負(fù)剛度時(shí)滯反饋控制動(dòng)力吸振器的等峰優(yōu)化1)

代 晗 趙艷影

(南昌航空大學(xué)飛行器工程學(xué)院,南昌 330063)

引言

工程上大多數(shù)機(jī)械振動(dòng)是有害的,會(huì)加劇結(jié)構(gòu)損傷、縮短設(shè)備使用壽命、降低舒適度和其他缺點(diǎn).為了抑制有害的振動(dòng),Frahm[1]第一次提出了一種在單自由度主系統(tǒng)上耦合上無阻尼式吸振器,該型吸振器只有在外激勵(lì)頻率等于主系統(tǒng)頻率附近其減振效果才明顯,也導(dǎo)致其有效減振頻帶寬度比較窄.為了進(jìn)一步減振和拓寬頻帶寬度,文獻(xiàn)[2-3]發(fā)展了無阻尼吸振器,研究的有阻尼吸振器克服了Frahm 吸振器的缺點(diǎn),有效減低幅值的同時(shí)拓寬有效減振頻帶寬度,并發(fā)現(xiàn)主系統(tǒng)的頻響曲線始終通過兩固定點(diǎn),即頻率和幅值不受吸振器阻尼值的影響.Brock[4]在文獻(xiàn)[2]基礎(chǔ)之上給出了阻尼值優(yōu)化公式.Liu[5]改進(jìn)了文獻(xiàn)[4]優(yōu)化方法,設(shè)計(jì)了懸空阻尼器和接地阻尼器等兩種阻尼吸振器,給出了詳細(xì)的推導(dǎo)過程并數(shù)值驗(yàn)證了優(yōu)化方法.Asami 和Nishihara[6-7]不考慮主系統(tǒng)結(jié)構(gòu)阻尼,在保證兩個(gè)共振峰幅值相等并且最小的前提下,利用固定點(diǎn)理論原理,對阻尼吸振器優(yōu)化系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)并給出解析表達(dá)式.然而,調(diào)諧質(zhì)量阻尼器(tuned mass damper,TMD)在比較窄的頻帶范圍內(nèi)有效并且依賴于固定的結(jié)構(gòu)參數(shù),當(dāng)外激勵(lì)頻率在變化時(shí),不能很好地減振.

彭海波等[8]研究了一種含有負(fù)剛度彈簧元件的新型動(dòng)力吸振器模型,利用固定點(diǎn)理論,得到動(dòng)力吸振器的最優(yōu)阻尼比和最優(yōu)頻率比,其減振效果遠(yuǎn)優(yōu)于傳統(tǒng)的調(diào)諧質(zhì)量阻尼器吸振器模型.邢昭陽等[9]對一種含有放大機(jī)構(gòu)的負(fù)剛度動(dòng)力吸振器模型進(jìn)行參數(shù)優(yōu)化,其優(yōu)化結(jié)果表明能夠大幅降低共振振幅、拓寬減振頻帶并且降低系統(tǒng)的諧振頻率.Benacchio等[10]把磁鐵產(chǎn)生的磁力搭建一個(gè)變剛度的磁吸振器(magnetic vibration absorber,MVA),通過調(diào)節(jié)MVA 的幾何參數(shù),可以在含有線性負(fù)剛度元件下實(shí)現(xiàn)MVA的非線性動(dòng)力吸振器、非線性能量阱和雙穩(wěn)態(tài)的轉(zhuǎn)換.劉剛等[11]設(shè)計(jì)了一種新型連續(xù)可調(diào)的變質(zhì)量-負(fù)剛度動(dòng)力吸振器,具有較好的低頻有效性和較寬有效頻帶寬度.李強(qiáng)等[12]提出一種由柔性螺旋彈簧(spiral flexure spring,SFS) 及磁性負(fù)剛度彈(magnetic negative stiffness spring,MNSS)組成的新型可調(diào)動(dòng)力吸振器,很好地抑制了航天設(shè)備上的低頻和超低頻振動(dòng).胡方圓等[13]提出了一種基于回復(fù)力曲面的時(shí)域非參數(shù)辨識方法,研究了4 種典型負(fù)剛度振子,實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明表面識別結(jié)果與實(shí)測回復(fù)力面吻合較好,解決了負(fù)剛度非線性系統(tǒng)回復(fù)力的辨識困難問題.

同樣,半主動(dòng)吸振器(semi-active vibration absorbers,SAVs)也經(jīng)常用在變外激勵(lì)頻率的振動(dòng)減振.郎君等[14]將兩個(gè)半主動(dòng)開關(guān)控制策略應(yīng)用到Voigt型動(dòng)力吸振器中,經(jīng)過優(yōu)化設(shè)計(jì)給出了最優(yōu)控制策略.張婉潔等[15]研究了3 種基于相對速度反饋的控制策略,通過轉(zhuǎn)換控制開關(guān)在低頻共振區(qū)域、高頻共振區(qū)域和瞬態(tài)響應(yīng)振幅方面具有很好的抑制振幅的效果.李鎖斌等[16]研究的超結(jié)構(gòu)夾層板很好地滿足低寬頻振動(dòng)帶隙減振.某些智能材料也被用在半主動(dòng)吸振器上,如介電彈性體功能材料[17](dielectric elastomers,DE)、壓電材料[18](piezoelectric material,PM)、磁流變液[19](magnetorheological elastomers,MRE) 和形狀記憶合金[20](shape memory alloys,SMA).然而,SAVs 也僅僅是在外激勵(lì)緩慢變化的一段頻帶有效.

傳統(tǒng)的TMD 和SAVs 有作用的減振頻帶較窄,對變頻和寬頻帶的減振降幅效果差.國內(nèi)外學(xué)者發(fā)展了很多應(yīng)用于動(dòng)力吸振器上的控制方法,如經(jīng)典PID/PD[21]、PPF[22]、魯棒控制[23]、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制[24]、模糊控制[25]和滑膜控制[26]等.文獻(xiàn)[27-28]提出在線性動(dòng)力吸振器系統(tǒng)耦合時(shí)滯位移和加速度反饋控制,能根據(jù)外激勵(lì)頻率實(shí)時(shí)調(diào)節(jié)時(shí)滯反饋的狀態(tài)量并提出一種針對時(shí)滯系統(tǒng)穩(wěn)定的方法(cluster treatment of characteristic roots,CTCR).Zhao 和Xu[29-30]進(jìn)行了非線性系統(tǒng)的時(shí)滯減振的研究,研究發(fā)現(xiàn)時(shí)滯反饋控制在非線性系統(tǒng)具有更寬的有效減振頻帶.文獻(xiàn)[31-32]利用時(shí)滯反饋在線性系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)進(jìn)行反共振峰優(yōu)化,通過調(diào)節(jié)增益系數(shù)和時(shí)滯量,把反共振頻率點(diǎn)的幅值降低到零.Sun 等[33]在非線性系統(tǒng)研究了非線性吸振器的等峰和去非線性問題,通過等峰優(yōu)化方法對非線性吸振器的非線性系數(shù)進(jìn)行優(yōu)化后,實(shí)現(xiàn)了非線性系統(tǒng)的等峰特性,同時(shí)也消除了不利非線性振動(dòng)現(xiàn)象,最后的實(shí)驗(yàn)結(jié)果很好地驗(yàn)證了理論結(jié)果.Meng 等[34]在時(shí)滯非線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)等峰優(yōu)化準(zhǔn)則,利用時(shí)滯非線性吸振器對非線性系統(tǒng)進(jìn)行減振,即使外激勵(lì)幅值較大時(shí)非線性吸振器減振效果也非常明顯.

綜上所述,鑒于負(fù)剛度吸振器和時(shí)滯反饋控制作動(dòng)器在減低幅值和拓寬有效減振頻帶方面具有很好的效果,本文在負(fù)剛度吸振器系統(tǒng)耦合時(shí)滯反饋控制作動(dòng)器,進(jìn)行等峰優(yōu)化后收到了更好的控制效果.為了評價(jià)等峰優(yōu)化的效果,定義了有效減振頻帶寬度和共振峰幅值與反共振峰幅值差等指標(biāo),并在幅頻響應(yīng)曲線圖中標(biāo)示出指標(biāo)值.為了定量分析減幅情況,定義了減幅百分比,直觀表示出各個(gè)頻帶內(nèi)的減幅情況.

1 負(fù)剛度時(shí)滯反饋控制振動(dòng)系統(tǒng)

1.1 力學(xué)模型

為了進(jìn)一步完善振動(dòng)系統(tǒng),本文在彭海波等[8]學(xué)者研究的負(fù)剛度系統(tǒng)等峰優(yōu)化模型中考慮了主系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)阻尼;同時(shí)為了進(jìn)一步控制和優(yōu)化等峰的幅值和拓寬負(fù)剛度系統(tǒng)的減振頻帶,又在該振動(dòng)系統(tǒng)中加入位移時(shí)滯反饋控制;本文研究的負(fù)剛度時(shí)滯反饋控制吸振器系統(tǒng)的力學(xué)模型化簡為圖1.其中k是變負(fù)剛度的剛度系數(shù);m1,m2,c1,c2,k1和k2分別是主系統(tǒng)和吸振器的質(zhì)量、阻尼和剛度系數(shù);g1和τ分別是時(shí)滯反饋增益系數(shù)和時(shí)滯量;x1和x2分別是主系統(tǒng)和吸振器的位移;F0是外激勵(lì)力的幅值,ω 是外激勵(lì)頻率.

圖1 時(shí)滯耦合負(fù)剛度吸振器系統(tǒng)的力學(xué)模型Fig.1 Mechanical model of delay-coupled negative stiffness system

由牛頓第二定律得到系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程

為了優(yōu)化參數(shù)的方便和使方程更具有通用性,對方程式(1)進(jìn)行無量綱處理,為此引入如下相關(guān)參數(shù)及無量綱量

其中(·)′=d(·)/dt,(·)′′=d2(·)/dt2.設(shè)方程組(3) 的解為

將解(4)代入方程組(3)解得

其中Δ(Ω)為

引入變量A1和A2,分別代表主系統(tǒng)和吸振器的振幅,如下式

1.2 被動(dòng)負(fù)剛度吸振系統(tǒng)

忽略主系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)阻尼(即主系統(tǒng)的阻尼系數(shù)ξ1=0),同時(shí)令時(shí)滯反饋控制增益系數(shù)g=0 和時(shí)滯量τ=0,本文1.1 節(jié)所述的吸振器模型就退化為文獻(xiàn)[8]所研究的被動(dòng)式接地負(fù)剛度型動(dòng)力吸振器.文獻(xiàn)[8] 是通過固定點(diǎn)理論對兩個(gè)共振峰進(jìn)行優(yōu)化來尋找最優(yōu)結(jié)構(gòu)參數(shù)sp={ξ2,α,p,μ},滿足如下等峰優(yōu)化的條件

其中A1(sp,Ω)是主系統(tǒng)頻率響應(yīng),Ω1和Ω2分別是第一階共振頻率和第二階共振頻率.通過式(8)的優(yōu)化過程,文獻(xiàn)[8]得到最優(yōu)的一組結(jié)構(gòu)參數(shù),如下式

Asami 和Nishihara[6]通過固定點(diǎn)理論和H∞優(yōu)化理論得到滿足幅值相等的結(jié)構(gòu)參數(shù)如下

在μ=0.1 和最優(yōu)結(jié)構(gòu)參數(shù)下,畫出含接地負(fù)剛度吸振器的文獻(xiàn)[8]系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線,如圖2 中的虛線所示;在相同的結(jié)構(gòu)參數(shù)下,畫出不含接地負(fù)剛度吸振器的文獻(xiàn)[6]系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)曲線,如圖2中的實(shí)線所示.為了定量的分析圖2 中兩模型的幅頻響應(yīng)曲線,本文參考文獻(xiàn)[35] 有效減振頻帶和衰減量的定義,定義了如下考查量

圖2 最優(yōu)結(jié)構(gòu)參數(shù)下的幅頻響應(yīng)曲線Fig.2 Amplitude-frequency response curves for optimal structural parameters

其中Ares1,Ares2和Aanti分別是第一、第二共振峰和反共振峰的振幅;Ωres1,Ωres2和Ωanti分別是第一、第二共振頻率和反共振頻率;APV是兩個(gè)共振峰幅值的中間值與反共振峰幅值的差值;定義FBW是在滿足一定APV值時(shí)的有效減振頻帶寬度.

從圖2 中知,在相同質(zhì)量比μ=0.1 時(shí),文獻(xiàn)[8]減振系統(tǒng)的APV是0.58,文獻(xiàn)[6]減振系統(tǒng)的主系統(tǒng)反共振峰幅值A(chǔ)anti是1.80.因此,依據(jù)上述減振系統(tǒng)的APV和反共振峰幅值A(chǔ)anti,本文模型在進(jìn)行等峰優(yōu)化時(shí)APV小于0.5 和Aanti小于1.8,后文用到上述兩個(gè)值時(shí)不再說明.

雖然被動(dòng)式接地負(fù)剛度吸振器具有很好的降幅效果,但為了進(jìn)一步降低幅值,同時(shí)兼顧有效減振頻帶寬度和適當(dāng)?shù)墓舱穹宸蹬c反共振峰幅值差,本文考慮在負(fù)剛度吸振器系統(tǒng)加入主動(dòng)時(shí)滯反饋控制.

1.3 時(shí)滯耦合振動(dòng)系統(tǒng)

為了解決進(jìn)一步降低幅值、增大有效減振頻帶寬度和適當(dāng)?shù)墓舱穹宸蹬c反共振峰幅值差等問題,考慮在含有負(fù)剛度的吸振器中耦合入時(shí)滯反饋控制,此時(shí)系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程即為方程組(3),該方程組考慮了以下兩種條件:

(1) 考慮到主系統(tǒng)存在結(jié)構(gòu)阻尼且不可以忽略,此時(shí)主系統(tǒng)的阻尼系數(shù)為ξ1≠0.

(2) 考慮到控制器硬件設(shè)備的限制,時(shí)滯反饋控制增益系數(shù)g和時(shí)滯量 τ 的取值范圍做適當(dāng)?shù)南薅?g和 τ 的實(shí)際取值區(qū)間為:r0={(g,τ)|0 ≤g≤2,0 ≤τ ≤2}.

依據(jù)等峰優(yōu)化條件式(8),對含有時(shí)滯反饋控制的負(fù)剛度吸振器系統(tǒng)進(jìn)行初步的等峰優(yōu)化設(shè)計(jì),其優(yōu)化條件如下

其中p={μ,ξ1,ξ2,p,α}反映的是系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù).為了減小優(yōu)化分析過程計(jì)算量,考慮實(shí)際結(jié)構(gòu)模型,并對結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行取值的限定,假設(shè)質(zhì)量比μ=m2/m1=0.1 和ξ1=0.501 7 固定不變,p的其他結(jié)構(gòu)參數(shù)初始值p0由式(9)確定.

2 時(shí)滯反饋控制的等峰優(yōu)化設(shè)計(jì)

2.1 系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

時(shí)滯反饋控制會(huì)引起系統(tǒng)不穩(wěn)定,需要對反饋增益參數(shù)g和時(shí)滯量τ 進(jìn)行穩(wěn)定性分析,判定方程組(3)穩(wěn)定性的特征方程如下

根據(jù)羅斯-霍爾維茨準(zhǔn)則,時(shí)滯耦合系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是特征方程(13) 的特征根均為負(fù)實(shí)部,其穩(wěn)定區(qū)間的邊界是特征方程(13) 的特征根均為純虛根,即λ=jΩc,Ωc∈R+,令0 ≤Ωcτ ≤2π,Ωc是根的虛部.本文考慮用CTCR[28]方法對系統(tǒng)進(jìn)行穩(wěn)定性分析,進(jìn)而得到如圖3 所示的g和τ 的穩(wěn)定區(qū)間r1={(g,τ)|Re[CE(p,g,τ)] ＜0}∩r0,陰影部分代表穩(wěn)定區(qū)間.其中,圖3(a) 以負(fù)剛度系數(shù)α=-0.8 為例,給出了不同吸振器阻尼系數(shù)下g和τ 的穩(wěn)定區(qū)間;圖3(b)以吸振器阻尼系數(shù)ξ2=0.46 為例,給出了不同負(fù)剛度系數(shù)下g和τ 的穩(wěn)定區(qū)間,此時(shí)結(jié)構(gòu)參數(shù)p={μ,ξ1,ξ2,p,α}.

從圖3(a) 中觀察到,隨著吸振器阻尼系數(shù)的增大,g和τ 的穩(wěn)定區(qū)間在不斷增大;從圖3(b)中觀察到,隨著負(fù)剛度系數(shù)絕對值的減小,g和τ 的穩(wěn)定區(qū)間也在不斷增大.

圖3 不同結(jié)構(gòu)參數(shù)下g 和τ 的穩(wěn)定區(qū)間Fig.3 Stable intervals of g and τ for different structural parameters

為了驗(yàn)證CTCR 法求得的穩(wěn)定區(qū)間,以系統(tǒng)參數(shù)α=-0.8,ξ2=0.46 為例,給出g和τ 的穩(wěn)定區(qū)域圖如圖4(a) 所示.從圖4(a) 中可以看出當(dāng)g=1.2,τ=0.8 時(shí),時(shí)滯反饋控制系統(tǒng)是穩(wěn)定的;將上述時(shí)滯控制參數(shù)值分別代入特征方程(13),用“quasipolynomial mapping based root-finder”[36]法得到特征根,取所有特征根中的實(shí)部最大值Remax,分別得到圖4(b)的τ-Remax曲線和圖4(c)的g-Remax曲線.觀察上述圖可知,圖4(a)中的陰影區(qū)域是穩(wěn)定的,同時(shí)圖4(b)和圖4(c)中的臨界值等于圖4(a)的臨界曲線上的值,驗(yàn)證了CTCR 方法求得的穩(wěn)定區(qū)間是正確的.

圖4 g 和τ 的穩(wěn)定區(qū)域圖Fig.4 Stable intervals of g and τ

2.2 等峰優(yōu)化準(zhǔn)則

針對線性系統(tǒng)的被動(dòng)式吸振器的等峰優(yōu)化問題,文獻(xiàn)[6,8] 均通過固定點(diǎn)理論給出了詳細(xì)的推導(dǎo)過程并給出式(9)和式(10)所示的優(yōu)化參數(shù)解析表達(dá)式.將質(zhì)量比μ 代入該公式,可以求得滿足等峰的一組結(jié)構(gòu)參數(shù)值,但是無法通過優(yōu)化過程控制和降低等峰值的振幅.

鑒于以上原因,本文通過耦合入位移時(shí)滯反饋主動(dòng)控制來對減振系統(tǒng)的等峰優(yōu)化進(jìn)行改善,等峰優(yōu)化同時(shí)能夠?qū)崿F(xiàn)控制和降低等峰振幅的目的.但是,運(yùn)動(dòng)微分方程中含有位移時(shí)滯反饋項(xiàng),對于這樣的無限維振動(dòng)系統(tǒng),無法通過固定點(diǎn)理論獲得如式(9) 所示的優(yōu)化參數(shù)解析表達(dá)式.本文采用半解析-半數(shù)值方法對該振動(dòng)系統(tǒng)進(jìn)行等峰優(yōu)化設(shè)計(jì),數(shù)值計(jì)算的步長影響求解最優(yōu)結(jié)構(gòu)參數(shù)的精度,設(shè)計(jì)一種等峰優(yōu)化準(zhǔn)則,過程如下.

本文研究的是二自由度線性系統(tǒng)的等峰優(yōu)化問題,可以通過求解主系統(tǒng)振幅的極大值來進(jìn)行等峰優(yōu)化.首先,通過極值原理得到主系統(tǒng)極大值條件如下

其中dA1/dΩ,d2A1/dΩ2是由式(7) 求導(dǎo)得到.進(jìn)而得到共振點(diǎn)的頻率值Ωres1和Ωres2,代入式(7) 求得共振頻率點(diǎn)的幅值A(chǔ)res1和Ares2.其次,從滿足降低共振峰幅值的角度,本文將共振峰幅值控制在1.8 以下,同時(shí)使得兩個(gè)共振峰的峰值相等,考慮利用位移時(shí)滯反饋控制來調(diào)控共振點(diǎn)的幅值及共振頻率的位置,需要設(shè)計(jì)共振點(diǎn)振幅相等準(zhǔn)則,即設(shè)計(jì)如下等峰值小于給定值同時(shí)小于給定適當(dāng)APV值的等峰準(zhǔn)則

設(shè)定r2為滿足共振峰幅值相等且共振峰小于給定值和小于給定適當(dāng)值A(chǔ)PV=0.5 的穩(wěn)定g和τ 的區(qū)間,如下式所示

計(jì)算r2的詳細(xì)過程如流程圖5 所示.其中對系統(tǒng)結(jié)構(gòu)參數(shù)p0和p之間劃分為N等份,即Δp=接著對結(jié)構(gòu)參數(shù)和pn之間劃分為H等份,即N和H的取值越大,Δp和Δpn越小精度越高,本文中取N=40,H=100.Δp中的參數(shù)變化只針對Δpn中的參數(shù)變化只針對α,其他參數(shù)如表1 所示.

圖5 流程圖Fig.5 The flow chart

表1 結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 1 The structural parameters

應(yīng)用流程圖5,在不同結(jié)構(gòu)參數(shù)α 和ξ2下得到如圖6(a)所示的增益系數(shù)g和時(shí)滯τ 所能調(diào)節(jié)共振峰的最大值A(chǔ)1H曲面和最小值A(chǔ)1L曲面,其ξ2截面如圖6(c) 的陰影區(qū)域所示;同時(shí)得到增益系數(shù)g和時(shí)滯τ 所能調(diào)節(jié)的頻帶寬度最大值FBWH曲面和最小值FBWL曲面如圖6(b)所示,其ξ2截面如圖6(d)的陰影區(qū)域.從圖6(a)和圖6(c)中知,對于固定的負(fù)剛度值α,吸振器阻尼系數(shù)ξ2取值越小,位移時(shí)滯反饋控制所能優(yōu)化降低共振峰的幅值越大,減幅效果越不明顯,但都控制在1.8 內(nèi);對于固定的吸振器阻尼系數(shù),負(fù)剛度值α 的絕對值越小,增益系數(shù)g和時(shí)滯τ 優(yōu)化降低共振峰的幅值越小,減幅效果越明顯,但最低幅值并沒有低于1.2;綜上所述,吸振器阻尼系數(shù)ξ2對共振峰的影響較小,負(fù)剛度值α 對共振峰的影響較大.從圖6(b)和圖6(d)中知,對于固定的負(fù)剛度值α,隨著吸振器阻尼系數(shù)取值增大,FBWL先減小后增大,FBWH則一直增大,即增益系數(shù)g和時(shí)滯τ 所能調(diào)節(jié)的有效頻帶寬度值FBW呈增大趨勢;對于固定的吸振器阻尼系數(shù),隨著負(fù)剛度值α 的絕對值越小,FBWL-α 先減小后增大呈凹型拋物線狀,然后隨著ξ2增大FBWL-α 的曲線呈凸型拋物線狀,而FBWH-α 一直在增大.這種FBWL由凹變凸的變化趨勢和FBWH增大有助于增寬有效減振頻帶FBW寬度.

圖6 (a)A1,ξ2,α 響應(yīng)曲面;(b)FBW,ξ2,α 響應(yīng)曲面;(c)不同ξ2 參數(shù)下A1-α 響應(yīng)截面圖;(d)不同ξ2 參數(shù)下FBW-α 響應(yīng)截面圖Fig.6 (a)Response curved surfaces of A1,ξ2 and α;(b)response curved surfaces of FBW,ξ2 and α;(c)response curves A1-α on the section of different ξ2;(d)response curves FBW-α on the section of different ξ2

以吸振器阻尼系數(shù)ξ2=0.46 為例,下面分析負(fù)剛度值α 分別對g-τ 穩(wěn)定曲線、共振峰幅值A(chǔ)1和有效減振頻帶寬度FBW的影響,經(jīng)過流程圖5 得到圖7.為了便于從α 軸觀察,在圖7(a)中畫出不同負(fù)剛度值α 的截面,隨著負(fù)剛度值α 的絕對值增大,滿足所提等峰優(yōu)化方法的g和τ 曲線范圍越大.圖7(b)是不同負(fù)剛度值α 下的g,τ 和A1的曲線,從圖中知,負(fù)剛度值α 的絕對值越小,使系統(tǒng)穩(wěn)定的g和τ 所能降低共振峰A1的幅值越小.圖7(c)是不同負(fù)剛度值α 下的g,τ 和FBW的曲線,從圖中知,負(fù)剛度值α 的絕對值越大,使系統(tǒng)穩(wěn)定的g和τ 所能拓寬有效減振頻帶寬度FBW的范圍越大.

圖7 在ξ2=0.46 時(shí),不同參數(shù)α 時(shí)等峰優(yōu)化的各參數(shù)關(guān)系圖Fig.7 Parameter relationship graphs of equal-peak optimization under ξ2=0.46 for different α

綜合圖6 和圖7 可知,在對共振峰幅值優(yōu)化時(shí),當(dāng)吸振器阻尼系數(shù)取值確定時(shí),負(fù)剛度α 的絕對值越小,使系統(tǒng)穩(wěn)定的g和τ 曲線范圍越小,g和τ 所能降低的共振峰A1的幅值越小和所能拓寬有效減振頻帶寬度FBW的范圍越小,可以綜合考慮共振峰A1和有效減振頻帶寬度FBW來取負(fù)剛度α 的值.同時(shí),在實(shí)際控制系統(tǒng)中,也可以選擇能夠使得有效減振頻帶寬度較寬和等峰幅值較小的控制參數(shù),實(shí)現(xiàn)對系統(tǒng)的寬頻和低幅控制.

2.3 頻域驗(yàn)證

為了驗(yàn)證位移時(shí)滯反饋控制的等峰優(yōu)化結(jié)果,以吸振器阻尼系數(shù)ξ2=0.46 為例,從圖7(b) 中取α=-0.24,得到滿足所提等峰優(yōu)化方法的g和τ 曲線圖8(a)和對應(yīng)參數(shù)下的幅頻響應(yīng)曲線,如圖8(b)～圖8(d).從圖8(b)～圖8(d)中知,共振峰幅值均控制在1.3 左右,有效減振頻帶FBW能控制在在0.6 附近,此時(shí)共振峰幅值與反共振峰幅值的差值A(chǔ)PV也控制在0.5 以內(nèi).

圖8 穩(wěn)定g-τ 曲線上3 個(gè)標(biāo)記圓點(diǎn)的幅頻響應(yīng)曲線:α=-0.24;ξ2=0.46Fig.8 Amplitude-frequency response curves for three dots on the stability curve of g-τ:α=-0.24;ξ2=0.46

3 模型對比分析

本文設(shè)計(jì)了時(shí)滯反饋控制等峰優(yōu)化的方法并對結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化分析,對共振峰的幅值和有效減振頻帶的寬度具有調(diào)節(jié)作用.為了證明位移時(shí)滯反饋控制等峰優(yōu)化方法的有效性,選取本文的一組結(jié)構(gòu)參數(shù)與Asami 振動(dòng)系統(tǒng)[6]和Peng 振動(dòng)系統(tǒng)[8]模型的最優(yōu)結(jié)構(gòu)參數(shù)進(jìn)行對比分析,其中g(shù)=1.05,τ=0.97,3 種模型的其他結(jié)構(gòu)參數(shù)如表2 所示.

表2 三種模型的結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 2 Structural parameters for three models

把3 種模型的結(jié)構(gòu)參數(shù)分別代入式(7) 得到3種吸振器的幅頻響應(yīng)曲線如圖9 所示,其中實(shí)線是文獻(xiàn)[6]模型的幅頻響應(yīng)曲線,點(diǎn)劃線是文獻(xiàn)[8]模型的幅頻響應(yīng)曲線,虛線是本文研究模型的幅頻響應(yīng)曲線.從圖9 中可以看出,與文獻(xiàn)[6] 的吸振器模型相比,外激勵(lì)頻率Ω 在(0.5～1.3)區(qū)間內(nèi),本文的位移時(shí)滯負(fù)剛度吸振器的減幅效果明顯,同時(shí)也極大的降低了共振頻率點(diǎn)的幅值并且具有較寬的有效減振頻帶;與文獻(xiàn)[8] 的吸振器模型相比,當(dāng)外激勵(lì)頻率Ω 在(0～1.3) 區(qū)間,本文的模型具有較好的減幅效果,同時(shí)也把共振峰的幅值控制在1.3 附近,并且有效減振頻帶寬度與文獻(xiàn)[8]的相差不到0.1.

圖9 不同吸振器模型下的幅頻響應(yīng)曲線Fig.9 Amplitude-frequency response curves for different vibration absorber models

為了定量上對比分析本文吸振器模型與其他兩種吸振器模型的減幅效果,定義減幅百分比,定義如下

其中AA,AP和A1分別代表文獻(xiàn)[6,8]和本文模型的主系統(tǒng)的振幅,ρ1和ρ2是減幅百分比,當(dāng)外激勵(lì)頻率Ω ∈(0～3)畫出減幅的百分比如圖10 所示.

圖10 是本文模型分別與Asami 模型[6]和Peng模型[8]的主系統(tǒng)減振幅值百分比.從圖10(a) 和圖10(b)中可以看出,均存在3 個(gè)最大減振幅值百分比,在Ω ∈(0.5～1.3) 內(nèi)的兩個(gè)減幅百分比最大值對應(yīng)文獻(xiàn)[6]模型和文獻(xiàn)[8]模型的兩個(gè)共振頻率;第三個(gè)最大的減幅百分比是由于本文模型的幅頻響應(yīng)曲線在第二共振峰后急劇下降引起的.與文獻(xiàn)[8]模型相比,外激勵(lì)Ω 在(0～1.3)內(nèi)都能控制在20%以上,特別在文獻(xiàn)[8]的共振頻率處能達(dá)到以上45%;與文獻(xiàn)[6] 模型相比,外激勵(lì)Ω 在(0.53～1.3) 內(nèi)都能控制在20%以上,特別在文獻(xiàn)[6]的共振頻率處能達(dá)到70%以上.

圖10 主系統(tǒng)減振效果對比圖Fig.10 Control performance of the main system

當(dāng)外激勵(lì)頻率Ω=1 時(shí),分別給出文獻(xiàn)[6]模型,文獻(xiàn)[8] 模型和本文模型的主系統(tǒng)的時(shí)間歷程響應(yīng)曲線圖11(a)～圖11(c)所示,仿真的結(jié)果與圖9 的結(jié)果相吻合.

圖11 主系統(tǒng)的時(shí)間歷程響應(yīng)曲線Fig.11 Time-history response curves of main system

4 結(jié)論

本文對時(shí)滯負(fù)剛度吸振器在共振頻率點(diǎn)的幅值進(jìn)行等峰優(yōu)化設(shè)計(jì),優(yōu)化過程兼顧了控制和降低共振峰幅值以及拓寬有效減振頻帶寬度,得到以下主要幾點(diǎn)結(jié)論.

(1)對穩(wěn)定區(qū)間的影響:負(fù)剛度值α 的絕對值越小和吸振器阻尼系數(shù)ξ2越大,增益系數(shù)g和時(shí)滯τ的穩(wěn)定曲線所圍成的陰影區(qū)域面積越大.

(2)對共振峰的影響:負(fù)剛度值α 的絕對值越小和吸振器阻尼系數(shù)ξ2越大,在增益系數(shù)g和時(shí)滯τ的有效調(diào)節(jié)范圍內(nèi)降低共振峰幅值的效果越好,共振峰最低能控制在1.3 附近.

(3)對有效減振頻帶寬度的影響:隨著負(fù)剛度值α 的絕對值減少和吸振器阻尼系數(shù)ξ2增大,增益系數(shù)g和時(shí)滯τ 所能調(diào)節(jié)的有效減振頻帶寬度最大值FBWH一直在增大,所能調(diào)節(jié)的頻帶寬度最小值FBWL曲線先減少后增大,其變化趨勢由凹型拋物線變?yōu)橥剐蛼佄锞€.

(4)取一組經(jīng)過等峰優(yōu)化準(zhǔn)則的增益系數(shù)g和時(shí)滯τ,對比文獻(xiàn)[6]模型和文獻(xiàn)[8]模型,本文的模型在兩者的共振頻率附近的一段頻帶寬度內(nèi)表現(xiàn)出很好的減幅效果,同時(shí)在整個(gè)頻率段具有較低的振幅.