基于Harris Hawks優(yōu)化算法的介質(zhì)波導(dǎo)濾波器優(yōu)化設(shè)計

舒佩文 麥健業(yè) 褚慶昕

（華南理工大學(xué)，廣州 510640）

引 言

隨著5G移動通信時代的到來，移動通信系統(tǒng)對微波濾波器提出了通帶內(nèi)損耗更低、帶外抑制更高、尺寸更小的苛刻需求[1].針對此需求，文獻[2]基于廣義切比雪夫多項式提出了交叉耦合濾波器，通過引入非相鄰諧振器的交叉耦合，在通帶外產(chǎn)生傳輸零點，進而提升濾波器的選擇性；且在相同濾波特性需求下，交叉耦合濾波器的諧振器數(shù)目比傳統(tǒng)濾波器少，故其插入損耗更低、尺寸更小，因而廣泛應(yīng)用于移動通信基站天線系統(tǒng).然而，目前基站天線濾波器大多采用金屬腔體[3]，無法滿足5G基站天線的小型化要求.使用高介電常數(shù)材料填充的介質(zhì)波導(dǎo)濾波器可以有效減少濾波器的體積，并且更容易系統(tǒng)集成，因此成為5G移動通信基站天線的主流選擇[4].介質(zhì)波導(dǎo)濾波器主要依據(jù)耦合矩陣理論進行設(shè)計[5-6]，由于模型誤差，利用該理論設(shè)計的濾波器通常不能直接滿足技術(shù)指標，還需進行反復(fù)調(diào)試，即進行濾波器的優(yōu)化設(shè)計.由于引入額外的耦合路徑，相比傳統(tǒng)濾波器，優(yōu)化設(shè)計更為復(fù)雜[7].因此，如何高效地對交叉耦合介質(zhì)波導(dǎo)濾波器進行優(yōu)化設(shè)計十分重要.

群智能(swarm intelligence, SI)優(yōu)化算法是一種新型的優(yōu)化范式，通過模擬自然界中生物的行為來解決優(yōu)化問題[8].SI優(yōu)化算法包含許多著名的智能算法，例如粒子群優(yōu)化(particle swarm optimization, PSO)算法[9]、差分進化(differential evolution, DE)算法[10]、花粉算法(flower pollination algorithm, FPA)[11]和灰狼優(yōu)化器(grey wolf optimizer, GWO)[12]等.相比梯度類優(yōu)化算法[13]，SI優(yōu)化算法穩(wěn)定性強且無需梯度信息，已廣泛應(yīng)用于微波器件與天線的優(yōu)化設(shè)計[14-20].文獻[17]給出了一種改進的自適應(yīng)型DE算法實現(xiàn)濾波器及其雙工器的耦合矩陣綜合，并與PSO和DE算法進行比較，驗證了改進型DE算法的卓越性能.文獻[18]將高斯回歸模型與DE算法相結(jié)合，提出一種混合算法以加快模型的優(yōu)化速度.通過與DE算法、序貫二次規(guī)劃和Nelder-Mead方法的比較，驗證了該算法的優(yōu)越性.文獻[19]提出了一種多目標DE算法，實現(xiàn)多層介質(zhì)濾波器和開口諧振環(huán)濾波器的優(yōu)化設(shè)計，取得了優(yōu)于已有算法的結(jié)果.文獻[20]將自適應(yīng)DE (self-adaptive DE, SADE)[21]用于濾波器、天線與天線陣列等的優(yōu)化設(shè)計，取得了滿意的結(jié)果.

Harris Hawks優(yōu) 化(Harris Hawks optimization，HHO) 算法是近年提出的一種新型SI優(yōu)化算法[22].與PSO類似，該算法同樣是一種隨機的全局優(yōu)化算法.不同的是，HHO算法將優(yōu)化流程劃分為兩個子階段——探索、開發(fā)階段，并引入控制參數(shù)，在兩種模式間自適應(yīng)地進行切換，從而提升了優(yōu)化效率及精度.相比PSO等單策略型SI優(yōu)化算法，HHO算法采用混合策略進行迭代優(yōu)化，其性能更好.在標準函數(shù)測試下，HHO算法收斂效果優(yōu)于著名的PSO、DE等算法[22].但是，目前缺乏該算法的應(yīng)用研究及完整的收斂分析.

本文對基于HHO算法的介質(zhì)波導(dǎo)濾波器的優(yōu)化設(shè)計進行了探究.首先對HHO算法的基本流程進行介紹，基于該算法提出一種通用的優(yōu)化框架.然后將收斂分析轉(zhuǎn)化為Lyapunov穩(wěn)定性問題，導(dǎo)出期望意義下HHO算法的確定型迭代方程，并利用HHO算法優(yōu)化設(shè)計了兩款介質(zhì)波導(dǎo)濾波器，同時進行了加工測試，實測與仿真結(jié)果吻合良好.最后將HHO算法與另外三種SI型算法(SADE，F(xiàn)PA和GWO)進行了比較.結(jié)果表明，HHO算法具有收斂速率快且優(yōu)化效果好的優(yōu)點.

1 HHO算法的優(yōu)化框架

HHO算法受鳥類捕食行為的啟發(fā)，模擬鳥類捕獵時的合作行為，通過n個潛在解的相互協(xié)作，逐步逼近全局最優(yōu)解[22].

當算法處于第一階段探索階段時，各潛在解的更新策略為

式中：xk+1為 粒子在執(zhí)行迭代之后的位置；xk為粒子在第k次迭代的位置為從種群中隨機抽取的某粒子；為當前階段搜索到的最優(yōu)解；r1、r2、r3、r4和q為服從 [0,1)區(qū) 間內(nèi)的隨機數(shù)；lb和ub分別為搜索空間的下、上界；為當前種群的平均位置，其計算方式為

能量參數(shù)e可自適應(yīng)地實現(xiàn)不同階段間的轉(zhuǎn)換.該參數(shù)隨迭代次數(shù)的變化為

式中：k為當前迭代次數(shù)；K為預(yù)設(shè)最大迭代次數(shù)；e0為初始能量.對大多數(shù)約束優(yōu)化問題，依據(jù)文獻[13]建議，e0=2rand?1是 較合理的初始設(shè)置，rand為 [0,1)區(qū) 間內(nèi)的隨機數(shù).HHO算法規(guī)定當 |e|≥1時，執(zhí)行探索階段；否則，執(zhí)行開發(fā)階段.

第二階段開發(fā)階段的目的在于提升當前最優(yōu)解的精度.主要有四種提升策略：軟圍攻(soft-besiege,SB)、硬圍攻(hard-besiege, HB)、漸進式快速SB (SB with progressive rapid dive, SBPRD)和漸進式快速HB(HB with progressive rapid dive, HBPRD).

當r≥0.5且 |e|>0.5時，各粒子進行SB過程：

式中： ?xk為在第k次迭代下粒子與已知最優(yōu)解間的距離；J為隨機躍遷概率，J=2(1?r5)，r5為 [0,1)區(qū)間內(nèi)的隨機數(shù).

當r≥0.5且 |e|≤0.5時，各粒子進行HB過程：

當r<0.5且 |e|≥0.5時，各粒子進行SBPRD過程：

當r<0.5且 |e|<0.5時，各粒子進行HBPRD過程：

顯然，HBPRD與SBPRD過程的更新策略幾乎相同，但HBPRD主要考慮種群的平均特性.

完成更新操作后，依據(jù)貪心策略保留優(yōu)勢個體：

當算法滿足迭代計數(shù)(k)達到預(yù)設(shè)的最大迭代次數(shù)(K)時的終止條件時，輸出作為結(jié)果，結(jié)束流程.

基于HHO算法的基本流程，本文提出的微波濾波器優(yōu)化框架如圖1所示.首先依據(jù)待優(yōu)化對象，設(shè)定優(yōu)化變量及搜索空間，HHO算法自動生成初始潛在解集；然后依據(jù)HHO算法的更新策略構(gòu)造生成解集，利用EM仿真軟件(例如HFSS、CST等)，結(jié)合預(yù)設(shè)的目標函數(shù)，對生成解集進行評估，并依據(jù)貪心策略選擇優(yōu)勢個體，使其參與下次迭代，直到滿足終止條件.

圖1 基于HHO算法的微波濾波器優(yōu)化框架Fig.1 The framework for the optimization of microwave filters based on HHO algorithm

2 HHO算法收斂行為分析

本節(jié)對HHO算法的收斂行為進行定量分析.將算法的兩個階段進行劃分，引入兩個基本假設(shè)，將HHO的隨機策略轉(zhuǎn)化為確定型迭代式，以分析算法的平均收斂行為.

2.1 階段分析與基本假設(shè)

虛線表示探索/開發(fā)階段的分界.可以看出，探索階段主要集中在算法前期.開發(fā)階段中，e>0情況下，粒子處于SB或SBPRD過程時，依據(jù)前文對上述過程的定義再結(jié)合式(3)可知E(ek)=0.75，E表示隨機變量的期望；粒子處于HB或HBPRD過程時，E(ek)=0.25.由對稱性可知e<0的分析類似.

參數(shù)e決定粒子所處階段.依據(jù)式(3)設(shè)置K=500，得e的動態(tài)變化曲線如圖2所示.圖2中的

圖2 e的動態(tài)變化曲線Fig.2 The dynamic property of e

HHO算法的更新策略較為復(fù)雜，但本質(zhì)上是基本迭代式的隨機組合.且更新策略對各粒子按位更新，故僅考慮粒子的分量行為.基于上述兩點考慮，做出如下假設(shè)[23]：

2) 僅考慮更新策略中隨機變量的期望.

為簡化分析，不失一般性，考慮搜索區(qū)間[–1,1].假設(shè)1限制全局最優(yōu)解p的動態(tài)變化，以定量考察個體的逼近方式.盡管p將隨迭代過程變化，但粒子的逼近方式不變.另一方面，假設(shè)2將算法的隨機策略轉(zhuǎn)化為確定型更新方式，可從平均意義下考察粒子的動態(tài)行為.

2.2 探索階段收斂行為

基于2.1節(jié)對HHO算法探索階段的更新策略進行分析.依據(jù)假設(shè)2，式(1)中的隨機變量期望為

式中，i=1,2,3,4.

由于探索階段處于算法前期，此時種群尚未進行有效搜索，故可假設(shè)粒子分布與初始種群無明顯差別.初始種群的生成方式為搜索空間內(nèi)的均勻分布，且各粒子相互獨立生成，可得：

式中：xi為第i個粒子；U(?1,1)表示搜索空間內(nèi)的均勻分布.

將式(10)～(11)代入式(1)，可得算法在探索階段的迭代方式如下：

顯然上述迭代方式是穩(wěn)定的，而且是兩種基本模式的隨機組合.方式1是粒子指數(shù)型，逼近搜索空間的中心位置.方式2直接采用p對粒子進行更新.

假設(shè)p=0.2、x0=0.9和K=50，來模擬粒子的實際收斂行為，結(jié)果如圖3所示.由圖3(a)可以看出，粒子在方式1的影響下迅速收斂至搜索空間的中心.此外，盡管x0距離p較遠，但x0將在方式2的影響下迅速收斂至p，如圖3(b)所示.圖3(c)給出上述基本模式的混合策略.可以看出，該混合策略既可使粒子快速收斂，又具備跳出p的能力.

圖3 探索階段不同策略下粒子的收斂行為Fig.3 The different convergence behaviors of particles in exploration phase with different strategies

2.3 開發(fā)階段收斂行為

SB，HB，SBPRD和HBPRD四種過程的更新策略(開發(fā)階段)推導(dǎo)方法與探索階段類似.當粒子處于SB過程中，式(4)轉(zhuǎn)化為

類似地，在HB過程中，式(5)轉(zhuǎn)化為

而SBPRD過程的兩種策略為

HBPRD過程中的兩種策略為

式中，C為levy算子的期望值.由于levy過程屬于隨機游走，其將產(chǎn)生較大隨機步長，當C>2時，粒子將發(fā)散并遠離p.因此SBPRD和HBPRD過程可擴展搜索區(qū)域，使個體具備跳出局部最優(yōu)解的能力.另外在本階段可認為算法接近收斂且種群較為聚集，故可假設(shè)此時種群近似服從均值為p1的正態(tài)分布.此時p1與p不一定相同.

選擇p=0.2、x0=0.9、K=50、p1=0.5和C=2來模擬粒子在開發(fā)階段的動態(tài)行為，結(jié)果如圖4所示.圖4(a)為SB過程的粒子收斂行為，可以看出，個體并未直接收斂至p，而是聚集在p附近，表明算法具有較強抗局部極小解的能力；圖4(b) HB過程的粒子將直接收斂至p；圖4(c)中當個體處于SBPRD過程且采用方式1時，算法逐漸收斂至p，但收斂速率小于HB過程；圖4(d)中SBPRD方式2將導(dǎo)致粒子逐漸遠離p，并擴展了搜索空間；4(e)中HBPRD的方式1與SB過程類似，將使粒子快速收斂至p附近；圖4(f)中HBPRD方式2也提升了算法的搜索能力.綜上結(jié)論，六種更新策略的混合可使粒子快速收斂至p，也有相應(yīng)手段確保算法具有跳出局部極小解的能力.

圖4 開發(fā)階段不同策略下粒子的收斂行為Fig.4 The convergence behaviors of particles in exploitation phase with different strategies

本節(jié)將HHO算法分為兩個階段，并基于兩個簡單假設(shè)推導(dǎo)出確定型更新方程.依據(jù)導(dǎo)出方程，模擬并分析了單個粒子的動態(tài)行為以研究HHO算法的基本原理.實際算法運行中，各粒子行為應(yīng)是本節(jié)導(dǎo)出的基本策略的隨機組合.因此，本節(jié)的分析將指導(dǎo)HHO算法的具體應(yīng)用.

3 濾波器優(yōu)化實例

本節(jié)將利用HHO算法對兩款介質(zhì)波導(dǎo)濾波器進行優(yōu)化設(shè)計，以滿足指標要求.與另外三種SI優(yōu)化算法(SADE, FPA, GWO)進行比較，來考察HHO算法的性能.各算法的特有參數(shù)設(shè)置依據(jù)各自的相關(guān)參考文獻，而公共參數(shù)粒子數(shù)n和最大迭代次數(shù)K分別設(shè)置為20和100.優(yōu)化算法均采用MATLAB實現(xiàn)，電磁場仿真使用HFSS實現(xiàn).

3.1 介質(zhì)波導(dǎo)濾波器1的優(yōu)化設(shè)計

首先，考慮一個四階介質(zhì)波導(dǎo)濾波器.該濾波器的技術(shù)指標為：2.515～2.675 GHz頻段內(nèi)|S11|?3dB；2.00～2.25 GHz頻段內(nèi) |S21|

確定耦合矩陣之后，為了濾波器的物理實現(xiàn)，還需確定諧振器結(jié)構(gòu)、腔間耦合方式和外部耦合方式，及其相應(yīng)的參數(shù).本文的諧振器采用帶調(diào)諧盲孔的TE101模矩形腔，調(diào)節(jié)盲孔深度可以改變諧振器的諧振頻率.圖5(b)給出該諧振器頻率f0隨盲孔深度hr的變化趨勢，采用波導(dǎo)H面窗口實現(xiàn)腔間耦合.圖5(c)給出了腔間耦合系數(shù)k隨窗口寬度w的變化曲線，利用 50?同軸線探針實現(xiàn)外界耦合，通過探針的插入深度hp來調(diào)節(jié)端口群時延，端口群時延τ 隨同軸插入深度hp的變化如圖5(d)所示.

圖5 濾波器1的初始設(shè)計信息Fig.5 The initial design information of filter 1

該濾波器的結(jié)構(gòu)如圖6所示，盲孔的直徑均為2 mm，濾波器的整體高度為7 mm.圖中給出了所有的結(jié)構(gòu)參數(shù)與優(yōu)化變量，優(yōu)化變量主要包括盲孔深度hr、耦合寬度w與探針插入深度hp.表1為各優(yōu)化變量的初始值及優(yōu)化結(jié)果.

表1 濾波器1設(shè)計變量的初始參數(shù)與優(yōu)化結(jié)果Tab.1 Initial value of design variables and optimization results of filter 1 mm

圖6 濾波器1的結(jié)構(gòu)示意圖Fig.6 The structure of filter 1

圖7為濾波器1的初始仿真模型及結(jié)果.該初始響應(yīng)顯然不滿足指標要求.利用罰函數(shù)法綜合各指標要求的目標函數(shù)如下：

圖7 濾波器1的初始模型及其散射參數(shù)Fig.7 Initial model and scattering parameters of filter 1

式中：fP、fSL和fSU分別為通帶、下阻帶和上阻帶的頻率；CP、CSL和CSU分 別為對應(yīng)頻帶內(nèi)的約束值； Θ 為懲罰因子，取 Θ =109.

圖8給出了|S21|>–3 dB下濾波器1 HHO、SADE、FPA和GWO算法的收斂曲線.可以看出，HHO算法的收斂速度最快.表2給出了各算法得到的目標函數(shù)值.可以看出，HHO和GWO算法的優(yōu)化效果優(yōu)于SADE和FPA算法，SADE和FPA在迭代結(jié)束后，仍保持較大目標函數(shù)值，說明這兩種算法未能完成預(yù)設(shè)優(yōu)化目標.盡管GWO在本例中也得到了可接受的解，但其收斂速率和質(zhì)量都劣于HHO算法，其原因在于算法的更新策略.GWO采用單一策略來更新潛在解，而HHO算法的更新策略更加靈活，既包括快速收斂的探索過程與HB過程，也有可避開局部最優(yōu)解的SBPRD、HBPRD過程.因此，HHO算法有大概率跳出局部最優(yōu)解且能保持較快的收斂速率.因此，HHO算法收斂最快，且獲得的結(jié)果最優(yōu).

圖8 |S21|>–3 dB下濾波器1不同算法的收斂曲線Fig.8 The convergence curves of different algorithms (filter 1 when |S21|>–3 dB)

表2 |S21|>–3 dB情況下濾波器1不同算法的目標函數(shù)值Tab.2 Objective function value of different algorithms

圖9為算法的優(yōu)化仿真與實測結(jié)果的比較，兩者吻合良好.圖10為依據(jù)仿真結(jié)果所設(shè)計的四階介質(zhì)波導(dǎo)濾波器1加工實物.

圖9 濾波器1優(yōu)化仿真與實測結(jié)果比較Fig.9 The comparison between optimization and measurement results (filter 1)

圖10 濾波器1的加工實物Fig.10 Prototype of filter 1

3.2 介質(zhì)波導(dǎo)濾波器2的優(yōu)化設(shè)計

第二個實例為三階雙模介質(zhì)波導(dǎo)濾波器，結(jié)構(gòu)上與圖6實例1類似，但諧振器同時工作于TE101和TE102模式.圖11和圖12分別為有無金屬盲孔的諧振器各個模式的磁場分布，TE101和TE102模的諧振頻率分別為2.23 GHz和2.6 GHz.添加金屬盲孔可以降低TE102模的諧振頻率，并提升TE101模的頻率，使得兩個模式均工作于2.6 GHz，形成雙模諧振器.

圖11 無金屬盲孔時雙模諧振器的磁場分布Fig.11 The magnetic fields of dual-mode resonator (without metallic holes)

圖12 含金屬盲孔時雙模諧振器的磁場分布Fig.12 The magnetic fields of dual-mode resonator (with metallic holes)

待優(yōu)化變量的初始值如表3所示.濾波器2的指標為：2.515～2.675 GHz頻段內(nèi)|S11|?3dB；2.00～2.40 GHz頻段內(nèi)|S21|

表3 濾波器2設(shè)計變量的初始參數(shù)與優(yōu)化結(jié)果Tab.3 Initial value of design variables and optimization results of filter 2 mm

圖13(b)給出了TE101模與TE102模的諧振頻率f0隨盲孔深度hr的變化曲線.諧振器間耦合、激勵方式、目標函數(shù)及待優(yōu)化變量與濾波器1類似.圖13(c)給出了兩個模式間的耦合系數(shù)隨中心盲孔深度ht的變化.圖13(d)為端口群時延τ 隨同軸插入深度hp的變化.

圖13 濾波器2的初始設(shè)計信息Fig.13 The initial design information of filter2

圖14給出了濾波器2的初始仿真模型以及結(jié)果.

圖14 濾波器2的初始模型及其散射參數(shù)Fig.14 Initial model and scattering parameters of filter 2

表3給出了濾波器2設(shè)計變量的初始參數(shù)及利用HHO算法優(yōu)化的結(jié)果.

圖15給出了|S21|>–3 dB濾波器2四種不同算法的收斂曲線，表4給出了各算法得到的目標函數(shù)值.可以看出：HHO算法同樣表現(xiàn)出收斂最快的優(yōu)勢，且結(jié)果更優(yōu)；而SADE和FPA算法因為失效未能完成優(yōu)化目標；GWO算法最終收斂，但速度不及HHO算法.

圖15 |S21|>–3 dB下濾波器2不同算法的收斂曲線Fig.15 The convergence curves of algorithms with different objectives (filter 2 when |S21|>–3 dB)

表4 |S21|>–3 dB情況下濾波器2不同算法的目標函數(shù)值Tab.4 Objective function value of different algorithms (filter 2 when |S21|>–3 dB)

為進一步考察敏感性，選取其他不同優(yōu)化目標：|S21|>?1dB，|S21|>?0.5dB，|S21|>?0.1dB.圖16(a)～(c)給出了不同優(yōu)化目標下濾波器2不同算法的收斂曲線.由圖16(c)可看出，對 |S21|的限制加強，將導(dǎo)致搜索空間縮減.此時，盡管HHO算法獲得符合要求的結(jié)果且其收斂速度明顯優(yōu)于FPA與SADE算法，但略差于GWO算法.該現(xiàn)象是由HHO算法的多策略混合機制導(dǎo)致的，由于搜索空間縮小，GWO的單策略搜索方式更加偏重種群特性，而具有復(fù)雜搜索方式的HHO在搜索過程中不斷嘗試擴展搜索空間，這將使算法收斂變慢.盡管如此，從圖15、圖16(a)及圖16(b)可以看出，在大多數(shù)目標中，HHO算法都給出滿足要求的結(jié)果且收斂最快，表明HHO算法具有較強的穩(wěn)定性.

圖16 不同優(yōu)化目標下濾波器2不同算法的收斂曲線Fig.16 The convergence curves of algorithms with different objectives (filter 2)

圖17為依據(jù)仿真結(jié)果所設(shè)計的三階雙模波導(dǎo)濾波器加工實物.

圖17 濾波器2的加工實物Fig.17 Prototype of filter 2

圖18給出了濾波器2的優(yōu)化結(jié)果與實測結(jié)果，可以看出，優(yōu)化結(jié)果與測量結(jié)果吻合良好.

圖18 濾波器2優(yōu)化仿真與實測結(jié)果比較Fig.18 The comparison between optimization simulation and measurements (filter 2)

4 結(jié) 論

文中基于HHO算法提出了一種通用的微波濾波器優(yōu)化框架，并嚴格分析了算法的動態(tài)收斂行為.利用HHO算法設(shè)計了兩款介質(zhì)波導(dǎo)濾波器.結(jié)合理論分析和實驗結(jié)果分析，探究了HHO算法性能突出在于它的混合策略搜索模式.實驗結(jié)果表明，相比目前流行的SADE、FPA和GWO優(yōu)化算法，HHO算法不僅收斂快，并且優(yōu)化解的質(zhì)量更優(yōu).