn)撓度；x為到巖梁端部的距離。進(jìn)而，由彈性力學(xué)可知巖梁的彎曲應(yīng)變能為：

式中：M(x)為巖梁在x處的彎矩；dφ為梁撓曲線切線變化的角度，其表達(dá)式為：

式中：E為巖梁的彈性模量；I為巖梁的慣性矩；y′，y″分別是u(x)的1階和2階導(dǎo)數(shù)。

因此，將ds進(jìn)行泰勒展開(kāi)，忽略高階量無(wú)窮小量，并將式(7)代入式(6)，有：

同理可分別得到系統(tǒng)勢(shì)能的增加量、重力及溶腔水壓力、軸向構(gòu)造力做的功分別為[5]：

則將式(8)和式(9)代入式(4)中并計(jì)算可得勢(shì)函數(shù)的表達(dá)式為：

2.2 臨界安全厚度

基于尖點(diǎn)變理論，令勢(shì)函數(shù)表達(dá)式(10)中：

于是，可得出巖隧道頂板模型勢(shì)函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式和叉分集方程為：

由前述突變理論可知，當(dāng)控制變量u和v滿足分叉集方程式(12)時(shí)，巖溶隧道系統(tǒng)發(fā)生臨界突變失穩(wěn)，即：

在實(shí)際工程應(yīng)用中，當(dāng)隧道為非超埋隧道時(shí)，N取值不大，因此，可認(rèn)為構(gòu)造力N對(duì)勢(shì)函數(shù)的影響不大，于是可對(duì)模型再一步進(jìn)行簡(jiǎn)化，可得巖溶隧道系統(tǒng)發(fā)生突變失穩(wěn)的臨界條件為：

式中：頂板巖梁的慣性矩I=H3/12。

當(dāng)忽略構(gòu)造力N時(shí)，進(jìn)一步計(jì)算發(fā)現(xiàn)式(13)和式(14)的結(jié)果相差不大[3]，因此，可將巖溶隧道頂板臨界安全厚度進(jìn)一步簡(jiǎn)化為：

于是，得到臨界安全厚度為：

3 參數(shù)影響分析

根據(jù)上述推導(dǎo)過(guò)程可知，基于尖點(diǎn)突變理論的巖溶隧道頂板安全厚度受到頂板跨度、巖石彈性模量、自重、溶腔壓力以及隧道施工的坡度等多個(gè)參數(shù)的影響，典型取值范圍下，各因素對(duì)應(yīng)的影響規(guī)律計(jì)算結(jié)果如圖4。從中分析可知：

1)溶洞跨度在2～12 m，臨界安全厚度都與溶洞跨度有著明顯的正相關(guān)關(guān)系，如圖4(a)。

2)溶腔壓力從0.2 MPa增加到1.2 MPa時(shí)，對(duì)應(yīng)的頂板安全厚度也逐步增大，尤其溶洞跨度較大時(shí)，臨界安全厚度增大顯著，如圖4(b)。

圖4 相關(guān)因素對(duì)安全厚度的影響規(guī)律Fig.4 Relationship of safety thickness and factors

3)當(dāng)圍巖彈模0.2～1.2 GPa時(shí)，頂板臨界安全厚度均隨著溶腔壓力的增加而減少，而在實(shí)際中彈模為1 GPa左右的區(qū)間，臨界安全厚度受彈模的影響較大，說(shuō)明實(shí)際工程中，圍巖力學(xué)參數(shù)性質(zhì)的下降，對(duì)隧道拱頂?shù)姆€(wěn)定性影響很大，如圖4(c)。

4)圍巖重度取值為15～40 kN/m3時(shí)，當(dāng)溶洞跨距較小時(shí)，對(duì)頂板安全厚度基本無(wú)影響，但較大時(shí)，頂板安全厚度與圍巖重度顯現(xiàn)出正相關(guān)關(guān)系，不過(guò)總體圍巖重度對(duì)安全厚度的影響不大，如圖4(d)。

5)隧道坡度取值為0~25°時(shí)，隧道坡度對(duì)頂板安全厚度基本沒(méi)有太大的影響。其原因在于隧道坡度僅能通過(guò)改變重力與巖梁間的方向?qū)Π踩穸犬a(chǎn)生影響，如圖4(e)。

綜上所述，溶洞的跨度對(duì)巖溶隧道頂板安全厚度影響最大，其次圍巖彈模，再者是溶腔水壓力。說(shuō)明在實(shí)際巖溶隧道中，大溶洞，圍巖性質(zhì)較差，溶洞水壓力大的時(shí)候，隧道頂板容易發(fā)生失穩(wěn)。

4 實(shí)例分析

為更進(jìn)一步驗(yàn)證計(jì)算結(jié)果的正確性，確保隧道建設(shè)的安全，以滬昆客運(yùn)專線斗磨隧道[2]和宜萬(wàn)線魯竹壩隧道巖溶段[6]為例進(jìn)行應(yīng)用分析。

1)斗磨隧道

斗磨隧道施工過(guò)程中，在里程DK842+736～+765處發(fā)育有一較大的溶腔，富水，其間夾泥較重，經(jīng)測(cè)定水壓約為0.37～0.42 MPa，圍巖容重為25 kN/m3，彈性模量為1 GPa，隧道溶洞之間的巖梁長(zhǎng)度為13 m，隧道坡度為0，經(jīng)過(guò)實(shí)際測(cè)量，隧道與隱伏溶洞間的距離為5～6 m。在實(shí)際工程開(kāi)挖過(guò)程中，隧道巖梁拱頂沉降較大，存在失穩(wěn)跡象，故而對(duì)富水溶腔采用帷幕注漿進(jìn)行加固處理

2)魯竹壩隧道

據(jù)該隧道物探資料可知，在隧道里程DK205+170處巖溶發(fā)育，施工中可能發(fā)生災(zāi)害性的突泥、塌陷。對(duì)溶腔放水，水壓穩(wěn)定在0.2 MPa，圍巖容重為23 kN/m3，彈性模量為0.9 GPa，隧道溶洞之間的巖梁長(zhǎng)度為8 m，隧道坡度為0。實(shí)際揭露隧道與隱伏溶洞間的距離約為3.6 m，未產(chǎn)生失穩(wěn)現(xiàn)象。

將這2個(gè)實(shí)際工程案例分別代入文獻(xiàn)[3]與本文推導(dǎo)的計(jì)算公式，計(jì)算結(jié)果如表1。

表1 工程實(shí)例對(duì)比Table 1 Comparision of tunnel case calculated by different approaches and the measured data

從中分析可知，在斗磨隧道的參數(shù)條件下，實(shí)際巖板厚度均小于2種計(jì)算方法計(jì)算得出的臨界安全厚度，預(yù)測(cè)隧道發(fā)生失穩(wěn)，與實(shí)際穩(wěn)合，但本文計(jì)算的安全厚度值更接近實(shí)際厚度。而在魯竹壩隧道的工程情況下，文獻(xiàn)[3]計(jì)算得出的臨界安全厚度大于實(shí)際巖板厚度，預(yù)測(cè)隧道發(fā)生失穩(wěn)，然而實(shí)際隧道并未發(fā)生失穩(wěn)；本文計(jì)算的結(jié)果下，隧道不會(huì)發(fā)生失穩(wěn)，與工程實(shí)際一致。

綜上所述，本文計(jì)算方法中雖然圍巖重度對(duì)安全全厚度的直接影響較小。在與其他文獻(xiàn)對(duì)比分析中，明顯可以得到，加入安全厚度對(duì)自重的影響，相同參數(shù)情況下，本文計(jì)算的安全厚度的值要小，與實(shí)際結(jié)果更為接近，說(shuō)明本文計(jì)算方法適用性更廣。

5 失穩(wěn)預(yù)測(cè)分析及驗(yàn)證

5.1 失穩(wěn)預(yù)測(cè)模型

前述計(jì)算方法可以根據(jù)溶洞、圍巖的實(shí)際狀態(tài)判斷巖溶隧道最終是否會(huì)發(fā)生失穩(wěn)，但無(wú)法預(yù)測(cè)發(fā)生失穩(wěn)時(shí)間，而在特定的施工條件，隧道穿越巖溶地區(qū)無(wú)法與富水溶洞保持安全距離，這時(shí)對(duì)隧道失穩(wěn)時(shí)間的預(yù)測(cè)就顯得尤為重要。針對(duì)隧道發(fā)生失穩(wěn)的時(shí)間，可以在隧道失穩(wěn)前采取相應(yīng)的技術(shù)措施，以保證隧道施工的正常進(jìn)行，提升隧道建設(shè)的經(jīng)濟(jì)性。

由于巖溶隧道拱頂失穩(wěn)的過(guò)程均可認(rèn)為是一種突變過(guò)程，考慮到隧道實(shí)際施工環(huán)境中圍巖參數(shù)的難以準(zhǔn)確測(cè)量，以及溶洞分布位置，大小，方向的隨機(jī)性，而勢(shì)函數(shù)V(x)=x4/4+ux4/2+vx實(shí)際是一個(gè)只與拱頂最大沉降有關(guān)的量，因此可結(jié)合隧道拱頂?shù)膶?shí)際監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)分析一般巖溶隧道拱頂?shù)陌踩浴?/p>

將拱頂下沉變形當(dāng)作狀態(tài)變量G[17]，狀態(tài)變量隨時(shí)間變化的函數(shù)采用式(18)表示：

式中：t為隧道開(kāi)挖日期到變形觀測(cè)日期的累計(jì)天數(shù)。

將函數(shù)進(jìn)行Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)，取對(duì)函數(shù)影響顯著的前4次項(xiàng)，可得：

式(20)中：l0為一不影響系統(tǒng)突變的常量，因此可將狀態(tài)變量G化為尖點(diǎn)突變理論的標(biāo)準(zhǔn)形式：

式中：μ=l2/2l4，v=l1/4l4。

同理，由尖點(diǎn)突變的基本理論[19]，可得到系統(tǒng)的平衡方程為：

系統(tǒng)發(fā)生不穩(wěn)定突變的狀態(tài)標(biāo)準(zhǔn)為:

進(jìn)而，可求得隧道圍巖的失穩(wěn)時(shí)間：

5.2 模型的驗(yàn)證

以房十房高速公路某隧道為例，結(jié)合工程實(shí)際情況和現(xiàn)場(chǎng)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)，建立隧道拱頂塌方的失穩(wěn)預(yù)測(cè)模型，預(yù)測(cè)隧道拱頂塌方的時(shí)間，并對(duì)所建立的尖點(diǎn)突變預(yù)測(cè)模型進(jìn)行檢驗(yàn)。

圖5給出了該隧道拱頂實(shí)測(cè)沉降時(shí)程曲線。通過(guò)回歸分析，可得到該隧道的拱頂沉降時(shí)程函數(shù)：

圖5 隧道拱頂監(jiān)測(cè)點(diǎn)累計(jì)沉降曲線Fig.5 Monitoring cumulative settlement curve of tunnel vault

將擬合得到的參數(shù)代入式(20)，可得：

進(jìn)一步按式(21)標(biāo)準(zhǔn)化可得到：μ=-15.98，v=1 192.20，并將所有參數(shù)代入式(24)和式(25)中，有t≈24 d。而實(shí)際隧道施工過(guò)程中，在施工后25 d后，隧道拱頂發(fā)生失穩(wěn)?？梢?jiàn)，該模型預(yù)測(cè)的隧道拱頂失穩(wěn)時(shí)間與實(shí)際基本穩(wěn)合，證實(shí)了本文推導(dǎo)的巖溶隧道拱頂失穩(wěn)預(yù)測(cè)模型的有效性，可為此類情況下隧道的設(shè)計(jì)和施工提供指導(dǎo)。

6 結(jié)論

1)引入突變理論，綜合考慮重力與坡度因素，推導(dǎo)了巖溶隧道拱頂巖層穩(wěn)定性判別方程，建立了頂板安全厚度的計(jì)算方法。經(jīng)過(guò)實(shí)例驗(yàn)證，與已有方法相比，該方法具有更好的準(zhǔn)確性與適應(yīng)性。

2)溶洞跨度、圍巖彈模與溶腔壓力對(duì)頂板安全厚度影響較大。

3)建立了基于實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的巖溶隧道拱頂失穩(wěn)時(shí)間預(yù)測(cè)模型。實(shí)例分析表明，計(jì)算結(jié)果與現(xiàn)場(chǎng)實(shí)際吻合良好，驗(yàn)證了所建立預(yù)測(cè)方法的可行性。