半馬爾可夫跳變系統(tǒng)在分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)干擾下的采樣控制

孟 靜，解 靜

(青島理工大學(xué) 信息與控制工程學(xué)院，青島 266525)

半馬爾可夫過程是能夠更接近于真實(shí)工程情況的模擬過程，它有著極大的實(shí)際研究潛力和深厚的理論支持，其研究所得的成績直接關(guān)系到生產(chǎn)實(shí)際中的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，已經(jīng)得到了國際上廣大學(xué)者的重視，并且部分研究成果已經(jīng)被成功地應(yīng)用于網(wǎng)絡(luò)控制、容錯(cuò)控制和現(xiàn)代通信技術(shù)等領(lǐng)域。采樣控制是指在采樣周期內(nèi)，系統(tǒng)將采樣瞬間的信息保持恒定。采樣控制器具有安裝方便、效率高、可靠性好等優(yōu)點(diǎn)。WANG Jing等討論了具有半馬爾可夫跳躍拓?fù)涞膹?fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的廣義耗散同步問題，其中不同拓?fù)渲g的切換是由半馬爾可夫跳躍拓?fù)溆|發(fā)的馬爾可夫過程，核心是利用一種新的采樣數(shù)據(jù)控制器，使同步誤差系統(tǒng)隨機(jī)穩(wěn)定[1]。WU Tianyu等研究了半時(shí)滯系統(tǒng)的H∞指數(shù)同步問題，利用采樣控制方法，實(shí)現(xiàn)了馬爾可夫跳變復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的控制；通過構(gòu)造一個(gè)具有環(huán)泛函的合適李雅普諾夫泛函，并采用先進(jìn)的不等式方法，給出了時(shí)滯半馬爾可夫跳躍復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)H∞指數(shù)同步的充分條件[2]。WANG Jing等研究了半馬爾可夫跳變慣性神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的有限時(shí)間同步問題，利用采樣數(shù)據(jù)控制來減輕有限通信帶寬的負(fù)擔(dān)[3]。LIU Yuan等研究了具有復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)同步問題的半馬爾可夫過程，半馬爾可夫過程是用于描述不同模態(tài)之間切換的網(wǎng)絡(luò)拓?fù)?；同時(shí)，在采樣系統(tǒng)中考慮了一個(gè)恒定的信號(hào)傳輸延遲數(shù)據(jù)控制器處理同步問題，采用內(nèi)存采樣數(shù)據(jù)控制方案來保證主從系統(tǒng)的同步[4]。王慶等通過把采樣區(qū)間劃分為4個(gè)區(qū)間，研究了馬爾可夫跳變系統(tǒng)的采樣控制問題。針對(duì)這個(gè)系統(tǒng)，在采樣區(qū)間內(nèi)建立2個(gè)狀態(tài)空間表達(dá)式，利用其建立了一種新穎的分段泛函[5]。田佳萍等研究了馬爾可夫模型的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)采樣控制的主從同步問題，在零輸入策略的框架下提出了一種新型的采樣控制器[6]。綜上，研究基于馬爾可夫系統(tǒng)的采樣控制方法，如何設(shè)計(jì)采樣控制器是需要解決的第一個(gè)關(guān)鍵技術(shù)。

分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)具有平穩(wěn)增量、自相似性和長程相關(guān)性等性質(zhì)，這是許多自然現(xiàn)象和社會(huì)現(xiàn)象的內(nèi)在特性，所以分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)構(gòu)成的模型是使用最廣泛的模型之一。D’AURIA Bernardo等研究了一個(gè)反射馬爾可夫調(diào)制布朗運(yùn)動(dòng)，該運(yùn)動(dòng)的漂移擴(kuò)散系數(shù)和2個(gè)邊界由有限狀態(tài)空間不可約連續(xù)時(shí)間馬爾可夫鏈共同調(diào)制[7]。HE Miao等研究了一類帶有分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)，具有馬爾可夫跳變參數(shù)的隨機(jī)非線性系統(tǒng)的事件觸發(fā)自適應(yīng)動(dòng)態(tài)面全狀態(tài)控制問題[8]。DONG Hailing等研究了部分未知過渡率、隨機(jī)噪聲和隨機(jī)耦合強(qiáng)度下的帶有分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)馬爾可夫交換復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的同步問題[9]。目前關(guān)于帶分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)的馬爾可夫系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析，大都采用指數(shù)型李雅普諾夫函數(shù)，且對(duì)此進(jìn)行研究的文獻(xiàn)較少，本文選取了與Malliavin導(dǎo)數(shù)有關(guān)的新型Lyapunov泛函，利用線性矩陣不等式得到了Malliavin導(dǎo)數(shù)部分使得系統(tǒng)有限時(shí)間隨機(jī)有界的條件, 這是本文需要解決的第二個(gè)關(guān)鍵技術(shù)。

綜上，本文將對(duì)分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)干擾下半馬爾可夫跳變系統(tǒng)的采樣控制問題進(jìn)行研究，為解決上述兩個(gè)關(guān)鍵技術(shù)問題，本文將研究采樣控制器的設(shè)計(jì)、系統(tǒng)有限時(shí)間隨機(jī)有界性分析，最后要通過數(shù)值算例來驗(yàn)證所提方法和技術(shù)的有效性。

1 問題描述與假設(shè)

定義連續(xù)時(shí)間離散狀態(tài)的齊次半馬爾可夫過程為r(t):r(t)∈S={1,2,…,s}，其中連續(xù)時(shí)間t≥0，模態(tài)轉(zhuǎn)移速率定義為

在完備概率空間上，考慮一類受分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)干擾的半馬爾可夫跳變系統(tǒng)：

(1)

定義1[10](有限時(shí)間隨機(jī)有界)對(duì)半馬爾可夫跳變系統(tǒng)(1)，如果存在常數(shù)c1，c2(c10和Pi>0使得以下關(guān)系在時(shí)間區(qū)間[0,T]上成立：

E{xΤ(0)P(r(0))x(0)}≤c1?E{xΤ(t)Pix(t)}≤c2,?t∈[t1,t2]

則稱系統(tǒng)(1)在u(t)=0下是關(guān)于(c1,c2,T,Pi)有限時(shí)間隨機(jī)有界的。

式中：E{·}為數(shù)學(xué)期望；xT(t)為系統(tǒng)狀態(tài)向量x(t)的轉(zhuǎn)置，這里的T為轉(zhuǎn)置。

引理1[11]對(duì)任意矩陣W>0, 標(biāo)量γ1和γ2滿足γ2>γ1，設(shè)矢量函數(shù)為w:[γ1,γ2]→Rn，則下列積分不等式成立：

2 主要結(jié)果

2.1 采樣控制器設(shè)計(jì)

定義一個(gè)序列tk(k=0,1,…,s)為采樣時(shí)間，且滿足t0

0≤tk+1-tk=a,a>0,?k≥0

(2)

在采樣時(shí)間tk(k=0,1,…,s)的定義下，系統(tǒng)(1)的控制信號(hào)由零階保持器生成，由此定義的采樣反饋控制器為

u(t)=Kix(tk),t∈[tk,tk+1],i∈S,

(3)

式中：Ki為需要設(shè)計(jì)的反饋增益矩陣；[tk,tk+1]之間控制器的數(shù)據(jù)通過零階保持器保持不變；x(tk)為采樣瞬間tk時(shí)狀態(tài)x(t)的測(cè)量值。

令τ(t)=t-tk,t∈[tk,tk+1]，則式(3)等價(jià)于：

u(t)=Kix(t-τ(t)),t∈[tk,tk+1]

(4)

對(duì)t∈[tk,tk+1]，將式(4)代入式(1)得到閉環(huán)系統(tǒng)(5)：

(5)

2.2 有限時(shí)間隨機(jī)有界性分析

下面討論閉環(huán)系統(tǒng)(5)的有限時(shí)間隨機(jī)有界性問題。

定理1對(duì)于任意的i=1,2,…,q，在有限時(shí)間區(qū)間[0,T]上，如果存在矩陣Si，Ki和對(duì)稱正定矩陣Xi，R1，R2使得以下線性矩陣不等式成立：

(6)

(7)

那么具有采樣反饋控制器(3)的系統(tǒng)(1)是有限時(shí)間隨機(jī)有界的。矩陣中*為對(duì)稱矩陣中對(duì)稱項(xiàng)的省略號(hào)。

證明：根據(jù)文獻(xiàn)[12]，在有限時(shí)間區(qū)間[0,T]上對(duì)i∈S構(gòu)造如下新型Lyapunov泛函：

(8)

那么在Malliavin導(dǎo)數(shù)定義下對(duì)V(x(t),i,t)求無窮小算子LH可得

(9)

(10)

在時(shí)間區(qū)間[0,T]中，有以下不等式成立：

(11)

將式(10)，式(11)代入式(9)可得

(12)

下面分別證明E{I1}<0和E{t2H-1I2}<0。首先討論關(guān)于E{I1}<0的證明，顯然，下列不等式成立：

(13)

(14)

(15)

其中

然后討論關(guān)于E{t2H-1I2}<0的證明?，F(xiàn)定義時(shí)間變量γ(t)(0<γ(t)

那么根據(jù)引理1可得

(16)

(17)

由式(17)可推導(dǎo)得

(18)

將式(18)代入式(16)得

(19)

(20)

綜上，可得E{LHV(x(t),i,t)}=E{I1}+E{t2H-1I2}<0。再根據(jù)定義1和文獻(xiàn)[12]的結(jié)論可知，閉環(huán)系統(tǒng)(5)是有限時(shí)間隨機(jī)有界。證明完畢。

3 數(shù)值算例

考慮具有3個(gè)半馬爾可夫跳變模式的系統(tǒng)(1)，即i=1，2，3，定義其矩陣參數(shù)為

半馬爾可夫過程的概率速率矩陣為

駐留時(shí)間κ=0.886 25, 概率密度函數(shù)gi(κ)服從Weibull分布，具體參數(shù)取值分別為g1(κ)=2κe-κ2，g2(κ)=3κ2e-κ3，和g3(κ)=5κ4e-κ5。定義T=15和H=0.7。利用MATLAB可求得滿足定理1條件的下列矩陣的可行解：

因此，該數(shù)值算例在定理1條件下是有限時(shí)間隨機(jī)有界的。

4 結(jié)束語

在分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)干擾下，本文對(duì)半馬爾可夫跳變系統(tǒng)的有限時(shí)間隨機(jī)有界性問題進(jìn)行了分析。首先給出了采樣控制器的設(shè)計(jì)；然后，通過建立與Hurst指數(shù)相關(guān)且?guī)в卸胤e分的新型Lyapunov泛函，得到了閉環(huán)系統(tǒng)有限時(shí)間隨機(jī)有界的充分條件；最后數(shù)值算例驗(yàn)證了本文所提方法的可行性。本文研究的分?jǐn)?shù)布朗運(yùn)動(dòng)和采樣控制器設(shè)計(jì)方法將為后續(xù)研究復(fù)雜動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)提供參考價(jià)值。