鐵木辛柯梁中的卸載彎曲波及二次斷裂1)

龍 龍 鄭宇軒 周風華,2) 任會蘭 寧建國

*(北京理工大學機電學院,北京 100081)

?(寧波大學沖擊與安全工程教育部重點實驗室,浙江寧波 315211)

引言

脆性材料構成的細長桿(rod)在準靜態(tài)載荷作用下發(fā)生變形,一旦出現突然斷裂,會激發(fā)出一系列卸載應力波,在卸載波的作用下,脆性桿在特定時刻、特定位置可能發(fā)生二次斷裂,伴隨不同大小的碎片產生.

脆性桿因為突發(fā)斷裂而產生的二次斷裂現象,最早見于Miklowitz[1]對玻璃桿進行拉伸實驗觀察到的二次斷裂的報道;隨后,Phillips[2],Kolsky[3]和Kinra[4]對因拉伸斷裂而激發(fā)出的卸載拉伸應力波、以及因此產生的后續(xù)斷裂等現象進行了研究.接著,Bodner[5],Kinra 等[6],Schindler 等[7]把關注重點從拉伸斷裂轉移到彎曲斷裂,對因彎曲斷裂而激發(fā)出的卸載彎曲應力波、及其因此產生的后續(xù)斷裂等現象進行了研究.特別是Schindler 和Kolsky[7]對方形截面的聚酯纖維棒進行純彎曲加載,通過粘貼在試件表面的應變片測量到因彎曲斷裂而激發(fā)出的卸載彎曲應力波,觀察到因此導致的二次斷裂現象,并基于歐拉伯努利梁理論(Euler-Bernoulli beam theory,簡稱“歐拉梁”) 給出了一個關于卸載彎曲應力波的解析解.

近年來,脆性梁在彎曲加載下的多次斷裂現象再次得到關注,Audoly 等[8]、Heisser 等[9]對意大利面條的雪崩式斷裂進行了一系列的理論和實驗研究.Audoly 等[8]使用歐拉梁理論,給出了卸載彎曲波的自相似解,通過這些解可以看出,脆性梁的突然彎曲斷裂,會激發(fā)出一系列卸載彎曲波,這些卸載波會導致梁中局部彎矩超越斷裂時刻的整體彎矩(稱之為“過沖”),從而引發(fā)后續(xù)的二次斷裂.Audoly 等[8]從理論上闡明了二次斷裂的必然性,但是,受限于歐拉梁的局限性,所分析的模型問題缺少特征時間,因此無法進一步研究二次斷裂相關特征參數,特別是具體的發(fā)生時刻和位置.作者前期工作[10]指出,脆性梁在純彎曲作用下的第一次斷裂并不是瞬時發(fā)生的,因此斷裂位置的彎矩變化不是突然卸載,而是需要經歷一個降時;考慮卸載時間相關,給出了基于歐拉梁的一個帶有特征時間的卸載彎曲波的解析解,并因此預測了依賴于特征時間的二次斷裂的碎片尺寸.

以上分析的模型問題都基于簡單的歐拉梁,根據此理論,彈性彎曲波的行波波速與其波長成反比[11],如果波長無限小,則波速無限大.換言之,一個瞬時變化的彎曲脈沖將以無限大速度傳播,這顯然不符合物理原理.事實上,歐拉梁只適用于行波波長遠大于梁橫向特征尺寸的情況,如果這兩個尺寸能夠相比較,梁的旋轉慣性就不能被忽略,Rayleigh[12]最早提出了關于旋轉慣性的修正.Timoshenko[13]進一步指出,當行波波長能夠與梁橫向特征尺寸相比較時,剪力導致的剪切變形對梁的整體橫向位移有貢獻,因此關于切應力效應的修正與關于旋轉慣性的修正同樣重要;同時考慮切應力效應和旋轉慣性,Timoshenko[13]給出了形式復雜但更加合理的控制方程.

綜上討論,在歐拉梁理論框架下,一旦彈性梁突然斷裂,所激發(fā)的卸載彎曲波將瞬間影響整個梁,相應的半無限長梁問題只能得到自相似解,雖然說明了局部曲率高于斷裂時刻曲率的“過沖”現象,但無法進一步研究二次斷裂相關特征參數.而復雜梁理論,包括考慮了旋轉慣性的瑞利梁理論(Rayleigh beam theory,簡稱為“瑞利梁”)以及同時考慮旋轉慣性和切應力效應的鐵木辛柯梁理論(Timoshenko beam theory,簡稱為“鐵木辛柯梁”),其彎曲應力波波速為有限值,因此本質上具有一個特征時間,有可能給出發(fā)生二次斷裂的時刻和位置的預測.本文在復雜梁理論框架下研究脆性梁突然彎曲斷裂所產生的卸載彎曲應力波傳播問題,采用拉普拉斯變換方法得到卸載彎曲波傳播的響應解,通過計算事例觀察其傳播特征,并給出了二次斷裂碎片尺寸的數值預測.

1 控制方程和初邊值條件

1.1 鐵木辛柯梁和控制方程

在鐵木辛柯梁的分析模型中,如圖1 所示,獨立變量為梁軸向坐標x和時間t,所有未知量均為x,t的函數;同時考慮旋轉慣性和切應力效應,梁任意截面發(fā)生的橫向位移(撓度)w被區(qū)分為兩個分量,即彎矩作用下的分量wM和剪力導致的剪切應變作用下的分量wQ.共定義10 個未知函數,包括3 個位移類函數:總橫向位移w、彎曲變形對應的橫向位移wM和剪切變形對應的橫向位移wQ;2 個力函數:彎矩M和剪力Q;2 個速度函數:橫向位移速度v和橫截面轉動角速度ω;以及3 個應變類函數:曲率κ、剪力導致的橫截面轉角γ 和彎矩導致的轉角ψ.

圖1 鐵木辛柯梁微元示意圖Fig.1 Schematic of a micro element in a Timoshenko beam

經過一系列動力學、運動學和幾何關系分析,可以得到鐵木辛柯梁的10 個基本方程

式(1a)和式(1b)為動力學方程,式(1c)～式(1h)為運動學方程,式(1i)和式(1j)為本構方程.以上10 個方程中涉及的材料或結構常數為:體積密度ρ、橫截面面積A、橫截面對中性軸的慣性矩I、材料彈性模量E和剪切模量G.

由于鐵木辛柯梁的橫截面發(fā)生了翹曲變形,其橫截面上的剪切應變并非均勻分布,因此剪力導致的橫截面轉角γ 并非由平均剪切應變導致;在橫截面上的總剪切力Q與剪切轉角γ 之間通過式(1j)聯(lián)系,其中k是與梁橫截面形狀和泊松比ν 有關的系數,被稱之為鐵木辛柯剪切系數[14].許多科學家通過復雜的彈性力學分析嘗試給出其精確數值,如Timoshenko[15,20],Mindlin 等[16],Cowper[17],Stephen[18],Hutchinson[19]等.根據Cowper[17]的研究,如果梁橫截面是方形,k=10(1+ν)/(12+11ν),如果梁橫截面是圓形,k=6(1+ν)/(7+6ν),因此對于大多數常見材料,k的取值范圍為5/6～10/9.

把式(1c)和式(1j)代入式(1a)和式(1b),可以把控制方程組寫成簡單的、僅包含兩個未知函數w和ψ 的形式

歸并式(2)和式(3),并做適當的參數定義后,可以得到僅涉及1 個未知函數w的4 階控制方程

式中,C0=表示材料的縱向彈性波速度,CQ=表示倍的橫向彈性剪切波速度,或可稱之為等效剪切波速,R=表示橫截面對中性軸的回轉半徑.對于對半徑為r的圓形截面梁來說,R=r/2,而對于邊長為l的正方形截面梁來說,

1.2 瑞利梁和歐拉梁的控制方程

如果既不考慮切應力的修正,也不考慮旋轉慣性的修正,則式(5)中第二項可以忽略,式(5)進一步的退化為歐拉梁的控制方程

1.3 不同梁理論的行波解和彌散關系

將簡單行波解w(x,t)=w0exp[i2π(x-Ct)/Λ](其中C為波速,取正數;Λ 為波長) 代入歐拉梁控制方程(6),可得

即行波波速反比于波長,因此歐拉梁中的彎曲波具有強烈的彌散效應,且波長趨于0 的短波傳播速度無限大.

將行波解代入瑞利梁控制方程(5),可得

因此,與歐拉梁不同,在瑞利梁模型中,波長趨于0 的短波的極限波速為縱向彈性波速C0.

將行波解代入鐵木辛柯梁控制方程(4),可以得到一個較復雜的彌散關系

式中K==E/(Gk)=2(1+ν)/k.

對于任何給定波長Λ,由上式可以解出絕對值不同的兩個行波波速C,分別為

這意味著有兩個以不同絕對值的速度傳播的行波與Λ 對應.特別是,對于波長趨于0 的短波,行波波速C=C0或C=C0/=CQ,從物理上分析,任何瞬時變化的擾動在梁中將激發(fā)出兩種波動現象,分別以彈性桿波的速度C0和等效剪切波速CQ傳播.

1.4 無量綱化替換

注意到在鐵木辛柯梁理論框架中存在特征尺度和特征速度,可以對基本方程進行無量綱化,以便計算和分析過程更加簡潔.選取基本特征參數如下:特征長度R、特征時間R/C0、特征速度C0、特征應力E、特征彎矩ER3、特征剪力ER2.無量綱化的參數由原參數除以特征參數得到

因此,鐵木辛柯梁的控制方程組(2)和(3)可以無量綱表示為僅包含和的形式

同樣可以對瑞利梁控制方程(5) 和歐拉梁控制方程(6)進行無量綱化,分別為

1.5 受純彎矩作用梁的突然卸載問題

考慮模型問題(原問題)如圖2(a)所示:一根半無限長的梁,左端為自由端x=0,右端為無限遠端x=∞;在自由端施加了一個幅值為M0的恒定彎矩,在彎矩作用下,梁發(fā)生了均勻彎曲;在初始時刻t=0,自由端x=0 處的彎矩M0突然被釋放、瞬時卸載到零,因此激發(fā)出一系列的卸載彎曲應力波,進而導致梁的變形、運動和受力狀態(tài)的變化.

圖2 半無限長梁突然卸載模型問題圖示Fig.2 Schematic of the sudden release model problem of a half-infinite beam

由于整個系統(tǒng)的線性特征,將上述原問題分解成兩部分:(1) 靜力學問題(圖2(b)):受恒定彎矩M0作用下靜止梁的受力和變形問題;(2)動力學問題(圖2(c)):靜止的半無限梁,在t=0 時刻,其自由端x=0 處突加一個值為-M0的彎矩,分析其變形和受力情況隨時間的變化規(guī)律.前者屬于靜力學問題,其解很容易通過控制方程組寫出:作為積分初值,假設x=0 的變形量均為0,可以得到靜力學解彎矩、剪力=0、轉角橫向位移

動力學問題的解和時間相關,需要給出初始條件.對于一個靜止梁邊界突然承受彎矩作用的問題,梁的初始條件全部為零,即

在自由端承受突加彎矩,自由端的剪力為零,無量綱化后的邊界條件為

如果求得此問題(稱之為突加彎矩問題)的動力學解,即包括橫向位移、彎矩導致轉角彎矩和剪力的各個響應函數,則原問題中對應的和的表達式如下

2 拉普拉斯正變換和頻域的解析解

2.1 鐵木辛柯梁

以下求解鐵木辛柯梁的突加彎矩問題,在考慮所有函數的零值初始條件式(16),對無量綱化的鐵木辛柯梁的控制方程組(7) 和(8) 進行拉普拉斯變換,可以得到

其中,符號?表示時域中的原函數以參數s進行拉普拉斯變換,所得到的同函數在復數頻域的像函數:結合式(19)和式(20),可得橫向位移在頻域的像函數的控制方程,這是一個以復數s為參數的對變量的4階常微分方程

式中,B=N=(K-1)/(K+1),a=2/(K-1).因此,鐵木辛柯梁中的橫向位移的像函數可以寫為如下形式

式中,C1,C2,C3,C4為待定系數.梁為半無限長,對于動力學問題而言在=∞處的橫向位移為有限值,因此C3=C4=0,上式可以簡化寫為

式中,D1,D2為待定系數.

注意由于式(19) 和式(20) 的聯(lián)立關系,待定系數D1,D2和C1,C2并不獨立,可以根據式(20)得到其之間的關系

而把式(23)和式(24)代入式(12)和式(13)可得,彎矩和剪力在頻域的像函數解為計算待定系數,對邊界條件(17a) 和(17b) 進行拉普拉斯變換,可得頻域上的邊界條件為

將式(27a)和式(27b)代入式(25)和式(26),可解得待定系數C1,C2

最后,在頻域得到鐵木辛柯梁在邊界承受突加彎矩時的響應,列舉如下:

2.2 瑞利梁

基于同樣方法,使用拉普拉斯變換方法求解瑞利梁的關于橫向位移的無量綱化控制方程(14),以及相應的彎矩和剪力,在邊界條件(27a) 和(27b) 下的解為

以上各式中

2.3 歐拉梁

進一步也可以求解歐拉梁的控制方程(15),在邊界條件(27a)和(27b)下的解分別如下

3 拉普拉斯反變換和時域求解

為獲得梁的動力學響應,需要對上述得到的頻域上的像函數解進行拉普拉斯反變換

其中,后一個等式為Bromwich 積分,σ 為像函數在復變數s的右側解析區(qū)域的某個實數值,再利用式(18a)～式(18d),可以得到一個承受恒定彎矩作用的梁端部突然卸載后的響應解.

3.1 歐拉梁的解析解

對于歐拉梁的像函數(35)～(37),參照文獻[7-8,10]可以對原函數進行解析反變換,代入式(18a)～式(18d),最后得到時間域的解析解

圖3 根據解析解(38)繪出歐拉梁突然卸載后的變形情況.在=0 時刻,梁的彎曲形狀為(靜力學解,以向下為正);在其他時刻,梁的變形為靜力學解疊加動力學變形響應.為凸顯梁的動力學變形,圖3 將靜力學解縮小到1/10,下同.一旦邊界突然卸載,所激發(fā)的應力波導致梁的撓度發(fā)生明顯變化,=0 的自由端向下方回彈,＞0 的各個位置也發(fā)生相應的撓度變化.

圖3 歐拉梁中的橫向位移(撓度)的變形特征Fig.3 Deformation characteristics of lateral deflection in an Euler-Bernoulli beam

注意在式(38)～式(40) 中,獨立變量(x,t) 總以的形式出現,即未知函數是的單變量函數,該解反映了半無限長歐拉梁在突然卸載時,其響應的自相似特征.以解式(39) 為例,不同時刻彎矩在梁中的分布曲線如圖4 中灰線所示,這些曲線都是相似的,具有峰值即應力波激發(fā)產生的彎矩峰值超過初始彎矩的43%,反映了彎矩的“過沖”;隨著傳播時間的延長,的分布曲線逐漸散開;如果→0,則第一個峰值(過沖)的位置無限接近于自由端.

圖4 歐拉梁的卸載應力波對應彎矩分布圖:解析解和GS 數值反變換解Fig.4 Bending moment profiles in a Euler-Bernoulli beam,comparation between the analytical solution and the GS numerical inversion solution

3.2 拉普拉斯數值反變換

復雜梁理論下的像函數式(28)～式(31),式(32)～式(34) 非常復雜,很難直接通過拉普拉斯反變換得到原函數的解析解.本文中使用一種數值反變換方法,即Gaver-Stehfest 法(簡稱為GS 法),進行計算求解.

首先檢驗GS 法的準確性.利用GS 法來數值反變換式(36) 的歐拉梁中的彎矩的像函數,并與解析解式(39)進行比較,數值反變換的解如圖4 所示.與解析解對比,可以看出,GS 數值反變換的結果基本接近解析解結果:在不同時刻,GS 法結果在第一個波峰及之前的數值結果與解析解基本一致,但在后期表現出一定的分散性.對于我們的問題,關注重點是自由端初始彎矩的突然釋放所激發(fā)出的卸載彎曲波,特別是卸載波峰值發(fā)生的時刻和距離,即圖4 中第一個波峰所處階段,而在這一階段,GS 法的結果能夠較好地反應出真實結果(解析解),因此,使用數值反拉普拉斯變換的GS 算法求解我們的模型問題是可行的.

3.2.1 鐵木辛柯梁中的卸載彎曲波

根據上面討論,使用GS 算法對鐵木辛柯梁中的彎矩式(30)、橫向位移式(28)和剪力式(31)的像函數進行數值反拉普拉斯變換,進一步代入式(18a)～式(18d),可以得到預彎曲的鐵木辛柯梁突然卸載所激發(fā)的卸載彎曲波的響應解.

圖5 展示了半無限長鐵木辛柯梁在自由端初始彎矩突然釋放、瞬時卸載為零值后,在較早的時刻=0～11)梁中激發(fā)出的彎矩形式的卸載彎曲波的波形圖,其中圖5(a)在一張圖中比較了各個時刻的彎矩分布曲線,圖5(b)為各個時刻拆分的彎矩分布圖.首先可以看到鐵木辛柯梁中卸載彎曲波傳播的局部化效應:在自由端=0 處,彎矩值始終是零值,符合自由端初始彎矩突降為零的邊界條件;而離自由端較遠的位置并沒有受到自由端卸載的影響,其彎矩值仍保持初始彎矩值.定性而言,鐵木辛柯梁中彎曲波的傳播速度為有限值,與歐拉梁不一樣;圖5(b)中紅點標志以C0速度傳播的瞬時脈沖在不同時刻到達的位置,可見,定量而言,數值反變換得到的彎矩擾動的近似解的傳播速度與C0接近.另一方面,突然卸載激發(fā)出來的卸載波表現出了一定的震蕩和雜亂、特別在早期時刻,這是由于自由端的初始彎矩突降為零的奇異性所導致的.

圖5 卸載后較早時刻的鐵木辛柯梁中的彎曲卸載波Fig.5 Unloading bending moment waves in a Timoshenko beam at early moments

圖5 卸載后較早時刻的鐵木辛柯梁中的彎曲卸載波(續(xù))Fig.5 Unloading bending moment waves in a Timoshenko beam at early moments(continued)

圖6 和圖7 分別展示了不同時刻鐵木辛柯梁中的橫向位移(撓度) 的圖形和剪力的波形圖.從圖6可以看出,隨著自由端初始彎矩的突然釋放、瞬時卸載,梁從自由端開始發(fā)生回彈,并激發(fā)出一系列的彎曲擾動.而從圖7 可以看出,梁自由端的剪力始終為零,這符合只承受彎矩而不承受剪力的邊界條件;自由端彎矩的突然釋放、瞬時卸載在鐵木辛柯梁中激發(fā)出一系列的切應力形式的應力波.在梁中的不同位置,切應力的值也并不相同,也展現出一定的局部化效應,切應力形式的應力波也以有限速度在梁中傳播,并不影響遠離自由端的梁中部分,其仍保持初始的零值.梁中的剪力從自由端開始從零值逐漸增加,達到峰值后回落,后在零值附近震蕩.在不同時刻,剪力峰值首先隨著時間不斷增大,在到達最大切應力峰值后,隨著逐漸降低.

圖6 鐵木辛柯梁中的橫向位移(撓度)的變形特征Fig.6 Deformation characteristics of lateral deflection in a Timoshenko beam

圖7 不同時刻鐵木辛柯梁中的剪力分布Fig.7 Shear force distribution in a Timoshenko beam at different moments

由于彎矩是導致梁發(fā)生二次斷裂的關鍵力學量,本工作關注激發(fā)出的應力波所對應的彎矩分布.總體而言,鐵木辛柯梁中激發(fā)的彎矩峰值,在各個時刻大小不同,彎矩峰值隨著時間逐漸增大,表現出與歐拉梁明顯的不同,這是由于多考慮了旋轉慣性和切應力的影響.從圖5 與圖4 的對比中可以看到:歐拉梁中的卸載彎曲波,在任意時刻,彎矩峰值都是相同的(圖4),這也是由于其自相似解的數學特性決定的,換句話說,在任意時刻,歐拉梁中都總有一個位置,會達到這個峰值;而在鐵木辛柯梁中可以看到,不同時刻彎矩峰值的幅值是不相同的,在早期,彎矩峰值隨著時間而延長.

為了進一步探討這個變化的彎矩峰值,繼續(xù)給出更大時刻中卸載彎曲波的波形圖,如圖8 所示.從圖8 可以看出,隨著傳播時間的延長,彎矩峰值也逐漸增大,最終趨于一個漸近最大值,其值為1.43,該數值恰好是2 倍的菲涅爾正弦積分的最大值,與歐拉梁中的彎矩峰值相同.

圖8 卸載后較晚時刻的鐵木辛柯梁中的彎曲卸載波Fig.8 Unloading bending moment waves in a Timoshenko beam at later moments

3.2.2 瑞利梁中的卸載彎曲波

使用 GS 法來數值反變換瑞利梁中的彎矩式(33)、橫向位移式(32) 和剪力式(34) 的像函數,可以得到瑞利梁中相應的卸載彎曲波的響應解.

圖9 和圖10 所示分別為半無限長瑞利梁在自由端彎曲突然釋放、瞬時卸載為零值后,不同時刻梁中激發(fā)的彎矩形式的卸載彎曲波的波形圖.從圖9 和圖10 可以看出,在不同時刻,自由端處的彎矩始終是零值,這符合模型問題的邊界條件;而在離自由端較遠的瑞利梁中,彎矩值仍保持初始彎矩值,這也體現了瑞利梁中卸載彎曲波傳播的局部化效應,這說明旋轉慣性的引入改進了簡單梁理論的不足,將無限大的彎曲波波速降為有限值.但是,從圖9 和圖5 的對比可以看出,在卸載彎曲波傳播的早期,瑞利梁中的波形圖比較規(guī)整,并沒有明顯的雜亂,這說明圖5 中鐵木辛柯梁中早期的卸載彎曲波呈現出的一定的震蕩與切應力效應有關.結合圖9 和圖10,在不同時刻,瑞利梁中的彎矩峰值的變化,首先是隨著時間不斷增大的,這與鐵木辛柯梁中的情況相一致,但是,從圖10 中可以看出,與鐵木辛柯梁所不同,瑞利梁中的卸載彎曲波并不是單調增大的,而是在增大到其彎矩峰值的最大值后緩慢下降的,并有一個漸近最小值,這體現了切應力對卸載彎曲波的影響.

圖9 卸載后較早時刻的瑞利梁中的彎曲卸載波Fig.9 Unloading flexural stress waves in a Rayleigh beam at early moments

圖10 卸載后較晚時刻的瑞利梁中的彎曲卸載波Fig.10 Unloading flexural stress waves in a Rayleigh beam at later moments

圖11 和圖12 所示分別為不同時刻瑞利梁中的橫向位移(撓度)的圖形和剪力的波形圖.從圖11 可以看出,隨著自由端初始彎矩的瞬時卸載,瑞利梁從自由端開始發(fā)生回彈,并激發(fā)出一系列的彎曲擾動.而從圖12 可以看出,瑞利梁中也激發(fā)出一系列的切應力形式的應力波,其值從自由端開始從零值逐漸增大,達到峰值后回落,后在零值附近震蕩,展現出一定的局部化效應.

圖11 瑞利梁中的橫向位移(撓度)的變形特征Fig.11 Deformation characteristics of lateral deflection in a Rayleigh beam

圖12 不同時刻瑞利梁中的剪力分布Fig.12 Shear force distribution in a Rayleigh beam at different moments

然而,瑞利梁中的卸載彎曲波和鐵木辛柯梁的卸載彎曲波還是存在一定的不同.比如對于梁中橫向位移來說,同樣的在=10 時刻,橫向位移的谷值,瑞利梁在=5 左右,而鐵木辛柯梁中則在=4左右,對于梁中的剪力來說,瑞利梁在=2 時就出現了切應力峰值的最大值,而鐵木辛柯梁則在時才達到切應力峰值的最大值,這說明瑞利梁中彎曲波的傳播速度大于鐵木辛柯梁.而對于梁中彎矩來說,兩種梁理論的區(qū)別更加明顯,瑞利梁中的彎矩峰值先增大后降低,最終存在一個漸近最小值,而鐵木辛柯梁中的彎矩峰值是單調增大的,最終存在一個漸近最大值.同樣的在=9 時刻,瑞利梁的彎矩峰值在=9 處,其值為1.46,而鐵木辛柯梁的彎矩峰值在=7 處,其值為1.15.這說明,切應力的引入,進一步降低了卸載彎曲波的波速,鐵木辛柯梁中的彎曲卸載波的波速小于瑞利梁中的波速,切應力的影響還包括拉低了彎矩峰值的最大值.

4 彎矩峰值和梁的二次斷裂

脆性梁的二次彎曲斷裂是一個經典問題,Schindler 等[7]基于經典的歐拉梁,證明突然斷裂的純彎曲梁中將激發(fā)出一個用菲涅爾正弦積分函數表示的彎曲波,如式(39) 所表征,其彎矩峰值的“過沖”導致二次斷裂.Audoly 等[8]重新求解了此問題,并將其結論用于解釋意大利面條掰斷時總伴隨的二次斷裂現象.對于歐拉梁來說,波速無限大,故而不存在特征時間,因此在歐拉梁中的任意位置,彎矩峰值都能夠達到其最大值,并且在任意位置的彎矩峰值的最大值相同,根據式(39) 可算出彎矩峰值最大值為2 倍的菲涅爾正弦積分函數的最大值,約為1.43.

事實上,在一個瞬態(tài)斷裂的過程中,梁的結構慣性效果不可避免.如果考慮了梁的旋轉慣性以及切應力效應,則激發(fā)彎曲波的傳播速度將為有限值,從而帶來一個“特征時間”概念.比較圖4 (歐拉梁)、圖9 和圖10(瑞利梁)、圖5 和圖8(鐵木辛柯梁)的卸載彎曲波激勵的不同時刻的彎矩分布曲線,可以看出:由于旋轉慣性以及切應力效應的引入,卸載導致的彎矩“過沖”現象并非瞬時發(fā)生在斷裂點(即瞬態(tài)卸載的自由端)緊鄰,而是需要一定的時間、且距離斷裂點有一定的距離.

為了定量分析二次斷裂的位置,給出了在歐拉梁、瑞利梁和鐵木辛柯梁下模型問題中卸載彎曲波誘發(fā)的彎矩峰值(“過沖”)的發(fā)生位置,即圖4、圖9和圖10、圖5 和圖8 中不同時刻彎矩分布曲線的包絡線,如圖13 所示.顯然,歐拉梁的峰值包絡線是一條幅值恒為1.43 的水平線.對于瑞利梁來說,旋轉慣性的引入使得彎曲波波速降為有限值,邊界突然卸載后,彎曲波的峰值發(fā)展達到其峰值最大值需要一段時間,其峰值隨著傳播距離的增大先增大,超過其峰值最大值之后再緩慢下降,最終達到漸近的水平值.而對于鐵木辛柯梁,切應力效應的引入進一步拉低了彎曲波的波速,也抑制了早期彎矩峰值過沖的發(fā)展,其結果就是:隨著傳播距離的增大,不同位置經歷的彎矩峰值逐漸增大,最后達到漸進的水平值.無論時瑞利梁還是鐵木辛柯梁,彎矩峰值在不同位置的空間漸進峰值都是1.43,和歐拉梁一樣.

圖13 3 種梁理論下卸載彎矩峰值包絡線圖Fig.13 Envelope schematic of unloading peak values of bending moment in three beams

作者前期工作[10]指出梁中的彎矩峰值包絡線圖可以用來預測二次斷裂發(fā)生位置和時刻.在一個半無限長彈性梁問題中,令初始彎矩M0等于準靜態(tài)下的臨界斷裂彎矩Mc,初始彎矩的突然卸載可以看成準靜態(tài)下自由端的突然斷裂,即第一次斷裂.斷裂所激發(fā)的卸載波在梁中導致彎矩過沖,即圖13 中三種梁理論預測的彎矩峰值都超越了1,因此很可能會發(fā)生二次斷裂.

二次斷裂的位置與材料局部強度有關,然而顯然,局部彎矩越大該點發(fā)生二次斷裂的概率越大.假設達到0.99 漸近值的位置為二次斷裂的特定位置,那么圖13 中最先達到這個幅度的點就是二次斷裂點.對于瑞利梁來說,所對應的位置為=6,即6 倍橫截面回轉半徑.對于圓形截面梁來說,該位置為離開斷口1.5 倍橫截面直徑(圓形截面回轉半徑=1/4 圓直徑),這個估計遠小于實驗和模擬中所報導的二次斷裂碎片尺寸[9-10].

事實上,對于一個突然斷裂、彎矩瞬間降為0 的物理場景,瑞利梁并不適用于卸載彎曲波分析,因為切應力效應將導致卸載波結構更加復雜.鐵木辛柯梁同時考慮了旋轉慣性和切應力效應的作用,是一個更加合理的模型.由于剪力的影響,剪切波將進一步減緩彎矩的增長,從而延遲特定位置處彎矩達到峰值的時間.根據圖13 的包絡線的結果,局部彎矩達到所對應的位置為=26,即約為7 倍梁橫截面直徑,與實驗[9-10]所報道的二次斷裂的碎片尺寸約為6 到13 倍梁橫截面厚度的結果一致.

5 結論和討論

本文研究了半無限長彈性梁在準靜態(tài)彎曲加載條件下,由于自由端的初始彎矩突然釋放而在梁中激發(fā)出的一系列卸載彎曲應力波問題.該問題的提出背景對應著脆性梁的突然斷裂所導致的二次斷裂現象.傳統(tǒng)的基于歐拉梁的模型問題缺乏特征時間,因此不能給出二次斷裂位置的預測.

本文提出了基于鐵木辛柯梁和瑞利梁的模型問題,采用拉普拉斯變換方法求解問題,給出了卸載彎曲波的像函數解,并采用數值反變換方法得到的原函數的時域響應解,給出了突然卸載(即斷裂) 發(fā)生后,歐拉梁、瑞利梁和鐵木辛柯梁的回彈變形圖像.計算結果表明:包含了旋轉慣性和切應力效應的鐵木辛柯梁的回彈變形具有明顯的滯后現象,代表了有限應力波傳播速度的特性.

本文計算了梁中不同時刻的彎矩分布情況,結果表明:旋轉慣性的引入使鐵木辛柯梁和瑞利梁中的卸載彎曲波的傳播具有強烈的局部化效應,梁中的卸載彎曲波隨著時間逐漸變化,梁中各個位置經歷的彎矩峰值大小不同;對于瑞利梁來說,峰值彎矩先增大后降低,在達到最大值后緩慢下降到一個漸近值,對于鐵木辛柯梁來說其峰值彎矩總體上隨著時間單調增大到同一個漸近值,這兩個漸近值與歐拉梁的峰值彎矩相同,均為2 倍的菲涅爾正弦積分函數的最大值;切應力的引入進一步地降低了鐵木辛柯梁中的卸載彎曲波的波速,同時也使得鐵木辛柯梁中的彎矩峰值的最大值小于瑞利梁中的最大值.對于脆性細長梁的純彎曲斷裂,鐵木辛柯梁可以較好地預測二次斷裂,對應的碎片尺寸為7 倍梁橫截面厚度.對本文工作的一些討論如下:

(1)脆性梁的突然斷裂導致卸載波、彎矩過沖以及二次斷裂的現象久為人知,對半無限長梁模型采用歐拉梁方法進行的分析簡潔、具有解析解,但缺乏關鍵的特征時間參數.對于一個真實的物理過程,二次斷裂涉及的時間因素可能來自于以下方面:(a)梁的模型本身——需要采用復雜梁理論如鐵木辛柯梁;(b)斷裂過程——無論多脆的材料,其斷裂都需要一個過程,因此卸載需要一定的時間;(c)對于有限長度梁,彎曲應力波將在另一端產生反射,導致結構效應.本文分析了第一個因素的結果,更復雜的時間效應有待進一步分析.

(2)由于數學處理的復雜性,本文采用數值反拉普拉斯變換變換方法計算梁的動力學響應,雖然屬于解析解,但不可避免地帶來數值誤差.本文計算結果所揭示的突然卸載的動力學響應過程定性看基本合理,但對于更復雜的物理問題,可能需要采用全數值模擬的方法進行分析.