彈目相對(duì)狀態(tài)測(cè)量誤差對(duì)攔截效果的影響分析

張濤濤, 方登建, 李 靜, 申 森

(海軍工程大學(xué)兵器工程學(xué)院, 湖北 武漢 430033)

0 引 言

隨著衛(wèi)星、雷達(dá)、通信、控制等技術(shù)快速發(fā)展,世界各大國在彈道導(dǎo)彈攻防之間的競(jìng)爭(zhēng)日趨激烈,區(qū)別于傳統(tǒng)單點(diǎn)、單系統(tǒng)對(duì)抗模式,涵蓋預(yù)警探測(cè)、指揮通信、多層攔截彈的系統(tǒng)體系對(duì)抗已成為其顯著特點(diǎn)。在高精度、高速度、高強(qiáng)度的對(duì)抗環(huán)境下，為實(shí)現(xiàn)更高的攔截成功率，對(duì)攔截導(dǎo)彈制導(dǎo)控制能力提出了更加嚴(yán)苛的要求。

影響攔截彈攔截效果的因素有很多,如中末交班誤差、彈目相對(duì)狀態(tài)測(cè)量誤差、導(dǎo)引頭測(cè)量誤差、加速度飽和限制、制導(dǎo)控制延遲等[1],這些因素誤差蘊(yùn)涵于攔截彈的各關(guān)鍵組成部分,是需重點(diǎn)提高的技術(shù)指標(biāo)。國內(nèi)外學(xué)者針對(duì)上述誤差因素對(duì)攔截彈的影響開展了大量研究,Li等在視線旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系建立了大氣層外彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程,并對(duì)適用于大氣層外攔截彈的理想比例制導(dǎo)律、微分幾何制導(dǎo)律進(jìn)行了研究[2-3];Hablani對(duì)影響大氣層外攔截彈脫靶量的關(guān)鍵因素進(jìn)行了分析[4];Elina對(duì)攔截彈零控脫靶量估計(jì)誤差的問題開展了研究[5];Chai等基于可達(dá)集模型研究分析了大氣層外攔截彈末制導(dǎo)性能[6-8];Gelb研究了一種基于非線性系統(tǒng)協(xié)方差分析法研究導(dǎo)彈末制導(dǎo)性能的方法[9]。在中末交班研究方面,主要以高超聲速目標(biāo)攔截、防空導(dǎo)彈等為研究背景,對(duì)中末交班制導(dǎo)律[10-13]、目標(biāo)機(jī)動(dòng)預(yù)測(cè)及導(dǎo)引頭搜索算法[14]、交接班窗口[15]、捕獲概率[16]等問題進(jìn)行了研究。此外,學(xué)者還對(duì)攔截過程中視線轉(zhuǎn)率變化規(guī)律[17]、來襲目標(biāo)采用誘餌干擾對(duì)抗[18-19]、控制延遲[20]、導(dǎo)引頭測(cè)量誤差[21-22]、攔截脫靶量[23-27]、制導(dǎo)控制效能[28-30]等方面開展大量了工作。但針對(duì)攔截彈中末交班誤差產(chǎn)生機(jī)理、彈目相對(duì)狀態(tài)測(cè)量誤差傳播及對(duì)攔截效果的影響分析尚少,本文基于協(xié)方差描述函數(shù)法對(duì)末制導(dǎo)過程中誤差傳播過程及脫靶量變化進(jìn)行分析。

1 中末交班誤差產(chǎn)生及傳播分析

對(duì)于彈道導(dǎo)彈防御系統(tǒng),來襲導(dǎo)彈發(fā)射后,會(huì)統(tǒng)籌調(diào)度預(yù)警衛(wèi)星、遠(yuǎn)程預(yù)警雷達(dá)、制導(dǎo)雷達(dá)等預(yù)警探測(cè)器對(duì)來襲目標(biāo)發(fā)現(xiàn)、捕獲、跟蹤,并通過指揮控制系統(tǒng)進(jìn)行信息綜合處理進(jìn)而實(shí)現(xiàn)對(duì)來襲導(dǎo)彈打擊目標(biāo)、飛行彈道等重要數(shù)據(jù)的解析、判斷及預(yù)測(cè),當(dāng)被打擊目標(biāo)滿足導(dǎo)彈防御系統(tǒng)設(shè)定的保護(hù)等級(jí),且攔截彈部署基地與來襲導(dǎo)彈間滿足攔截幾何關(guān)系具備攔截條件的情況下,彈道導(dǎo)彈防御系統(tǒng)會(huì)向攔截彈子系統(tǒng)下達(dá)攔截指令，并繼續(xù)引導(dǎo)攔截彈實(shí)施攔截。

攔截彈的制導(dǎo)控制過程可分為初制導(dǎo)、中制導(dǎo)、末制導(dǎo)3個(gè)階段,如圖1所示。初制導(dǎo)指攔截彈從發(fā)射點(diǎn)火后到發(fā)動(dòng)機(jī)工作的助推段，以及為滿足分離位置、速度、姿態(tài)進(jìn)行的末修段等；中制導(dǎo)指攔截彈初制導(dǎo)結(jié)束至導(dǎo)引頭捕獲目標(biāo)的飛行階段；末制導(dǎo)指中制導(dǎo)結(jié)束至對(duì)目標(biāo)實(shí)現(xiàn)攔截的飛行階段。在攔截過程中,中制導(dǎo)的目的是通過一次或多次彈道修正,為末制導(dǎo)提供比較精確的攔截幾何,但是由于中制導(dǎo)段彈目相對(duì)距離較遠(yuǎn),測(cè)量信息主要依靠地面探測(cè)設(shè)備,精度有限,且攔截彈也存在初始對(duì)準(zhǔn)誤差、彈上慣性器件積累誤差、級(jí)間分離誤差等,最終體現(xiàn)在交班時(shí)刻,因此攔截彈進(jìn)入末制導(dǎo)段時(shí)包含了一定的彈目之間相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的測(cè)量誤差。本文在分析計(jì)算中使用彈目相對(duì)位置誤差球半徑σr、相對(duì)速度誤差球半徑σv表示彈目之間相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的測(cè)量誤差。

圖1 中末交班誤差產(chǎn)生示意圖Fig.1 Emergence of midcourse-terminal handover error

在圖2中用σ0、σ1、σ2、σ3表示攔截彈點(diǎn)火初始時(shí)刻、助推結(jié)束時(shí)刻、中制導(dǎo)開始時(shí)刻、中制導(dǎo)結(jié)束時(shí)刻無控條件下的彈目相對(duì)誤差橢球,在該條件下,攔截彈誤差橢球隨著飛行時(shí)間的增加不斷擴(kuò)大。在有控條件下,尤其經(jīng)過攔截彈末修級(jí)的修正,彈目相對(duì)誤差橢球明顯縮小至σ2m;進(jìn)入中制導(dǎo),主要測(cè)量數(shù)據(jù)依舊為地面設(shè)備及自身慣導(dǎo)數(shù)據(jù),由于對(duì)目標(biāo)數(shù)據(jù)跟蹤時(shí)長(zhǎng)增加,濾波精度提高等原因,彈目相對(duì)誤差橢球繼續(xù)縮小至σ3m;進(jìn)入末制導(dǎo)后,其測(cè)量精度較之前有較大的提升,且彈目相對(duì)距離也較小,在攔截彈在制導(dǎo)控制系統(tǒng)的工作下能夠?qū)⒄`差橢球控制至攔截范圍,從而實(shí)現(xiàn)對(duì)來襲目標(biāo)的攔截。

圖2 攔截彈飛行過程誤差傳播過程示意圖Fig.2 Interceptor error propagation process

2 攔截彈末制導(dǎo)誤差傳播分析建模

2.1 攔截末段彈目視線轉(zhuǎn)率解析推導(dǎo)

在攔截彈導(dǎo)引頭捕獲來襲目標(biāo)后攔截進(jìn)入末制導(dǎo)階段,此階段將攔截彈與來襲導(dǎo)彈均視為質(zhì)點(diǎn),此時(shí),彈目相對(duì)攔截幾何如圖3所示。

圖3 攔截彈與來襲導(dǎo)彈的相對(duì)狀態(tài)Fig.3 Relative state between interceptor and target missile

圖3中下標(biāo)m代表攔截彈相關(guān)參數(shù),下標(biāo)t代表來襲導(dǎo)彈相關(guān)參數(shù)。矢量r代表相對(duì)位置矢量,由圖3可知：

r=rt-rm=rer

(1)

式中:r為彈目相對(duì)距離;er為視線方向的單位矢量。對(duì)式(1)進(jìn)行兩次求導(dǎo)并化簡(jiǎn)可得到視線旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系下彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程[3]：

(2)

(3)

由式中前兩式可得到瞬時(shí)旋轉(zhuǎn)平面內(nèi)的視線轉(zhuǎn)率變化

(4)

2.2 彈目相對(duì)狀態(tài)測(cè)量誤差與視線轉(zhuǎn)率初始誤差的轉(zhuǎn)換模型

2.2.1 視線轉(zhuǎn)率與相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)關(guān)系

攔截彈與來襲導(dǎo)彈相對(duì)位置r和相對(duì)速度V在地心坐標(biāo)系下可表示為

(5)

式中:x0、y0和z0為地心坐標(biāo)系3個(gè)單位向量;rx、ry、rz、vx、vy、vz分別為相對(duì)位置、相對(duì)速度在3個(gè)方向的投影分量。

根據(jù)視線轉(zhuǎn)率定義以及彈目相對(duì)狀態(tài)可得

(6)

令m=V·r=rxvx+ryvy+rzvz,則式可化簡(jiǎn)

(7)

2.2.2 協(xié)方差轉(zhuǎn)換方法

協(xié)方差轉(zhuǎn)換矩陣用于表示具有某種函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系的參數(shù)之間均值與方差的對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)換方法。假設(shè)狀態(tài)矢量分別為x、y,它們之間關(guān)系為

y=f(x)

(8)

狀態(tài)矢量x的均值mx和協(xié)方差矩陣Px為

(9)

則狀態(tài)矢量y的協(xié)方差矩陣Py為

Py=E[(y-my)(y-my)T]=

(10)

式中:偏導(dǎo)數(shù)矩陣?y/?x稱為雅克比(Jacobian)矩陣,可以表示為

(11)

式(11)可表示為

Py=JPxJT

(12)

式(12)是對(duì)協(xié)方差矩陣Px進(jìn)行相似變換,矩陣J是正交矩陣,有J-1=JT,且det(J)=1。

2.2.3 彈目相對(duì)狀態(tài)測(cè)量誤差與視線轉(zhuǎn)率初始誤差轉(zhuǎn)換解析模型

令彈目相對(duì)狀態(tài)測(cè)量誤差中相對(duì)位置、彈目相對(duì)速度分別包含了半徑為σr、σv的誤差球,且其在地慣系下3個(gè)方向的協(xié)方差矩陣可表示為

(13)

式中:Prv代表彈目相對(duì)位置、速度交班誤差的協(xié)方差矩陣;下標(biāo)r表示位置,下標(biāo)v代表速度,下標(biāo)x、y、z代表地心慣性坐標(biāo)系的3個(gè)方向。由式(7)及式(11)可求得視線轉(zhuǎn)率對(duì)相對(duì)位置、相對(duì)速度各分量的偏導(dǎo)數(shù)如下:

(14)

--------------------

由此可得彈目相對(duì)狀態(tài)測(cè)量誤差與視線轉(zhuǎn)率初始誤差的Jacobian變換矩陣:

(15)

相對(duì)位置速度誤差同視線轉(zhuǎn)率誤差關(guān)系為

Pωs=JPrvJT

(16)

2.3 視線轉(zhuǎn)率誤差傳播模型

在末制導(dǎo)段,攔截彈通常采用小視線角比例導(dǎo)引的控制方法對(duì)來襲導(dǎo)彈進(jìn)行接近,在末制導(dǎo)段相對(duì)距離較小時(shí),脫靶量可近似表示為

(17)

由式(17)可知,脫靶量的計(jì)算主要受視線轉(zhuǎn)率誤差、相對(duì)距離誤差、相對(duì)速率誤差影響,交班誤差、測(cè)量誤差、控制精度誤差等多項(xiàng)誤差最終通過影響視線轉(zhuǎn)率最終影響脫靶量。下面推導(dǎo)視線轉(zhuǎn)率誤差傳播模型。

(18)

(19)

對(duì)于理想限幅器的可將其線性化為

(20)

(21)

式中:PI(u)與G(u)函數(shù)為

(22)

不考慮制導(dǎo)周期內(nèi)系統(tǒng)受連續(xù)隨機(jī)噪聲影響,根據(jù)離散連續(xù)混合系統(tǒng)協(xié)方差描述函數(shù)法[9]可得系統(tǒng)狀態(tài)變量在一個(gè)周期tk

(23)

--------------------

在tk時(shí)刻,制導(dǎo)控制模塊對(duì)離散狀態(tài)變量進(jìn)行測(cè)量和濾波計(jì)算,以形成新的制導(dǎo)指令作用于整個(gè)系統(tǒng),tk時(shí)刻系統(tǒng)各狀態(tài)變量的均值mk/k和協(xié)方差Pk/k如下:

(24)

(25)

2.4 攔截彈末制導(dǎo)段誤差傳播對(duì)攔截效果影響分析流程

由上述分析可知,彈目相對(duì)狀態(tài)測(cè)量誤差、導(dǎo)引頭測(cè)量誤差、加速度飽和限制等影響因素綜合體現(xiàn)在末制導(dǎo)段彈目相對(duì)視線轉(zhuǎn)率誤差的控制和傳播過程中,據(jù)此本文的計(jì)算流程為基于第2.2節(jié)建立的彈目相對(duì)狀態(tài)測(cè)量誤差與視線轉(zhuǎn)率初始誤差轉(zhuǎn)換模型,計(jì)算得到視線轉(zhuǎn)率誤差傳播初值,在此基礎(chǔ)上利用第2.3節(jié)視線轉(zhuǎn)率誤差傳播解析模型進(jìn)行積分計(jì)算可得視線轉(zhuǎn)率變化情況,最終利用脫靶量與視線轉(zhuǎn)率之間的關(guān)系可得到攔截效果變化,解析計(jì)算流程如圖4所示。

圖4 攔截彈末制導(dǎo)誤差傳播對(duì)攔截效果分析計(jì)算流程Fig.4 Calculation process of interceptor terminal guidance errorpropagation analytical

3 仿真驗(yàn)證與分析

3.1 攔截彈末制導(dǎo)誤差傳播解析模型驗(yàn)證

影響攔截彈末制導(dǎo)誤差傳播影響有關(guān)參數(shù)設(shè)置如下:攔截彈的機(jī)動(dòng)加速度限幅為6g,來襲目標(biāo)機(jī)動(dòng)加速度為常值且沿垂直彈目視線方向,即at=atθ=g;攔截彈制導(dǎo)控制周期為0.01 s,比例導(dǎo)引系數(shù)N=4,視線轉(zhuǎn)率估計(jì)誤差σs,est=0.2 mrad/s,蒙特卡羅打靶次數(shù)為300次;盲區(qū)距離300 m;相對(duì)位置速度誤差取σr=50 m,σv=2m/s。

假設(shè)攔截彈和來襲導(dǎo)彈初始運(yùn)動(dòng)狀態(tài)如表1所示。

表1 攔截彈和來襲導(dǎo)彈初始狀態(tài)Table 1 Initial state of interceptor and target missile

基于第2節(jié)建立的包含中末交班誤差的攔截彈末制導(dǎo)誤差傳播模型,解析計(jì)算及蒙特卡羅打靶計(jì)算結(jié)果如下。

由圖5(a)可知,攔截彈在末制導(dǎo)開始時(shí)刻,由于初始攔截幾何不理想,且視線轉(zhuǎn)率較大,直至5.88 s,攔截彈處于6g的飽和過載狀態(tài)。由圖5(b)可知彈目視線轉(zhuǎn)率控制效果較好,變化連續(xù),且在最終穩(wěn)定收斂至0.8×10-5rad/s,根據(jù)式可算得脫靶量均值為0.046 m。

由圖5(c)可知攔截彈末制導(dǎo)過程中誤差傳播有4個(gè)階段:第1階段(0～5.88 s),攔截彈加速度飽和階段,此時(shí)導(dǎo)引頭的測(cè)量信息未能被完全使用,誤差為自然發(fā)散;第2階段(5.89～14.22 s),視線轉(zhuǎn)率標(biāo)準(zhǔn)差平穩(wěn)下降階段,這是因?yàn)橹茖?dǎo)指令中包含了視線轉(zhuǎn)率估計(jì)誤差,由于視線轉(zhuǎn)率估計(jì)精度較高,因此中段交班誤差得到控制;第3階段(14.23～18.86 s)為視線轉(zhuǎn)率標(biāo)準(zhǔn)差小幅上升階段,此時(shí)視線轉(zhuǎn)率已控制到較小得水平,相同水平的視線轉(zhuǎn)率估計(jì)誤差在制導(dǎo)指令中占比上升,從而造成視線轉(zhuǎn)率標(biāo)準(zhǔn)差的上升;第四階段(18.87s～盲區(qū)),此時(shí)視線轉(zhuǎn)率均值控制接近于零,標(biāo)準(zhǔn)差成類似指數(shù)的形式上升,計(jì)算可得脫靶量標(biāo)準(zhǔn)差為0.008 m。

由圖5及表2可知,本文推導(dǎo)的攔截彈末制導(dǎo)誤差傳播解析模型同蒙特卡羅打靶結(jié)果比對(duì)一致性好,計(jì)算誤差小于3.3%,但是蒙特卡羅計(jì)算300次的耗時(shí)遠(yuǎn)大于解析模型的計(jì)算時(shí)間,因此本文基于協(xié)方差描述法推導(dǎo)的攔截彈末制導(dǎo)階段誤差傳播變化解析解是精確、高效的。

圖5 攔截彈末制導(dǎo)誤差傳播變化計(jì)算結(jié)果對(duì)比Fig.5 Interceptor terminal guidance error propagation results comparison

表2 解析模型同蒙特卡羅打靶結(jié)果統(tǒng)計(jì)表

3.2 彈目相對(duì)狀態(tài)測(cè)量誤差對(duì)脫靶量影響分析

本小節(jié)進(jìn)行相對(duì)位置、相對(duì)速度誤差傳播對(duì)脫靶量計(jì)算分析,彈目相對(duì)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)及參數(shù)設(shè)置同第3.1節(jié),取相對(duì)位置誤差變化范圍為0～3 000 m;速度誤差為0～140 m/s,計(jì)算結(jié)果如下。

根據(jù)圖6及圖7計(jì)算結(jié)果可知,攔截脫靶量隨著相對(duì)位置、速度誤差增加而增加,在本算例邊界條件下即相對(duì)位置誤差為3 000 m、速度誤差為140 m/s情況下,脫靶量達(dá)734.3 m,無法實(shí)現(xiàn)攔截。

圖6 相對(duì)狀態(tài)誤差對(duì)脫靶量影響二維圖Fig.6 Two-dimensional diagram of miss distance variety with relative state measurement error

圖7 相對(duì)狀態(tài)誤差對(duì)脫靶量影響三維圖Fig.7 Three-dimensional diagram of miss distance variety with relative state measurement error

圖8給出了通過脫靶量計(jì)算得到了的攔截彈不同脫靶量門限下可允許的相對(duì)位置、相對(duì)速度誤差區(qū)域,其中rmiss=1 m的曲線所包圍的區(qū)域代表可攔截范圍。根據(jù)計(jì)算結(jié)果可知當(dāng)相對(duì)速度誤差為零時(shí),可允許最大位置誤差為2 557 m/s;可知當(dāng)相對(duì)位置誤差為零時(shí),可允許的最大速度誤差為135.1 m/s。

圖8 攔截彈實(shí)現(xiàn)攔截可允許的相對(duì)狀態(tài)測(cè)量誤差集Fig.8 Interceptor permissible relative state measurement error reachable set

4 結(jié) 論

本文采用連續(xù)離散混合系統(tǒng)協(xié)方差描述函數(shù)法對(duì)大氣層外攔截彈末制導(dǎo)過程中誤差的傳播過程進(jìn)行了分析及建模,并同蒙特卡羅打靶計(jì)算結(jié)果進(jìn)行了比對(duì),驗(yàn)證了所建模型的正確性及高效性,得到了攔截成功所允許的最大彈目相對(duì)位置、相對(duì)速度誤差。通過仿真分析得到了以下結(jié)論,一是在相對(duì)狀態(tài)測(cè)量誤差較小的情況下,攔截彈可以實(shí)現(xiàn)對(duì)來襲導(dǎo)彈的攔截,相對(duì)狀態(tài)誤差主要影響攔截脫靶量散布,即脫靶量方差;二是當(dāng)相對(duì)狀態(tài)測(cè)量誤差較大時(shí),直接影響攔截脫靶量的均值,會(huì)造成攔截失敗。因此需從攔截彈自身性能、導(dǎo)彈防御系統(tǒng)預(yù)警衛(wèi)星及雷達(dá)發(fā)現(xiàn)跟蹤能力等方面,加強(qiáng)對(duì)來襲目標(biāo)紅外、雷達(dá)、運(yùn)動(dòng)特性的信息積累,以期為攔截彈盡量提供精確的中末交班信息,進(jìn)而提高攔截的成功率。