一類新型仿生起豎結(jié)構(gòu)設(shè)計及其動力學(xué)分析1)

錢佳偉 孫秀婷,2) 徐 鑒 方虹斌,??

* (同濟大學(xué)航空航天與力學(xué)學(xué)院,上海 200092)

? (復(fù)旦大學(xué)智能機器人研究院,上海 200433)

** (復(fù)旦大學(xué)智能機器人工程技術(shù)研究中心,上海 200433)

?? (復(fù)旦大學(xué)智能機器人教育部工程研究中心,上海 200433)

引言

隨著科學(xué)技術(shù)的不斷發(fā)展,機器人的應(yīng)用范圍越來越廣泛,應(yīng)用場景也越來越多樣化.為了進行災(zāi)后搜救、管道清理、未知區(qū)域探索等任務(wù),機器人需要能在有限的工作空間和不規(guī)則的地形下移動并完成任務(wù).于是,許多學(xué)者以蚯蚓等蠕蟲為仿生對象,設(shè)計了一系列仿蠕蟲機器人[1-8].受到蚯蚓的運動來源于體節(jié)的軸向變形的啟發(fā),在此類仿蠕蟲機器人的設(shè)計中,仿蠕蟲機器人通過不同的驅(qū)動方式驅(qū)動環(huán)向和縱向彈性元件使體節(jié)單元發(fā)生軸向伸縮變形,從而實現(xiàn)仿蠕蟲機器人的運動[1].Fang 等[2]使用折紙球結(jié)構(gòu)作為仿蠕蟲機器人的體節(jié)單元,通過電機驅(qū)動繩索控制體節(jié)單元的伸縮變形,在管道中實現(xiàn)了仿蠕蟲機器人的后退蠕動波運動;Luo 等[3]提出了一種剪刀結(jié)構(gòu)單元的仿蠕蟲機器人,該剪刀結(jié)構(gòu)單元可以通過伺服電機控制體節(jié)單元的伸縮變形模擬蠕蟲環(huán)肌與縱肌的變形,從而實現(xiàn)移動的功能;Pfeil 等[4]提出了一種介電彈性體驅(qū)動的軟體仿蠕蟲機器人,其體節(jié)單元由內(nèi)部的保持結(jié)構(gòu)和外部的介電彈性體構(gòu)成,通過切換介電彈性體一端電極的電壓使體節(jié)單元發(fā)生伸縮變形.由于彈簧的拉壓變形與蠕蟲體節(jié)單元的伸縮變形相似,也有一些學(xué)者將蠕蟲機器人描述為多單元的振動驅(qū)動系統(tǒng)[5],并針對振動驅(qū)動系統(tǒng)的驅(qū)動方式[6]、外部摩擦[7]和運動形式[8-9]進行了分析.然而,這些仿蠕蟲機器人僅通過軸向伸縮變形實現(xiàn)了移動的功能,并不具備起豎的功能,因此在管道勘測、地形偵察、精密加工等應(yīng)用中無法完成特定操作.為了使仿蠕蟲機器人具有執(zhí)行特定操作的能力,希望設(shè)計一種仿生起豎結(jié)構(gòu),使仿蠕蟲機器人具有尺蠖、蛇等生物的起豎功能.

與蚯蚓等蠕蟲通過體節(jié)的伸縮變形來進行移動不同,起豎這種運動形式需要通過彎曲變形來實現(xiàn).根據(jù)不同應(yīng)用場景的需求,結(jié)合材料、結(jié)構(gòu)設(shè)計、驅(qū)動和控制方法,學(xué)者們提出了許多能夠產(chǎn)生彎曲變形的仿生結(jié)構(gòu).為了代替人類在太空執(zhí)行任務(wù),學(xué)者們針對柔性機械臂提出了相應(yīng)的控制方法使其產(chǎn)生需求的彎曲變形[10-12],從而執(zhí)行航天器維修、在線裝配等任務(wù);以章魚手臂為靈感可以實現(xiàn)對不同形狀物體的穩(wěn)定抓取[13-15];為了幫助中風(fēng)患者恢復(fù)抓取的功能,學(xué)者們設(shè)計了協(xié)助手指產(chǎn)生彎曲變形的上肢外骨骼[16-18];Zareei 等[19]以實現(xiàn)快速展開機構(gòu)為目的,將彈簧的兩端分別連接在不同桿的中心位置,通過在關(guān)節(jié)處施加幾何的位置限制,得到了一種具有雙穩(wěn)態(tài)性質(zhì)的彎曲關(guān)節(jié),并基于這種彎曲關(guān)節(jié)提出了一種在初始激勵下能發(fā)生彎曲變形的串聯(lián)結(jié)構(gòu)[19].然而,該研究在對串聯(lián)結(jié)構(gòu)進行分析時,假定了彎曲變形發(fā)生在水平平面內(nèi),沒有考慮在重力作用下豎直平面內(nèi)的彎曲變形,也沒有對該結(jié)構(gòu)不同構(gòu)型的觸發(fā)條件進行分析.此外,大部分以彎曲變形為目標的結(jié)構(gòu)只能產(chǎn)生C 形的構(gòu)型,無法實現(xiàn)更加復(fù)雜的構(gòu)型.

在自然界中,可觀察到蛇、尺蠖等具有起豎能力的生物能根據(jù)不同的情況觸發(fā)不同的穩(wěn)定構(gòu)型,當(dāng)其在移動或者休息時,身體緊貼地面,處于直線穩(wěn)定構(gòu)型,當(dāng)其在偵察、攻擊、防御、捕食時,身體處于特定的起豎穩(wěn)定構(gòu)型.仿起豎功能的結(jié)構(gòu)設(shè)計能夠進一步拓展仿蠕蟲機器人在不同場景中的應(yīng)用及其功能.具有多穩(wěn)態(tài)特征的非線性柔性結(jié)構(gòu)能夠?qū)崿F(xiàn)起豎功能的仿生設(shè)計.學(xué)者們利用不同的方法,設(shè)計了不同類型的多穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu)以實現(xiàn)需求的仿生物變形功能[20-21].捕蠅草具有張開狀態(tài)和閉合狀態(tài)兩種不同的穩(wěn)定狀態(tài),當(dāng)昆蟲等生物觸及其表面時,捕蠅草便會快速地從張開狀態(tài)切換至閉合狀態(tài)以捕獲獵物[22-23].學(xué)者們受其啟發(fā),設(shè)計了一系列仿捕蠅草多穩(wěn)態(tài)結(jié)構(gòu),并利用電磁驅(qū)動[24-25]、形狀記憶合金[26]、氣動[27]等驅(qū)動方法完成狀態(tài)的切換;Li 等[28]基于捕蠅草細胞組織的分布式加壓和內(nèi)嵌式多穩(wěn)態(tài)這兩個特點,提出了一種仿捕蠅草的射流折紙結(jié)構(gòu),該結(jié)構(gòu)能夠通過調(diào)控壓強實現(xiàn)結(jié)構(gòu)在單穩(wěn)態(tài)、雙穩(wěn)態(tài)和多穩(wěn)態(tài)之間的切換.Lachenal 等[29]利用兩個預(yù)應(yīng)力法蘭構(gòu)造了一種多穩(wěn)態(tài)復(fù)合扭轉(zhuǎn)結(jié)構(gòu),該結(jié)構(gòu)能在外界力矩下從直線構(gòu)型轉(zhuǎn)換為扭轉(zhuǎn)構(gòu)型;Zirbel 等[30]提出了一種有限厚度的折紙結(jié)構(gòu)模型,可以應(yīng)用于可展開太陽能電池板.基于尺蠖、蛇等生物具有的多穩(wěn)態(tài)特征,我們希望設(shè)計一種具有非線性多穩(wěn)態(tài)性質(zhì)的仿生柔性關(guān)節(jié)以實現(xiàn)一種起豎功能的機器人.

本文設(shè)計了一種仿生柔性關(guān)節(jié),在此基礎(chǔ)上構(gòu)建了多節(jié)仿生起豎結(jié)構(gòu)以實現(xiàn)仿蠕蟲機器人的起豎功能.研究給出了仿生起豎結(jié)構(gòu)在直線構(gòu)型和需求的起豎構(gòu)型下穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計準則和使仿生起豎結(jié)構(gòu)能夠起豎至需求構(gòu)型的觸發(fā)條件準則,并通過不同穩(wěn)態(tài)的吸引盆得到了滿足觸發(fā)條件準則的初始激勵形式.本研究提出的仿生起豎結(jié)構(gòu)考慮了豎直平面內(nèi)的重力作用,因此需要提出整體結(jié)構(gòu)的設(shè)計準則.此外,本文中的仿生起豎結(jié)構(gòu)除了要實現(xiàn)C 形的構(gòu)型以外,還希望能夠?qū)崿F(xiàn)更多樣的起豎構(gòu)型,這種構(gòu)型的復(fù)雜性也對研究工作形成了挑戰(zhàn).最后,采用數(shù)值方法求解動力學(xué)方程來研究起豎構(gòu)型的觸發(fā)條件,對后續(xù)協(xié)同控制的研究具有指導(dǎo)意義.本文提出的仿生起豎結(jié)構(gòu)能夠進一步拓展仿蠕蟲機器人的功能,為仿蠕蟲機器人在航空航天與精密加工等領(lǐng)域的應(yīng)用提供了理論依據(jù),也是對仿生設(shè)計理論的進一步完善.

1 仿生起豎結(jié)構(gòu)設(shè)計準則

1.1 仿生起豎結(jié)構(gòu)勢能

由于蚯蚓等蠕蟲類生物能夠在管道、泥地等不平整、受限的環(huán)境中移動,仿蠕蟲機器人得到了學(xué)者們的關(guān)注,越來越多的仿蠕蟲機器人被提出,這些仿蠕蟲機器人通過不同的方式模仿蚯蚓等蠕蟲體節(jié)的伸縮變形來實現(xiàn)移動的功能.然而,由于蚯蚓這種生物并不具備起豎的能力,這些仿蠕蟲機器人都沒有被賦予起豎功能.具有起豎功能的仿蠕蟲機器人能夠通過起豎進行偵察、操作等任務(wù),因此可以進一步應(yīng)用于管道勘測、復(fù)雜地形偵察、精密加工等實際場景,從而擴展仿蠕蟲機器人的應(yīng)用范圍.在自然界中,蛇、尺蠖等生物能夠?qū)⑸眢w的前部直立起來,通過起豎這種運動形式來進行攻擊、防御、偵察、捕食等任務(wù),這為我們賦予仿蠕蟲機器人起豎的功能提供了靈感.于是,受到這些生物的啟發(fā),本文設(shè)計了一種能夠?qū)崿F(xiàn)生物起豎功能的仿生起豎結(jié)構(gòu),其力學(xué)模型如圖1(a)所示.

圖1 仿生起豎結(jié)構(gòu)模型圖:(a) 仿生起豎結(jié)構(gòu);(b) 仿生柔性關(guān)節(jié)(變形后);(c) 仿生柔性關(guān)節(jié)(變形前)Fig.1 (a) Bio-inspired erecting structure;(b) bio-inspired flexible joint (after deformation);(c) bio-inspired flexible joint (before deformation)

本文提出的仿生起豎結(jié)構(gòu)如圖1 所示,仿生起豎結(jié)構(gòu)由多個連桿和仿生柔性關(guān)節(jié)串聯(lián)組成,其中剛性連桿用來模擬生物的體節(jié)和骨骼,而仿生柔性關(guān)節(jié)中的彈性元件用來模擬體節(jié)單元連接處的彈性肌肉及軟組織.仿生起豎結(jié)構(gòu)每根連桿的長度為li,質(zhì)量為mi,轉(zhuǎn)動慣量為Ii,連桿與x軸的夾角為 θi.圖1(b)和圖1(c)分別是變形后和變形前的仿生柔性關(guān)節(jié)示意圖,仿生柔性關(guān)節(jié)由剛度為ki、預(yù)壓角度為 φi的預(yù)壓扭轉(zhuǎn)彈簧和一對剛度為Ksi的拉伸彈簧構(gòu)成,并假設(shè)拉伸彈簧的原長為0.變形前后仿生柔性關(guān)節(jié)的幾何尺寸與偏轉(zhuǎn)角如圖2 所示.

圖2 仿生柔性關(guān)節(jié)的幾何尺寸和偏轉(zhuǎn)角Fig.2 Geometric parameters and deformation of the bio-inspired flexible joint

在圖2 所示的仿生柔性關(guān)節(jié)中,O點為仿生柔性關(guān)節(jié)的轉(zhuǎn)軸,A,B,C,D為兩側(cè)拉伸彈簧的安裝位置,圖2 中黑色虛線部分代表未變形的仿生柔性關(guān)節(jié),藍色實線部分代表變形后的柔性關(guān)節(jié).在本文中,將拉伸彈簧的安裝位置與轉(zhuǎn)軸連線的長度定義為安裝半徑,分別記作La1和La2,將一對拉伸彈簧同一端安裝位置與轉(zhuǎn)軸連線的夾角定義為安裝角度,分別記作βi1,βi2.將兩個安裝角度的算術(shù)平均值定義為平均安裝角度,記作.柔性關(guān)節(jié)變形后,其連接前后連桿部分轉(zhuǎn)過的角度分別為 θi和 θi?1,兩根拉伸彈簧的長度分別為L1和L2.從仿生角度而言,柔性關(guān)節(jié)中的扭轉(zhuǎn)彈簧對應(yīng)于軟組織,拉伸彈簧對應(yīng)于肌肉.從力學(xué)角度而言,柔性關(guān)節(jié)中的扭轉(zhuǎn)彈簧剛度ki和預(yù)壓角度 φi決定了正剛度,拉伸彈簧剛度Ksi和平均安裝角度決定了非線性剛度,這些結(jié)構(gòu)參數(shù)對仿生起豎結(jié)構(gòu)的多穩(wěn)態(tài)特性起關(guān)鍵作用.因此,ki,φi,Ksi,為待設(shè)計的結(jié)構(gòu)參數(shù).

由于仿生起豎結(jié)構(gòu)的平衡點位置及穩(wěn)定性都與結(jié)構(gòu)勢能密切相關(guān),為了設(shè)計仿生起豎結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定平衡狀態(tài)位置,需要得到多節(jié)仿生起豎結(jié)構(gòu)的總體勢能表達式.單個柔性關(guān)節(jié)的勢能由拉伸彈簧和扭轉(zhuǎn)彈簧的彈性勢能構(gòu)成,將第i個柔性關(guān)節(jié)的勢能記作Vqi,其表達式為

其中,第一項為扭轉(zhuǎn)彈簧的彈性勢能,由于扭轉(zhuǎn)彈簧存在預(yù)壓角,其變形為 θi?θi?1?φi.后兩項為兩側(cè)拉伸彈簧的彈性勢能,由于柔性關(guān)節(jié)兩側(cè)的拉伸彈簧的原長為0,其變形即為彈簧的長度L1,L2.在式(1)中,L1,L2,βi1,βi2,La1,La2滿足幾何關(guān)系

將式(2)代入式(1),得到第i個柔性關(guān)節(jié)的彈性勢能表達式為

基于柔性關(guān)節(jié)的彈性勢能表達式(3)可以得到多節(jié)仿生起豎結(jié)構(gòu)的勢能表達式.由于提出的仿生起豎結(jié)構(gòu)由一系列連桿和柔性關(guān)節(jié)構(gòu)成,其總體勢能由柔性關(guān)節(jié)的彈性勢能和連桿的重力勢能組成,因此多節(jié)仿生起豎結(jié)構(gòu)的總勢能表達式為

其中,V代表多節(jié)仿生起豎結(jié)構(gòu)的總勢能,VG代表多節(jié)仿生起豎結(jié)構(gòu)的重力勢能,.

為了研究結(jié)構(gòu)參數(shù)ki,Ksi對仿生起豎結(jié)構(gòu)穩(wěn)定平衡點個數(shù)和位置的影響,對單節(jié)起豎的仿生起豎結(jié)構(gòu)的勢能曲線進行分析,單節(jié)起豎的仿生起豎結(jié)構(gòu)在不同結(jié)構(gòu)參數(shù)k1,Ks1下的勢能?角位移圖如圖3所示.

圖3 不同結(jié)構(gòu)參數(shù)下仿生起豎結(jié)構(gòu)的勢能?角位移關(guān)系Fig.3 Potential energy for different structural parameters

圖3(a)是不同扭轉(zhuǎn)剛度k1下單節(jié)仿生起豎結(jié)構(gòu)的勢能?角位移圖;圖3(b)是不同平衡彈簧剛度Ks1下單節(jié)仿生起豎結(jié)構(gòu)的勢能?角位移圖.由圖3 可知,仿生起豎結(jié)構(gòu)的平衡點個數(shù)、穩(wěn)定性、位置與結(jié)構(gòu)參數(shù)k1,Ks1有關(guān).如圖3(a)所示,由于扭轉(zhuǎn)剛度k1決定了關(guān)節(jié)處的正剛度,因此隨著扭轉(zhuǎn)剛度k1的增大,單節(jié)起豎的仿生起豎結(jié)構(gòu)的平衡點的個數(shù)由3 個逐漸變?yōu)? 個,且中間的平衡點逐漸從不穩(wěn)定的平衡點變?yōu)榉€(wěn)定的平衡點.當(dāng)k1=0.8 N·m/rad 時,單節(jié)仿生起豎結(jié)構(gòu)具有3 個平衡點I,II,III,其對應(yīng)的位置分別為 θ1=?0.91 rad,0.24 rad,1.40 rad.其中,平衡點I,III 為穩(wěn)定平衡點,平衡點II 為不穩(wěn)定平衡點.當(dāng)扭轉(zhuǎn)剛度增加到k1=1 N·m/rad 時,單節(jié)仿生起豎結(jié)構(gòu)仍具有3 個平衡點IV,V,VI,平衡點的穩(wěn)定性與k1=0.8 N·m/rad 時的情況類似,但3 個平衡點的位置變?yōu)榱?θ1=0 rad,0.24 rad,0.4 rad,說明不同的扭轉(zhuǎn)剛度k1下單節(jié)仿生起豎結(jié)構(gòu)具有不同的平衡點位置.當(dāng)扭轉(zhuǎn)剛度增大到k1=1.2 N·m/rad 時,單節(jié)仿生起豎結(jié)構(gòu)只有一個穩(wěn)定平衡點VII,平衡點的個數(shù)由3 個減少為1 個.如圖3(b)所示,由于平衡彈簧剛度Ks1決定了關(guān)節(jié)處的負剛度,因此隨著Ks1的增大,單節(jié)仿生起豎結(jié)構(gòu)的平衡點的個數(shù)逐漸由1 個變?yōu)? 個,且中間的平衡點逐漸從穩(wěn)定的平衡點變?yōu)椴环€(wěn)定的平衡點.當(dāng)Ks1=360 N/m 時,單節(jié)仿生起豎結(jié)構(gòu)只有一個穩(wěn)定平衡點VIII.當(dāng)平衡彈簧剛度Ks1由360 N/m 增大至392 N/m 時,單節(jié)仿生起豎結(jié)構(gòu)的平衡點數(shù)量由1 個增加至3 個,記為平衡點IX,X,XI,其位置分別為 θ1=0 rad,0.24 rad,0.49 rad.當(dāng)Ks1增大至440 N/m 時,單節(jié)仿生起豎結(jié)構(gòu)的平衡點個數(shù)與Ks1=392 N/m 相同,但平衡點的位置變?yōu)榱?θ1=?0.48 rad,0 rad,1.15 rad.由于仿生起豎結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定平衡點位置、個數(shù)與結(jié)構(gòu)參數(shù)密切相關(guān),為了實現(xiàn)直線構(gòu)型與起豎構(gòu)型的穩(wěn)定平衡,需要提出相應(yīng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計準則.

1.2 仿生起豎結(jié)構(gòu)動力學(xué)模型

為了構(gòu)建仿生起豎結(jié)構(gòu)達到特定需求構(gòu)型的結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計準則及觸發(fā)條件,需要建立仿生起豎結(jié)構(gòu)的動力學(xué)模型,并求解仿生起豎結(jié)構(gòu)在初始激勵下的動力學(xué)響應(yīng).利用拉格朗日方程建立仿生起豎結(jié)構(gòu)的動力學(xué)模型

其中,θi是連桿絕對轉(zhuǎn)角,是連桿的角速度,L為系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù),Qi是作用在第i個廣義坐標上的廣義力,n為連桿的數(shù)目.

如圖1 所示,仿生起豎結(jié)構(gòu)每一節(jié)連桿的長度為li,質(zhì)量為mi,轉(zhuǎn)動慣量為Ii,連桿與x軸的夾角為θi,質(zhì)心坐標為 (xi,zi).由幾何關(guān)系,可以得到

將上兩式兩端對時間求導(dǎo),可以得到

因此,仿生起豎結(jié)構(gòu)的動能寫為

由式(4)和式(8),可以得到拉格朗日函數(shù)的表達式為

系統(tǒng)的廣義力Q包含關(guān)節(jié)處阻尼的阻尼力,假設(shè)阻尼所產(chǎn)生的廣義力形式為

將式(6)和式(7)代入式(9),可以得到由廣義坐標 θ1,θ2,···,θn表示的拉格朗日函數(shù).將由廣義坐標表示的拉格朗日函數(shù)和廣義力代入拉格朗日方程,可以得到仿生起豎結(jié)構(gòu)的動力學(xué)方程為

其中,M矩陣為質(zhì)量陣,C矩陣為科氏陣,D矩陣為阻尼陣,K矩陣為剛度陣,G矩陣為重力項,N矩陣為非線性剛度項,各矩陣的具體形式見附錄.

本文通過求解不同初始條件下仿生起豎結(jié)構(gòu)的動力學(xué)模型式(11)得到仿生起豎結(jié)構(gòu)的動力學(xué)響應(yīng),以研究實現(xiàn)仿生起豎結(jié)構(gòu)特定需求構(gòu)型的結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計準則及不同構(gòu)型的觸發(fā)條件.

1.3 仿生起豎結(jié)構(gòu)設(shè)計準則

基于仿蠕蟲機器人在管道勘測、地形偵察、精密加工等應(yīng)用中實現(xiàn)特定操作的需求,本文提出的仿生起豎結(jié)構(gòu)需要滿足以下要求:

(1)在地面約束下保持直線構(gòu)型的穩(wěn)定平衡;

(2)實現(xiàn)需求的起豎構(gòu)型并保持起豎構(gòu)型的穩(wěn)定平衡;

(3)能夠通過觸發(fā)條件來實現(xiàn)起豎構(gòu)型.

由圖3 可知,仿生起豎結(jié)構(gòu)的平衡點及其穩(wěn)定性與結(jié)構(gòu)參數(shù)的選取有關(guān).在本文中,連桿的質(zhì)量mi,長度li,轉(zhuǎn)動慣量Ii以及柔性關(guān)節(jié)的安裝半徑La1,La2為固定的結(jié)構(gòu)參數(shù),柔性關(guān)節(jié)扭轉(zhuǎn)彈簧的剛度ki,預(yù)壓角度 φi,平衡彈簧的剛度Ksi,平均安裝角度 βˉi為待設(shè)計的結(jié)構(gòu)參數(shù).為了實現(xiàn)要求(1)和(2),基于仿生起豎結(jié)構(gòu)總體勢能表達式和多元函數(shù)極值原理提出仿生起豎結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計準則.首先,要求仿生起豎結(jié)構(gòu)的直線構(gòu)型在地面的約束下穩(wěn)定平衡,即每個關(guān)節(jié)處扭轉(zhuǎn)彈簧產(chǎn)生的力矩應(yīng)小于重力產(chǎn)生的力矩.于是,結(jié)構(gòu)參數(shù)需要滿足的條件為rz,即

其次,要求仿生起豎結(jié)構(gòu)能夠起豎到需求構(gòu)型,并在需求起豎構(gòu)型處保持穩(wěn)定平衡,即結(jié)構(gòu)總勢能在起豎構(gòu)型處取到極小值.于是,基于多元函數(shù)極值原理,結(jié)構(gòu)參數(shù)需要滿足的條件為rw1和rw2,分別為

綜上,為了滿足要求(1)和(2),仿生起豎結(jié)構(gòu)設(shè)計參數(shù)的設(shè)計準則為

最后,由于所設(shè)計的仿生起豎結(jié)構(gòu)具有多穩(wěn)態(tài)性質(zhì),在不同的初始激勵下仿生起豎結(jié)構(gòu)最終可能達到的不同的構(gòu)型.為了滿足要求(3),需要得到能夠?qū)崿F(xiàn)仿生起豎結(jié)構(gòu)起豎構(gòu)型的觸發(fā)條件.在本文中,對各關(guān)節(jié)受到的初始位移激勵和速度激勵做出以下假設(shè):

(1) 各關(guān)節(jié)受到的初始位移激勵和速度激勵的比例一定,即

其中,k為起豎構(gòu)型中絕對轉(zhuǎn)角最大的關(guān)節(jié)的序號,且k∈N,1≤k≤n,ηi是第i個關(guān)節(jié)初始激勵的比例系數(shù).

(2) 相鄰關(guān)節(jié)受到的初始位移激勵和速度激勵不相等,即

為了描述不同關(guān)節(jié)的比例系數(shù),基于以上兩個假設(shè)定義如下的比例系數(shù)單調(diào)性變量

由比例系數(shù)單調(diào)性變量的定義可知,比例系數(shù)單調(diào)性變量的取值只可能為 ±1.在本文中,定義η0=0,則有Δ1=1恒成立.Δ1=1 表示在第i個關(guān)節(jié)處驅(qū)動上側(cè)的彈簧,Δ1=?1 表示在第i個關(guān)節(jié)處驅(qū)動下側(cè)的彈簧.本文將對起豎構(gòu)型觸發(fā)條件的研究簡化為對初始激勵比例系數(shù)單調(diào)性的研究,即研究不同關(guān)節(jié)的比例系數(shù)在什么樣的單調(diào)性下使仿生起豎結(jié)構(gòu)實現(xiàn)起豎構(gòu)型的概率最大.基于上述的單調(diào)性變量,提出各關(guān)節(jié)初始激勵的比例系數(shù)單調(diào)性變量需要滿足的準則為r2,寫為

其中,P(θ1→,θ2→,···,θn→) 表示觸發(fā)起豎構(gòu)型的概率,該準則表示在所有關(guān)節(jié)比例系數(shù)的單調(diào)性情況中選取觸發(fā)起豎構(gòu)型概率最大的情況.本文利用仿生起豎結(jié)構(gòu)不同穩(wěn)態(tài)的吸引盆,闡明不同關(guān)節(jié)比例系數(shù)單調(diào)性情況下觸發(fā)起豎構(gòu)型的概率.對于不同的初始條件 θk(0),(0),利用數(shù)值方法求解仿生起豎結(jié)構(gòu)的動力學(xué)方程,得到不同初始條件下仿生起豎結(jié)構(gòu)的動力學(xué)響應(yīng).通過對仿生起豎結(jié)構(gòu)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的判斷和分類,可以得到不同穩(wěn)態(tài)的吸引盆以及觸發(fā)不同構(gòu)型的概率,進而得到仿生起豎結(jié)構(gòu)起豎構(gòu)型的觸發(fā)條件.

2 不同需求下仿生起豎結(jié)構(gòu)的實現(xiàn)及其觸發(fā)條件

根據(jù)第1 節(jié)提出的仿生起豎結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計準則,針對不同起豎節(jié)數(shù)的設(shè)計需求,設(shè)計了相應(yīng)節(jié)數(shù)的仿生起豎結(jié)構(gòu)來驗證設(shè)計準則的有效性,并通過不同穩(wěn)態(tài)的吸引盆研究仿生起豎結(jié)構(gòu)的構(gòu)型觸發(fā)條件,為利用主動控制保持仿蠕蟲機器人在移動中的需求構(gòu)型奠定理論基礎(chǔ).

2.1 單節(jié)起豎的仿生起豎結(jié)構(gòu)

首先以單節(jié)起豎的仿生起豎結(jié)構(gòu)為例,即仿生機器人只有最右端的一節(jié)進行起豎,對仿生起豎結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計準則的作用進行展示.取結(jié)構(gòu)參數(shù)為m1=0.05 kg,l1=0.1 m,La1=La2=0.05 m,由式(15)可以得到單節(jié)起豎的仿生起豎結(jié)構(gòu)設(shè)計參數(shù)的設(shè)計準則為

為了驗證式(20)中兩條不等式條件rz,rw2的必要性,對結(jié)構(gòu)參數(shù)在僅滿足rz、僅滿足rw2和同時滿足rz,rw2這3 種情況下的勢能?角位移曲線進行分析.通過rw1,可以建立k1與Ks1,的關(guān)系,代入rz,rw2中,可以得到k1?φ1平面上某一起豎角度下滿足兩個不等式的的區(qū)域.圖4(a)展示了時k1?φ1平面上僅滿足rz、僅滿足rw2和同時滿足rz,rw2的區(qū)域.圖4(a)中的區(qū)域Ⅰ對應(yīng)于滿足rz而不滿足rw2的情況,在該區(qū)域中選取一個點,記作P1,其對應(yīng)參數(shù)的勢能?角位移曲線和構(gòu)型穩(wěn)定性示意圖如圖4(b)所示.由圖4(b)所示的勢能?角位移曲線可以注意到,θ1=0處勢能曲線切線斜率為正且處勢能取到極大值,說明仿生起豎結(jié)構(gòu)能夠在地面約束下保持直線構(gòu)型的穩(wěn)定,但仿生起豎結(jié)構(gòu)的起豎構(gòu)型不穩(wěn)定.圖4(a)中的區(qū)域Ⅱ?qū)?yīng)于滿足rw2而不滿足rz的情況,在該區(qū)域中選取一個點,記作P2,其對應(yīng)參數(shù)的勢能?角位移曲線和構(gòu)型穩(wěn)定性示意圖如圖4(c)所示.由圖4(c)中的勢能?角位移曲線可以注意到,θ1=0處勢能曲線切線斜率為負且 θ1=π 2 處勢能取到極小值,說明仿生起豎結(jié)構(gòu)的起豎構(gòu)型穩(wěn)定,但仿生起豎結(jié)構(gòu)的直線構(gòu)型在地面約束下不能保持穩(wěn)定.圖4(a)中的區(qū)域Ⅲ對應(yīng)于rz,rw2同時滿足的情況,在該區(qū)域中選取一個點,記作P3,其對應(yīng)參數(shù)的勢能?角位移曲線和構(gòu)型穩(wěn)定性示意圖如圖4(d)所示.由圖4(d)中的勢能?角位移曲線可以注意到,θ1=0處勢能曲線切線斜率為正且處勢能取到極小值,說明仿生起豎結(jié)構(gòu)的直線構(gòu)型和起豎構(gòu)型都能保持穩(wěn)定.因此,只有當(dāng)rz,rw2同時滿足的情況下,即結(jié)構(gòu)參數(shù)在區(qū)域Ⅲ內(nèi)時,仿生起豎結(jié)構(gòu)才能同時在直線構(gòu)型和起豎構(gòu)型下穩(wěn)定平衡.

圖4 勢能?角位移曲線和構(gòu)型穩(wěn)定性示意圖Fig.4 Potential energy and corresponding configuration stability schematic diagram

2.2 兩節(jié)起豎的仿生起豎結(jié)構(gòu)

以兩節(jié)起豎的仿生起豎結(jié)構(gòu)為例,即仿生機器人只有最右端的兩節(jié)進行起豎,驗證結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計準則的有效性.仿生起豎結(jié)構(gòu)需求的起豎構(gòu)型設(shè)為.針對具有兩節(jié)起豎功能的仿生起豎結(jié)構(gòu),取結(jié)構(gòu)參數(shù)m1=m2=0.05kg,l1=l2=0.1 m,La1=La2=0.05m,c1=c2=0.01 N·s/m.根據(jù)結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計準則式(15),兩節(jié)起豎的仿生起豎結(jié)構(gòu)的設(shè)計參數(shù)的取值為k1=1N·m/rad,k2=0.5 N·m/rad,φ1=0.01rad,φ2=0.05rad,=0.98rad,=1.29 rad,Ks1=Ks2=400 N/m.在這組結(jié)構(gòu)參數(shù)和設(shè)計參數(shù)下,兩節(jié)仿生起豎結(jié)構(gòu)的勢能等高線圖和起豎構(gòu)型示意圖分別如圖5(a)和圖5(b)所示.在圖5(a)中,θ1=θ2=0處的梯度方向處于θ1負半軸與θ2負半軸之間.于是,由于地面的約束,仿生起豎結(jié)構(gòu)能在θ1=θ2=0位置處穩(wěn)定平衡.此外,在圖5(a)中,起豎構(gòu)型處為勢能極小值點,因此,仿生起豎結(jié)構(gòu)能在設(shè)計的起豎構(gòu)型位置處穩(wěn)定平衡.圖5(c)是仿生起豎結(jié)構(gòu)在初始激勵下的時間歷程曲線,由圖可知仿生起豎結(jié)構(gòu)能在初始激勵下從直線構(gòu)型變成起豎構(gòu)型,并能在起豎構(gòu)型位置處穩(wěn)定平衡.

圖5 兩節(jié)仿生起豎結(jié)構(gòu)Fig.5 Two-segment bio-inspired erecting structure

2.3 三節(jié)起豎的仿生起豎結(jié)構(gòu)

為了說明本文提出的仿生起豎結(jié)構(gòu)不僅能夠?qū)崿F(xiàn)C 形構(gòu)型,也能夠?qū)崿F(xiàn)C 形構(gòu)型以外的其他構(gòu)型,設(shè)計了兩種不同起豎構(gòu)型的三節(jié)起豎的仿生起豎結(jié)構(gòu),即仿生機器人只有最右端的三節(jié)進行起豎.仿生起豎結(jié)構(gòu)的起豎構(gòu)型分別設(shè)為,其構(gòu)型示意圖如圖6(a)和圖6(b) 所示.本文將滿足<<···<的起豎構(gòu)型稱為C 形構(gòu)型,并將滿足<<···<且>>···>的起豎構(gòu)型稱為S 形構(gòu)型.三節(jié)仿生起豎結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)為m1=m2=m3=0.05 kg,l1=l2=l3=0.1m,La1=La2= 0.05 m,c1=c2=c3=0.01 N·s/m.根據(jù)結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計準則式(15),兩種起豎構(gòu)型的仿生起豎結(jié)構(gòu)對應(yīng)的設(shè)計參數(shù)取值分別見表1和表2.圖6(a)和圖6(b)中的右圖分別是起豎構(gòu)型為S 形和C 形的三節(jié)仿生起豎結(jié)構(gòu)在受到初始激勵后的時間歷程圖,由圖6(a)和圖6(b)可知,所設(shè)計的仿生起豎結(jié)構(gòu)能夠在受到初始激勵后達到所需求的起豎構(gòu)型并在起豎構(gòu)型處穩(wěn)定.同時,由圖6 可以得知,本文提出的仿生起豎結(jié)構(gòu)除了可以實現(xiàn)C 形的起豎構(gòu)型,還可以實現(xiàn)C 形構(gòu)型以外的起豎構(gòu)型,這說明本文提出的仿生起豎結(jié)構(gòu)進一步拓展了彎曲變形結(jié)構(gòu)可實現(xiàn)的構(gòu)型.

表2 C 形構(gòu)型設(shè)計參數(shù)Table 2 Design parameters values of three-segment bio-inspired erecting structure with C configuration

圖6 不同起豎構(gòu)型的三節(jié)仿生起豎結(jié)構(gòu)的起豎構(gòu)型示意圖及其動力學(xué)驗證Fig.6 Erecting configuration schematic diagram and dynamics verification of different three-segment bio-inspired erecting structure

在表1 的設(shè)計參數(shù)下,仿生起豎結(jié)構(gòu)一共有3 個穩(wěn)定構(gòu)型,其穩(wěn)定構(gòu)型示意圖如圖7 所示.在圖7中,藍色構(gòu)型表示的S 形構(gòu)型,黃色構(gòu)型表示 θ1=0.35π,θ2=0.74π,θ3=1.14π 的C 形構(gòu)型,鮮綠色構(gòu)型表示 θ1=0,θ2=0,θ3=0 的直線構(gòu)型.接下來,通過仿生起豎結(jié)構(gòu)不同穩(wěn)態(tài)的吸引盆來研究初始激勵對仿生起豎結(jié)構(gòu)最終達到構(gòu)型的影響.

表1 S 形構(gòu)型設(shè)計參數(shù)Table 1 Design parameters values of three-segment bio-inspired erecting structure with S configuration

對于三節(jié)起豎的仿生起豎結(jié)構(gòu),其比例系數(shù)單調(diào)性變量的取值一共有4 種情況,在圖8 中分別給出了4 種不同情況下仿生起豎結(jié)構(gòu)不同穩(wěn)態(tài)的吸引盆,并在吸引盆的左上方用柱狀圖標出了比例系數(shù)單調(diào)性變量的取值.其中,藍色部分對應(yīng)于圖7 中的S 形穩(wěn)定構(gòu)型,黃色部分對應(yīng)于圖7 中的C 形穩(wěn)定構(gòu)型,鮮綠色部分對應(yīng)于圖7 中的直線穩(wěn)定構(gòu)型.由圖8 可以得知,不同比例系數(shù)單調(diào)性的情況下,仿生起豎結(jié)構(gòu)觸發(fā)S 形構(gòu)型的概率有顯著的差異.在圖8(a)和圖8(b)所示的吸引盆中沒有藍色的部分,說明在這兩種情況下無法觸發(fā)仿生起豎結(jié)構(gòu)的S 形構(gòu)型.在圖8(c)和圖8(d)中,吸引盆出現(xiàn)了較大的藍色區(qū)域,說明圖8(c)和圖8(d)這兩種情況比圖8(a)和圖8(b)中這兩種情況更容易觸發(fā)仿生起豎結(jié)構(gòu)需求的S 形構(gòu)型,針對圖8(c)和圖8(d)對應(yīng)的兩種情況進行進一步討論,以確定滿足準則r2的比例系數(shù)單調(diào)性變量的取值.

圖7 表1 參數(shù)下仿生起豎結(jié)構(gòu)穩(wěn)定構(gòu)型示意圖Fig.7 Stable configuration of three-segment bio-inspired erecting structure with parameters in Table 1

圖8 不同單調(diào)性變量情況下三節(jié)仿生起豎結(jié)構(gòu)不同穩(wěn)態(tài)的吸引盆Fig.8 Basin of attraction corresponding to different conditions

為了將初始激勵的比例系數(shù)單調(diào)性與需求的起豎構(gòu)型聯(lián)系起來,定義如下的起豎構(gòu)型單調(diào)性變量

圖9 三節(jié)仿生起豎結(jié)構(gòu)比例系數(shù)單調(diào)性變量與起豎構(gòu)型單調(diào)性變量示意圖及不同比例系數(shù)情況下不同穩(wěn)態(tài)的吸引盆Fig.9 Schematic diagram of excitation variable and configuration variable and basin of attraction under different excitation variable situation for three-segment bio-inspired erecting structure

2.4 多節(jié)起豎的仿生起豎結(jié)構(gòu)

為了說明本文提出的仿生起豎結(jié)構(gòu)能夠?qū)崿F(xiàn)需求的仿生構(gòu)型,設(shè)計了多節(jié)起豎的仿生起豎結(jié)構(gòu),多節(jié)仿生起豎結(jié)構(gòu)的起豎節(jié)數(shù)和起豎構(gòu)型由圖10(a)中蛇起豎的構(gòu)型而來.多節(jié)仿生起豎結(jié)構(gòu)只有最右端的六節(jié)進行起豎,起豎構(gòu)型為.仿生起豎結(jié)構(gòu)的結(jié)構(gòu)參數(shù)為m1=m2=···=m6=0.005 kg,l1=l2=···=l6=0.1 m,La1=La2=0.05m,c1=c2=···=c6=0.075 N·s/m,其設(shè)計參數(shù)如表3 所示.圖10(b)為多節(jié)仿生起豎結(jié)構(gòu)在受到初始激勵后的時間歷程圖,多節(jié)仿生起豎結(jié)構(gòu)受到初始激勵后的起豎過程及對應(yīng)的時間歷程的動力學(xué)模擬結(jié)果在附加材料中.由圖10(b)可以得知,多節(jié)仿生起豎結(jié)構(gòu)能夠在受到初始激勵后達到設(shè)計的起豎構(gòu)型并在起豎構(gòu)型處穩(wěn)定,說明了本文提出的仿生起豎結(jié)構(gòu)實現(xiàn)了需求的仿生構(gòu)型.

表3 多節(jié)仿生起豎結(jié)構(gòu)的設(shè)計參數(shù)Table 3 Design parameters values of multi-segment bio-inspired erecting structure

圖10 多節(jié)仿生起豎結(jié)構(gòu)Fig.10 Multi-segment bio-inspired erecting structure

多節(jié)仿生起豎結(jié)構(gòu)有多個不同的穩(wěn)定構(gòu)型,通過求解不同初始激勵下多節(jié)仿生起豎結(jié)構(gòu)的動力學(xué)模型,可以得到仿生起豎結(jié)構(gòu)不同穩(wěn)態(tài)的吸引盆中出現(xiàn)的穩(wěn)定構(gòu)型,其示意圖如圖11 所示.根據(jù)三節(jié)起豎的仿生起豎結(jié)構(gòu)中對仿生起豎結(jié)構(gòu)需求構(gòu)型觸發(fā)條件的討論,可得到了3 種不同比例系數(shù)單調(diào)性下多節(jié)仿生起豎結(jié)構(gòu)不同穩(wěn)態(tài)的吸引盆及不同構(gòu)型出現(xiàn)的概率,如圖12 所示.在吸引盆圖像的上方,我們用柱狀圖標出了對應(yīng)的單調(diào)性變量的取值.在多節(jié)仿生起豎結(jié)構(gòu)不同穩(wěn)態(tài)的吸引盆中,藍色部分表示所設(shè)計的S 形起豎構(gòu)型,棕色部分表示C 形構(gòu)型,橙色部分表示斜S 構(gòu)型,綠色部分表示受地面約束的直線構(gòu)型.圖12(a)為Δi=1,i=1,2,···,6 時多節(jié)仿生起豎結(jié)構(gòu)不同穩(wěn)態(tài)的吸引盆.由圖12(a)可以得知,在Δi=1,i=1,2,···,6 的情況下,最容易觸發(fā)=1,i=1,2,···,6 的C 形構(gòu)型.圖12(b)為Δi=1,i=1,2,···,5,Δ6=?1 時多節(jié)仿生起豎結(jié)構(gòu)不同穩(wěn)態(tài)的吸引盆.由圖12(b) 可以得知,在Δi=1,i=1,2,···,5,Δ6=?1的情況下,最容易觸發(fā)=1,i=1,2,···,5,=?1的斜S 形構(gòu)型.圖12(c)為Δi=1,i=1,2,···,4,Δ5=Δ6=?1時多節(jié)仿生起豎結(jié)構(gòu)不同穩(wěn)態(tài)的吸引盆.由圖12(b) 可以得知,在Δi=1,i=1,2,···,4,Δ5=Δ6=?1時的情況下,最容易觸發(fā)=1,i=1,2,···,4,==?1 時的S 形構(gòu)型.通過對圖12 的分析,驗證了在三節(jié)仿生起豎結(jié)構(gòu)中得到的關(guān)于觸發(fā)條件準則的結(jié)論,即Δi=為滿足觸發(fā)條件準則的比例系數(shù)單調(diào)性變量.

圖11 多節(jié)仿生起豎結(jié)構(gòu)穩(wěn)定構(gòu)型示意圖Fig.11 Stable configurations of multi-layer bio-inspired erecting structure

圖12 不同比例系數(shù)單調(diào)性下多節(jié)仿生起豎結(jié)構(gòu)不同穩(wěn)態(tài)的吸引盆Fig.12 Basin of attractions corresponding to different conditions

3 結(jié)論

本文提出了一種具有多穩(wěn)態(tài)性質(zhì)的仿生柔性關(guān)節(jié)以實現(xiàn)仿蠕蟲移動機器人的起豎功能,并針對不同起豎節(jié)次和起豎構(gòu)型的需求,設(shè)計了相應(yīng)節(jié)次的仿生起豎結(jié)構(gòu).本文的主要結(jié)論如下:

(1) 本文提出的結(jié)構(gòu)參數(shù)設(shè)計準則能夠?qū)崿F(xiàn)仿蠕蟲機器人在直線和起豎兩種構(gòu)型下的穩(wěn)定平衡.準則rz保證了仿生起豎結(jié)構(gòu)直線構(gòu)型的穩(wěn)定平衡,準則rw1使得仿生起豎結(jié)構(gòu)在起豎構(gòu)型位置處是一個平衡點,準則rw2確保仿生起豎結(jié)構(gòu)在起豎構(gòu)型位置處穩(wěn)定.

(2) 本文定義了初始激勵與起豎構(gòu)型的比例系數(shù)單調(diào)性變量來研究初始激勵與起豎構(gòu)型的關(guān)系,并建立了觸發(fā)條件準則來描述觸發(fā)需求起豎構(gòu)型的初始激勵形式.

(3) 基于不同起豎節(jié)次的需求,設(shè)計了相應(yīng)節(jié)數(shù)的仿生起豎結(jié)構(gòu).結(jié)果說明,本文提出的仿生起豎結(jié)構(gòu)能夠在重力作用下實現(xiàn)需求的起豎構(gòu)型.在三節(jié)和多節(jié)仿生起豎結(jié)構(gòu)中,利用不同穩(wěn)態(tài)下的吸引盆得到了滿足觸發(fā)條件準則的初始激勵形式.

本文提出的仿生起豎結(jié)構(gòu)對拓展仿蠕蟲機器人的應(yīng)用場景、豐富仿蠕蟲機器人的功能性有指導(dǎo)意義.同時,對仿生起豎結(jié)構(gòu)的構(gòu)型觸發(fā)條件的研究為我們利用主動控制調(diào)控仿生起豎結(jié)構(gòu)的不同構(gòu)型提供了依據(jù),也對后續(xù)通過主動控制保持需求的構(gòu)型有參考價值.

附錄

仿生起豎結(jié)構(gòu)動力學(xué)模型中各矩陣M,C1,D,K,G,N中各元素的具體表達形式如下: