面向?qū)傩躁P(guān)聯(lián)的區(qū)間猶豫模糊型PROMETHEE決策方法

江文奇, 降曉璐

(南京理工大學(xué)經(jīng)濟管理學(xué)院, 江蘇 南京 210094)

0 引 言

多屬性決策(multi-attribute decision-making,MADM)通過集成具有沖突和不可公度的屬性值,實現(xiàn)決策方案的綜合評價或排序等。其中,實現(xiàn)屬性之間的獨立性是提高決策績效的重要前提條件之一。許多決策問題的屬性之間存在一定的關(guān)聯(lián)性,由于難以有效量化與精準(zhǔn)甄別,其產(chǎn)生的疊加效應(yīng)會導(dǎo)致決策結(jié)果失真。

屬性關(guān)聯(lián)性測度是設(shè)計融合關(guān)聯(lián)性屬性的重要前置因素,現(xiàn)有測度模型主要強調(diào)屬性關(guān)聯(lián)性的表征方法。如Qnisawa運用模糊測度度量屬性重要度并建立了決策模型[1]。Grabisch分析了k-可加模糊測度與Shapley值及關(guān)聯(lián)性屬性的關(guān)系,提出了k-可加模糊測度[2]。武建章從等價值曲線角度分析了屬性關(guān)聯(lián)性特征,提出了基于菱形成對比較法確定屬性關(guān)系矩陣和模糊測度[3]。李興國將猶豫模糊集擴展到灰色猶豫模糊集,運用灰色關(guān)聯(lián)系數(shù)表征屬性關(guān)聯(lián)性[4]。常志朋等考慮屬性之間交互作用并利用Shapley值代替屬性權(quán)重來轉(zhuǎn)換λ模糊測度[5]。Hu結(jié)合決策實驗室分析(decision making trial and evalution laboratory, DEMATEL)法與網(wǎng)絡(luò)層次分析(analytic network process, ANP)法確定關(guān)聯(lián)屬性權(quán)重[6]。張超等提出了考慮屬性關(guān)聯(lián)與優(yōu)先關(guān)系并基于能量系數(shù)測度屬性間的相互影響[7]。Sun運用非線性約束優(yōu)化模型估計Shapley值與屬性關(guān)聯(lián)度,提出了兩種考慮屬性關(guān)聯(lián)性的決策方法[8]。Yang分析了靜態(tài)關(guān)聯(lián)與動態(tài)趨勢相似性,整合兩類關(guān)聯(lián)獲得最終屬性權(quán)重[9]。尹勝等提出了一種新的區(qū)間直覺模糊熵計算公式,提高了屬性權(quán)重確定的客觀性[10]。Liang等提出一種新的準(zhǔn)則交互方法處理準(zhǔn)則之間的關(guān)聯(lián)性[11]。Mayag等研究了Choquet積分模型中交互作用系數(shù)的缺陷,提出了刻畫偏好關(guān)系與簡單線形規(guī)劃模型的解決思路[12]。

為了體現(xiàn)屬性關(guān)聯(lián)性對決策結(jié)果的影響,學(xué)者們提出了融合屬性關(guān)聯(lián)性測度的決策方法。如曾守楨提出了直覺模糊Zhenyuan積分平均算子,并對比分析了與直覺模糊Choquet積分平均算子的差異性[13]?；贐rans提出的基于級別高于關(guān)系的偏好順序結(jié)構(gòu)評估方法(preference ranking organization methods for enrichment evaluations, PROMETHEE)[14-15],劉寧元利用λ模糊測度確定指標(biāo)權(quán)重,引入Choquet積分計算優(yōu)先指數(shù),提出了考慮屬性關(guān)聯(lián)性的PROMETHEE方法[16]。Bottero基于屬性關(guān)聯(lián)性拓展了消去與選擇轉(zhuǎn)換法(elimination et choice translation reality, ELECTRE),分析了屬性交互作用的敏感性[17]。常志朋將正交表與信噪比引入到模糊測度,提出了基于馬田系統(tǒng)和Choquet模糊積分的多屬性決策方法[18]。Figueira基于Choquet積分思想提出了考慮屬性關(guān)聯(lián)性的ELECTRE方法[19]。Joshi定義了區(qū)間直覺猶豫模糊Choquet積分算子,基于hamming距離與TOPSIS方法提出了一種基于屬性關(guān)聯(lián)性的決策方法[20]。Chen等結(jié)合Choquet積分和概率空間提出了新的區(qū)間值函數(shù)解決不確定型多屬性決策問題[21]。Lourenzutti等綜合考慮了群體決策的信息類型、決策群體、準(zhǔn)則關(guān)聯(lián)及模糊動態(tài)環(huán)境多個因素,提出了兩種基于逼近理想點排序法(technique for order preference by similarity to an ideal solution, TOPSIS)和交互式多屬性決策(tomada de decisao interativa multicriterio, TODIM)的廣義方法[22]。Gomes等分析考慮準(zhǔn)則關(guān)聯(lián)性的TODIM方法[23]。Chen等針對Choquet積分模型中模糊測度計算問題,提出了基于遺傳算法和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的人機交互模型[24]。Meng等拓展了Choquet積分,提出逆向Choquet積分、雙向Choquet積分及廣義Shaplely雙向Choquet積分[25]。

總體上看,現(xiàn)有屬性關(guān)聯(lián)性研究主要集中在測度設(shè)計與相應(yīng)的決策模型構(gòu)建方面。由于屬性值的表征方式也會影響關(guān)聯(lián)性屬性下的決策結(jié)果,目前尚未有成熟的研究成果。本文基于區(qū)間猶豫模糊型多屬性決策環(huán)境,提出了一種屬性關(guān)聯(lián)性的測度模型,充分考慮屬性值的優(yōu)先性關(guān)系,分析屬性關(guān)聯(lián)性對基于PROMETHEE決策結(jié)果的影響,提出了融合屬性關(guān)聯(lián)性的PROMETHEE方法,通過實證說明本方法的優(yōu)越性。

1 基本概念

(1)

(2)

定義5[1]設(shè)X為非空指標(biāo)集,P(X)為X的冪集,若集函數(shù)μ:P(X)→[0,1]滿足μ(φ)=0,μ(X)=1,A,B∈P(X),A?B,μ(A)≤μ(B),則稱μ是P(X)上的模糊測度。

定義6[2]如果莫比烏斯變換m所表示的2n個莫比烏斯變換系數(shù)同時滿足以下條件:

(1)mφ=0,∑A?Xm(A)=1;

(2)?A?X,?i?A,∑T?A,i∈Tm(T)≥0。

則m為模糊測度的莫比烏斯變換系數(shù),與模糊測度一一對應(yīng)。

定義7[2]設(shè)屬性集C={c1,c2,…,cn},cj的Shapley值Ij用莫比烏斯變換系數(shù)m表示為

(3)

定義8[14-15]PROMETHEE方法是一種利用“級別高于關(guān)系”解決多屬性問題的重要方法。通過對方案屬性評估值的兩兩比較判定所有方案之間的優(yōu)劣程度,采用方案優(yōu)序級別正負(fù)方向和綜合優(yōu)序級別值實現(xiàn)決策方案的排序與擇優(yōu)。其中,Pj(ai,ak)表示方案ai與方案ak的優(yōu)先度,利用評估值兩兩比較結(jié)果來計算;H(ai,ak)表示方案ai與方案ak的優(yōu)先指數(shù),利用優(yōu)先度值來計算;φ(ai)表示方案的凈流,利用優(yōu)先指數(shù)來計算,最終依據(jù)凈流完成方案的排序與擇優(yōu)。

2 基于屬性關(guān)聯(lián)特征的屬性權(quán)重設(shè)計

2.1 區(qū)間猶豫模糊型屬性值關(guān)聯(lián)系數(shù)

根據(jù)文獻[28]可知,屬性cj下的屬性值的方差計算公式為

(4)

基于所有屬性值得到的協(xié)差陣計算公式為

(5)

2.2 考慮屬性關(guān)聯(lián)的權(quán)重調(diào)整分析與設(shè)計

屬性關(guān)聯(lián)性的多屬性決策環(huán)境下,可以采取屬性精簡、權(quán)重調(diào)整、主成分分析法等多種方法減小關(guān)聯(lián)性屬性對決策結(jié)果的影響。屬性精簡方法可能難以保證屬性體系的系統(tǒng)性和全面性特征,使得評價可能不能完整體現(xiàn)對象的綜合特征。主成分分析法采用幾個主要成分評價對象,減少了屬性關(guān)聯(lián)性對決策結(jié)果的影響,但成分的選擇容易受到數(shù)據(jù)本身的影響。通過屬性之間的關(guān)聯(lián)性系數(shù)調(diào)整屬性權(quán)重,可以有效避免數(shù)據(jù)本身造成的誤差和屬性體系的不全面性。

(6)

(7)

cs,ct的權(quán)重分別為

(8)

其他屬性權(quán)重為

(9)

通常,屬性權(quán)重的賦權(quán)方法有主觀、客觀和組合賦權(quán)法。文獻[8]提出了采用Shaplely值作為權(quán)重,但是沒有充分考慮原始屬性權(quán)重的作用。假定給出的屬性權(quán)重為w=[w1,w2,…,wn],鑒于Shaplely值與原始矩陣較為接近且各有優(yōu)劣勢的特征,本文擬構(gòu)建Shaplely值與屬性權(quán)重之間的合成權(quán)重W=[Wi]1×n,如果采用線性合成原則,則可以用其均值加以展現(xiàn),即

Wi=0.5(wi+Ii)

(10)

2.3 屬性關(guān)聯(lián)性系數(shù)對合成權(quán)重影響

依據(jù)P值計算公式,當(dāng)兩個屬性相互獨立時(rst=0),顯然P值等于1,所有屬性的權(quán)重保持不變。當(dāng)兩個屬性相互關(guān)聯(lián)時(rst≠0),由于權(quán)重均大于0,故P值小于1,為此,除屬性cs,ct以外的屬性權(quán)重增大。

隨著|rst|增大則P值逐漸降低,其他屬性權(quán)重逐步增大;反之,隨著|rst|減小則P值逐漸增加,其他屬性權(quán)重逐步減小。對Wi進行求導(dǎo),得到敏感性系數(shù)為

(11)

對Ws或者Wt求導(dǎo),分別得到其敏感性系數(shù)如下。

(1)當(dāng)rst>0時,

(12)

(13)

(2)當(dāng)rst<0時,同樣可得

(14)

(15)

以上僅分析了兩個屬性之間存在關(guān)聯(lián)的情形,對于多指標(biāo)間存在關(guān)聯(lián)的復(fù)雜關(guān)聯(lián)情形,P值同樣小于1,且與其他屬性均不存在關(guān)聯(lián)的屬性權(quán)重增大。

3 方案間sigmoid優(yōu)先函數(shù)設(shè)計

PROMETHEE運用方案之間的級別高于關(guān)系(正方向、負(fù)方向和綜合優(yōu)序級別值)來設(shè)計多屬性決策方法。優(yōu)先函數(shù)描述屬性cj下方案ai相對于at的優(yōu)先程度,可根據(jù)各屬性值之間差距判斷方案之間優(yōu)劣程度(模糊屬性值通過模糊數(shù)比較公式來確定方案之間的優(yōu)劣程度)。優(yōu)先函數(shù)的值域為[0,1],值為0.5時,表示方案ai與at處于同等地位;值大于0.5時,表示方案ai優(yōu)于at;值小于0.5時,表示方案ai劣于at,優(yōu)劣程度隨函數(shù)值大小而變化。

傳統(tǒng)的PROMETHEE方法給出了6類優(yōu)先函數(shù)確定屬性。即常用屬性(兩方案決策值不完全相等時優(yōu)勢方案處于絕對優(yōu)勢);擬屬性(兩方案差別大于一定閾值時優(yōu)勢方案處于絕對優(yōu)勢,否則處于絕對劣勢);具有線性關(guān)系的屬性(兩方案差別大于一定閾值時優(yōu)勢方案處于絕對優(yōu)勢,否則優(yōu)勢度呈線性關(guān)系);分級屬性(劃分差異值區(qū)間,不同區(qū)間之間優(yōu)勢度不同,同一區(qū)間內(nèi)優(yōu)勢度相同);具有無差異區(qū)間的線性優(yōu)先關(guān)系屬性(劃分差異值區(qū)間,中間區(qū)間的優(yōu)勢度呈線性關(guān)系,兩邊優(yōu)勢度為絕對優(yōu)勢與絕對劣勢的情況);高斯屬性(變量為差異值的光滑曲線,優(yōu)勢度隨差異值增大而增大)。

針對區(qū)間猶豫模糊集型多屬性決策問題,任意兩個屬性值比較結(jié)果可表征為可能度,且反映方案優(yōu)先度的可能度函數(shù)值處于0～1之間。sigmoid函數(shù)(即Logistic函數(shù),S(x)=1/(1+e-x)將一個實數(shù)映射到(0,1),優(yōu)先度函數(shù)的自變量為兩個值之間的比較結(jié)果,因變量體現(xiàn)了當(dāng)前自變量下兩兩屬性的優(yōu)先度。對應(yīng)于傳統(tǒng)的6類優(yōu)先函數(shù)確定屬性,本文構(gòu)建了一類基于sigmoid函數(shù)的優(yōu)先函數(shù)確定屬性,引入?yún)?shù)a來調(diào)整sigmoid函數(shù)的平均變化率(反映了優(yōu)先度函數(shù)對自變量的敏感程度)。依據(jù)sigmoid函數(shù)的特征,將可能度函數(shù)值p(p∈[0,1])映射到區(qū)間[-a,a],得到q=2ap-a,構(gòu)建優(yōu)先度函數(shù)為

(16)

待定參數(shù)a取值不同得到不同優(yōu)先度函數(shù)。參數(shù)a取值越大,優(yōu)先度函數(shù)平均變化率越大,表明方案比較時處于絕對劣勢與絕對優(yōu)勢的可能性越大,當(dāng)a值較大時,基于sigmoid函數(shù)優(yōu)先度函數(shù)與擬屬性優(yōu)先度函數(shù)類似。圖1為參數(shù)a取不同值時優(yōu)先度函數(shù)圖。

圖1 a取值不同時優(yōu)先度函數(shù)圖

定理 1對優(yōu)先度函數(shù)P,有P(p)+P(1-p)=1,p∈[0,1]。

(17)

證畢

4 基于關(guān)聯(lián)性屬性的PROMETHEE方法改進研究

4.1 關(guān)聯(lián)性對方案優(yōu)先指數(shù)的影響分析

本文重點分析屬性cs,ct間具有交互作用機制,可拓展到多個屬性關(guān)聯(lián)決策問題。

定理 2考慮關(guān)聯(lián)性的PROMETHEE決策方法中優(yōu)先指數(shù)隨著rst在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞減,在區(qū)間[-1,0]上單調(diào)遞增。

證明依據(jù)優(yōu)先指數(shù)的計算公式及權(quán)重的調(diào)整設(shè)計,有:

(18)

為探究屬性關(guān)聯(lián)系數(shù)rst對優(yōu)先指數(shù)變化的影響,可對屬性關(guān)聯(lián)系數(shù)rst求導(dǎo)。當(dāng)rst>0時,

(19)

(20)

當(dāng)rst<0時,

(21)

Ps(ai,ak)-Pt(ai,ak)]

(22)

證畢

4.2 基于關(guān)聯(lián)性屬性的PROMETHEE改進方法設(shè)計

基于關(guān)聯(lián)性屬性對方案優(yōu)先度的影響分析,通過對傳統(tǒng)優(yōu)先度函數(shù)的分析設(shè)計了基于sigmoid函數(shù)的PROMETHEE優(yōu)先函數(shù),設(shè)計了融合關(guān)聯(lián)性屬性的權(quán)重調(diào)整算法,使得改進的PROMETHEE方法更符合實際問題決策環(huán)境。具體步驟如下。

(23)

(24)

步驟 3利用定義4可能度函數(shù)計算各屬性下方案之間的可能度函數(shù)pj(ai≥ak)。pj(ai≥ak)表示在屬性cj下方案ai優(yōu)于ak的可能度,即pj(ai≥ak)=p(sij≥skj)。

步驟 4利用優(yōu)先度函數(shù)計算在各屬性下兩兩方案之間的優(yōu)先度Pj(ai,ak):

(25)

式中:a為待定參數(shù),設(shè)定初始值1。

步驟 5基于屬性關(guān)聯(lián)性設(shè)計屬性權(quán)重調(diào)整機制,計算屬性間關(guān)系矩陣R=(rij)n×n,進而計算莫比烏斯變換系數(shù),利用定義7計算各屬性Shaplely值,最后得到最終調(diào)整后的指標(biāo)權(quán)重W=[W1,W2,…,Wn]。

步驟 6計算兩兩方案ai和ak的優(yōu)先指數(shù)H(ai,ak):

(26)

步驟 7令φ+(ai),φ-(ai)分別為方案ai的流出與流入,差值為ai，凈流為φ(ai),其中:

(27)

其中,m為方案的個數(shù)

步驟 8模擬運算功能確定變量a,提高方案的可辨識度。

方案可辨識度一般通過各方案得分的方差來體現(xiàn)?；趕igmoid的優(yōu)先度函數(shù)中,a過于大時,基于可能度之間的差異而表征的優(yōu)先程度不能反映真實情況,方案得分的方差同樣偏大,故設(shè)定a的取值范圍為[1,10]。決策過程中,決策者更加關(guān)注得分排序靠前的方案,為此對各方案得分方差的計算過程中引入加權(quán)向量。首先將各方案按凈流值大小進行排序,假設(shè)4個方案(b,c,d,e)依據(jù)凈流值從大到小排序后的方案順序為[c,b,e,d],以各方案得分的方差最大為依據(jù),提出加權(quán)方差計算公式d=(φ(c)-φ(b))2+0.9(φ(b)-φ(d))2+0.8(φ(d)-φ(e))2?？紤]到計算復(fù)雜性以及a取值范圍為區(qū)間[1,10]內(nèi)的整數(shù),運用Excel模擬運算功能以d取最大值為目標(biāo)確定參數(shù)a,當(dāng)d取最大值時方案可辨識度最高,最終依據(jù)凈流值完成方案排序。

5 實例驗證

(28)

步驟 1將決策矩陣標(biāo)準(zhǔn)化得到規(guī)范矩陣X=(xij)m×n：

(29)

步驟 2構(gòu)建區(qū)間猶豫模糊得分矩陣S=(sij)m×n:

(30)

步驟 3比較計算在各屬性下兩兩方案之間的可能度函數(shù)pj(ai≥ak):

(31)

(32)

(33)

(34)

步驟 4計算在各屬性下兩兩方案之間的優(yōu)先度Pj(ai,ak),設(shè)定變量a初始值為1,則

(35)

(36)

(37)

(38)

步驟 5調(diào)整指標(biāo)權(quán)重,獲得最終指標(biāo)權(quán)重W=[W1,W2,…,Wn]。協(xié)方差矩陣為D為

(39)

關(guān)系矩陣R為

(40)

整理得,莫比烏斯變換系數(shù)為

(41)

計算各屬性Shaplely值為I1=0.19,I2=0.11,I3=0.32,I4=0.38。最終調(diào)整權(quán)重為W=[0.20,0.10,0.31,0.39]。

步驟 6計算方案ai和ak的優(yōu)先指數(shù)H(ai,ak):

(42)

步驟 7計算各方案的凈流φ(ai):

(43)

步驟 8確定方案排序;當(dāng)a=1時,方案排序為a5>a1>a2>a3>a4;運用Excel模擬運算功能,以各方案得分方差體現(xiàn)方案可辨識度,調(diào)整參數(shù)a的大小,使得d值最大。基于sigmoid函數(shù)的優(yōu)先度函數(shù)中,參數(shù)a值過大時,由可能度之間差異表征的優(yōu)先程度不能反映真實情況,則方案得分的方差同樣偏大,故設(shè)定a取值范圍為[1,10],調(diào)整參數(shù)a的結(jié)果如表1所示。

表1 Excel模擬運算結(jié)果

參數(shù)a取不同值時構(gòu)建了不同的優(yōu)先度函數(shù),參數(shù)a的變動影響方案排序結(jié)果。如表1所示,當(dāng)a分別取1和2時,方案排序結(jié)果為a5>a1>a2>a3>a4;當(dāng)a分別取3和4時,方案排序結(jié)果為a5>a2>a1>a3>a4;當(dāng)10≥a≥5時,方案排序結(jié)果為a5>a2>a1>a4>a3,且參數(shù)a變動時最優(yōu)方案始終為a5;當(dāng)a=5時,d值最大,方案排序結(jié)果為a5>a2>a1>a4>a3。

假定不考慮屬性關(guān)聯(lián),以w=(0.2,0.1,0.3,0.4)為權(quán)重利用PROMETHEE方法計算得到方案排序結(jié)果為a5>a1>a2>a3>a4。

文獻[30]將ELECTRE方法拓展到了區(qū)間猶豫模糊領(lǐng)域,設(shè)定平均優(yōu)勢指標(biāo)與平均劣勢指標(biāo)為閾值確定布爾矩陣,引入TOPSIS方法計算各方案與正負(fù)理想點的距離,排序結(jié)果為a5>a2>a4>a1=a3。

文獻[31]引入猶豫模糊元相離度的概念和區(qū)間猶豫模糊元的距離測度公式,分別利用歐式距離和漢明距離計算不和諧性指數(shù),方案排序結(jié)果為a5>a4>a2>a1>a3。

本文計算得到方案排序結(jié)果最優(yōu)方案為a5,與文獻[30]和文獻[31]以及不考慮屬性關(guān)聯(lián)情形下的最優(yōu)方案結(jié)果相同。但其他4個方案的排序結(jié)果不盡相同,且文獻[30]的方案排序結(jié)果無法明確區(qū)分a1,a3的優(yōu)劣程度。文獻[30]與文獻[31]提出的改進型決策方法均沒有考慮屬性之間的關(guān)聯(lián)性,文獻[16]將屬性關(guān)聯(lián)考慮到PROMETHEE方法中,但其通過λ模糊測度方法測度屬性關(guān)聯(lián)度存在假定各屬性關(guān)聯(lián)同正負(fù)的弊端。本文研究表明屬性c3與其他3個屬性均呈負(fù)相關(guān)關(guān)系,故本文提出的基于屬性關(guān)聯(lián)性的PROMETHEE方法更具有科學(xué)性,方法更貼近實際決策問題的決策環(huán)境。

6 結(jié) 論

基于區(qū)間猶豫模糊型多屬性決策問題,充分考慮屬性關(guān)聯(lián)性對屬性權(quán)重的影響,設(shè)計了屬性權(quán)重調(diào)整方法,在PROMETHEE方法中引入新的優(yōu)先度函數(shù),設(shè)計了多屬性決策步驟,對比分析體現(xiàn)出本文方法的科學(xué)性與實用性。針對日趨復(fù)雜的實際問題,屬性之間關(guān)系比較復(fù)雜,特別是多種屬性具有相互關(guān)聯(lián)性情形下的決策機制。