復(fù)形的擴(kuò)張

林 記

（阜陽師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 阜陽 236041）

0 引言

同調(diào)是拓?fù)淇臻g的代數(shù)刻畫。將代數(shù)拓?fù)渲械膹?fù)形、同調(diào)群以及邊緣等概念引入純代數(shù)的領(lǐng)域，從而形成了代數(shù)學(xué)中的一個新的研究方向，稱之為同調(diào)代數(shù)。同調(diào)與同調(diào)函子是同調(diào)代數(shù)的核心部分。復(fù)形是具有分次結(jié)構(gòu)的微分群，是研究同調(diào)的有力工具。阿貝爾范疇是一個特殊的正合范疇，從阿貝爾范疇出發(fā)我們可以構(gòu)造復(fù)形范疇，這也是阿貝爾范疇。在阿貝爾范疇中，可以通過正合性分析產(chǎn)生各種代數(shù)和幾何不變量，如同調(diào)群和上同調(diào)群。擴(kuò)張的研究源自乘法群的擴(kuò)張，從形式上看這是一個短正合列。Yoneda 將短正合列通過適當(dāng)?shù)姆绞秸澈虾蠖x了長正合列，并由此得出了導(dǎo)出函子[1]。擴(kuò)張是研究同調(diào)函子的重要工具[2-4]，利用復(fù)形的擴(kuò)張可以證明遺傳阿貝爾范疇的有界復(fù)形范疇的同調(diào)維數(shù)是局部有限的[5]。本文主要研究有界復(fù)形的擴(kuò)張的若干性質(zhì)。

1 有界復(fù)形的同調(diào)維數(shù)

首先回憶本文所需的同調(diào)代數(shù)的基本概念[1-4]。

設(shè)A是阿貝爾范疇，用Cb(A)表示A上的有界復(fù)形范疇。

定義1設(shè)A?,C?∈Cb(A)。若存在復(fù)形的長正合列

定義3若兩個從A?到C?的n階擴(kuò)張S與S′之間存在一系列態(tài)射

S=S0→S1←S2→…←S2k-2→S2k-1←S2k=S′,且這些態(tài)射均具有(1A?,…,1C?)的形式，則稱S與S′是等價(jià)的，記作S≡S′，并將從A?到C?的n階擴(kuò)張的等價(jià)類構(gòu)成的集合記作

定義4[5]設(shè)A?∈Cb(A)。如果存在整數(shù)d，滿足對任意C?∈Cb(A)都有

那么稱復(fù)形A?的同調(diào)維數(shù)不超過d。

設(shè)X∈A,m∈?。以下用UX,m表示X位于第m次齊次分支的stalk 復(fù)形，KX,m表示如下無環(huán)復(fù)形

其中X位于第m-1 次和第m次齊次分支，稱之為標(biāo)準(zhǔn)無環(huán)復(fù)形[5-7]。在不引起混淆的情況下，我們也用UX,m和KX,m分別表示它們所在的等價(jià)類。

命題5 設(shè)A的整體維數(shù)有限，那么任意有界無環(huán)復(fù)形的同調(diào)維數(shù)有限。

證明設(shè)g1.dimA=d。

首先證明對任意X∈A，m∈? 標(biāo)準(zhǔn)無環(huán)復(fù)形KX,m的同調(diào)維數(shù)不超過d。對任意M?∈Cb(A)，任取，不妨設(shè)[]S是正合列

由此可得復(fù)形的正合列

因?yàn)槿我庥薪鐭o環(huán)復(fù)形均可由標(biāo)準(zhǔn)無環(huán)復(fù)形經(jīng)過有限次擴(kuò)張得到[8-9]，所以任意有界無環(huán)復(fù)形的同調(diào)維數(shù)不超過d。證畢。

那么有復(fù)形的鏈可裂正合列

定理6設(shè)A的整體維數(shù)有限，那么任意有界復(fù)形的同調(diào)維數(shù)有限。

證明設(shè)gl.dimA=d。

因?yàn)槿我庥薪鐝?fù)形均可由stalk 復(fù)形經(jīng)過有限次擴(kuò)張得到，所以我們只需證明stalk 復(fù)形的同調(diào)維數(shù)有限。為此，任取A,B∈A,m,n∈?。

所在的等價(jià)類。由復(fù)形的左強(qiáng)制截?cái)嗪陀覐?qiáng)制截?cái)嗟男再|(zhì)知，有如下復(fù)形正合列間的態(tài)射

故對任意p>d，有

其次，不妨設(shè)m>n。用函子作用在短正合列

2 零微分復(fù)形的擴(kuò)張

若復(fù)形A?的微分為零，則稱之為零微分復(fù)形。下面我們討論零微分復(fù)形的擴(kuò)張的性質(zhì)。維數(shù)向量是范疇理論中重要的概念[11]，在Ringel-Hall 代數(shù)理論[12-14]、李理論[15-17]和叢代數(shù)理論[18-19]中有著重要的作用。沿用文獻(xiàn)[11]的記號，用K0(A)表示阿貝爾范疇A的Grothendieck 群，A是阿貝爾范疇A的對象，用表示A在K0(A)中的像，稱為A的維數(shù)向量。

定理7設(shè)A?,B?∈Cb(A)是零微分復(fù)形，則Cb(A)中的任意擴(kuò)張

證明由同調(diào)代數(shù)的基本理論知，對任意i∈?，有下列A中的正合列

因此該線性方程組有唯一解[20]，即得結(jié)論。證畢。

3.小結(jié)

本文利用擴(kuò)張的性質(zhì)得到阿貝爾范疇的整體維數(shù)與其上有界復(fù)形范疇的整體維數(shù)的關(guān)系，并得到零微分復(fù)形的擴(kuò)張的中間項(xiàng)的微分與其同調(diào)的關(guān)系。進(jìn)一步可考慮兩個范疇的相關(guān)數(shù)字特征間的關(guān)系，亦可將結(jié)論推廣至周期復(fù)形范疇。