基于機電耦合的彈性曲柄連桿機構(gòu)動力學(xué)分析

馬庭松

（奇瑞汽車股份有限公司，安徽 蕪湖 241007）

0 引言

曲柄連桿機構(gòu)是在機械工程中應(yīng)用最廣泛的機構(gòu)之一。隨著工程設(shè)計技術(shù)的不斷發(fā)展，工程中應(yīng)用的曲柄連桿機構(gòu)的尺寸越來越小，轉(zhuǎn)速越來越快，彈性動力學(xué)問題就顯得十分突出。有關(guān)彈性曲柄連桿機構(gòu)動力學(xué)分析,國內(nèi)外學(xué)者已做了大量研究工作。文獻[ 1][ 2],采用聯(lián)立求解電動機電磁方程和連桿機構(gòu)動力學(xué)方程解決機電耦合動力學(xué)問題，理論上較完備，但計算過程復(fù)雜，編程工作量大。文獻[ 3]利用電動機輸出特性研究活塞式壓縮機曲軸-滾動軸承系統(tǒng)從起動到正常工作時的動力學(xué)行為，但只考慮了曲軸的彈性變形，其研究對象實際上是曲柄滑塊機構(gòu)。文獻[ 4]采用有限元法分析彈性連桿機構(gòu)動力學(xué)問題，選用的桿單元沒有考慮到桿的彎曲變形。文獻[ 5]對電動機、減速器、連桿機構(gòu)系統(tǒng)進行了分析研究，應(yīng)用數(shù)值模擬得到了剛性條件下曲柄角速度和角加速度的變化曲線。本文提出一種簡單實用的機電耦合彈性連桿機構(gòu)動力學(xué)分析方法。該方法沒有聯(lián)立求解電磁方程和連桿機構(gòu)動力學(xué)方程，而是直接利用電動機輸出特性，過程得到簡化。

1 求解的思路

因為連桿機構(gòu)運動過程中彈性變形相對于剛性運動位移是很小的，因此在研究起動過程中曲柄角速度變化規(guī)律時，構(gòu)件的彈性變形可以暫時忽略不計。故本文的求解思路是：首先利用電動機輸出特性，建立電動機-剛性連桿機構(gòu)耦合動力學(xué)仿真模型，求曲柄從起動到額定工況時的角速度和驅(qū)動力矩隨時間變化規(guī)律及作用在連桿機構(gòu)上的阻力矩與曲柄轉(zhuǎn)角位置之間的關(guān)系。再利用有限元法建立彈性連桿機構(gòu)運動微分方程，將電動機-剛性連桿機構(gòu)的計算結(jié)果作為已知條件，使用Range-Kutta求解運動微分方程，求得彈性連桿機構(gòu)的動力學(xué)響應(yīng)。

2 剛性曲柄連桿機構(gòu)動力學(xué)分析

2.1 電動機-剛性曲柄連桿機構(gòu)運動微分方程

圖1為電動機-曲柄連桿機構(gòu)動力學(xué)模型。電動機通過減速器將輸出轉(zhuǎn)矩直接作用在曲柄上。若不考慮連桿機構(gòu)的彈性變形，該系統(tǒng)是單自由度系統(tǒng)，可將該電機-剛性曲柄連桿機構(gòu)等效為單自由度轉(zhuǎn)動模型。已知電機的輸出特性，根據(jù)動能定理可得電動機-剛性曲柄連桿機構(gòu)運動微分方程

圖1 電動機-曲柄連桿機構(gòu)動力學(xué)模

式中：Je為電動機-連桿機構(gòu)的等效轉(zhuǎn)動慣量，ω為曲柄的角速度，Me為作用在電動機連桿機構(gòu)上的等效轉(zhuǎn)矩。

根據(jù)等效前后的動能相等有得到

根據(jù)等效前后功率相等有:

式中: Md為作用在曲柄上的驅(qū)動力矩，Mf為作用在搖桿上的阻力矩。

圖2 電動機輸出特性圖

因為計算起動過程中連桿機構(gòu)的動力學(xué)行為需要計算曲柄的角加速度。故由式（1）推導(dǎo)出曲柄的角加速度表達式：

式中:1φ為曲柄的轉(zhuǎn)角。

2.2 微分方程的求解

2.3 計算結(jié)果及討論

所選用的彈性曲柄連桿機構(gòu)參數(shù)如表1。

表1 機構(gòu)的幾何尺寸

各桿均為圓形截面桿，材料為鋼，密度為7.8×103kg/m3,彈性模量為210GPa。計算采用的三相異步電動機型號為Y132D1-2，額定電壓380V，額定轉(zhuǎn)速2900r/min。

圖（4）是從起動到穩(wěn)定運行過程曲柄角速度隨時間的變化關(guān)系，圖（5）為機構(gòu)穩(wěn)定運行階段一個周期運動過程中曲柄轉(zhuǎn)速變化規(guī)律?？梢?，在起動階段，曲柄角速度是呈波動的且逐漸增加的，而在穩(wěn)定運行階段，曲柄角速度是在一定范圍內(nèi)作非簡諧周期性波動。對應(yīng)的穩(wěn)態(tài)轉(zhuǎn)速為966.7r/min，轉(zhuǎn)矩為50.6N·m。這與工程實際中的機械起動過程速度變化規(guī)律一致。

圖3 剛性機構(gòu)微分方程求解流程圖

圖4 剛性機構(gòu)從起動到穩(wěn)定運行運行過程

圖5 剛性機構(gòu)穩(wěn)定運行一周期的轉(zhuǎn)速變化

3 彈性曲柄連桿機構(gòu)機電動力學(xué)分析

對于高速平面連桿機構(gòu)或一些精密機械的連桿機構(gòu)，由于其重量小，致使構(gòu)件剛度降低。在這種情況下，構(gòu)件的彈性變形以及由于彈性而引起的振動都是不可忽略的，因此必須研究考慮構(gòu)件彈性變形的機構(gòu)動力學(xué)分析問題。此問題屬微分方程的混合問題，可采用有限單元法求解。

3.1 系統(tǒng)運動微分方程的建立

用有限單元法建立彈性連桿機構(gòu)運動微分方程，先將整個機構(gòu)劃分為三個單元、4個節(jié)點以及選擇整體坐標系下的節(jié)點位移如圖（1）所示。通過單元分析可以得到在局部坐標系下的單元運動方程。

式中:δi是局部坐標系下第i個單元的節(jié)點位移向量，Qi是局部坐標系下作用在第i個單元的節(jié)點力向量，

是第i個單元的質(zhì)量矩陣，

是第i個單元的剛度矩陣。

采用前處理法建立系統(tǒng)運動微分方程，根據(jù)邊界條件消去曲柄的轉(zhuǎn)動和節(jié)點O、C的位移，將13個自由度轉(zhuǎn)化為9個自由度，再利用轉(zhuǎn)換矩陣B將局部坐標系下的單元運動微分方程組裝成系統(tǒng)運動微分方程，即彈性連桿機構(gòu)運動微分方程。

為坐標轉(zhuǎn)換矩陣。

3.2 運動微分方程的求解

由于構(gòu)件的彈性變形相對于構(gòu)件剛性運動的位移是很小的，在數(shù)值計算過程中易被舍去，為了提高計算精度，在對系統(tǒng)進行動力學(xué)分析時，采用“瞬時固定法”。即在曲柄一個運動周期內(nèi)，將機構(gòu)瞬時固定在一系列位置上，從而形成一系列的“瞬時結(jié)構(gòu)”。然后將剛性機構(gòu)的運動產(chǎn)生的慣性力，作為外力施加在每一個“瞬時結(jié)構(gòu)”上，使用Range-Kutta法求解運動微分方程，對“瞬時結(jié)構(gòu)”進行彈性動力學(xué)分析，得出各構(gòu)件的彈性運動。最后將剛性機構(gòu)的運動與彈性運動分析結(jié)果相疊加，便得到彈性曲柄連桿機構(gòu)的運動響應(yīng)。

根據(jù)以上思路，圖6為計算流程圖。

圖6 彈性機構(gòu)微分方程求解流程圖

3.3 計算結(jié)果及分析

圖7是考慮構(gòu)件彈性時搖桿轉(zhuǎn)角變化曲線，其中圖(a)、(b)、(c)分別為起動時、電動機輸出最大轉(zhuǎn)矩時(此時曲柄轉(zhuǎn)速為888.7r/min)、額定工況時(此時曲柄轉(zhuǎn)速為966.7r/min)曲柄轉(zhuǎn)動一周搖桿變化曲線。顯然，考慮構(gòu)件彈性時搖桿的轉(zhuǎn)角響應(yīng)是

圖7 考慮構(gòu)件彈性時搖桿轉(zhuǎn)角變化曲線

在剛性基礎(chǔ)上疊加一個高頻振動。高頻振動的振幅在起動時最小，額定工況時次之，電動機輸出最大轉(zhuǎn)矩時最大。這是由于搖桿轉(zhuǎn)角的振動與構(gòu)件慣性力和作用在曲柄上的轉(zhuǎn)矩密切相關(guān)。起動時轉(zhuǎn)速較低、構(gòu)件的慣性較小，而作用轉(zhuǎn)矩也不大，所以搖桿轉(zhuǎn)角的彈性振動振幅相對最小。最大轉(zhuǎn)矩作用時，作用在機構(gòu)上的力相對最大，而此時慣性力也比較大，所以導(dǎo)致?lián)u桿轉(zhuǎn)角的彈性振動振幅最大。額定工況時，因為此時慣性力最大，而轉(zhuǎn)矩相對較小，故它的振幅居三者之中。另外，在搖桿的兩個極限位置附近時，搖桿轉(zhuǎn)角的彈性振動振幅較大。這是由于當搖桿運動到極限位置附近時，搖桿的運動方向發(fā)生變化，搖桿的角加速度較大，作用在搖桿上的慣性力和慣性力矩較大。考慮構(gòu)件彈性，改變了四桿機構(gòu)動力學(xué)響應(yīng)規(guī)律，使得搖桿轉(zhuǎn)角的振蕩幅度發(fā)生變化。顯然相對構(gòu)件的應(yīng)力也會發(fā)生變化，四桿機構(gòu)的彈性動力學(xué)分析對于高速、精密機器的設(shè)計是十分必要的。

4 結(jié)語

本文研究彈性曲柄連桿機構(gòu)從起動到額定工況整個工作過程的動力學(xué)行為，通過建立電動機-剛性曲柄連桿機構(gòu)耦合動力學(xué)仿真模型，獲得了以下結(jié)果：

（1）求出了從起動到額定工況的曲柄角速度變化規(guī)律。由于直接采用電動機的輸出特性與連桿機構(gòu)的動力學(xué)相結(jié)合求出起動過程中的速度變化與波動規(guī)律，計算量小、計算速度快、編程簡單易行。

（2）提出了計算機電耦合的彈性連桿機構(gòu)動力學(xué)分析的求解方法。可以給出從起動到額定工況時的彈性動力學(xué)響應(yīng)。

考慮構(gòu)件彈性時搖桿的轉(zhuǎn)角響應(yīng)是在剛性基礎(chǔ)上疊加一個高頻振蕩。起動過程中，最大轉(zhuǎn)矩作用時彈性振幅最大，將會導(dǎo)致構(gòu)件應(yīng)力最大。所以四桿機構(gòu)的彈性動力學(xué)分析對于高速、精密機器的設(shè)計是十分必要的。