閉孔泡沫鋁泊松比及三軸壓縮變形模式1)

賈 然 趙桂平

(西安交通大學(xué)航天航空學(xué)院機(jī)械結(jié)構(gòu)強(qiáng)度與振動國家重點實驗室,西安 710049)

引言

作為泡沫金屬的典型代表,閉孔泡沫鋁具有輕質(zhì)、高比剛度、高比強(qiáng)度等優(yōu)良特性[1],是一種理想的減重、吸能材料,在航空航天、交通運輸、建筑工程、機(jī)械制造等領(lǐng)域展現(xiàn)出巨大的應(yīng)用潛力.因此,研究閉孔泡沫鋁的壓縮變形機(jī)理、能量吸收特性等具有十分重要的工程意義.

在閉孔泡沫鋁的有限元數(shù)值分析中,學(xué)者們提出了多種代表性體積單元(representative volume element,RVE)[2],用以表征閉孔泡沫鋁復(fù)雜胞孔結(jié)構(gòu)的細(xì)觀構(gòu)型.總體上,現(xiàn)有的細(xì)觀模型可以分為3 類,球體幾何模型(geometric model)[2-3]、結(jié)構(gòu)模型(structural model)[2,4-5]和離散模型(discrete model,也稱逆向重構(gòu)模型)[2,6].作為結(jié)構(gòu)模型的代表,3DVoronoi 隨機(jī)模型既可以反映低相對密度閉孔泡沫鋁內(nèi)部的復(fù)雜構(gòu)造,又具有較高的計算效率,因此被廣泛應(yīng)用于閉孔泡沫鋁的有限元仿真分析中[7-13].

在閉孔泡沫鋁的唯象本構(gòu)模型中,泊松比是一個非常關(guān)鍵的參數(shù).有限元軟件LS-DYNA 內(nèi)置的154#模型[14-16],有限元軟件ABAQUS 內(nèi)置的各向同性強(qiáng)化可壓縮模型(crushable foam model with isotropic hardening)[17],Deshpande 和Fleck[18]提出的自相似模型(self-similar model),Miller 模型[19]和Chen-Lu 模型[20]均涉及此參數(shù).然而,在應(yīng)用中上述模型均假定閉孔泡沫鋁壓縮過程中泊松比為一個常數(shù).實際泊松比的取值是否可以假設(shè)為一個常數(shù),這個常數(shù)怎樣取值仍是有待研究的課題.Bi[21]、張健等[6]、張樂等[22]及Fang 等[23]均對閉孔泡沫鋁泊松比的變化規(guī)律、取值方式及其對本構(gòu)模型的影響進(jìn)行了研究.

已有的研究中,對于閉孔泡沫鋁的泊松比變化規(guī)律,存在兩種觀點:(1)隨著軸向壓縮應(yīng)變的增大,泊松比呈現(xiàn)出“增高?降低?再增高”的“S”型變化過程,且再增高階段起始于閉孔泡沫鋁密實階段的起始應(yīng)變;(2)隨著軸向壓縮應(yīng)變的增大,泊松比呈現(xiàn)出先增高,再降低的變化過程,并逐漸趨近于0.這兩種觀點的分歧在于閉孔泡沫鋁進(jìn)入致密化階段后泊松比的變化情況.張建等[6]基于逆向重構(gòu)模型的研究,張樂等[22]基于實體單元Kelvin 模型的研究,均支持觀點(1);王長峰等[24]、Zhu 等[25]基于3DVoronoi 模型的研究則支持觀點(2).此外,對于閉孔泡沫鋁泊松比變化規(guī)律中特征點(極大值點)的物理意義尚不明確.

毋庸置疑,探究閉孔泡沫鋁泊松比變化規(guī)律的分歧,認(rèn)識閉孔泡沫鋁泊松比變化規(guī)律中特征點的物理意義,是進(jìn)一步研究閉孔泡沫鋁本構(gòu)關(guān)系的重要切入點,對完善閉孔泡沫鋁本構(gòu)體系至關(guān)重要.為了明確閉孔泡沫鋁泊松比的變化規(guī)律及特征點(極大值)的物理意義,研究閉孔泡沫鋁三軸壓縮應(yīng)力狀態(tài)下的變形模式,本文采用數(shù)值分析方法,利用表征閉孔泡沫鋁細(xì)觀結(jié)構(gòu)的2D-Voronoi 模型及3DVoronoi 模型,對其進(jìn)行側(cè)面位移耦合單軸壓縮及側(cè)面位移受限軸向壓縮分析.研究結(jié)果明確了閉孔泡沫鋁的泊松比變化規(guī)律及特征點物理意義,確定了閉孔泡沫鋁三軸壓縮應(yīng)力狀態(tài)下的變形模式,對后續(xù)閉孔泡沫鋁唯象本構(gòu)模型的研究具有重要意義.

1 有限元模型與邊界條件

借助開源軟件Neper[26]及有限元軟件ANSYS,構(gòu)建閉孔泡沫鋁3D-Voronoi 及2D-Voronoi 的幾何模型,將幾何模型導(dǎo)入有限元軟件ABAQUS/Explicit中,賦予材料參數(shù),進(jìn)行仿真分析.

1.1 閉孔泡沫鋁的建模

閉孔泡沫鋁的3D-Voronoi 幾何模型如圖1 所示,模型尺寸為20 mm × 20 mm × 20 mm,包含343 個(73)胞孔.

閉孔泡沫鋁的2D-Voronoi 幾何模型如圖2 所示,模型尺寸為20 mm × 20 mm × 0.10 mm,包含92個(介于92與102)胞孔.2D-Voronoi 模型相當(dāng)于3D-Voronoi 模型的斷層掃描切片.

圖2 2D-Voronoi 幾何模型Fig.2 2D-Voronoi geometrical model

基于相關(guān)的研究結(jié)論[4,10-11,13,27]及課題組已有的工作[5,7,22],所構(gòu)建的3D-Voronoi 模型及2DVoronoi 模型的宏觀幾何尺寸及各方向上的胞孔數(shù)目均滿足代表性體積單元(RVE)的要求[2].

假定閉孔泡沫鋁孔壁厚度均勻,其相對密度 ρr可表示為

式中, ρs為泡沫鋁孔壁材料的密度;ρ 為泡沫鋁密度;V為模型體積;Ai為第i個孔壁的面積;h為孔壁的厚度.

模型的相對密度均取值0.2,依據(jù)式(1)計算各模型的孔壁厚度.殼單元3D-Voronoi 模型(僅使用殼單元,后文簡稱3D-Voronoi 模型)及殼單元2DVoronoi 模型的孔壁厚度在截面屬性中設(shè)置,實體單元2D-Voronoi 模型的孔壁厚度在幾何建模時考慮.為了控制變量,幾何建模過程中已經(jīng)適當(dāng)調(diào)整模型的胞孔數(shù)目,使所有模型的孔壁厚度取值相同.

3 D-Voronoi 模型及殼單元2D-Voronoi 模型均采用殼單元中的S3R 單元及S4R 單元,實體單元2D-Voronoi 模型采用實體單元中的C3D8R 單元及C3D6 單元.結(jié)合課題組已有工作經(jīng)驗及網(wǎng)格敏感性分析,發(fā)現(xiàn)3D-Voronio 模型、殼單元2D-Voronoi 模型及實體單元2D-Voronoi 模型的單元特征長度依次取值0.14 mm,0.10 mm 及0.10 mm 時,仿真結(jié)果已經(jīng)具有較好的收斂性,進(jìn)一步細(xì)分網(wǎng)格所得到的結(jié)果變化甚微,此時模型的單元數(shù)目依次為402 271個,3431 個及7022 個.

接觸設(shè)置均采取通用接觸,摩擦系數(shù)0.02.

1.2 模型邊界條件設(shè)置及對應(yīng)問題

研究采用兩種邊界條件:側(cè)面位移耦合單軸壓縮和側(cè)面位移受限軸向壓縮.

1.2.1 側(cè)面位移耦合單軸壓縮

圖3 為3D-Voronoi 模型的側(cè)面位移耦合單軸壓縮示意圖.模型被放置在兩塊平行的解析剛性板之間,底部剛性板固定,頂部剛性板沿Y軸負(fù)方向以恒定速度對模型進(jìn)行準(zhǔn)靜態(tài)壓縮.分別耦合4 個側(cè)面的法向位移,保證模型每個側(cè)面節(jié)點的法向位移相等.這種邊界條件相當(dāng)于對無限大的平板進(jìn)行壓縮,可以消除模型的邊界效應(yīng).3D-Voronoi 模型的側(cè)面位移耦合單軸壓縮用于分析閉孔泡沫鋁泊松比變化規(guī)律特征點(極大值點)的物理意義.

圖3 3D-Voronoi 模型側(cè)面位移耦合單軸壓縮示意圖Fig.3 Lateral displacement coupled uniaxial compression of 3D-Voronoi model

殼單元2D-Voronoi 模型與實體單元2DVoronoi 模型的邊界條件相同.圖4 所示為2DVoronoi 模型的側(cè)面位移耦合單軸壓縮示意圖.2DVoronoi 模型可以看作3D-Voronoi 模型的斷層掃描切片,其邊界條件設(shè)置與3D-Voronoi 模型相似.耦合左、右兩個側(cè)面沿X軸方向的位移,并通過約束,使模型在Z軸方向的位移與應(yīng)變均為零.殼單元2D-Voronoi 模型及實體單元2D-Voronoi 模型的側(cè)面位移耦合單軸壓縮用于分析閉孔泡沫鋁致密化階段泊松比變化趨勢.

圖4 2D-Voronoi 模型側(cè)面位移耦合單軸壓縮示意圖Fig.4 Lateral displacement coupled uniaxialcompression of 2D-Voronoi model

1.2.2 側(cè)面位移受限軸向壓縮

圖5 為3D-Voronoi 模型的側(cè)面位移受限軸向壓縮示意圖.在此邊界條件下,模型被6 個垂直于坐標(biāo)軸的解析剛性板包裹,頂部剛性板沿Y軸負(fù)方向以恒定速度對模型進(jìn)行準(zhǔn)靜態(tài)壓縮,其余5 個剛性板固定.側(cè)面位移受限軸向壓縮時,第二主應(yīng)力 σ2與第三主應(yīng)力 σ3近似相等.此邊界條件是閉孔泡沫鋁這類體積可壓縮材料獨有的一種應(yīng)力狀態(tài).3DVoronoi 模型的側(cè)面位移受限軸向壓縮用于分析閉孔泡沫鋁三軸等比壓縮下的變形模式.

圖5 3D-Voronoi 模型側(cè)面位移受限軸向壓縮示意圖Fig.5 Lateral displacement limited axial compression of 3D-Voronoi model

2 數(shù)值計算結(jié)果分析

2.1 泡沫鋁致密化階段泊松比變化規(guī)律

2D-Voronoi 模型相當(dāng)于3D-Voronoi 模型的斷層掃描切片,便于觀察胞孔結(jié)構(gòu)的變形,因此選用2D-Voronoi 模型研究閉孔泡沫鋁致密化階段的泊松比變化規(guī)律.2D-Voronoi 模型閉孔泡沫鋁泊松比的表達(dá)式如下

式中, εx, εy依次為模型X軸與Y軸方向的真實應(yīng)變.

閉孔泡沫鋁致密化階段的起始應(yīng)變通過吸能效率(energy absorption efficiency)ηE確定[28],即吸能效率曲線極值點所對應(yīng)的應(yīng)變?yōu)殚]孔泡沫鋁壓縮致密化的起始應(yīng)變(onset of densification)[28],用符號表示.吸能效率的表達(dá)式如下

研究結(jié)果[7,29-31]發(fā)現(xiàn),常規(guī)的殼單元(也稱薄殼單元) 接觸過程中具有厚度減薄(thickness reduction)的特性,不能反映較大壓縮量時材料孔壁厚度上的堆疊[29-30],由此推測常規(guī)殼單元接觸過程中的厚度減薄特性是研究人員對閉孔泡沫鋁致密化階段的泊松比變化規(guī)律結(jié)論存在分歧的原因.

殼單元2D-Voronoi 模型、實體單元2D-Voronoi模型的仿真結(jié)果驗證了這一推測.

圖6 為殼單元2D-Voronoi 模型與實體單元2DVoronoi 模型致密化的起始應(yīng)變鄰域內(nèi)的泊松比-軸向真實應(yīng)變曲線,并于應(yīng)變軸上標(biāo)注由 ηE確定的致密階段起始應(yīng)變.如圖6(a) 所示,殼單元2DVoronoi 模型得出觀點(1)所表述的規(guī)律;如圖6(b)所示,實體單元2D-Voronoi 模型得出觀點(2)所表述的規(guī)律.

圖6 2D-Voronoi 模型致密起始應(yīng)變鄰域內(nèi)泊松比曲線Fig.6 Poisson’s ratio curves in neighborhood of onset of densification of 2D-Voronoi model

圖7 為2D-Voronoi 模型的胞孔結(jié)構(gòu)變形圖,其中,黑色線框表示殼單元2D-Voronoi 模型的胞孔變形情況,綠色截面表示實體單元2D-Voronoi 模型的胞孔變形情況.由圖7(a)可知,模型致密化之前,孔壁厚度方向上的堆疊并不顯著,因此殼單元2DVoronoi 模型與實體單元2D-Voronoi 模型的胞孔結(jié)構(gòu)變形基本是一致的;但是,當(dāng)應(yīng)變達(dá)到致密化起始應(yīng)變點時,如圖7(b)所示,孔壁厚度方向上堆疊明顯,二者胞孔結(jié)構(gòu)變形產(chǎn)生巨大的差異.顯然,實體單元2D-Voronoi 模型能準(zhǔn)確反映閉孔泡沫鋁致密化階段胞孔充分坍塌造成的孔壁堆疊.化起始應(yīng)變之后的泊松比數(shù)據(jù)是無效的,因此,對應(yīng)變區(qū)間內(nèi)的數(shù)據(jù)進(jìn)行誤差分析,以量化殼單元厚度減薄對誤差的影響,修正誤差 δ(εy)

圖7 2D-Voronoi 模型胞孔結(jié)構(gòu)變形圖Fig.7 Cellular structure deformation of 2D-Voronoi model

由圖6 及圖7 可知,殼單元Voronoi 模型致密的表達(dá)式如下

式中, νSolid為實體單元2D-Voronoi 模型的泊松比,νShell為殼單元2D-Voronoi 模型的泊松比, α 為修正系數(shù).νXY(X軸?Y軸的泊松比) 及νZY(Z軸?Y軸的泊松比)的誤差,均累積于 νZY,因此修正系數(shù) α 取值0.5.

對修正誤差進(jìn)行非線性函數(shù)擬合,得到如下表

閉孔泡沫鋁是一種各向同性材料[7],2D 模型Z軸方向的位移及應(yīng)變約束為零,使得本應(yīng)均分在達(dá)式

式(5)的殘差平方和RSS/SSR (residual sum of squares/sum squared residual)為3.080 × 10?5,調(diào)整R方(adjustedR-square)為0.989,并滿足0.04 ≈0.

已有的研究結(jié)果表明,在殼單元接觸過程中,厚度減薄不會干擾截面參數(shù)中殼厚度改變對應(yīng)力計算的影響[29-31],即使不同學(xué)者選取的模型不同,應(yīng)變區(qū)間內(nèi)的有限元仿真研究的結(jié)論并無明顯分歧,殼單元Voronoi 模型受到眾多研究人員的青睞[7-13].

由以上分析可知:常規(guī)殼單元接觸過程中的厚度減薄特性是研究人員對閉孔泡沫鋁致密化階段的泊松比變化規(guī)律結(jié)論存在分歧的原因;閉孔泡沫鋁的泊松比變化規(guī)律為“增高?降低?再增高”的“S”型變化過程;殼單元Voronoi 模型致密化起始應(yīng)變之后的數(shù)據(jù)無效.

2.2 泊松比特征點(極大值)物理意義

閉孔泡沫鋁壓縮過程中泊松比有極大值、極小值兩個特征點[6,22],后者的物理意義已明確,即泊松比極小值對應(yīng)閉孔泡沫鋁單軸壓縮吸能效率的極大值,即泡沫鋁致密化階段的起點[28],本節(jié)針對前者的物理意義進(jìn)行探究.

相較于2D-Voronoi 模型,3D-Voronoi 模型可以更加精準(zhǔn)地體現(xiàn)閉孔泡沫鋁材料胞孔結(jié)構(gòu)在三維空間的壓縮變形,因此選用殼單元3D-Voronoi 模型研究閉孔泡沫鋁泊松比“S”型變化規(guī)律極大值的物理意義,此時,閉孔泡沫鋁的泊松比的表達(dá)式如下式中, εx, εy, εz依次為模型X軸、Y軸、Z軸方向的真實應(yīng)變.

由2.1 節(jié)可知,殼單元Voronoi 模型致密化起始應(yīng)變之后的數(shù)據(jù)不可采信,因此僅分析3DVoronoi 模型之前的數(shù)據(jù).

3D-Voronoi 模型側(cè)面耦合單軸壓縮的仿真結(jié)果如圖8 所示,泊松比曲線的起點應(yīng)變?yōu)?ε = ?0.057,以消除外部不完整胞孔孔壁受壓失穩(wěn)的干擾,泊松比曲線的截止點應(yīng)變?yōu)?/p>

由圖8 可知,泊松比曲線達(dá)到極大值(圖8 左側(cè)豎直虛線標(biāo)注處)之前,吸能效率與軸向真實應(yīng)變大致呈線性關(guān)系,泊松比達(dá)到極大值后,吸能效率增速開始顯著下降.

圖8 3D-Voronoi 模型泊松比及吸能效率曲線Fig.8 Curves of Poisson’s ratio and energy absorption efficiency of 3D-Voronoi model

為進(jìn)一步明確吸能效率的變化情況,計算吸能效率曲線的斜率,得到吸能效率增速?軸向真實應(yīng)變曲線,如圖9 所示(左側(cè)豎直虛線標(biāo)注處為泊松比極大值所對應(yīng)的應(yīng)變).

圖9 3D-Voronoi 模型吸能效率增速曲線Fig.9 Growth rate of energy absorption efficiency of 3D-Voronoi model

由于圖9 中“*”所示的區(qū)域,吸能效率的增速近乎恒定,“*”所示區(qū)域之前的增速上升階段很短,因此已有的研究結(jié)果[7,22,28]及本文得到的吸能效率曲線均有一段近乎線性的增長區(qū)域.當(dāng)泊松比達(dá)到極大值之后,吸能效率的增速開始下降.

綜上可知,泊松比曲線極大值對應(yīng)閉孔泡沫鋁吸能效率的增速下降點,此即閉孔泡沫鋁泊松比曲線極大值點的物理意義.

2.3 壓縮應(yīng)力路徑與變形模式

基于閉孔泡沫鋁本構(gòu)模型的唯象特性,對其壓縮變形機(jī)理的研究顯得尤為重要.為區(qū)分不同的壓縮應(yīng)力狀態(tài),引入加載路徑比例系數(shù)(the proportional stress path[18]或stress ratio[20])的概念,用符號 ηL表示式中, σm為平均應(yīng)力, σe為Mises 有效應(yīng)力.由此,泡沫鋁的壓縮應(yīng)力狀態(tài)可劃分為:單軸壓縮(ηL=1/3),靜水壓縮及等比壓縮C∈(0,1), 1 /3<ηL<∞.

上述劃分方式無法體現(xiàn)泡沫鋁三軸壓縮(主要為等比壓縮)應(yīng)力狀態(tài)下的變形模式,為從變形層面對已有劃分方式進(jìn)行補(bǔ)充,并探究泡沫鋁三軸壓縮應(yīng)力狀態(tài)下的變形模式,引入臨界應(yīng)力路徑(critical stress path)的概念,用符號表示.

臨界應(yīng)力路徑,即當(dāng)沿此路徑進(jìn)行三軸等比壓縮時,僅最大主應(yīng)力方向表現(xiàn)出壓縮變形,第二及第三主應(yīng)力方向應(yīng)變?yōu)? (側(cè)面位移受限軸向壓縮邊界條件下得到的加載路徑比例系數(shù)).

圖10 臨界應(yīng)力路徑及吸能效率曲線Fig.10 Curves of critical stress path and energy absorption efficiency

閉孔泡沫鋁等比壓縮邊界條件的實現(xiàn),無論是試驗還是仿真分析,均存在較大困難,尤其是等比壓縮下的大變形研究,試驗或仿真分析均未得到實現(xiàn)[7].借助臨界應(yīng)力路徑曲線,不但可以從變形層面進(jìn)一步細(xì)化閉孔泡沫鋁的等比壓縮應(yīng)力狀態(tài),而且可以預(yù)測閉孔泡沫鋁等比壓縮應(yīng)力狀態(tài)整個變形過程(尤其是大變形)的變形模式.

等比壓縮時,若1/3 <ηL(εV)<η0L(εV),此時閉孔泡沫鋁雖然三軸受壓,但是僅第一主應(yīng)力方向的變形表現(xiàn)為向內(nèi)壓縮,第二及第三主應(yīng)力方向(下文簡稱側(cè)面)均表現(xiàn)為向外膨脹,此時的胞孔變形狀態(tài)更加接近單軸壓縮;若 ηL(εV)>η0L(εV),此時閉孔泡沫鋁各個方向的變形均表現(xiàn)為向內(nèi)壓縮.

由圖10 可知,隨著 ηL的逐漸增大,可以發(fā)現(xiàn),閉孔泡沫鋁等比壓縮應(yīng)力狀態(tài)下存在4 種變形模式:

(1)當(dāng)1/3 <ηL<η0L?min時,閉孔泡沫鋁的側(cè)面變形過程為“(短期)壓縮變形→膨脹變形”;

(2)當(dāng) η0L?min<ηL<η0L?max時,閉孔泡沫鋁的側(cè)面變形過程為“壓縮變形→膨脹變形→壓縮變形→膨脹變形”;

(3)當(dāng) η0L?max<ηL<η0L?cutoあ時,閉孔泡沫鋁的側(cè)面變形過程為“壓縮變形→(短期)膨脹變形”;

(4)當(dāng) ηL>η0L?cutoあ時,閉孔泡沫鋁的側(cè)面變形過 程為“壓縮變形”.

3 結(jié)論

建立閉孔泡沫鋁的3D-Voronoi 模型及2DVoronoi 模型,通過有限元軟件ABAQUS/Explicit 對其進(jìn)行側(cè)面耦合單軸壓縮及側(cè)面位移受限軸向壓縮邊界條件下的數(shù)值模擬分析.根據(jù)計算結(jié)果,討論了Voronoi 模型的特點,闡明了對閉孔泡沫鋁泊松比變化規(guī)律的研究結(jié)果存在分歧的原因,明確了閉孔泡沫鋁泊松比的變化規(guī)律及特征點的物理意義,發(fā)現(xiàn)了閉孔泡沫鋁等比壓縮應(yīng)力狀態(tài)下的4 種變形模式.研究結(jié)果發(fā)現(xiàn):

(1)常規(guī)殼單元接觸中的厚度減薄特性是導(dǎo)致閉孔泡沫鋁泊松比變化規(guī)律的研究結(jié)果存在分歧的原因,但是,厚度減薄不會影響泡沫鋁模型致密前胞孔結(jié)構(gòu)的變形模式,保證了殼單元Voronoi 模型彈性階段與平臺階段應(yīng)力、應(yīng)變結(jié)果的準(zhǔn)確性.

(2)閉孔泡沫鋁泊松比的變化規(guī)律為“增高?降低?再增高”的“S”型曲線,泊松比曲線極大值對應(yīng)閉孔泡沫鋁吸能效率的增速下降點,曲線極小值對應(yīng)閉孔泡沫鋁吸能效率的極大值(即閉孔泡沫鋁致密化階段的起點).

(3)以側(cè)面變形模式為判別標(biāo)準(zhǔn),閉孔泡沫鋁等比壓縮應(yīng)力狀態(tài)下,隨著加載路徑比例系數(shù)的取值不同存在4 種變形模式,分別為,側(cè)面變形過程“(短期)壓縮變形→膨脹變形”、“壓縮變形→膨脹變形→壓縮變形→膨脹變形”、“壓縮變形→(短期)膨脹變形”及“壓縮變形”.