基于主成分分析法的高性能波長計研究與實現(xiàn)

孟 凡，柳 揚，王 歡，閆起材

石家莊鐵道大學信息科學與技術學院，河北 石家莊 050043

引 言

近年來，波長探測作為科學技術中的一個基本工具，已被廣泛應用于分析化學[1-2]、生物傳感[3-4]、材料分析[5]以及光學通信[6-8]等眾多領域，光譜分辨率、工作帶寬和器件尺寸是衡量探測性能的三個重要指標。傳統(tǒng)的波長計是通過色散組件分離到對應探測器位置[9-10]或不同諧振腔選擇對應諧振分量[11-13]來進行波長標定，直接從空間通道即可得到對應的頻譜分量。隨著光學器件的高性能和集成化發(fā)展，基于模式干涉效應的高性能光譜計浮出水面[14-18]。該模式干涉來源于同一波長的多個傳輸模式間耦合效應，總強度圖案是每個模式電磁場分布的矢量疊加和，傳播常數(shù)差會隨著傳輸距離增加逐漸積累，并產(chǎn)生以2π為周期的強弱分布。通過采用探測器收集波長依賴的干涉圖案，得到每個波長唯一對應的指紋特征，最后將待測信號圖案進行光譜重建實現(xiàn)光譜探測。這種機制通過引入更多模式(增加基模與高階模傳播常數(shù)差)來解決積累可探測相位差的問題，在提升探測性能的同時可以極大縮小器件的物理尺寸。Redding等[16]使用無序光子晶體中依賴于波長的散射干涉圖案，在半徑為25 μm尺寸實現(xiàn)了0.75 nm的分辨率和25 nm的工作帶寬，探測指標不夠理想。Paudel等[18]提出了基于片上集成馬赫-曾德干涉儀的傅里葉變換光譜計，在達到140 MHz光譜分辨率和12 nm工作帶寬的同時，需要繁瑣的制備工藝。因此，在微納器件中同時實現(xiàn)分辨率、工作帶寬和探測效率優(yōu)異的波長探測始終是人們追求的目標。

本文設計并實現(xiàn)了基于錐形多模光纖的波長計，拉制多模光纖形成的錐形區(qū)域與共焦顯微系統(tǒng)和可見光相機相集成，后者可收集得到強烈依賴波長變化的模式干涉圖案。在光信號波長精細掃描得到的包含豐富細節(jié)圖像中，內(nèi)積相關性運算聯(lián)合主成分分析法可以高效處理頻譜通道和空間通道構成的龐大數(shù)據(jù)量。在400～700 nm的工作帶寬內(nèi)，計算粗略校準矩陣的內(nèi)積相關性可以初步實現(xiàn)精度為1 nm的波長探測；在此基礎上，采用主成分分析法可將分辨率提高到20 pm，波長探測準確率達到96.7%。該算法不僅具有較高的波長探測精度，運算效率也比傳統(tǒng)重建算法提升近50倍。該器件尺寸為π×(20 μm)2×0.5 mm，具有高性能、便攜式和低成本等優(yōu)勢，為基于光纖傳輸系統(tǒng)的波長實時探測提供了可能途徑。

1 基于主成分分析法的波長探測模型

1.1 理論模型

波長為λ的單色光入射進直徑為D、數(shù)值孔徑為NA的多模光纖后，將激發(fā)出具有不同傳播常數(shù)βm, n的一系列模式[15-17]，各模式電磁場分量滿足麥克斯韋方程組，利用邊界條件求解得到模式數(shù)目和傳播常數(shù)分別為

(1)

(2)

I(λ,x,y)=|E(λ,x,y)|2=

(3)

這里Am, n(x,y)和φm, n(x,y)分別為(x,y)處相應(m,n)模式的初始振幅和相位，由實驗裝置耦合及偏振條件決定。由于全反射條件的破壞，光纖錐形區(qū)域輻射的模式干涉圖案與波長值強烈相關，為基于主成分分析算法的波長探測提供了理論基礎。

波長的探測過程共分為兩個步驟，如圖1(a)所示原理圖：在工作帶寬內(nèi)粗略掃描(步長為納米量級)單色光波長(λc1,λc2, …,λcm)得到一系列二維光強分布圖像，每張圖像進行區(qū)域截取和向量拼接成為一維行向量，再按照波長順序排列成二維矩陣得到粗略校準矩陣。待測信號產(chǎn)生的強度圖像經(jīng)過降維處理后與之進行內(nèi)積相關性運算，選取數(shù)值最高的波長值作為預估波長單元λci，大致定位到待測信號波長范圍。在每個預估波長單元中，采用可調(diào)諧窄帶激光器掃描(步長為皮米量級)波長得到精細校準矩陣，如圖1(b)所示，精細波長λfj與空間位置構成了龐大的數(shù)據(jù)集，蘊含著頻譜信息到空間位置的復雜映射關系。

圖1 (a)兩步法探測波長原理圖，待測信號通過內(nèi)積相關性運算定位到粗略波長單元，再經(jīng)過主成分分析算法進一步確定精細波長；(b)波長探測示意圖：工作帶寬分為m個粗略波長單元，每個粗略波長單元進一步分為n個精細波長值

在粗略波長單元中，將每個波長λfj(j=1, 2, …,n)的二維強度分布按相同方式逐行拼接為一維特征向量Λj=[x1,x2, …,xN]，以波長序號排列得到維度為n×N的精細校準矩陣C，進一步求解協(xié)方差矩陣C′=CTC/(N-1)，表征了波長變化引起不同位置強度變化的統(tǒng)計特性。此時，求解C′特征向量得到主成分空間的一組完備正交基，即P=P1,P2, …,PN:Pi∈RN；與之對應的本征值與具體波長值相關，它決定了后面主成分的排序。任意探測波長λfj形成的光強圖像可以表示如式(4)

Λj=c1jP1+c2jP2+…+cNjPN

(4)

考慮到主成分基向量的歸一性，系數(shù)為特征向量在相應基向量上的投影

Cij=PiΛj

(5)

對于探測信號來說，只有少數(shù)主成分占據(jù)主導地位，且選取數(shù)量與探測效率相互制約。在這里，選取三個最大主成分并定義與波長λfj的歐式距離

(6)

選取與最短距離對應的波長值為探測波長。

1.2 實驗系統(tǒng)

基于錐形多模光纖的波長探測系統(tǒng)如圖2(a)所示，各種類型激光光源(包括超連續(xù)譜光源NKT SuperK Extreme+單色器Acton SP2500、<10 MHz窄帶可調(diào)諧激光器等)通過特定光纖組合(固定偏振狀態(tài)和提高信噪比)將單一模式、偏振態(tài)固定的光信號傳輸?shù)揭逊庋b的錐形多模光纖中，確保初始振幅和相位不變。該信號在多模光纖中發(fā)生模式色散和干涉效應，而錐形區(qū)域的引入破壞了全反射條件并將干涉圖案沿徑向輻射?？梢姽釩CD相機(Photometrics CoolSNAP K4，像素數(shù)：2 048×2 048，像素尺寸：7.4 μm×7.4 μm)前置放大倍數(shù)為17×、數(shù)值孔徑為0.4的顯微物鏡，在充分利用探測區(qū)域的同時捕捉盡可能多的圖像細節(jié)。筆記本電腦同時控制激光光源和可見光相機，在不同波長處收集相應干涉強度圖像進行存儲。三維壓電掃描臺上的錐形多模光纖通過氫氣焰流拉制多模裸光纖(型號：AFS105/125y)制備，錐形區(qū)域總長度為3 mm。如圖2(b)所示為輸入不同波長的單色光信號(450 nm藍光和635 nm紅光)在不同錐形區(qū)域(光纖直徑：20，50，60和90 μm)形成的干涉圖像，具有很強的波長和尺寸依賴性。

圖2 (a)基于錐形多模光纖波長探測的實驗裝置圖；(b)不同區(qū)域和入射波長的錐形光纖輻射圖像，標尺：100 μm；傳輸模式數(shù)關于(c)光纖直徑和(d)入射波長的變化曲線

為了進一步分析解釋強度干涉圖像的內(nèi)在機制，如圖2(c)和(d)所示為傳輸模式數(shù)關于光纖直徑和輸入波長的變化曲線。結合式(1)可知，較大直徑波導和較短入射波長均會引入更多模式，可以增加高階模與基模的傳播常數(shù)差，在相同器件長度下，積累到更大相位差ΔΦ=ΔβL(其中Δβ為傳播常數(shù)差，L為傳輸距離)。而器件的光譜分辨性能直接由可探測相位差決定，因此傳輸模式數(shù)直接影響了光強干涉圖像的細節(jié)程度，也反映了錐形光纖對波長變化的靈敏度。在該波長范圍內(nèi)，多模光纖對于不同波長值支持模式數(shù)不同，會產(chǎn)生依賴波長值的模式干涉圖案。在器件參數(shù)優(yōu)化方面，直徑較大的錐形區(qū)域在短波長范圍具有更好的效果，這里我們主要選取直徑為40 μm、波長為635 nm的參數(shù)組合，大約有350個模式被激發(fā)并相互干涉。

2 性能指標測量與分析

如圖3所示，當輸入波長為635 nm時，在不同錐形區(qū)域(光纖直徑分別為40，50和60 μm)沿光纖軸線提取強度干涉圖像，明顯觀察到類似周期性分布。與高品質(zhì)因數(shù)的諧振腔不同，該結構可對其工作帶寬內(nèi)的波長分量進行相位差積累，并形成細節(jié)豐富的頻譜特征，包括傳導諧振產(chǎn)生的尖銳峰值、法布里-珀羅諧振產(chǎn)生的寬譜背景變化和法諾干涉產(chǎn)生的不規(guī)則形狀等。這種頻譜特征與尺寸參數(shù)和信號波長密切相關，可以視為單色光波長信號的獨特空間編碼。隨著直徑的增大，一方面參與干涉的模式數(shù)急劇增多(增長率約20個·μm-1)，另一方面反射路徑變長，兩者都會導致空間周期變短。這里通過拍長Δz=2π/Δβ進行描述：由于Δβ/β遠小于1，可以用準直波導和線性增長的傳播常數(shù)進行模型近似，得到Δz為43 μm。在實驗中，根據(jù)顯微物鏡放大倍數(shù)和相機像素尺寸進行計算，拍長為41 μm，與估計值基本一致。雖然拍長在微調(diào)信號波長值時變化不明顯，但局部強度分布仍然有所改變(閃爍現(xiàn)象)，說明充分利用圖像細節(jié)可以得到更高分辨率，勢必引入更多空間信息帶來計算冗余度。

圖3 不同錐形區(qū)域即光纖直徑(a)40 μm，(b)50 μm和(c)60 μm下，沿軸線提取的強度分布圖

由于模式干涉圖案具有強烈波長依賴性，與整個工作帶寬對應的校準矩陣可以表征該器件的內(nèi)在特性。內(nèi)積相關性反映某個波長與其他波長產(chǎn)生的強度圖像間相似程度：歸一化后值為0說明兩張圖像完全不相同；值為1說明圖像完全相同；而值在0～1之間說明有一定相似性。這從另一個角度衡量了器件的波長探測能力。采用超連續(xù)譜光源+單色器組合的激光光源(帶寬1 nm)獲取粗略校準矩陣，進行內(nèi)積運算后可以粗略實現(xiàn)納米級別的光譜分辨率。這里，對不同結構參數(shù)組合的錐形光纖進行測量計算：如圖4(a)所示，光纖直徑越大，激發(fā)出的干涉模式越多，對波長分辨能力就更強(對應半高全寬越小)；如圖4(b)所示，探測長度越長，會包含進更多的空間通道作為采樣點，波長分辨能力也越強，從實驗上印證了理論模型的準確性。在特定參數(shù)器件中，掃描信號波長形成的模式干涉圖像“閃爍”現(xiàn)象說明空間與波長通道一一映射，內(nèi)積曲線應當具有較高信噪比。如果選用窄帶信號光源、克服工藝不完美性和提升可見光相機性能(如降低像素尺寸、提高量子效率等)，通過內(nèi)積運算即可達到最優(yōu)分辨率。綜合考慮波長計各項性能指標，選擇測量直徑為40 μm和長度為500 μm的光纖區(qū)域。

圖4 測試波長選用635 nm時，內(nèi)積曲線與錐形光纖(a)直徑和(b)長度的關系

采用窄帶可調(diào)諧激光器634.80～639.40 nm進行步長為10 pm的波長掃描獲得精細校準矩陣。隨機選取其中兩個波長并在不同功率下收集強度圖像，經(jīng)過主成分分析算法可以準確探測出分立的單色光信號，如圖5(a)所示，探測結果與校準波長基本吻合。光譜分辨率是衡量光譜器件辨識鄰近波長能力的重要指標，定義為重建單色光信號的半高全寬(FWHM)。在此基礎上，選取兩個相鄰波長的強度圖像并逐漸增加波長間隔，圖像疊加后與精細校樣矩陣進行內(nèi)積運算得到如圖5(b)，根據(jù)瑞利判據(jù)得到分辨率為20 pm，證明該器件具有皮米量級的分辨能力。將一組待測單色光信號同時輸入該器件和商用光譜儀(Princeton Instrument SP2500, 分辨率0.26 nm)中，前者通過兩步法(內(nèi)積相關性運算和主成分分析算法)探測波長后，與后者測量結果(校準波長)進行比較，如圖5(c)所示：在實驗測量過程中，設置激光器632.0～638.0 nm范圍、以0.1 nm為步長進行波長掃描，將波長計測量結果作為探測波長并與校準波長進行比較，兩者吻合并保持理想的線性關系(為了清楚起見，62個波長值中只選擇奇數(shù)序號波長值進行展示)。對于波長結果的認定，定義差值超過分辨率一半即10 pm即為探測誤差，由測量結果得到波長探測準確率為96.7%，如圖5(d)所示，誤差主要源于激光器中心波長漂移和器件工藝缺陷。

圖5 (a)兩個分立單色光信號的探測；(b)波長計分辨率為20 pm；(c)探測波長與校準波長的關系曲線；(d)波長探測結果統(tǒng)計分析圖

3 光譜探測應用探討

基于錐形多模光纖波長計的工作帶寬由多模光纖和CCD探測范圍共同決定。受限于激光光源種類和參數(shù)，實驗中僅選擇630～640 nm波長范圍進行波長探測?？紤]到多模光纖傳輸窗口和硅材料探測曲線，采用超連續(xù)譜光源與單色器組合對該范圍進行步長為1 nm的粗略掃描，每個波長值均得到單峰內(nèi)積相關性曲線，說明在該范圍內(nèi)模式干涉圖案與波長一一映射，工作帶寬達到400～1 100 nm范圍。得益于內(nèi)積相關性和主成分分析聯(lián)合算法，該錐形光纖波長計不必掃描感興趣區(qū)域以外的精細波長，減少了近50倍數(shù)據(jù)存儲量和重建時間(=1 μm/20 nm)，探測效率(與波長探測時間成反比)較常規(guī)重建算法提高近50倍[15-18]。與寬譜連續(xù)信號相比，分立窄帶信號僅有有限頻譜通道，重建時不易遺漏信號分量，該器件更加適合波長探測的應用。在實際應用中，器件的機械性能、溫度特性和可重復性至關重要。前兩者可以通過固定封裝和反饋控制進行克服，而后者主要來自校準光路的漂移和散焦。將1，5和12 h后掃描得到的校準矩陣與初始矩陣進行內(nèi)積運算，得到如圖6所示的內(nèi)積帶寬曲線。較長時間后，光路未經(jīng)校準的半高全寬增加0.1 nm(變化率為13.8%)，而經(jīng)校準僅增加0.01 nm(2.5%)，說明可重復性能夠通過自動校準系統(tǒng)或?qū)⒍嗄９饫w與探測器陣列相互集成得到有效改善。

圖6 內(nèi)積帶寬隨時間變化規(guī)律

4 結 論

在基于錐形多模光纖的波長計中，證實了內(nèi)積相關性運算可以初步實現(xiàn)粗略波長探測，而進一步采用主成分分析法可以實現(xiàn)20 pm的精細探測。利用搭建的顯微共焦成像系統(tǒng)，在微納尺度器件中不僅具有較高波長探測精度，運算效率也較傳統(tǒng)算法大大提升。

強度分布圖像中的噪聲主要包括散粒噪聲和暗噪聲兩種成分。對于散粒噪聲，假設探測信號在某波長處光子數(shù)為Np，則在每個頻譜通道中光子平均數(shù)為Np/N，總散射噪聲功率為兩者乘積平方根，這與光柵光譜儀的散射功率相同；而對于暗噪聲，需要在所有空間通道進行積累，對光譜重建作用與信號強弱、探測深度等因素密切相關。將基于錐形多模光纖波長計的性能向極限推進，可行的途徑有兩個：通過模式干涉圖案去相關、降低實驗噪聲和誤差后處理等手段進一步優(yōu)化探測算法；改善可見光相機性能，如降低像素尺寸和探測噪聲、提高量子探測效率等，這將是下一步研究方向。由于錐形多模光纖側面泄露的信號能量僅占總入射能量的20%～30%，在基于光纖連接和傳輸?shù)耐ㄐ畔到y(tǒng)中，可通過剝皮、拉錐和成像三個步驟進行波長實時探測。