基于屏障函數(shù)的船舶自適應(yīng)控制

趙向濤， 閻 妍， 于雙和， 趙 穎

(大連海事大學(xué) 船舶電氣工程學(xué)院， 遼寧 大連 116026)

近年來(lái)，水面船舶已廣泛應(yīng)用于海洋勘探、海上消防與供給等領(lǐng)域.海上船舶除了擁有非線(xiàn)性、大慣性、大時(shí)滯等特點(diǎn)，有時(shí)候還會(huì)受到模型不確定性和復(fù)雜環(huán)境問(wèn)題的影響.針對(duì)未知的干擾船舶控制問(wèn)題的研究已經(jīng)有了很多豐碩的研究成果[1]，其中作為一種魯棒控制器的滑?？刂埔训玫绞謴V泛的應(yīng)用[2].文獻(xiàn)[3]通過(guò)引入縱蕩跟蹤誤差構(gòu)建一階滑動(dòng)變量，引入橫漂跟蹤誤差，構(gòu)建二階滑動(dòng)變量來(lái)設(shè)計(jì)控制律，以實(shí)現(xiàn)欠驅(qū)動(dòng)自主水面船舶的軌跡跟蹤控制.文獻(xiàn)[4]基于滑?？刂圃恚岢隽艘环N克服狀態(tài)和控制輸入量化效應(yīng)影響的軌跡控制律.文獻(xiàn)[5]針對(duì)輸入非線(xiàn)性和外部未知擾動(dòng)，采用基于滑模的自適應(yīng)控制與非線(xiàn)性擾動(dòng)觀測(cè)器相結(jié)合的方法，實(shí)現(xiàn)水下自主航行器的姿態(tài)控制器.文獻(xiàn)[6]提出了一種新的非奇異有限時(shí)間反步控制器來(lái)克服未知擾動(dòng)對(duì)船舶軌跡跟蹤控制的影響.通?；２呗缘膽?yīng)用需要預(yù)先知道擾動(dòng)的上界，通過(guò)調(diào)節(jié)滑模增益大于這個(gè)上界來(lái)保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性.實(shí)踐中，這一上界通常是未知的，而且由于滑模控制器中的不連續(xù)項(xiàng)會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)抖振，加劇機(jī)械磨損.

考慮到上述因素，為了減少系統(tǒng)抖振和處理不確定擾動(dòng)上界不可獲得的問(wèn)題，有人提出了自適應(yīng)滑?？刂撇呗?文獻(xiàn)[7]提出了一種具有不確定參數(shù)的非線(xiàn)性系統(tǒng)的自適應(yīng)滑?？刂破?，通過(guò)自適應(yīng)調(diào)節(jié)滑模增益來(lái)克服不確定參數(shù)的影響，設(shè)計(jì)一個(gè)處理系統(tǒng)的抖振的切換函數(shù)，并取得了很好的控制效果.但是只是在處理抖振時(shí)應(yīng)用切換函數(shù)來(lái)減小抖振，自適應(yīng)增益是個(gè)單調(diào)遞增的函數(shù)，容易過(guò)分高估干擾上界的問(wèn)題.文獻(xiàn)[8]在不匹配干擾上界未知的情況下，構(gòu)造輔助輸出，然后采用高增益觀測(cè)器估計(jì)所構(gòu)造的輸出，采用自適應(yīng)律調(diào)節(jié)滑模增益，保證系統(tǒng)魯棒性，并且避免抖振.文獻(xiàn)[9]針對(duì)輸入輸出約束、不確定干擾和模型不確定問(wèn)題，提出一種時(shí)變非對(duì)稱(chēng)李雅普諾夫函數(shù)遞歸自適應(yīng)滑?？刂撇呗?，實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)確跟蹤期望軌跡.文獻(xiàn)[10]提出一種基于雙層遞歸神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自適應(yīng)全局滑?？刂破鳎瑢?shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的快速有限時(shí)間收斂.文獻(xiàn)[11]提出了建立動(dòng)態(tài)自適應(yīng)控制增益以確?；５挠邢迺r(shí)間收斂，而且設(shè)計(jì)的自適應(yīng)律能夠避免過(guò)分高估不確定性的上界.

近年來(lái)，在Brunovsky系統(tǒng)中，文獻(xiàn)[12]提出了一種利用屏障函數(shù)約束處理的方法來(lái)實(shí)現(xiàn)自適應(yīng)滑?？刂疲琳侠钛牌罩Z夫函數(shù)可以保證跟蹤性能和約束條件.文獻(xiàn)[13]針對(duì)二階擾動(dòng)，且擾動(dòng)的界為未知的情況下，提出一種基于屏障函數(shù)的螺旋控制器.文獻(xiàn)[14]介紹了一種具有未知函數(shù)的輸出反饋非線(xiàn)性系統(tǒng)的自適應(yīng)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制.使用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輸出來(lái)處理未知函數(shù)，通過(guò)保證屏障函數(shù)的有界性，約束未知函數(shù)的參數(shù)保持在一個(gè)緊湊的超集中，使得神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的近似條件成立.基于屏障函數(shù)的自適應(yīng)滑?？刂撇呗缘闹饕獌?yōu)勢(shì)在于[12]：① 滑動(dòng)變量可以在有限時(shí)間內(nèi)收斂到預(yù)定義的零的鄰域，不需要任何干擾的先驗(yàn)信息；② 保證滑模增益不會(huì)超過(guò)不確定干擾幅值的上界，減小系統(tǒng)抖振.

為此，筆者首次將屏障函數(shù)自適應(yīng)滑?？刂频乃枷胍氲酱败壽E跟蹤的控制當(dāng)中，同經(jīng)典滑?？刂葡啾?，不需要知道干擾的先驗(yàn)信息，在保證系統(tǒng)軌跡跟蹤性能的情況下減小系統(tǒng)的抖振，從而減小船舶航行過(guò)程中的機(jī)械磨損.通過(guò)Matlab進(jìn)行數(shù)值仿真，驗(yàn)證控制器的有效性.

1 預(yù)備知識(shí)

1.1 ASV系統(tǒng)建模

船舶的動(dòng)態(tài)模型可描述為

(1)

式中：η=[x,y,ψ]T∈R3，其中(x,y)和ψ分別為大地坐標(biāo)系下的三自由度位置和航向角；υ為附體坐標(biāo)系下的速度向量，u、v和r分別為前向速度、橫漂速度和偏航角速度，υ=[u,v,r]T∈R3；τ為控制輸入向量，τ1、τ2和τ3分別為前進(jìn)方向控制力矩、橫漂方向控制力矩和艏搖方向控制力矩，τ=[τ1,τ2,τ3]T；C(υ)為科里奧利向心力矩陣；D(υ)為非線(xiàn)性水動(dòng)力阻尼矩陣；d為外部不確定干擾，d=[d1,d2,d3]T，d1和d2分別為作用于橫向和縱向上的干擾力，d3為作用在艏搖方向上的干擾力矩.由附體坐標(biāo)系到慣性坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣R(ψ)定義為

M為質(zhì)量慣性矩陣,M=MT>0,定義為

式中:d11=-Xu-X|u|u|u|-Xuuuu2；d22=-Yv-Y|v|v|v|-Y|r|v|r|;d23=-Yr-Y|v|r|v|-Y|r|r|r|；d32=-Nv-N|v|v|v|-N|r|v|r|；d33=-Nr-N|v|r|v|-N|r|r|r|.

假設(shè)1干擾di(t)(i=1,2,3)是未知時(shí)變函數(shù)，且有界，存在一個(gè)未知正上界dmax滿(mǎn)足

‖di(t)‖∞≤dmax.

(2)

引理2對(duì)于一個(gè)非線(xiàn)性系統(tǒng)

(3)

式中：p2、p3和r為參數(shù)，p2=k(t*),p3>0,r>0.其中t*為k(t)取得最大值的時(shí)刻,k(t)存在一個(gè)上界K*，滿(mǎn)足

k(t)≤K*, ?t>0.

(4)

1.2 屏障函數(shù)

(5)

2 主要結(jié)果

船舶的期望軌跡是ηd，對(duì)于控制器是已知的，跟蹤誤差定義為

(6)

(7)

滑動(dòng)變量設(shè)計(jì)如下：

(8)

式中：c1為滑模參數(shù)，c1>0.式(8)求導(dǎo)得

(9)

使用等效滑?？刂品椒?，控制輸入選擇以下形式：

τ=τeq+τs，

(10)

式中：τeq為滑?？刂浦械牡刃ы?xiàng),計(jì)算式為

τeq=(C(υ)+D(υ))υ-

τs為滑?？刂浦械聂敯繇?xiàng)，τs=-MR-1(ψ)K(t,si(t))sgn(s(t)),其中滑模自適應(yīng)增益K(t,si(t))=diag[K1,K2,K3].

定理1考慮ASV系統(tǒng)動(dòng)態(tài)公式(1)和未知干擾d(t)滿(mǎn)足假設(shè)1和控制輸入公式(10)，如果魯棒項(xiàng)中的K(t,si(t))選擇下式：

(11)

(12)

由引理2可知，存在一個(gè)正常數(shù)K*,滿(mǎn)足K*>K(t),?t>0,選取如下李雅普諾夫函數(shù)：

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

,

(20)

3 數(shù)值仿真

采用本研究方法設(shè)計(jì)控制器，并進(jìn)行仿真，船舶的航行軌跡和軌跡跟蹤誤差如圖1和2所示.由圖1-2可知，實(shí)際軌跡在很短的時(shí)間內(nèi)就能夠收斂于理想軌跡.

圖1 ASV實(shí)際運(yùn)行軌跡和理想軌跡

圖2 軌跡跟蹤誤差

圖3、4分別為滑動(dòng)變量、滑模控制增益與時(shí)間的關(guān)系曲線(xiàn).

圖3 滑動(dòng)變量與時(shí)間關(guān)系曲線(xiàn)

圖4 滑?？刂圃鲆媾c時(shí)間關(guān)系曲線(xiàn)

系統(tǒng)的控制輸入與時(shí)間關(guān)系曲線(xiàn)如圖5所示，初始階段的控制增益單調(diào)增加會(huì)使初始階段的系統(tǒng)輸入變大，當(dāng)系統(tǒng)切換至屏障函數(shù)自適應(yīng)階段，輸入的幅值減小，且系統(tǒng)輸入的抖振大大減小.

圖5 控制輸入與時(shí)間關(guān)系曲線(xiàn)

4 結(jié) 論

1) 筆者針對(duì)船舶軌跡跟蹤問(wèn)題，提出一種基于屏障函數(shù)的自適應(yīng)滑?？刂品椒?，利用屏障函數(shù)來(lái)自適應(yīng)調(diào)節(jié)滑模增益，保證增益不會(huì)被過(guò)高估計(jì).

2) 控制器設(shè)計(jì)過(guò)程中不需要任何關(guān)于外部干擾的先驗(yàn)信息，并且保證滑動(dòng)變量收斂保持在一個(gè)預(yù)定義的零的領(lǐng)域內(nèi)，從而保證船舶軌跡跟蹤的性能.

3) 通過(guò)Lyapunov理論分析證明系統(tǒng)的穩(wěn)定性，仿真結(jié)果表明控制器設(shè)計(jì)的控制器具有良好的動(dòng)態(tài)特性.